2026年高一数学暑假讲义教师版 （A版）板块一

2026年高一暑假讲义2026年高一暑假讲义⑷知识点知识点3根式式子叫做二次根式，其性质如下：(1) (2)(3) (4)如果有，那么叫做的次方根，其中为大于的整数．当n为奇数时，，当n为偶数时，.知识点知识点4分式1、形如：（其中中含有字母）的式子叫作分式.2、分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变.用式子表示为：3、无理式：根号下含有字母的式子并且开不尽方的根式叫做无理式.例如：，是无理式，而不是无理式4、分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.其方法是分子、分母同时乘分母的有理化因式.例如：.5、有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式.常用的有理化因式有：①与②与繁分式：当一个分式的分子或分母中仍含有分式时，该分式就称为繁分式.如：或等.繁分式的化简，通常将其化成分式的除法进行运算.题型探析题型探析题型题型1乘法公式的应用例1、式子可恒等变形为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】，故选：C.【变式训练1】若，则等于．【答案】4【详解】解：，又，，，故答案为：．【变式训练2】已知，，则，．【答案】10，【详解】∵∴∵∴∴得，∴；∴得，∴．故答案为：10，．【变式训练3】（1）已知，，求的值．（1）已知，求【答案】（1）；（2）【详解】（1）将两边同时平方得，，因为，所以，所以；（2）因为，所以，所以，①，②，③①+②+③得，所以.【变式训练4】【探究】如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2所示的长方形．（1）请分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图中，图中；（2）比较两个图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式为：（用含字母，的式子表示）；【应用】请应用这个公式完成下列各题：（3）已知，，则的值为：；计算；【拓展】计算（4）的结果为．【答案】（），；（）；（）；；（）．【详解】解：（）图中，图中，故答案为：，；（）比较两个图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式为：，故答案为：；（）由，∵，，∴原式，故答案为：；；（）解：．故答案为：．题型题型2立方和、立方差公式的应用例2、阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：立方和公式：；立方差公式：；根据材料和已学知识，先化简，再求值：，其中．【答案】，2【详解】，当时，原式.【变式训练5】阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：立方和公式：；立方差公式：.根据材料和已学知识解决下列问题(1)因式分解：；(2)先化简，再求值：，其中.(3)利用材料因式分解：【答案】(1)；(2)，5；(3)【详解】（1）原式.（2）原式.当时，原式.（3）.【变式训练6】已知函数满足条件：(1)对称轴为；(2)y的最大值为15；(3)的两根立方和为17.求的表达式．【答案】.【详解】根据条件①②设二次函数的表达式为．设方程的两个根为，则，即.∴所求表达式为.题型题型3根式的求值化简（含二重根式的化简）例3、最简二次根式与能合并，则．【答案】2【详解】解：由题意知，，，解得，，，∴，故答案为：2．【变式训练7】若，，则．【答案】【详解】解：∵，∴，故答案为：．【变式训练8】已知x，y为实数，若满足，则的值为．【答案】5【详解】解：由可知，，∴，∴，∴．故答案为：5．【变式训练9】观察与计算：；；__________；__________．像上面各式左边两因式均为无理数，右边结果为有理数，我们把符合上述等式的左边两个因式称为互为有理化因式．当有些分母为带根号的无理数时，我们可以分子、分母同乘分母的有理化因式进行化简．例如：；；；【应用】（1）化简：①；②；（2）化简：．【答案】，，（1）①；②；（2）【详解】解：观察与计算：；；（1）①；②；（2）∴【变式训练10】化简根式：(1);(2);(3);(4)【答案】(1);(2);(3);(4)-3【详解】(1)，故，故题型题型4指数与指数幂的运算例4、设，下列运算中，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】A中，；B中，；C正确；D中，．故选：C.【变式训练11】阅读理解：如果，我们可以先将等式两边同时平方得到，再根据完全平方公式计算得：，即，所以．请运用上面的方法解决下面问题：如果，则的值为．【答案】6【详解】解：∵，∴，即，∴，∴，故答案为：6．【变式训练12】（1）已知，求的值；（2）已知、，求的值．【答案】（1）；（2）【详解】（1）因为，所以，即，解得，可得；（2）.【变式训练13】（1）下图中的①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形．小明用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积，发现了以下等量关系：________．（2）利用（1）中的等量关系解决下面的问题：①，，求和的值；②已知，求的值．【答案】（1）;（2）①1，，②【详解】（1）方法一：图②中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积，即；方法二：图②中的阴影部分的正方形的边长等于，所以其面积为；∴；故答案为：；（2）①由（1）可知∵，，∴，解得，，∵，∴，∴．②∵，∴即，∴．题型题型5分式的化简求值例5、若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（

）A． B．且 C． D．且【答案】B【详解】解：式子在实数范围内有意义，且，解得：且，故选：B．【变式训练14】关于分式，下列说法错误的是（

）A．当时，分式有意义 B．当时，分式的值为C．当时，分式没有意义 D．当时，分式的值为【答案】B【详解】解：、当时，，分式有意义，该选项说法正确，不合题意；、当时，，有可能等于，故分式可能无意义，该选项说法错误，符合题意；、当时，，分式没有意义，该选项说法正确，不合题意；、当时，，，分式的值为，该选项说法正确，不合题意；故选：．【变式训练15】先化简再求值：(1)，其中；(2)，其中．【答案】(1)，；(2)，【详解】（1）解：，当时，原式；（2）解：，当时，原式．【变式训练16】若实数a，b满足，，则的值等于（

）A．2025 B． C． D．【答案】C【详解】解：∵，，∴原式．故选C．【变式训练17】定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．(1)给出下列分式：①；②；③；④．其中属于“和谐分式”的是_______（填序号）；(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；(3)化简．若该式的值为整数，求x的整数值．【答案】(1)①③④；(2)；(3)【详解】（1）解：①，属于“和谐分式”；②，不属于“和谐分式”；③，属于“和谐分式”；④，属于“和谐分式”；∴属于“和谐分式”的是①③④，故答案为：①③④；（2）解：．（3）解：．∵该式的值为整数，∴或，解得或或1或．又∵，∴，∴．题型题型6分式型函数图像：分离常数与函数平移例6、已知函数是由反比例函数平移得到的，求k的值.【答案】【变式训练18】已知函数，求y的取值范围.【答案】【变式训练19】求函数的对称中心.【答案】对称中心：【变式训练20】已知函数，求y的取值范围和对称中心.【答案】，对称中心：【详解】，因为，故函数图像平移：对称中心：题型题型7齐次式计算：比值消元例7、已知：，则＝．【答案】1或2【详解】等式两边同时除以得到解方程即可【变式训练21】已知：，且，则＝．【答案】【详解】原方程两边同时除以得到解得即得[说明]注意是正数，要舍去负根【变式训练22】已知：，则＝．【答案】5或【详解】原方程两边同时除以x2得到解方程可得或1，从而原式=或【变式训练23】已知，求【答案】18【详解】，故原式=【变式训练24】若，求【答案】或【详解】原式两边同除，得，解得或则或课后演练课后演练一、单选题1、在函数中，自变量x的取值范围是（

）A．且 B．且 C． D．【答案】A【详解】解：由题意知：且，解得：且；故选：A．2、下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】对于A选项：，故A正确；对于B选项：，故B错误；对于C选项：，故C错误；对于D选项：，故D错误.故选：A.3、计算的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】原式.故选：A.4、如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个公式（

）．A． B．C． D．【答案】C【详解】解：由图1得，阴影部分面积为：，由图2得，阴影部分面积为：，∴，故选：C．5、设[a]表示不超过a的最大整数，如，，则（

）．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【详解】因，，所以，于是，又，，，所以，于是，因此原式.故选：A．二、多选题6、下列计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【详解】解：A．，计算正确，故该选项符合题意；B．，原计算错误，故该选项不符合题意；C．，原计算错误，故该选项不符合题意；D．，计算正确，故该选项符合题意；故选：AD7、下列分式化简错误的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【详解】解：A、，原式化简错误，符合题意；B、，原式化简错误，符合题意；C、，原式化简正确，不符合题意；D、，原式化简错误，符合题意；故选：ABD．8、已知实数，满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】AD【详解】解：A、∵，，∴，故该选项是正确的；B、，故该选项是错误的；C、，则，故该选项是错误的；D、∵，且，∴，∵，，∴原式，故该选项是正确的；故答案为：AD三、填空题9、若分式的值为，则．【答案】【详解】解：根据题意得，且，，解得，故答案为：．10、已知，，则________【答案】【详解】11、已知x，y为实数，若满足，则的值为．【答案】5【详解】解：有意义，故，解得，故，故，故答案为：5.四、解答题12、（1）计算：．（2）解方程：．【答案】（1）；（2）【详解】（1）解：；（2）解：等式两边同乘，得，解得，经检验，是原方程的解．13、先化简，再求值：，其中．【答案】【详解】解：原式；当时，原式．14、已知，，求的值．【答案】【详解】解：，，．．．15、【阅读材料】在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．【解决问题】(1)仿照上面的解题过程，化简：__________．(2)计算：．(3)已知，，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)【详解】（1）解：；故答案为：；（2）原式；（3）∵，，∴，，∴．16、【阅读材料】对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．如图1-1，边长为的大正方形切去一个边长为的小正方形，剩余部分的面积为，如图1-2，把剩余部分按如图所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方形（或正方形），则甲的面积为，乙的面积为，丙的面积为，所以，【尝试应用】（1）利用材料中得到的因式分解等式计算：_____；（2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图2-1，棱长为的实心大正方体切除一个棱长为的小正方体，剩余部分的体积按如图2-2所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，类比第（1）题，求可得到的因式分解等式为_____；【拓广探索】（3）若，，且，．求的值．【答案】（1）9800；（2）；（3）的值为【详解】解：[尝试应用]（1）∵，∴，故答案为：；（2）棱长为的实心大正方体切除一个棱长为的小正方体，剩余部分的体积，甲的体积为：，乙的体积为：，丙的体积为：，∴剩余部分的体积为甲、乙、丙的体积之和，即，∴，故答案为：；[拓广探索]（3）∵，∴，∴，∵，，∴，，根据（2）的计算得到，同理，，∴．题型预览因式分解题型预览题型1提取公因式和公式法题型3含参数的十字相乘法题型2不含参数的十字相乘法题型4分组分解法知识梳理知识梳理知识点知识点1公式法【公式1】平方差公式：【公式2】完全平方公式：，.【公式3】立方和公式：【公式4】立方差公式：知识点知识点2十字相乘法1、型的因式分解利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在，则2、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.知识点3知识点3分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.知识点知识点4求根公式法对于一元二次方程，当时，一元二次方程有两个实数根，记为：.此时对应的二次三项式可分解为：.题型探析题型探析题型题型1提取公因式和公式法例1、把下列各式分解因式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3)【详解】（1）解：原式．（2）解：原式．（3）解：原式．【变式训练1】分解因式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3)【详解】（1）；（2）；（3）【变式训练2】若，则的值为．【答案】6【详解】解：∵，∴故答案为：6【变式训练3】计算：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)【详解】（1）解：；（2）解：．【变式训练4】下面是某同学对多项式进行因式分解的过程：解：设原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）．回答下列问题：(1)该同学第二步到第三步运用了．A．提取公因式

B．平方差公式

C．完全平方公式(2)该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为．(3)请你模仿上述方法，对多项式进行因式分解．【答案】(1)C；(2)不彻底：；(3)【详解】（1）解：该同学第二步到第三步运用了完全平方公式；故选：C．（2）解：该同学因式分解的结果不彻底，解：设，原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）．；故答案为：不彻底：．（3）解：设，原式．题型题型2不含参的十字相乘法例2、阅读下列材料：将分解因式，我们可以按下面的方法解答：解：步骤：①竖分二次项与常数项：，．②交叉相乘，验中项：．③横向写出两因式：．我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．试用上述方法分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【详解】（1）解：，①竖分二次项与常数项：，，②交叉相乘，验中项：，③横向写出两因式：．（2）解：，①竖分二次项与常数项：，，②交叉相乘，验中项：，③横向写出两因式：．（3）解：，①竖分二次项与常数项：，，②交叉相乘，验中项：，③横向写出两因式：．（4）解：，①竖分二次项与常数项：，，②交叉相乘，验中项：，③横向写出两因式：．【变式训练5】已知方程的两根是，，那么二次三项式分解因式得（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：方程的两根为，，，，，，，故选：D【变式训练6】阅读：用“十字相乘法”分解因式的方法．（1）二次项系数．（2）常数项，验算：“交叉相乘之和”．

．（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果，等于一次项系数．即，则．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：(1)(2)(3)【答案】(1)；(2)；(3)【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：【变式训练7】因式分解：（1）；（2）；（3）【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）．（2），，，．（3）．题型题型3含参的十字相乘法例3、分解因式．【答案】【详解】解：，故答案为：．【变式训练8】因式分解：（1）；（2）【答案】（1）；（2）【详解】（1）原式（2）【变式训练9】分解因式： ．【答案】【变式训练10】可因式分解为 ．【答案】【变式训练11】可因式分解为．【答案】【变式训练12】因式分解：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）题型题型4分组分解法例4、分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)(5)；(6)【详解】（1）（2）原式；（3）原式；（4）原式；（5）原式；（6）原式【变式训练13】因式分解(1)；(2)；(3)；(4)【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【详解】（1）解：由方程，解得或，所以.（2）解：由提取公因式法，可得.（3）解：由提取公因式法，可得.（4）解：由提取公因式法，可得.【变式训练14】请灵活运用分组分解的方法对下列多项式进行因式分解：(1)；(2)．(3)(4)(5)【答案】(1)；(2)；（3）；（4）；（5）【详解】（1）解：．（2）解：（3）（4）解：．（5）解：．课后演练课后演练单选题1、在下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：A、，不能用平方差公式分解因式，本选项不符合题意；B、，不能用平方差公式分解因式，本选项不符合题意；C、，不能用平方差公式分解因式，本选项不符合题意；D、，能用平方差公式分解因式，本选项符合题意；故选：D．2、下列变形是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：A、是多项式乘法，不是因式分解，错误；B、有分式，不是因式分解，错误；C、是因式分解，正确；D、右边不是积的形式，错误；故选：C．3、已知因式分解后，其中有一个因式为，则k的值为（

）A．6 B． C．10 D．【答案】B【详解】解：令当时，∴故选：B．4、不能用十字相乘法分解的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，不能用十字相乘法分解，故C错误；对于D，，故D正确.故选：C.多选题5、下列代数式变形中，属于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【详解】解：A、，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；B、，符合因式分解的定义，故本选项符合题意；C、)，符合因式分解的定义，故本选项符合题意；D、，左边不等于右边，故本选项不符合题意．故选：BC．6、由，可得：即①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式．下列应用这个立方和公式进行的变形正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【详解】根据公式，A.，故A正确；B.，故B正确；C.应改为，故C错误；D.，故D正确.故选：ABD填空题7、若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则的值为．【答案】或【详解】解：∵多项式能用完全平方公式进行因式分解，∴，解得：或，∴的值为或．故答案为：或．8、分解下列因式：（1）；（2）；（3）．【答案】【详解】根据十字相乘法有，，；故答案为：，，.四、解答题9、（1）分解因式：；（2）分解因式：；（3）利用因式分解计算：．【答案】（1）；（2）；（3）【详解】解：（1）；（2）；（3）．10、【阅读材料】教材中把形如的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．利用配方法不仅可以将多项式进行因式分解，还能解决求一些多项式最大值或最小值等问题．例如：①分解因式：．②求多项式的最小值：，，当时，有最小值，最小值是．【解决问题】(1)按照上述方法分解因式：；(2)多项式的最小值为4，请求出的值；(3)若实数，满足，请求多项式的最值．【答案】(1)；(2)；(3)最大值为【详解】（1）解：，，，，；（2）原式，∵∴∴∵原多项式最小值为4．，，（3）原式可变形为：∴，．∵∴∴∴取最大值为．题型预览方程题型预览题型1解一元二次方程题型5利用韦达定理求参数题型2解二元二次方程组题型6利用韦达定理求对称式的值题型3试根法解一元三次方程题型7根和系数与判别式的综合应用题型4一元二次方程的根的判别式题型8根据根的分布情况求参数知识梳理知识梳理知识点知识点1一元二次方程根的判别式一元二次方程，用配方法将其变形为：由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式：.（1）时，（）有两个不相等的实数根；（2）时，（）有两个相等的实数根；（3）时，（）没有实数根.知识点知识点2一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）一元二次方程有两个根分别是，则：，，则所以，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系如果的两个根分别为，则：，这一关系式也被称为韦达定理.题型探析题型探析题型题型1解一元二次方程例1、一元二次方程的根是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【详解】解：，所以，所以、．故选：A．【变式训练1】若将一元二次方程化成的形式，则的值为（

）A． B． C．5 D．17【答案】C【详解】解：，，，∵将一元二次方程化成的形式，∴，∴，故选：C．【变式训练2】解方程：(1)；(2)；(3)；（4）【答案】(1)，；(2)，；(3)，；(4)【详解】（1）解：，，，，令或，解得：，；（2）解：，，令或，解得：，．（3），，，，或；解得，．（4）解：，∵，∴，∴，∴．【变式训练3】若则代数式的值为（

）A．或3 B．1或 C． D．3【答案】D【详解】设，原方程变形为：，或解得或，∵，∴．故选：D．【变式训练4】若，则的值为．【答案】【详解】解：设，则，整理可得：，∴，∴或（不符合题意，舍去），∴，故答案为：．【变式训练5】已知，则代数式的值是．【答案】【详解】解：，，设，则有整理得：，分解因式得：，或，或，一元二次方程中，，一元二次方程无解，不成立，舍去，当时，．故答案为：．题型题型2解二元二次方程组例2、解下列方程组：；【答案】（1）或；（2）【详解】（1）解：由②，得．③把③代入①，得．整理后，得解得.将代入③，得=3代入③得．所以原方程组的解是或（2）解：由①，得③将②代入③，得②+④，得4x=8．解得x=2．将x=2代入④，得4+3y=3．解得，所以原方程组的解是【变式训练6】解方程组：【答案】【详解】解：由②，得．③把③代入①，得．整理后，得解得.将代入③，得=2代入③得．所以原方程组的解是或【变式训练7】【答案】【详解】解：由①，得，即或将代入②，得，得，即或将代入②，得，得，即或题型题型3试根法解一元三次方程方法技巧方法技巧高次方程高中阶段基本上不会单独考查，即使考查次数也不会超过三次，但函数或导数解题计算中经常会出现关键一步，所以掌握简单有实数根的一元三次方程的解法是很有必要的。试根法：高中阶段考查的三次方程根简单常见，如±1，±2，…由此确定方程的一个根，然后对三次方程因式分解，从而完成方程求解。例3、解方程: 【答案】或【详解】猜测并验证得出是方程的一个根，那么是方程的一个因式故方程可以改写为易得 ，则 解得或【变式训练8】解方程：【答案】或【详解】猜测并验证得出是方程的一个根 【变式训练9】解方程：【答案】【详解】猜测并验证得出是方程的一个根 【变式训练10】解方程：【答案】【详解】猜测并验证得出是方程的一个根 题型题型4一元二次方程的根的判别式例4、一元二次方程的根的情况是（

）A．有两个相等的实数根 B．没有实数根C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根【答案】B【详解】，此方程无实数根，故选：B.【变式训练11】已知，是关于的方程的两个根，下面结论一定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】，方程有两个不相等的实数根，即，故B正确；根据韦达定理，，，故C、D错误，A不一定正确.故选：B.【变式训练12】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（

）A．且 B．C．且 D．【答案】A【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，解得：且，的取值范围是且，故选：A．【变式训练13】关于的方程有实数根，则的取值范围是（

）A．且 B．C． D．且【答案】C【详解】当，即时，关于的方程可化为，有一个实数根，满足题意；当时，关于的方程有实数根，，解得，故且.综上，的取值范围是．故选：C.题型题型5利用韦达定理求参数例5、若关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】依题意，，所以.故选：B【变式训练14】已知a、b是方程的两个实数根，则的值为．【答案】【详解】解：由题意得：；∴，故答案为：【变式训练15】设，是关于的方程的两个根，且，则．【答案】【详解】解：，是关于的方程的两个根，，，，，故答案为：．【变式训练16】已知两个不等实数，满足，，则的值为（

）A． B． C．或 D．【答案】A【详解】∵两个不等实数，满足，，∴、为方程的两个根，∴，，∴，∴的值为．故选：A．题型题型6利用韦达定理求对称式的值例6、已知是方程的两个实数根，则．【答案】【详解】解：∵是方程的两个实数根，∴由根与系数的关系得：，，∴；故答案为：．【变式训练17】已知关于的一元二次方程．(1)若方程有两个实数根，求的取值范围；(2)在（1）中，设、该方程的两个根，且，求的值．【答案】(1)；(2)【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，∴解得，；（2）解：∵、是方程的两个根，∴，又，整理得，，∴整理得，，解得，或（不合题意，舍去）∴的值为．【变式训练18】已知是关于x的一元二次方程两个实数根，则．【答案】2【详解】解：∵是关于的一元二次方程两个实数根，∴，，∴．故答案为：2．【变式训练19】关于x的方程的两个实根分别为α，β，则的最小值是．【答案】【详解】解：关于x的方程有两个实根α，β，，解得：或，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，，令（或），上式可看成关于的二次函数，其对称轴为直线，，抛物线开口向上，又，当时，取得最小值，其最小值为，即：的最小值是，故答案为：．题型题型7根和系数与判别式的综合应用例7、关于的一元二次方程的两实根，，且满足，则的值为（

）A．1或5 B．1或 C． D．5【答案】C【详解】解：∵，是方程的两实根，∴，，，∴，解得：，∵，∴，整理得，解得或（舍去），∴；故选：C．【变式训练20】若a，b是关于x的一元一次方程的两个实数根，且，则k的值是．【答案】【详解】解：∵a、b是关于x的一元二次方程的两个实数根，∴，，，∴，解得，，当时，，∴符合题意；当时，，∴不符合题意，应舍去；综上，k的值是．故答案为：．【变式训练21】已知关于的一元二次方程.(1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根为，且，求的值.【答案】(1)证明见解析;(2)或1【详解】（1），.，，无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；（2）方程的两个实数根为，.，即，.整理，得.解得.的值为或1.【变式训练22】(1)方程的两个实数根分别为、，则的值为，的值为．(2)方程的两个实数根分别为、，求的值．(3)若、是关于的方程的两个实数根且，求的值．【答案】(1)；;(2);(3)【详解】（1）∵方程的两个实数根分别为、，∴，；（2）∵方程的两个实数根分别为、，∴，∴；（3）∵、是关于的方程的两个实数根∴∴，∴，∵∴∴整理得，，解得（舍去）或．【变式训练23】已知关于的一元二次方程的两个根为，其中，且.(1)求实数的值；(2)求和的值.【答案】(1)1；(2)3，.【详解】（1）依题意，，由，得，则，而，所以.（2）由（1）知，，所以；.题型题型8根据根的分布情况求参数方法技巧方法技巧一元二次方程根的分布问题，原理简单，难点在于要有清晰的分类讨论和数形结合的思想.（1）一般考虑以下几方面：①开口（若不能判定，则需分类讨论，特别要注意二次项系数有可能等于零的情况

）.②判定给定点处函数值的正负.（开口向上的二次函数若存在函数值小于零，则△＞0

恒成立）③判定△符号.④判定对称轴的位置.

总之，耐心去分类讨论（分类讨论不容易失误，一步到位往往会漏解或多解），借助图象去分析就可以得到结论，无需记忆.（1）二元二次方程在上根的分布情况①方程有两个不等的实数根;②方程有两个相等的实数根;③方程没有实数根（2）一元二次方程的根的“0”分布①方程有两个不等正根；②方程有两个不等负根③方程有一正根和一负根,设两根为例8、已知关于x的方程有两个负根，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为关于x的方程有两个负根，所以，即，解得，所以实数m的取值范围是.故选：B.【变式训练24】已知关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为．【答案】【详解】设方程关于的方程的两根分别为、，则，解得.故答案为：.【变式训练25】关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（

）A．B．C．D．且【答案】B【详解】根据题意可知；，由韦达定理可得，解得，故选：B【变式训练26】关于的方程有两个根，其中一个大于1，另一个小于1时，则的取值范围为（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【详解】根据方程有两个根，其中一个大于1，另一个小于1，可知，解得.故选：A课后演练课后演练一、单选题1、下列方程中，属于一元二次方程的是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：A、是一元二次方程，此选项符合题意；B、不是整式方程，此选项不符合题意；C、是一元一次方程，此选项不符合题意；D、中，有2个未知数，此选项不符合题意；故选：A．2、某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：二月份的产值为：，三月份的产值为：，故第一季度总产值为：．故选：D．3、若a，b是方程的两个根，则的值是（

）A．2026 B．2025 C．2024 D．2023【答案】C【详解】解：∵a，b是方程的两个根，∴，，∴，∴，故选：C．4、若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（

）A． B．C．且 D．且【答案】B【详解】由题意可得：，解得，故选：B5、方程有两个相等的实数根，且满足，则m的值是（

）A．或3 B．3 C． D．或2【答案】C【详解】方程有两个相等的实数根，则，解得或①，由韦达定理，，，又因，则得，解得或②，综合①②，可得m的值为.故选：C.6、若关于的一元二次方程的两个实数根为和，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】一元二次方程的两个实数根为和，由根与系数的关系可得，，.故选：B.7、已知，关于x的一元二次方程的解为，则下列结论正确的是（