西昌学院机械基础课件06扭转

第六章扭转6—1

概述6—3

传动轴的外力偶矩

扭矩及扭矩图6—2

薄壁圆筒的扭转（虎克定律）6—4

圆轴在扭转时的应力强度条件6—5

圆轴扭转时的变形

刚度条件扭转的受力特点：在杆件的两端作用两个大小相等、转向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。机器的传动轴、水轮发电机的主轴、石油钻机中的钻杆、桥梁及厂房等空间结构中的某些构件等，扭转是其主要变形之一。§6-1概述扭转受力简图扭转的变形特点：杆件的任意横截面都发生绕杆件轴线的相对转动。mm一，薄壁筒扭转的应力用截面法求任一横截面n—n上的内力mmlnn§6—2薄壁筒的扭转（虎克定律）mnnmmlnnMn横截面上的应力只能是剪应力。薄壁圆筒扭转时其任一横截面n-n上的内力为扭矩，记作Mn。mm预先在圆筒的表面画上等间距的纵向线和圆周线，从而形成一系列的正方格子。观察到的现象试验所有的圆周线都保持不变；所有的纵向线都倾斜了一个相同的角度。mm设想薄壁圆筒扭转后，横截面保持为形状，大小均无改变的平面，相邻两横截面绕圆筒轴线发生相对转动。横截面上各点处的剪应力的方向必与圆周相切。mmABCD圆筒两端截面之间相对转动的角位移，称为相对扭转角

，用

表示。圆筒表面上每个格子的直角的改变量，称为剪应变。用

表示。dxtABCD圆周各点处剪应力的方向于圆周相切，且数值相等。近似的认为沿壁厚方向各点处剪应力的数值无变化。mmABCD

CC1D1mnnxr推导公式由上述分析，就可得出薄壁筒扭转时，横截面上任一点处的剪应力

都是相等的，而其方向于圆周相切。r为薄壁圆筒平均半径mnnxrMn上式为薄壁筒扭转时横截面上剪应力的计算公式mnnxrMn薄壁筒扭转时横截面上的剪应力均匀分布，与半径垂直，指向与扭矩的转向一致。Mnxydydzabdzdxc(1)在单元体左，右面（杆的横截面）上只有剪应力，其方向于y轴平行。可知，两侧面的内力元素

dy

dz

大小相等，方向相反，将组成一个力偶。二，剪应力互等定理由平衡方程(

dy

dz)dx其矩为(2)要满足平衡方程xydydzabdzdxc在单元体的上，下两平面上必有大小相等，指向相反的一对内力元素它们组成的力偶，其矩为xydydzabdzdxc此力偶矩与前一力偶矩数量相等而转向相反，从而可得(

dy

dz)dxxydydzabdzdxc（6－2）剪应力互等定理：单元体两个相互垂直平面上的剪应力同时存在，且大小相等，都指相（或背离）该两平面的交线。xydydzabdzdxc纯剪切应力状态：单元体平面上只有剪应力而无正应力，则称该单元体为纯剪切应力状态。xydydzabdzdxc式中，r

为薄壁圆筒的外半徑mmABCDl三，剪切胡克定律由图所示的几何关系得到mmABCDl薄壁圆筒的扭转试验发现，当外力偶m在某一范围内时，φ与m（在数值上等于Mn

）成正比

Mno

o从Mn与

之间的线性关系，可推出

与

间的线性关系。该式称为材料的

剪切胡克定律（6－3）G

称为材料的

剪切弹性模量

。其常用单位是GPa。剪切胡克定律只有在剪应力不超过材料的剪切屈服

S极限时才适用。即材料在线弹性范围内工作。拉(压)，剪切弹性模量与泊松比的关系（6－4）理论和实验研究表明，对于各向同性材料，它们存在如下关系：dxdydzxyzabd四，等直圆杆扭转时的应变能1，纯剪切应力状态下的比能假设单元体左侧固定，因此变形后右侧将向下移动

dx。

dx因为变形很小，所以在变形过程中，认为上，下两面上的外力将不作功。只有右侧面的外力(

dydz)

对相应的位移

dx

作了功。dxdydzxyzabd

dx

当材料在线弹性范围内内工作时，上述力与位移成正比，因此，单元体上外力所作的功为

比能为dxdydzxyzabd

dx将

=G代如上式得思考题：指出下面图形的剪应变

2

剪应变为剪应变为0§6—3外力偶矩

扭矩和扭矩图从动轮主动轮从动轮nm2m1m31,传动轴的外力偶矩从动轮主动轮从动轮nm2m1m3一传动轴，转速为n转/min

，轴传递的功率由主动轮输入，然后由从动轮输出。若通过某一轮所传递的功率为Nk千瓦（KW)，则作用在该轮上的外力偶矩m可按以下方法求得。n——

轴的转速

(r/min)m——作用在轴上的力偶矩，(N.m)P——

轴传递的功率，(kW)（6－1）nnmm•xm•x在n—n截面处假想将轴截开取左侧为研究对象分析图示圆轴任一横截面n—n上的内力。仍用

截面法。11，扭矩和扭矩图nnmm•xm•xMn横截面上的内力应是一个力偶称为该横截面上扭矩m•x•Mn取右侧为研究对象其扭矩与取左侧为研究对象数值相同但转向相反。m•x•nnmm•xMnm•xMn右手螺旋法则：当力偶矩矢的指向背离截面时扭矩为正，反之为负。扭矩符号的规定++用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的扭矩，从而绘制出表示扭矩与截面位置关系的图线，称为扭矩图。

例题1m4ABCDm1m2m3n例题1：一传动轴如图所示，其转速n=300/min，主动轮输入的功率为有N1=500kW。若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从动轮输出的功率分别为N2=150kW、N3=150kW及N4=200kW。试做扭矩图。解:计算外力偶矩ABCDABCDm1m2m3nABCD22计算CA段内任横一截面

2-2截面上的扭矩。假设Mn2为正值。结果为负号，说明Mn2应是负值扭矩BCx由平衡方程(-)ABCD同理，在BC段内在AD段内1133注意：若假设扭矩为正值，则扭矩的实际符号与计算结果符号相同。(-)(+)+4.789.566.37从图可见，最大扭矩在CA段内。ABCD作出扭矩图§6—4等直圆轴扭转时的应力•强度条件预先在圆杆的表面画上等间距的纵向线和圆周线，从而形成一系列的正方格子。1.横截面上的应力

mm试验结果：

等直圆杆扭转变形后，两圆周线绕杆件的轴线相对旋转了一个角度，两圆周线的形状和大小均未改变;在变形微小的情况下，纵向线则倾斜了一个相同的角度

刚性平面假设：变形前轴的圆形横截面，在变形后仍保持为同样大小的圆形平面。且半径仍为直线。mmaabAMnMndxDb几何方面倾角是横截面圆周上任一点A处的剪应变,d是b—b截面相对于a—a截面象刚性平面一样绕杆轴转动的一个角度。经过半径O2D上任一

点G的纵向线EG也倾斜了一个角度

它也就是横截面半径上任一点E处的剪应变aabAMnMndxDbGE此时式说明：同一半径

圆周上各点剪应变

均相同，且其值与

成正比。aabAMnMndxDbGE物理方面由剪切胡克定律同一圆周上各点剪应力

均相同

，且其值与成正比，

垂直与半径。aabAMnMndxDbGE静力学方面整个横截面上的内力元素

的合力必等于零，并组成一个力偶这就是横截面上的扭矩Mn。roMndAdAroMndAdA（6－6）

只与圆轴的横截面尺寸有关，它表示截面的一种几何性质，称为横截面的极惯矩。roMndAdA上式为圆轴在扭转时横截面上任一点处的剪应力计算公式由（6－6）称为横截面对圆心的

极惯性矩式中：Mn

为横截面上的扭矩；

为求应力的点到圆心的距离：roMndAdA(1)横截面周边各点处，剪应力将达到最大值。圆心处的剪应力为零。剪应力与成正比。且垂直于半径。指向与Mn的转向一至。分布图如图所示。说明：roMndAdAWn

称作抗扭截面系数，单位为mm3

或m3。抗扭截面模量公式11，极惯性矩及抗扭截面模量极惯性矩公式do实心圆截面Ddo空心圆截面其中圆轴扭转时，杆内各点均处于纯剪切应力状态。其强度条件应该是横截面上的最大工作剪应力

max不超过材料的许用剪应力

[]。111，圆轴扭转时的强度条件一，强度条件圆轴扭转时的最大工作剪应力

max

发生在最大扭矩所在横截面（危险截面）的周边上的任一点处（危险点），

根据上述条件，可以解决三个方面的问题：（1）强度校核（2）截面设计

（3）确定许可荷载强度条件为例题2例题3例题4例题2：图示阶梯圆轴，AB段的直径d1=120mm

，BC段的直径d2=100mm。扭转力偶矩为mA

=22kN.m，

mB

=36kN.m

，mC

=14kN.m

。已知材料的许用剪应力[]

=80MPa，试校核该轴的强度。

ABCABC解：作轴的扭矩图+2214mA

=22kN。m，mB

=36kN。mmC

=14kN。m

因此，该轴满足强度要求。ABC+2214分别校核两段轴的强度例题3例题4例题3

：实心圆轴１和空心圆轴２（图a、b）材料、扭转力偶矩

m和长度l

均相等，最大剪应力也相等。若空心圆轴的内外径之比为

=0.8，试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴的重量比。（教材习题6－3）ll(a)(b)解：设实心圆截面直径为d1，空心圆截面的内、外径分别为d2、D2;又扭转力偶矩相等，则两轴的扭矩也相等，设为Mn

。ll(a)(b)已知：得ll(a)(b)因此解得ll(a)(b)两轴材料、长度均相等同，故两轴的重量比等于两轴的横截面积之比，在最大剪应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻，即节省材料。例题4例题4：图示空心圆轴外径D=100mm，内径d=80mm，m1=6KN.m，m2=4KN.m，材料的剪切弹性模量G=80GPa。(1)画轴的扭矩图(2)求轴的最大剪应力，并指出其位置m1m2ABCll(1)画轴的扭矩图m1m2ABCllBC段：1m2CMn1Mn1+m2=0(-)2m2Cm1BMn2Mn2+m2-m1=0Mn2=2KN.m

AB段：(+)4KN.m-+2KN.mMn1=-4KN.m最大扭矩发生在BC段Mnmax=4KN.m(2)求轴的最大剪应力，并指出其位置m1m2ABCll

max最大剪应力发生在截面的周边上，且垂直于半径。（1）圆轴扭转时的变形是用相对扭转角

来度量的§6—5圆轴扭转时的变形•刚度条件是计算等直圆杆相对扭转角的依据。1，扭转时的变形其中d

代表相距为dx

的两横截面间的相对扭转角。长为l的一段杆两端面间的相对扭转角

可按下式计算对于同一材料制成的等直圆轴（G

，Ip

为常量），当只在两端受一对外力偶作用时（Mn

为常量）

，从上式可得GIP

称作抗扭刚度（6－16）（2）单位长度扭转角（6－17）在扭转问题中，通常限制最大的单位长度扭转角

max

不超过许可扭转角[]

。[]

称作许可单位长度扭转角。11，刚度条件圆轴扭转时的刚度条件是例题5例题6例题7例题5：图示传动轴系钢制实心圆截面轴。

已知：m1=1592N•

m，m2=955N•m

，m3=637N•

m

截面A与截面B、C之间的距离分别为lAB=300mm

和lAC=500mm。轴的直径d=70mm，钢的剪变模量为G=80GPa。试求截面C对截面B的对扭转角BCA12BCA12BCA12

解法1

：假设A截面不动，先分别计算截面B、C

对截面A

的相对扭转角φAB

和φAC

。与转向同BCA12

BCA12

与转向同截面C对截面B的相对扭转角φBC

为转向与m3相同BCA12

ABC解法2

：设截面B固定不动，先分别计算m1、m3单独作用下截面C对截面B的相对扭转角φBC1和φBC2，然后叠加，即采用叠加法。m1单独作用下截面C

对截面B

的相对扭转角φBC1ABCm3转向与m3同m3

单独作用下截面C对截面B

的相对扭转角φBC2，C

截面对截面B的相对扭转角ABClABlAC解法3

：设截面B

固定不动m3CmACmAC

=-m3m2Am3mABmAB

=m2ABClABlACm3CmACm2Am3mAB转向与m3同例题6

：某汽车的主传动轴是用40号钢的电焊钢管制成，钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5mm，轴传递的转矩m=1.98KNm,材料的许用剪应力

[]=100MPa，剪变模量为G=80GPa，轴的