2024-2025学年广东广州天河区高一下学期期末联考数学试题含答案

高中2024学年第二学期天河区期末考试高一数学本试卷19小题，满分为150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数虚部是A.1 B.-1 C.i D.-i2.如果向量，是两个单位向量，那么下列四个结论正确的是（）A. B. C. D.3.某企业三个分厂生产同一种电子产品共2000件，用分层随机抽样方法从三个分厂共抽取100件此产品做使用寿命的测试，其中来自第二分厂20件，来自第三分厂30件，则第一分厂生产的电子产品件数为（）A.400件 B.600件 C.1000件 D.1200件4甲、乙两个元件互相不影响，且构成一个并联电路，设事件“甲元件故障”，事件“乙元件故障”，且，，则（）A. B. C. D.5.若平面向量两两夹角相等，且，则（）A.2 B.8 C.或 D.2或86.在中，，，，现以所在直线为轴，其余两边旋转一周形成曲面围成的几何体，则这个几何体的表面积为（）A. B. C. D.7.如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为（，，），则（）A.B.C.盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点D.盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒8.某同学掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据统计结果，得到数据的平均数为2，方差为2.4，下列说法错误的是（）A.出现点数5 B.出现点数6 C.出现点数1 D.出现点数2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合是目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.已知为虚数单位，下列说法正确的是（）A若复数，则B.若复数，，则复数在复平面内对应的点在第一象限C.是复数（a，）为虚数的充分不必要条件D.若复数是关于x的实系数方程的一个根，则10.下列论述正确的是（）A.若事件，则B.必然事件与任意事件相互独立C.若事件M，N互斥，且，，则D.若事件M，N相互独立，且，，则事件M，N不互斥11.如图，正三棱台的上、下底面边长分别是3和6，侧棱长是，则（）A.平面B.直线与底面所成的角为60°C.正三棱台的外接球体积为D.若点P为底面ABC的动点，且，则P的轨迹长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.一组数据如下：10，12，15，11，15，20，17，18，13，21，则该组数据的第80百分位数是__________.13.设，在复平面内，复数z所对应的点为Z，那么满足条件点Z的集合构成图形的面积为__________.14.已知是钝角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则的周长的取值范围为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在长方体中，，.（1）求证：直线平面；（2）求点到平面的距离.16.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且.（1）求角A；（2）若的面积为，，且，求.17.一个袋子中有m个红球，n个白球，球的大小和质地相同.（1）若，；采取不放回的方式从中依次随机地取出2个球，求第二次取到白球的概率；（2）若，采取不放回方式从中依次随机地取出2个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是，求n；（3）若，采取有放回的方式从中依次随机地取出2个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是，求的最大值.18.从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在25～325kW·h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.（1）求x的值；（2）若新增加5户居民用户的月用电量，数据分别为74，112，174，221，119（kW·h）；（i）估计105户居民用户月用电量落在中的可能性；（ii）将原来的100户与新增的5户分成两组，估计105户居民用户月用电量的平均值.19.在棱长均为2的正三棱柱中，为棱的中点，F为棱的动点，连接、、.（1）证明：；（2）线段上是否存在点，使得二面角的正切值为，若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由；（3）平面与棱交于点，设四边形的面积为，面积为，面积为，求的取值范围.

2024学年第二学期天河区期末考试高一数学本试卷19小题，满分为150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部是A.1 B.-1 C.i D.-i【答案】A【解析】【详解】试题分析：由题；，则它的虚部为：．考点：复数的运算及其概念.2.如果向量，是两个单位向量，那么下列四个结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】借助向量定义及数量积定义进行判断即可得.【详解】对A：向量不等于数字，故A错误；对B：向量，方向不一定相同，故B错误；对C：，，故C正确；对D：，两向量夹角未知，故D错误.故选：C.3.某企业三个分厂生产同一种电子产品共2000件，用分层随机抽样方法从三个分厂共抽取100件此产品做使用寿命的测试，其中来自第二分厂20件，来自第三分厂30件，则第一分厂生产的电子产品件数为（）A.400件 B.600件 C.1000件 D.1200件【答案】C【解析】【分析】借助分层随机抽样的定义计算即可得.【详解】设第一分厂生产的电子产品件数为件，则有，故，即第一分厂生产的电子产品件数为件.故选：C.4.甲、乙两个元件互相不影响，且构成一个并联电路，设事件“甲元件故障”，事件“乙元件故障”，且，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由独立事件乘法公式得到，进而利用求出答案.【详解】甲、乙两个元件互相不影响，故事件相互独立，，.故选：A5.若平面向量两两的夹角相等，且，则（）A.2 B.8 C.或 D.2或8【答案】D【解析】【分析】根据题意，三向量两两夹角为0或，当夹角为0时，直接求模，当夹角为时，利用向量求模公式即可求解．【详解】若平面向量，，两两的夹角相等，则夹角为0或，若夹角为0，因为则，若夹角为，，则．故选：D．6.在中，，，，现以所在直线为轴，其余两边旋转一周形成曲面围成的几何体，则这个几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】旋转形成的几何体为两个共同底面的圆锥，求出底面半径，结合圆锥侧面积公式计算即可得.【详解】设边上的高为，，，则，则旋转形成的几何体为两个共同底面的圆锥，底面半径为，母线长分别为和，则这个几何体的表面积.故选：A.7.如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为（，，），则（）A.B.C.盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点D.盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，求出判断AB；求出点的位置判断C；解不等式判断D.【详解】点到水面的距离与时间之间的关系为，对于A，依题意，，则，A错误；对于B，由时，得，即，而，则，B错误；对于C，，令，得，解得，则，解得，即盛水筒出水后至少经过秒可到达最低点，C错误；对于D，由，得，即，则，解得，所以盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒，D正确.故选：D8.某同学掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据统计结果，得到数据的平均数为2，方差为2.4，下列说法错误的是（）A.出现点数5 B.出现点数6 C.出现点数1 D.出现点数2【答案】B【解析】【分析】利用方差公式直接计算即可得解.【详解】由，故不可能出现点数6，由、，，故点数5、1、2都可能出现.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合是目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.已知为虚数单位，下列说法正确的是（）A.若复数，则B.若复数，，则复数在复平面内对应的点在第一象限C.是复数（a，）为虚数的充分不必要条件D.若复数是关于x的实系数方程的一个根，则【答案】ABD【解析】【分析】求出复数的模判断A；求出复数对应的点判断B；利用充分不必要条件的定义，结合虚数的意义判断C；利用韦达定理求解判断D.【详解】对于A，，则，A正确；对于B，在平面内对应的点在第一象限，B正确；对于C，是复数（a，）为虚数的充要条件，C正确；对于D，复数是关于x的实系数方程的一个根，则该方程另一根为，则，解得，因此，D正确.故选：ABD10.下列论述正确的是（）A.若事件，则B.必然事件与任意事件相互独立C.若事件M，N互斥，且，，则D.若事件M，N相互独立，且，，则事件M，N不互斥【答案】BCD【解析】【分析】利用概率的性质判断A；利用相互独立事件的意义判断B；利用事件的运算及概率运算判断C；利用相互独立事件的意义、互斥事件的意义判断D.【详解】对于A，由事件，得，当且仅当取等号，A错误；对于B，对任意事件，，，B正确；对于C，由事件M，N互斥，得，，C正确；对于D，由事件M，N相互独立，，，因此M，N不互斥，D正确.故选：BCD11.如图，正三棱台的上、下底面边长分别是3和6，侧棱长是，则（）A.平面B.直线与底面所成的角为60°C.正三棱台的外接球体积为D.若点P为底面ABC的动点，且，则P的轨迹长度为【答案】BCD【解析】【分析】根据正三棱台的性质，利用边长，侧棱长等条件，通过相关几何关系进行判断和计算.详解】设三棱台上下底面中心分别为,.连接,,,,上下底面均为正三角形，则,.已知侧棱长,由正三棱台性质可知，上下底面.直角梯形中，.选项A，假设平面，而平面，则平面平面，与正三棱台的两个侧面不垂直矛盾，因此不垂直于平面，选项A错误；选项B，直线与底面的角为与投影的夹角θ，根据前面计算可知,,,,在中，，所以，选项B对；选项C，设正三棱台的外接球的球心为M，半径为R.设，则.由,，.在直角梯形中，则，，即，所以外接球体积,选项C对；选项D，因为,,.交线圆半径，圆心为在底面的投影（）.底面为正三角形，交线圆与边、相交，形成圆心角为的弧，弧长，选项D对.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.一组数据如下：10，12，15，11，15，20，17，18，13，21，则该组数据的第80百分位数是__________.【答案】19【解析】【分析】根据给定条件，利用第80百分位数的意义求得答案.【详解】样本数据由小到大排列为：10，11，12，13，15，15，17，18，20，21，由，得该组数据的第80百分位数是.故答案为：1913.设，在复平面内，复数z所对应的点为Z，那么满足条件点Z的集合构成图形的面积为__________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义确定图形，进而求出面积.【详解】由，则在复平面内点Z构成的图形是以原点为圆心，分别以1和为半径的两个圆构成的圆环，所以所求面积为.故答案为：14.已知是钝角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则的周长的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】分为钝角，为钝角两种情况，结合余弦定理和三角形三边关系得到不等式，求出的取值范围，进而求出周长的取值范围.【详解】显然，所以，因为为钝角三角形，故为钝角，或为钝角，当为钝角时，，故，解得，又，故，故，故，此时的周长取值范围是，即，当为钝角时，，故，故，又，故，此时的周长取值范围是，综上，的周长取值范围是，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在长方体中，，.（1）求证：直线平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定推理得证.（2）利用等体积法求出点到平面的距离.【小问1详解】在长方体中，，则四边形是平行四边形，，而平面，平面,所以直线平面.【小问2详解】在长方体中，由，得，，等腰的面积，，设点到平面的距离为，由，得，即，解得，所以点到平面的距离为.16.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且.（1）求角A；（2）若的面积为，，且，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用向量共线的坐标表示及正弦定理边化角求解.（2）利用三角形面积公式、余弦定理及数量积的运算律求解.【小问1详解】由及，，得，在中，由正弦定理得，而，即，解得，即，又，所以.【小问2详解】由的面积为，得，解得，由余弦定理得，解得，由，得，则，所以.17.一个袋子中有m个红球，n个白球，球的大小和质地相同.（1）若，；采取不放回的方式从中依次随机地取出2个球，求第二次取到白球的概率；（2）若，采取不放回的方式从中依次随机地取出2个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是，求n；（3）若，采取有放回的方式从中依次随机地取出2个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是，求的最大值.【答案】（1）；（2）或；（3）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用列举法求出古典概率.（2）按取红球、白球的先后次序求出概率，再结合已知列式求解.（3）利用有放回抽取的概率求出的表达式，再求出最大值.【小问1详解】记2个红球为，3个白球为，依次取出2个球的样本空间，，共20个，第二次取到白球的事件，共6个，所以第二次取到白球的概率.【小问2详解】从个球中依次取2个球的试验有个基本事件，先取红球再取白球事件有个基本事件；先取白球再取红球的事件有个基本事件，因此，整理得，解得或，所以或.【小问3详解】有放回取球两次，每次取到红球的概率为，取到白球的概率为，先取白球再取红球的概率为；先红取球再取白球的概率为，因此，当且仅当时取等号，所以的最大值为.18.从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在25～325kW·h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.（1）求x的值；（2）若新增加5户居民用户的月用电量，数据分别为74，112，174，221，119（kW·h）；（i）估计105户居民用户月用电量落在中的可能性；（ii）将原来的100户与新增的5户分成两组，估计105户居民用户月用电量的平均值.【答案】（1）（2）（i）；（ii）kW·h【解