向量的减法运算、加法运算 讲义 解析版

向量的减法运算、加法运算【知识梳理】知识点一向量加法的定义及其运算法则1.向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.2.向量求和的法则向量求和的法则三角形法则已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，则向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a平行四边形法则以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线eq\o(OC,\s\up6(→))就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则知识点二向量加法的运算律交换律a＋b＝b＋a结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)技巧：向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系区别联系三角形法则(1)首尾相接(2)适用于任何向量求和三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半知识点三：相反向量1.定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.2.性质(1)零向量的相反向量仍是零向量.(2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.(3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.知识点四：向量的减法1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.2.几何意义：在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则向量a－b＝eq\o(BA,\s\up6(→))，如图所示.3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.【题型归纳】题型一：向量加法法则1．（23-24高一下·重庆涪陵）如图，在平行四边形中，（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定图形，利用向量加法的平行四边形法则计算即得.【详解】依题意，，所以.故选：A2．（23-24高一下·河北张家口）已知四边形ABCD为正方形，则下列等式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用向量加法的几何运算逐一判断.【详解】对于A：，A错误；对于B：，B错误；对于C：，C错误；对于D：，D正确；故选：D.3．（2024高一下·全国）已知四边形为菱形，则下列等式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据菱形的性质，结合平面向量加法的运算性质进行判断即可.【详解】对于A，，故A错误；对于B，因为，所以，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，因为，所以，故D错误.故选：C题型二：向量加法的运算律4．（2024高一下·全国·专题练习）下列等式不正确的是(

)①；②；③.A．②③ B．② C．① D．③【答案】B【分析】根据向量加法的运算律判断即可.【详解】对于①，，正确；对于②，，错误；对于③，，正确.故选：B5．（21-22高一下·广东梅州·期中）等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平面向量加法的运算律计算可得；【详解】解：故选：B6．（21-22高一·江苏·课后作业）已知是非零向量，则，，，，中，与向量相等的向量的个数为（）A．5 B．4C．3 D．2【答案】A【分析】根据向量的加法运算律判断【详解】因为向量的加法满足交换律和结合律，所以，，，，都等于，故选：A题型三：向量加法法则的几何应用7．（22-23高一下·辽宁抚顺·期中）在中，D是BC的中点，E是AD的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接利用向量的线性运算求出结果【详解】在中，D是BC的中点，E是AD的中点，则．故选：C.8．（23-24高一下·贵州遵义·期末）如图，向量，，，则向量可以表示为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用图形结合向量线性运算即可.【详解】.故选：A.9．（22-23高一下·山西阳泉·期末）菱形中，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据菱形的几何性质结合向量的线性运算求解.【详解】因为菱形中，，若，所以为等边三角形，且，因为，所以.故选：B.题型四：相反向量10．（21-22高二下·浙江嘉兴·期中）下列说法中，错误的是（

）A．等长且方向相反的两个向量是相反向量 B．方向相反的向量是相反向量C．零向量的相反向量是零向量 D．互为相反向量的两个向量是共线向量【答案】B【分析】利用相反向量的定义判断选项AB；利用零向量的性质判断选项C；利用共线向量的定义判断选项D.【详解】解：相反向量是指大小相等，方向相反的向量，故A正确，B错误；零向量的相反向量是零向量，故C正确；共线向量是指方向相同或相反的向量，互为相反向量的两个向量方向相反，故D正确，故选：B．11．（20-21高一下·安徽滁州·期中）如图，在四边形中，与交于点，若，则下面互为相反向量的是（

）A．与 B．与 C．与 D．与【答案】B【分析】首先根据题意得到四边形是平行四边形，从而得到与为相反向量.【详解】因为，所以四边形是平行四边形，所以，互相平分，所以，即与为相反向量.故选：B12．（20-21高一下·安徽安庆·期末）设点分别是的三边的中点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的线性运算和中点的向量表示进行计算，即得结果.【详解】由已知可得，故选：A.题型五：向量减法法则13．（23-24高一下·四川成都·期末）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平面向量减法运算化简.【详解】根据平面向量减法运算可得.故选：A14．（23-24高一下·天津滨海新·阶段练习）下列四式不能化简为的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由向量的加法与减法原则求解即可.【详解】，，，.故选：A.15．（2023高三·全国·专题练习）下列各式化简结果正确的是（）A．＋＝B．＋＋＋＝C．＋－＝0D．－－＝【答案】B【分析】根据向量的加减法运算法则求解.【详解】对A，＋，A错误；对B，＋＋＋＝＋＋＝＋＝,B正确；对C，＋－＝，C错误；对D，－－＝－＝,D错误；故选:B.题型六：向量减法的运算律16．（22-23高一下·天津和平）下列各式中不能化简为的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.【详解】对于A：，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：，故C正确；对于D：，故D正确；故选：B17．（20-21高一·全国·课后作业）化简（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平面向量加减法的运算法则和运算律即可得到答案.【详解】故选：D.18．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）下列各式中不能化简为的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案.【详解】A：，不符合题意；B：因为，，若，即，可得，即点与点重合，显然这不一定成立，所以与不一定相等，符合题意；C：，不符合题意；D：，不符合题意；故选：B题型七：向量减法法则的几何应用19．（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）如图，在中，，E是的中点．设，．则正确的是（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】利用平面向量的线性运算逐个选项分析求解即可.【详解】对于A，利用三角形定则可得，故A错误，对于B，因为，故B错误，对于C，因为E是的中点，所以，故C错误对于D，因为，所以，故D正确.故选：D20．（2023·宁夏石嘴山·二模）如图，已知中，是边上一点，若，，则（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平面向量加减法运算求解即可.【详解】连接，如图所示：

因为，所以，所以，所以.故选：B21．（21-22高一下·新疆阿克苏·期中）如图，在平行四边形中，下列计算不正确的是（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】利用向量加法、减法法则可判断各选项.【详解】根据向量加法的平行四边形法则知，故A正确；，故B错误；，故C正确；，故D正确．故选：B．题型八：向量加减法的综合问题22．（23-24高一下·全国）化简下列各式：(1)；(2)．(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）（2）（3）由向量的加减法运算即可得答案.【详解】（1）．（2）.（3）.23．（2023高一·全国·专题练习）化简：(1)；(2)；(3)．(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)；(3)(4)(5)(6)【分析】由向量的三角形法则求解即可.【详解】（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.24．（22-23高一下·河南南阳·阶段练习）如图所示，在平行四边形中，，分别为边和的中点，为与的交点．(1)若，则四边形是什么特殊的平行四边形？说明理由．(2)化简，并在图中作出表示该化简结果的向量．【答案】(1)菱形，理由见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据平面向量加法的运算法则，结合菱形的定义进行求解判断即可；（2）根据三角形中位线定理，结合平面向量运算法则进行求解即可.【详解】（1）由条件知，即，又四边形是平行四边形，故四边形是菱形．（2）由平行四边形及三角形中位线的性质可知．所以．作出向量如图所示．【高分演练】一、单选题25．（24-25高一下·上海·单元测试）若是的负向量，则下列说法中错误的是（

）A．与的长度必相等； B．；C．与一定不相等； D．是的负向量．【答案】C【分析】由相反向量的定义，模长相等，方向相反，即可依次判断．【详解】A．与为相反向量，模长相等，方向相反，长度必相等，正确，不符合题意；B．与为相反向量，模长相等，方向相反，故，正确，不符合题意；C．当时，，此时，选项错误，符合题意；D．若是的负向量，故是的负向量，正确，不符合题意；故选：C．26．（23-24高一下·河南郑州·期末）在中，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用向量加法的平行四边形法则求解即得.【详解】在中，，则.故选：C27．（23-24高一下·甘肃定西·阶段练习）在正六边形中，若，则（

）A． B．2 C． D．4【答案】A【分析】利用向量的线性运算即可求解.【详解】设正六边形的中心为，所以，又因为，，所以.故选：A28．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，D，E为边BC上的三等分点，且则下列各式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据三等分点得出向量相等结合向量的方向即可判断选项.【详解】D，E为边上的三等分点，所以，所以D选项正确；若，则不成立，C选项错误；方向不同不能相等，A选项错误；方向相反不能相等，B选项错误.故选：D.29．（23-24高一下·北京东城·阶段练习）在中，，则是（

）A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】根据向量的线性运算，结合模的定义及等边三角形的定义即可判断.【详解】，，则，是等边三角形.故选：A30．（23-24高一下·河南三门峡·期末）现有以下向量运算式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．其中化简结果为的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用向量加法、减法法则逐个计算即可.【详解】，（1）是；，（2）不是；，（3）是；，（4）不是；，（5）是，所以化简结果为的个数为3.故选：C31．（22-23高一下·海南·期中）如图，在等腰梯形中，，，点为线段的中点，点是线段上的一点，且，则（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.【详解】由题意，点为的中点，点是线段上的一点，且，则，因为，且，则有.故选：D.32．（22-23高一下·山东青岛·期末）中，点为上的点，且，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，准确化简，即可求解.【详解】如图所示，因为，由向量的线性运算法则,可得因为，所以，所以.故选：D.二、多选题33．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，对角线与交于点，下列计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据向量的加法法则可逐一判断．【详解】对于A，由平面向量加法的平行四边形法则得，A正确；对于B项，，B错误；对于C项，，C正确；对于D项，，D正确．故选：ACD34．（22-23高一下·广东佛山·阶段练习）若平行四边形的对角线与相交于点O，则下列结论正确的是（

）．A． B．C． D．【答案】BCD【分析】作出图形，根据平行四边形的性质和平面向量的线性运算即可求解.【详解】作出图形，如图所示：因为四边形为平行四边形，所以，故选项A错误；因为四边形为平行四边形，所以为的中点，则，故选项B正确；因为四边形为平行四边形，所以，故选项C正确；因为四边形为平行四边形，所以，故选项D正确；故选：BCD.35．（23-24高一下·陕西西安·期中）关于平面向量，，下列命题中正确的有（

）A．若，则存在，使得B．若非零向量，满足，则C．D．【答案】ABC【分析】根据平面向量的知识逐一判断即可.【详解】对于，由平面共线向量定理可知,正确;设，则,对于,因为非零向量满足,即，所以四边形为矩形，，故B正确;对于，因为在三角形中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,故,故正确，错误.故选:.36．（22-23高一下·江苏扬州·期末）如图，在平行四边形中，分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（

）.

A． B．C． D．【答案】AC【分析】结合图形，用向量共线的知识和三等分点的性质即可判断选项A；用向量的加法法则和向量的性质即可判断选项B和选项C；用向量的加法法则和减法法则即可判断选项D.【详解】对选项A：，正确；对选项B：，错误；对选项C：，正确；对选项D：，错误.故选：AC三、填空题37．（23-24高一下·上海·期末）向量化简后等于【答案】【分析】直接根据向量的加法法则写出结果即可.【详解】由向量加法的运算法则，可得.故答案为：38．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正六边形中，是其中心．则：①；②；③．【答案】【分析】根据几何图形的加法及运算律化简求值即可.【详解】①．②．③．故答案为：；；.39．（24-25高一下·全国·课后作业）在矩形中，，，则，．【答案】8【分析】由向量的加法、减法以及模的概念即可求解.【详解】在矩形中，因为，所以．因为，所以．故答案为：，8.40．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列等式：①；②；③；④；⑤，正确的序号为.【答案】①②③⑤【分析】根据向量加法的运算律、相反向量的性质，结合向量加法的运算法则逐一判断