西昌学院机械基础课件07弯曲变形（二）

弯曲变形(2)第七章§7—6

用叠加法求弯曲变形

梁的刚度条件*

§7—9

梁的刚度校核

提高梁刚度的措施*§7—8

简单超静定梁的解法*§7—5

用积分法求弯曲变形§7—4

梁的变形内容提要§

7—7

组合变形和叠加原理作业一，基本概念取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为x轴，横截面的铅垂对称轴为y轴，

xy平面为纵向对称平面

§7--4

梁的变形BxyACyABx

挠度（

y）:横截面形心C(即轴线上的点)在垂直于x轴方向的线位移，称为该截面的挠度。y挠度度量梁变形后横截面位移的两个基本量C'CyABxC'y挠度转角（

）：横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的

转角。转角

挠曲线：梁变形后的轴线称为挠曲线。挠曲线方程为式中，x为梁变形前轴线上任一点的横坐标，y为该点的挠度。CyABxC'y挠度转角

挠曲线挠度与转角的关系：CyABxC'y挠度转角

挠曲线挠度和转角符号的规定挠度：向上为正，向下为负。转角：自x

转至切线方向，逆时针转为正，顺时针转为负。CyABxC'y挠度转角

挠曲线选学二、挠曲线近似微分方程

横力弯曲时,M和都是x

的函数

。略去剪力对梁的位移的影响,则推导公式纯弯曲时曲率与弯矩的关系为由几何关系知,平面曲线的曲率可写作MMoxyMMM>0M<0在规定的坐标系中,x轴水平向右为正,y轴竖直向上为正。曲线向上凸时:y“<0,M<0曲线向下凸时：y“>0,M>0ox因此,M与y‘’的正负号相同此式称为

梁的挠曲线近似微分方程近似原因:(1)略去了剪力的影响;(2)略去了

y‘2

项。与1相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为再积分一次,得挠度方程上式积分一次得转角方程若为等截面直梁,其抗弯刚度EI

为一常量上式可改写成选学请选择*

§7—5

用积分法求弯曲变形挠度方程：转角方程：式中：积分常数C1

、C2

可通过梁挠曲线的边界条件和变形连续性条件来确定。ABAB在简支梁中，左右两铰支座处的挠度yA

和yB

都应等于零。在悬臂梁中，固定端处的挠度yＡ和转角

A都应等于零。边界条件yA=0yB

=0yA=0

A=0连续性条件ABAB

在挠曲线的任一点上，有唯一的挠度和转角。例题1例题2例题3请选择

例题1：图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁,在自由端受一

集中力P作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度fmax

和最大转角

max.ABxyPABxyP弯矩方程为解：挠曲线的近似微分方程为x对挠曲线近似微分方程进行积分ABxyPx边界条件为:C1=0C2=0将边界条件代入(3)(4)两式中,可得ABxyPxC1=0C2=0ABxyPx梁的转角方程和挠曲线方程分别为ABxyPxABxyP

max及fmax都发生在自由端截面处（）（）例题2例题3请选择例题2：图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度fmax

和最大转角

max.ABq解:由对称性可知，梁的两个支反力为ABq梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为xABq

(c)(d)边界条件为:ABq

将边界条件代入(c),(d)两式得

梁的转角方程和挠度方程分别为ABq

A在x=0

和x=l

处转角的绝对值相等且都是最大值，在梁跨中点l/2

处有最大挠度值ABq例题3请选择例题3

：图示一抗弯刚度为EI

的简支梁,在D点处受一集中力P

的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并求其最大挠度和最大转角。ABPDabABPDab解:梁的两个支反力为12两段梁的弯矩方程分别为xxABPDab12两段梁的挠曲线方程分别为12挠曲线方程转角方程挠度方程(0

x

a)(a

x

)D点的连续条件：在x=a处边界条件在处，在X=0处，ABPDab12代入方程可解得:两段梁的挠曲线方程分别为12挠曲线方程转角方程挠度方程(0

x

a)(a

x

)12将x=0和x=l

分别代入转角方程左右两支座处截面的转角当a>b时,右支座处截面的转角绝对值为最大简支梁的最大挠度应在处先研究第一段梁，令得当a>b时，x1<a最大挠度确实在第一段梁中梁中点C

处的挠度为结论:在简支梁中,不论它受什么荷载作用,只要挠曲线上无拐点,其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替,其精确度是能满足工程要求的.对各段梁，都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上的外力来写弯矩方程的。所以后一段梁的弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程。只增加了（x-a）的项。对（x-a）的项作积分时，应该将（x-a）项作为积分变量。从而简化了确定积分常数的工作。积分法的原则

§7-6叠加法求梁变形

梁的刚度条件叠加原理：梁的变形微小，且梁在线弹性范围内工作时，梁在几项荷载（可以是集中力,集中力偶或分布力）同时作用下的挠度和转角，就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。当每一项荷载所引起的挠度为同一方向（如均沿y轴方向),其转角是在同一平面内(如均在xy

平面内)时,则叠加就是代数和。这就是叠加原理。一，叠加法求梁变形例题7例题6例题5例题4请选择例题4：一抗弯刚度为EI的简支梁受荷载如图a所示。试按叠加原理求梁跨中点的挠度fC

和支座处横截面的转角

A,B

。ABmC(a)q解：将梁上荷载分为两项简单的荷载，如图。b,c所示ABmC(a)qAC(b)Bqm(C)ABC()()ABmC(a)qAC(b)Bqm(C)ABC例题5:试利用叠加法，求图a所示抗弯刚度为EI的简支梁跨中点的挠度fC

和两端截面的转角

A,B

。ABCq解：图a可视为正对称荷载（图b）与反对称荷载（图c）两种情况的叠加。ABCqCABCAB（1）正对称荷载作用下CAB（2）反对称荷载作用下可将AC段和BC段分别视为受均布线荷载作用且长度为l

/2的简支梁在跨中C截面处，挠度fc

等于零，但转角不等于零且该截面的弯矩也等于零CABCABCAB将相应的位移进行叠加,即得（）（）例题6：一抗弯刚度为EI的外伸梁受荷载如图a所示,

试按叠加原理并利用附表,求截面B的转角

B

以及A端和BC中点D的挠度fA

和fD

。

ABCDaa2a2qq解：将外伸梁沿B截面截成两段，将AB

段看成B

截面固定的悬臂梁，BC

段看成简支梁。ABCDaa2a2qq2qABB

截面两侧的相互作用力为：2qa2qa2qaBCDqABCDaa2a2qq就是外伸梁AC的

B，fD2qaBCDq简支梁BC

的受力情况与外伸梁AC的BC

段的受力情况相同由简支梁BC求得的

B，fDABCDaa2a2qq2qaBCDq简支梁BC

的变形就是MB和均布荷载q分别引起变形的叠加。(1)求

B，fDqBCDBCD2qaBCDqqBCDBCD由叠加原理得2qaBCDqqBCDBCD2qAB(2)求fA由于简支梁上B截面的转动，代动AB段一起作刚体运动，使A端产生挠度f1

悬臂梁AB本身的弯曲变形，使A端产生挠度f22qa2qaABCDqABCDq因此，A端的总挠度应为由附录1V查得2qAB2qa2qaABCDqABCDq例7：用叠加法求梁中点处的挠度ACBedlqACBedlq解：将均布荷载看作许多微集中力dP

组成ACBedlq将均布荷载分作DC与CF两段DF先计算CF段荷载使梁中点产生的挠度bdbACBedlqdP=qdbDFbdbACBedlqdP=qdbbdbACBedlqdP=qdbC截面左侧荷载使梁中点产生的挠度bdbACBedlqdP=qdb梁中点的挠度梁的刚度条件可表示为二、梁的刚度条件按强度要求设计梁时，主要是依据梁的正应力强度条件（1）合理配置梁的荷载和支座可以降低梁的最大弯矩值合理地配置梁的荷载三、梁的合理设计(提高梁承载能力的措施)+PPP/2P/2合理地设置支座位置受均布荷载的简支梁lq当两端支座分别向跨中移动

a=0.207l

时aalq（2）合理选择截面形状当弯矩已定时，横截面形状，应使抗弯截面系数与面积之比尽可能地大。即Wz/A

较大，则截面的形状就较为经济合理。一般要使截面面积分布在距中性轴较远的地方。。对于塑性材料制成的梁，选以中性轴为对称轴的横截面如：工字形，矩形，圆形，圆环形等截面。但圆环形比圆形，工字形比矩形，矩形竖放比平放更合理。对于脆性材料制成的梁，宜采用T字形等对中性轴不对称的截面且将翼缘置于受拉侧。z要使接近下列关系：最大拉应力和最大压应力同时接近许用应力z（3）合理设计梁的外形梁各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的许用应力，则称为

等强度梁

。例如例如，宽度b

保持不变而高度可变化的矩形截面简支梁，若设计成等强度梁，则其高度随截面位置的变化规律h(x)

，可按正应力强度条件求得。Pbh(x)梁任一横截面上最大正应力为Pbh(x)求得Pbh(x)但靠近支座处，应按剪应力强度条件确定截面的最小高度求得Pbh(x)按上

确定的梁的外形，就是厂房建筑中常用的鱼腹梁。P

一、组合变形概念:构件在荷载作用下发生两种或两种

以上的基本变形,则构件的变形称为组合变形。二、解决组合变形问题的基本方法:叠加法§7—7组合变形和叠加原理叠加原理的成立要求：内力，应力，应变，变形等与外力之间成线性关系。三、工程实例:

处理组合变形的基本方法一，将组合变形分解为基本变形——将外力简化或分解，使之每个力(或力偶)对应一种基本变形；

三，利用叠加原理将基本变形下的应力和变形叠加二，分别计算在每一种基本变形下构件的的应力和变形；=++=+LaABCP

扭转与弯曲的组合研究对象：圆截面杆受力特点：杆件同时承受转矩和横向力作用。变形特点：发生扭转和弯曲两种基本变形。ABLaP一、内力分析

设一直径为

d

的等直圆杆AB,

B端具有与AB成直角的刚臂。研究AB杆的内力。BAABLaPB横向力：P（引起平面弯曲）力偶矩：m=Pa（引起扭转）将力P

向

AB杆右端截面的形心B简化得AB杆为弯扭组合变形APmx画内力图确定危险截面固定端为危险截面AAPmPlmA截面

C3C4T

C3C4

C2C1二、应力分析危险点为C1

和C2

最大扭转剪应力

发生在截面周边上的各点处。

C2C1危险截面上的最大弯曲正应力

发生在C1

、C2

处C1C2C3C4TA截面

C3C4

C2C1C1C2C3C4T对于许用拉、压应力相等的塑性材料制成的杆这两点的危险程度是相同的。可取任一点C1

来研究。C1点处于平面应力状态C1

三、强度分析1、主应力计算C1

第三强度理论,计算相当力2、相当应力计算

第四强度理论,计算相当应力3、强度计算

C1

讨论例题8选学9选学8

作业1该公式适用于图示的平面应力状态。

是危险点的正应力

是危险点的剪应力，且横截面不限于圆形截面。C1

讨论

可以是弯扭组合变形中由弯曲产生的正应力；

是由扭转变形引起的剪应力。C1

还可以是弯曲，拉（压）与扭转组合变形中由弯曲与拉（压）产生的正应力。

也可以是拉（压）与扭转组合变形中由拉（压）产生的正应力；C1

该公式适用于弯，扭

组合变形；拉（压）与扭转

的组合变形；以及拉（压），扭转与弯曲

的组合变形。弯、扭组合变形时，相应的相当应力表达式可改写为对于圆形截面杆有2上两式只适用于

弯，扭组合变形下的圆截面杆。式中W为杆的抗弯截面系数。M，T分别为危险截面的弯矩和扭矩。例题8

：图示一钢制实心圆轴，轴上的齿轮C上作用有铅垂切向力5KN,径向力1.82KN;齿轮D上作用有水平切向力10KN,径向力3.64

KN

。齿轮C的节圆直径dc=400mm,齿轮D的节圆直径dD=200mm。设许用应力

=100MPa

,试按第四强度理论求轴的直径。BACDyz5KN10KN300mm300mm100mmx1.82KN3.64KN解：1、外力的简化xyzACBD5KN1KN.m1.82KN3.64kN10kN1KN.m将每个齿轮上的外力向该轴的截面形心简化，BACDyz5KN10KN300mm300mm100mmx1.82KN3.64KN1KN.m

使轴产生扭转5KN

，3.64KN

使轴在

xz

纵对称面内产生弯曲。

1.82KN

，10KN使轴在

xy

纵对称面内产生弯曲。

2、轴的变形分析xyzACBD5KN3.64kN1.82KN10kN1KN.m1KN.mxyzACBD5KN3.64kN3、绘制轴的内力图MyC=0.57KN.mMyB=0.36KN.m0.570.36CBMy图xyzACBD1.82KN10kN0.2271CBMz图MZC=0.227KN.mMZB=1KN.mxyzACBDT=1KN.m1KN.m1KN.m1CT图-圆杆发生的是斜弯曲与扭转的组合变形xyzACBD5KN3.64kN0.570.36CBMy图1.82KN10kN0.2271CBMz图由于通过圆轴轴线的任一平面都是纵向对称平面，故轴在xz

和xy

两平面内弯曲的合成结果仍为平面弯曲，从而可用总弯矩来计算该截面正应力。xyzACBD5KN3.64kN0.570.36CBMy图1.82KN10kN0.2271CBMz图B截面是危险截面MyC=0.57KN.mMZC=0.227KN.mMyB=0.36KN.mMZB=1KN.m4、危险截面上的内力计算xyzACBD5KN3.64kN0.570.36CBMy图1.82KN10kN0.2271CBMz图xzyyzxyzACBD5KN3.64kN0.570.36CBMy图1.82KN10kN0.2271CBMz图B截面的总弯矩为yzxyzACBD5KN3.64kN0.570.36CBMy图1.82KN10kN0.2271CBMz图B截面的扭矩值为xyzACBD5KN3.64kN0.570.36CBMy图1.82KN10kN0.2271CBMz图

1CT图5，由强度条件求轴的直径轴需要的直径为请选择选学9一.基本概念PABABCP超静定梁

*§7-8简单超静定梁的解法单凭静力平衡方程不能求出全部支反力的梁,称为超静定梁“多余”约束多于维持其静力平衡所必需的