八年级数学平方差公式分层进阶知识清单

八年级数学平方差公式分层进阶知识清单一、基础知识建构层：公式溯源与本质理解【基础】【核心概念】（一）公式的数学表达与代数本质平方差公式是多项式乘法中一个特殊形式的结果，它揭示了两个数的和与这两个数的差相乘的规律。其标准形式为：(a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(ab)=a^2b^2(a+b)(a−b)=a2−b2这个公式在代数运算中具有核心地位，它不仅是一种简便的运算工具，更是恒等变换的重要基础。公式中的a和b既可以代表具体的数字，也可以代表任意的单项式或多项式，体现了代数的高度抽象性和概括性。从本质上看，平方差公式是多项式乘法运算中项与项之间相互抵消的结果，它反映了数学中的对称美和简洁美。（二）公式的结构特征剖析【重要】深入理解平方差公式，必须精准把握其结构特征，这是正确应用公式的前提。1、左边结构：必须是两个二项式相乘，且这两个二项式具备“一项相同，另一项互为相反数”的特点。具体而言，第一个因式中的两项与第二个因式中的两项，必须有一对是完全相同的项（称为“相同项”，即公式中的a），另一对是只有符号不同的项（称为“相反项”，即公式中的b和b）。2、右边结构：结果是二项式，具体为“相同项的平方”减去“相反项的平方”。即，运算结果等于相同项的平方减去互为相反数的那一项的平方。书写时，通常将相同项的平方写在前面，相反项的平方写在后面。（三）公式的几何意义与直观理解【热点】平方差公式不仅具有代数意义，还蕴含着深刻的几何背景，通过几何图形可以直观地理解公式的由来。1、构造图形：考虑一个边长为a的大正方形，在其一角挖去一个边长为b的小正方形，剩余图形是一个L形。2、面积计算：剩余图形的面积可以直接表示为大正方形面积减去小正方形面积，即a2−b2a^2b^2a2−b2。3、图形变换：将这个L形图形进行分割和重组，可以拼接成一个长为a+ba+ba+b、宽为a−baba−b的矩形。4、结论推导：矩形的面积计算公式为长乘以宽，即(a+b)(a−b)(a+b)(ab)(a+b)(a−b)。由于拼接前后面积不变，因此得出(a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(ab)=a^2b^2(a+b)(a−b)=a2−b2。这种数形结合的推导方式，将抽象的代数公式与直观的几何图形联系起来，加深了对公式的理解。二、公式应用进阶层：典型题型与解题策略（一）公式的初步识别与直接应用【基础】【高频考点】本阶段要求能够从复杂的代数式中准确识别出公式的标准形式，并直接套用。1、题型示例：计算(3x+2y)(3x−2y)(3x+2y)(3x2y)(3x+2y)(3x−2y)。2、解题步骤：（1）判结构：观察两个因式，第一项都是3x3x3x，是为“相同项”；第二项分别是+2y+2y+2y和−2y2y−2y，是为“相反项”。完全符合平方差公式的结构特征。（2）找a与b：令a=3xa=3xa=3x，b=2yb=2yb=2y。（3）套公式：根据(a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(ab)=a^2b^2(a+b)(a−b)=a2−b2，代入得(3x)2−(2y)2(3x)^2(2y)^2(3x)2−(2y)2。（4）算结果：计算幂的乘方，得9x2−4y29x^24y^29x2−4y2。3、易错点警示：【重要】（1）注意“相反项”的平方结果一定是非负的，因为减去的是平方项，即(−b)2=b2(b)^2=b^2(−b)2=b2，所以公式右边是a2−b2a^2b^2a2−b2，而非a2+b2a^2+b^2a2+b2或a2−(−b)2a^2(b)^2a2−(−b)2。（2）当相同项或相反项是单项式时，如系数、字母及其指数，在平方时务必整体处理。例如(2m)2=4m2(2m)^2=4m^2(2m)2=4m2，不能写成2m22m^22m2。（二）公式的位置变换与符号处理【重要】题目中公式的位置可能发生变化，或者符号隐藏在括号内，需要灵活处理。1、位置互换型：计算(−5a−2b)(5a−2b)(5a2b)(5a2b)(−5a−2b)(5a−2b)。★解题策略：观察各项，发现−2b2b−2b是共同的，可以视为“相同项”；−5a5a−5a和5a5a5a互为相反数，是为“相反项”。为了符合公式的书写习惯，可以调整因式中项的顺序。解：原式=[(−2b)−5a]×[(−2b)+5a]=[(2b)5a]\times[(2b)+5a]=[(−2b)−5a]×[(−2b)+5a]，令a=−2ba=2ba=−2b（或直接令相同项为−2b2b−2b），b=5ab=5ab=5a。则原式=(−2b)2−(5a)2=4b2−25a2=(2b)^2(5a)^2=4b^225a^2=(−2b)2−(5a)2=4b2−25a2。另一种视角：也可以提取负号，(−5a−2b)(5a−2b)=[−(5a+2b)]×(5a−2b)=−(5a+2b)(5a−2b)=−[(5a)2−(2b)2]=−(25a2−4b2)=4b2−25a2(5a2b)(5a2b)=[(5a+2b)]\times(5a2b)=(5a+2b)(5a2b)=[(5a)^2(2b)^2]=(25a^24b^2)=4b^225a^2(−5a−2b)(5a−2b)=[−(5a+2b)]×(5a−2b)=−(5a+2b)(5a−2b)=−[(5a)2−(2b)2]=−(25a2−4b2)=4b2−25a2。两种方法均可得解。2、符号隐藏型：计算(−x+2y)(−x−2y)(x+2y)(x2y)(−x+2y)(−x−2y)。解：观察可知，相同项是−xx−x，相反项是+2y+2y+2y和−2y2y−2y。直接套公式：原式=(−x)2−(2y)2=x2−4y2=(x)^2(2y)^2=x^24y^2=(−x)2−(2y)2=x2−4y2。（三）公式在多步运算中的应用【难点】平方差公式经常作为运算过程中的一个环节，出现在整式乘法、化简求值等综合题中。1、与合并同类项结合：计算(a+2b)(a−2b)−12b(a−8b)(a+2b)(a2b)\frac{1}{2}b(a8b)(a+2b)(a−2b)−21​b(a−8b)。解：原式=[a2−(2b)2]−(12ab−4b2)=[a^2(2b)^2](\frac{1}{2}ab4b^2)=[a2−(2b)2]−(21​ab−4b2)=a2−4b2−12ab+4b2=a^24b^2\frac{1}{2}ab+4b^2=a2−4b2−21​ab+4b2=a2−12ab=a^2\frac{1}{2}ab=a2−21​ab。【解答要点】：先独立使用平方差公式和单项式乘多项式法则计算各部分，再去括号，最后合并同类项。注意去括号时符号的变化。2、连续使用平方差公式：计算(x−y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(xy)(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)(x−y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)。解题思路：观察式子特点，前两个因式相乘可直接运用平方差公式，其结果再与第三个因式相乘，又可构造平方差公式，依此类推。解：原式=(x2−y2)(x2+y2)(x4+y4)=(x^2y^2)(x^2+y^2)(x^4+y^4)=(x2−y2)(x2+y2)(x4+y4)=(x4−y4)(x4+y4)=(x^4y^4)(x^4+y^4)=(x4−y4)(x4+y4)=x8−y8=x^8y^8=x8−y8。【非常重要】：这种连续使用公式的技巧，在解决复杂计算问题时非常有效，体现了化繁为简的数学思想。3、添项构造平方差公式：计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)。解题思路：直接计算繁琐。观察发现，如果在整个式子前面乘以(2−1)(21)(2−1)（其值为1，不改变原式结果），就可以从最左边开始连续运用平方差公式。解：原式=(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=(21)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)=(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=(22−1)(22+1)(24+1)(28+1)=(2^21)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)=(22−1)(22+1)(24+1)(28+1)=(24−1)(24+1)(28+1)=(2^41)(2^4+1)(2^8+1)=(24−1)(24+1)(28+1)=(28−1)(28+1)=(2^81)(2^8+1)=(28−1)(28+1)=216−1=2^{16}1=216−1。【热点】【难点】：这种“乘1构造法”是平方差公式应用中的高级技巧，需要敏锐的观察力和逆向思维。三、高阶思维拓展层：公式的逆用与变形【难点】【热点】（一）平方差公式的逆向使用平方差公式不仅可用于乘法运算，还可逆过来用于因式分解。公式的逆向形式为：a2−b2=(a+b)(a−b)a^2b^2=(a+b)(ab)a2−b2=(a+b)(a−b)1、基本应用：分解因式4x2−9y24x^29y^24x2−9y2。分析：将4x24x^24x2视为(2x)2(2x)^2(2x)2，将9y29y^29y2视为(3y)2(3y)^2(3y)2，则符合a2−b2a^2b^2a2−b2的形式。解：4x2−9y2=(2x)2−(3y)2=(2x+3y)(2x−3y)4x^29y^2=(2x)^2(3y)^2=(2x+3y)(2x3y)4x2−9y2=(2x)2−(3y)2=(2x+3y)(2x−3y)。2、综合应用：分解因式a3−ab2a^3ab^2a3−ab2。分析：先提取公因式，再运用平方差公式。解：a3−ab2=a(a2−b2)=a(a+b)(a−b)a^3ab^2=a(a^2b^2)=a(a+b)(ab)a3−ab2=a(a2−b2)=a(a+b)(a−b)。【重要】：因式分解的步骤通常为先提公因式，再套公式，必须分解到每个因式不能再分解为止。（二）公式的推广与变式1、指数推广：a2n−b2n=(an+bn)(an−bn)a^{2n}b^{2n}=(a^n+b^n)(a^nb^n)a2n−b2n=(an+bn)(an−bn)，其中n为正整数。2、系数推广：当公式中的a和b本身是多项式时，公式依然成立。例如：(x+y+z)(x+y−z)=[(x+y)+z][(x+y)−z]=(x+y)2−z2=x2+2xy+y2−z2(x+y+z)(x+yz)=[(x+y)+z][(x+y)z]=(x+y)^2z^2=x^2+2xy+y^2z^2(x+y+z)(x+y−z)=[(x+y)+z][(x+y)−z]=(x+y)2−z2=x2+2xy+y2−z23、三项变两项：形如(a+b+c)(a+b−c)(a+b+c)(a+bc)(a+b+c)(a+b−c)、(a+b−c)(a−b+c)(a+bc)(ab+c)(a+b−c)(a−b+c)等，关键是通过分组，将其转化为两个数的和与差的形式。题型示例：计算(a−b+2c)(a+b−2c)(ab+2c)(a+b2c)(a−b+2c)(a+b−2c)。解题策略：将式子进行分组，构造出“相同项”和“相反项”。观察发现，aaa是公共的，而−b+2cb+2c−b+2c和b−2cb2cb−2c互为相反数。因此，将−b+2cb+2c−b+2c看作整体，即−(b−2c)(b2c)−(b−2c)。解：(a−b+2c)(a+b−2c)=[a−(b−2c)]×[a+(b−2c)](ab+2c)(a+b2c)=[a(b2c)]\times[a+(b2c)](a−b+2c)(a+b−2c)=[a−(b−2c)]×[a+(b−2c)]=a2−(b−2c)2=a^2(b2c)^2=a2−(b−2c)2=a2−(b2−4bc+4c2)=a^2(b^24bc+4c^2)=a2−(b2−4bc+4c2)=a2−b2+4bc−4c2=a^2b^2+4bc4c^2=a2−b2+4bc−4c2。（三）利用平方差公式进行数值估算与简便计算【热点】1、计算1002×9981002\times9981002×998。分析：1002=1000+21002=1000+21002=1000+2，998=1000−2998=10002998=1000−2。解：原式=(1000+2)(1000−2)=10002−22=1,000,000−4=999,996=(1000+2)(10002)=1000^22^2=1,000,0004=999,996=(1000+2)(1000−2)=10002−22=1,000,000−4=999,996。2、计算1032103^21032。分析：可转化为平方差公式进行简便运算。1032=(103)(103)=(100+3)(100+3)103^2=(103)(103)=(100+3)(100+3)1032=(103)(103)=(100+3)(100+3)，这不符合平方差公式。但可以利用平方差公式推导出另一种形式：1032=(100+3)2=1002+2×100×3+32103^2=(100+3)^2=100^2+2\times100\times3+3^21032=(100+3)2=1002+2×100×3+32，这是完全平方公式。如果一定要用平方差，可以写成1032=(100+3)2103^2=(100+3)^21032=(100+3)2，其本身不是平方差，但我们可以借助平方差公式进行变换：a2=(a+b)(a−b)+b2a^2=(a+b)(ab)+b^2a2=(a+b)(a−b)+b2。例如：1032=(103+3)(103−3)+32=106×100+9=10609103^2=(103+3)(1033)+3^2=106\times100+9=106091032=(103+3)(103−3)+32=106×100+9=10609。【易错点】：注意区分平方差公式和完全平方公式，避免混淆。四、易错点诊断与辨析专题【重要】（一）公式混淆型1、易错表现：将(a+b)(a−b)(a+b)(ab)(a+b)(a−b)的结果误写成a2+b2a^2+b^2a2+b2或a2−2ab+b2a^22ab+b^2a2−2ab+b2。这是混淆了平方差公式与完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2(a\pmb)^2=a^2\pm2ab+b^2(a±b)2=a2±2ab+b2。2、辨析与对策：从根本上理解公式的推导过程。(a+b)(a−b)=a2−ab+ab−b2=a2−b2(a+b)(ab)=a^2ab+abb^2=a^2b^2(a+b)(a−b)=a2−ab+ab−b2=a2−b2，中间两项是互为相反数，和为0，所以结果只有两项。而完全平方公式是(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2，中间项是同号相加，不会抵消。建议通过对比记忆，并加强基础训练。（二）系数与指数处理不当型1、易错表现：计算(2x+3y)(2x−3y)(2x+3y)(2x3y)(2x+3y)(2x−3y)时，误得2x2−3y22x^23y^22x2−3y2。错误原因在于进行平方运算时，只对字母进行了平方，忽略了系数的平方。2、辨析与对策：牢记“整体代入，整体平方”的原则。在公式(a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(ab)=a^2b^2(a+b)(a−b)=a2−b2中，a代表的是2x2x2x这个整体，所以a2=(2x)2=4x2a^2=(2x)^2=4x^2a2=(2x)2=4x2。进行平方运算时，必须将相同项或相反项视为一个整体，对其系数和字母的幂分别进行平方运算，即（系数）²乘以（字母的指数×2）。（三）符号判定错误型1、易错表现：计算(−x−y)(x−y)(xy)(xy)(−x−y)(x−y)时，错误地认为相同项是x或y。不能准确找出哪个是“相同项”，哪个是“相反项”。2、辨析与对策：严格按照定义来判定。比较两个因式的每一项。对于(−x−y)(xy)(−x−y)和(x−y)(xy)(x−y)：第一项：x和x。它们互为相反数（因为x与x是相反数）。第二项：y和y。它们是相同的（因为y等于y）。所以，相同项是−yy−y，相反项是−xx−x和xxx（即相反项为xxx，但要注意符号处理）。令a=−ya=ya=−y，b=xb=xb=x，则原式=a2−b2=(−y)2−x2=y2−x2=a^2b^2=(y)^2x^2=y^2x^2=a2−b2=(−y)2−x2=y2−x2。或者，通过交换项的位置：原式=[−(x+y)]×(x−y)=−(x+y)(x−y)=−(x2−y2)=y2−x2=[(x+y)]\times(xy)=(x+y)(xy)=(x^2y^2)=y^2x^2=[−(x+y)]×(x−y)=−(x+y)(x−y)=−(x2−y2)=y2−x2。可见，准确找出相同项是解题的关键。（四）整体思想缺失型1、易错表现：计算(a+b+c)(a+b−c)(a+b+c)(a+bc)(a+b+c)(a+b−c)时，不知如何下手，或者错误地拆分成四项相乘。2、辨析与对策：树立整体思想，将a+ba+ba+b看作一个整体，即令m=a+bm=a+bm=a+b，则原式变为(m+c)(m−c)=m2−c2(m+c)(mc)=m^2c^2(m+c)(m−c)=m2−c2，再将mmm换回a+ba+ba+b，得到(a+b)2−c2(a+b)^2c^2(a+b)2−c2，最后展开(a+b)2(a+b)^2(a+b)2。这种方法体现了“换元”思想，是解决复杂问题的有效途径。五、考点预测与考向分析【必知】（一）中考常规考点1、直接运用公式计算（基础题）：通常以选择题、填空题形式出现，考查对公式结构的识别和基本运算能力。例如：计算(2a+1)(2a−1)(2a+1)(2a1)(2a+1)(2a−1)的结果是______。2、公式的逆向应用（基础题）：以因式分解的形式考查。例如：分解因式x2−4y2x^24y^2x2−4y2=______。3、混合运算中的运用（中档题）：在整式的化简求值题中，平方差公式作为其中一个步骤出现，常与绝对值、二次根式等知识结合。例如：先化简，再求值：(x+2)(x−2)−x(x−1)(x+2)(x2)x(x1)(x+2)(x−2)−x(x−1)，其中x=−2x=2x=−2。4、简便运算（中档题）：利用平方差公式进行数字计算，考查数感和应用意识。例如：计算20232−202222023^22022^220232−20222。（二）综合创新考点1、与几何图形结合：【热点】考题示例：如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b），把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（）。A.(a+2b)(a−b)=a2+ab−2b2(a+2b)(ab)=a^2+ab2b^2(a+2b)(a−b)=a2+ab−2b2B.(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2(a+b)2=a2+2ab+b2C.a2−b2=(a+b)(a−b)a^2b^2=(a+b)(ab)a2−b2=(a+b)(a−b)D.(a−b)2=a2−2ab+b2(ab)^2=a^22ab+b^2(a−b)2=a2−2ab+b2考查学生对平方差公式几何意义的理解，是数形结合思想的典型应用。2、新定义运算：考题示例：对于任意有理数a、b，现用“☆”定义一种新运算：a☆b=a2−b2a\{☆}b=a^2b^2a☆b=a2−b2。根据这个定义，计算(x+y)☆(x−y)(x+y)\{☆}(xy)(x+y)☆(x−y)的结果。这需要学生读懂新定义，并将新问题转化为已学的平方差公式问题。3、规律探究题：考题示例：观察下列各式：(x−1)(x+1)=x2−1(x1)(x+1)=x^21(x−1)(x+1)=x2−1;(x−1)(x2+x+1)=x3−1(x1)(x^2+x+1)=x^31(x−1)(x2+x+1)=x3−1;(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1(x1)(x^3+x^2+x+1)=x^41(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1;……根据这一规律，计算1+2+22+23+…+2n−11+2+2^2+2^3+…+2^{n1}1+2+22+23+…+2n−1的值。此题将平方差公式与数列求和联系起来，考查学生的观察、归纳和推理能力，是较高层次的能力要求。4、阅读理解题：考题示例：阅读材料：我们在计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)时，发现如果直接乘，计算量大且容易出错。但如果在式子前乘(2−1)(21)(2−1)，就可以连续运用平方差公式，得出216−12^{16}1216−1。请根据以上阅读材料，计算：(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)+12(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)+\frac{1}{2}(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)+21​。此类题考查学生的知识迁移能力和模仿学习能力。六、分层进阶学习法实践指南（一）第一层：基础巩固阶段1、目标：能够准确识别平方差公式的标准结构，熟练进行直接套用公式的计算。2、方法：（1）每日进行510道基础题训练，如(m+5n)(m−5n)(m+5n)(m5n)(m+5n)(m−5n)，(13x−y)(13x+y)(\frac{1}{3}xy)(\frac{1}{3}x+y)(31​x−y)(31​x+y)等。（2）建立错题本，重点记录因系数、指数、符号处理不当导致的错误，并写出正确的解题步骤和错误原因。（3）背诵公式及其结构特征：相同项平方减相反项平方。（二）第二层：能力提升阶段1、目标：能够处理变式题目，如位置变换、符号变换、多步运算等，并能逆用公式进行因式分解。2、方法：（1）进行专题训练，集中练习符号处理、整体代入、连续使用公式等题型。（2）尝试一题多解。例如对于(−2x−3y)(3y−2x)(2x3y)(3y2x)(−2x−3y)(3y−2x)，尝试用交换项的位置、提取负号等多种方法求解，比较优劣，加深理解。（3）总结因式分解的步骤：一提（提公因式）、二套（套平方差公式）、三查（检查是否分解彻底）。（三）第三层：思维拓展阶段1、目标：能够灵活运用平方差公式解决探究性问题、实际问题和跨学科问题，体会其中蕴含的数学思想。2、方法：（1）定期挑战一道综合题或创新题，如与几何图形、新定义、规律探究相关的题目。（2）撰写解题反思，总结题目背后考查的数学思想（如数形结合、转化与化归、整体思想）。（3）尝试自己编题。例如，根据平方差公式的几何背景，设计一个图形验证问题；或者根据连续平方差公式的规律，创作一道有递进关系的计算题。七、平方差公式与其他知识的交汇融合（一）与实数运算的交汇在二次根式的化简中，平方差公式常用于分母有理化。例如：化简15−3\frac{1}{\sqrt{5}\sqrt{3}}5<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​−3<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​1​。解：分子分母同乘以分母的有理化因式(5+3)(\sqrt{5}+\sqrt{3})(5<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​+3<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​)，得：15−3=5+3(5−3)(5+3)=5+35−3=5+32\frac{1}{\sqrt{5}\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{(\sqrt{5}\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{53}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}5<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​−3<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​1​=(5<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​−3<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​)(5<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​+3<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​)5<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​+3<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​​=5−35<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​+3<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​​=25<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​+3<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​​这里正是运用了平方差公式(