2026年高一数学暑假讲义教师版 （A版）板块二

2026年高一暑假讲义2026年高一暑假讲义板块二集合与常用逻辑用语题型预览集合的概念与表示题型预览题型1判断是否构成集合（确定性）题型5利用集合的互异性求参数题型2元素与集合的关系题型6利用集合相等求参数题型3用列举法表示集合题型7利用集合中的元素个数求参数题型4用描述法表示集合知识梳理知识梳理知识点知识点1元素与集合的概念及表示1、元素与集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．2、元素的特性(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．知识点知识点2元素与集合的关系属于：如果是集合的元素，就说属于集合，记作．不属于：如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作．知识点知识点3常用的数集及其记法常用数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集数学符合或知识点知识点4列举法与描述法1、列举法(1)定义：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．注：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素可以是任何事物．2、描述法(1)定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．(1)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．题型探析题型探析题型题型1判断是否构成集合（确定性）例1、下列对象能构成集合的是（

）A．我国近代著名的数学家 B．的所有近似值C．所有的欧盟成员国 D．2025年全国高考数学试题中所有难题【答案】C【详解】A、B、D：由于描述中标准不明确，无法确定集合；C：所有欧盟成员国是确定的，可以构成集合.故选：C.【变式训练1】以下四组对象，能构成集合的是（

）.A．最大的正实数 B．最小的整数C．平方等于1的实数 D．最接近1的实数【答案】C【详解】对于A，无法确定最大的正实数是哪一个数，故A错误；对于B，无法确定最小的整数是哪一个数，故B错误；对于C，平方等于1的实数为，可以构成集合，故C正确；对于D，无法确定最接近1的实数是哪一个数，故D错误；故选：C.【变式训练2】(多选)下列各组对象能组成集合的是（

）A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题C．被3除余2的所有整数 D．函数图象上所有的点【答案】ACD【详解】选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性；而选项B中，“难题”没有标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合．故选：ACD故选：ACD.题型题型2元素与集合的关系例2、给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（

）A．4 B．2 C．3 D．5【答案】A【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确；对于②，因为是无理数，所以，所以②错误；对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确；对于④，因为，所以④正确；对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确；对于⑥，因为，所以⑥错误．故选：A．【变式训练3】已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由，解得或，所以方程组解集是.故选：C.【变式训练4】给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中错误的个数是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】对于命题①，，所以命题①错误，对于命题②，，所以命题②错误，对于命题③，因为是无理数，，所以命题③错误，对于命题④，因为，所以命题④正确，对于命题⑤，因为是无限循环小数，是有理数，即，所以命题⑤正确，故选：C.【变式训练5】已知集合，则集合中所含元素的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【详解】因为集合，，所以,故选：D【变式训练6】已知集合，若且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由且，得解得，故选：A．题型题型3用列举法表示集合例3、用列举法表示集合.【答案】【详解】.故答案为：【变式训练7】已知集合，则用列举法表示（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由得，，即，又，∴故.故选：C.【变式训练8】用列举法表示下列集合：(1)大于1且小于6的整数；(2)；(3)．(4)．【解析】（1）大于1且小于6的整数组成的集合为；（2）（3）（4）题型题型4用描述法表示集合例4、对集合用描述法来表示，其中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】集合是不超过5的正整数的倒数形成的集合，对于AB，集合AB中的有负数，AB不是；对于C，集合中没有，C不是；对于D，满足对集合的描述，D是.故选：D【变式训练9】已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为集合，根据集合中5个元素的特点知，.所以，故选：C.【变式训练10】用描述法表示下列集合：(1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合；(2)抛物线上的点组成的集合；(3)使函数有意义的实数x组成的集合．【答案】(1)；(2)；(3).【详解】（1）由x轴上的点的特征为，故集合为；（2）由点在抛物线上，故集合为；（3）由，则，故集合为.【变式训练11】(多选)下列各组中表示不同集合的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】ABD【详解】选项A中，是数集，是点集，二者不是同一集合,故；选项B中，与表示不同的点，故；选项C中，，，故；选项D中，是二次函数的所有组成的集合，而集合是二次函数图象上所有点组成的集合，故.故选：ABD.题型题型5利用集合的互异性求参数例5、已知集合若，则的值为（

）A．1 B． C．1或 D．或【答案】B【详解】因为所以或，当时，，此时，，故舍去：当时，解得或（舍去），综上．故选：B【变式训练12】（多选）若集合，则实数的取值可以是（

）A．2 B．3 C． D．5【答案】BD【详解】集合，则，解得，可知BD符合题意，故选：BD.【变式训练13】已知集合，集合.(1)若，求a的值；(2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)不存在，理由见解析【详解】（1）∵，当，即时，此时，不成立，当，即，此时，成立，∴；（2）由题意可得，，若，则，不符合题意，若，则，不符合题意，故不存在实数a和x的值，使得.题型题型6利用集合相等求参数例6、已知集合，且，则（

）A． B．1 C． D．0【答案】A【详解】因为集合，且，则，解得.故选：A.【变式训练14】已知，集合，且，则.【答案】【详解】因为，显然，则，即，可得，此时，可得，所以.故答案为：.【变式训练15】（多选）已知集合，则的值可能为（）A．0 B．C．1 D．2【答案】BD【详解】∵集合，只有个元素，∴或，解得或，∴或故选：BD.【变式训练16】含有3个实数的集合可表示为，又可表示为，则．【答案】1【详解】因为有3个实数的集合可表示为，又可表示为，所以，，即，则，即或，当时，集合为，与集合元素的互异性矛盾，故，，.故答案为：1．题型题型7利用集合中的元素个数求参数例7、若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为．【答案】【详解】当时，，符合题意.当时，.综上所述，的取值范围是.故答案为：【变式训练17】若集合中有2个元素，则的取值范围是.【答案】【详解】因为集合中有2个元素，所以，解得且，所以的取值范围是，故答案为：.【变式训练18】（多选）若集合有且只有一个元素，则实数的值可以为（

）A． B． C． D．【答案】AD【详解】当，即时，，符合题意；当，即时，若集合只有一个元素，由一元二次方程根的判别式，解得.综上实数的值可以为，.故选：AD课后演练课后演练一、单选题1、设集合，集合，则集合中有（）个元素A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【详解】因为集合，集合，所以，所以，即集合中有个元素.故选：C.2、已知集合，则集合中元素的个数是（

）A．1 B．3 C．6 D．9【答案】C【详解】由题，可得，所以集合含有6个元素.故选：C.3、以下选项中，是集合的元素的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】集合A的元素表示的是平面直角坐标系中一条直线上的点（数对），选项A和选项C表示的都是只有一个点作为元素的集合，可以首先排除；再将点的坐标代入到集合A的直线方程当中，可知不在直线上，在直线上.故选D．4、集合，则下列表示正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】，所以，故A，C，D错误，B正确故选：B.5、若，则a的值为（

）A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】A【详解】因为，所以，或，或，当时，得，此时集合为，不合题意，舍去，当时，得，此时集合为，当时，得无解，综上，.故选：A二、多选题6、一次函数与的图象的交点组成的集合是（

）A． B．C． D．【答案】BC【详解】解方程组，解得，故一次函数与的图象的交点组成的集合是：或.故选：BC三、填空题7、已知集合恰有一个元素，则k的取值集合为【答案】【详解】方程化为：，由已知集合只有一个元素，①，解得，此时方程的解为，符合题意；②是方程的一个根，此时，方程即为，此时方程的解为，符合题意；③是方程的一个根，此时，方程即为，此时方程的解为，符合题意；所以k的取值集合为.故答案为：8、已知集合，则【答案】【详解】因为或或，所以.故答案为：四、解答题9、选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集．(1)大于1且小于70的正整数构成的集合A；(2)小于8的质数组成的集合C；(3)方程的实数根组成的集合D；(4)函数图象上的所有点组成的集合E；(5)不等式的解组成的集合F．【答案】(1)，是有限集(2)，是有限集(3)，是有限集(4)，是无限集(5)，是无限集【详解】（1）由大于1且小于70的正整数，则，故，是有限集；（2）因为小于8的质数有2，3，5，7，所以，是有限集．（3）方程的实数根为、，所以，是有限集．（4）由表示坐标系中的曲线，故，是无限集．（5）由，得，所以，是无限集．10、已知集合，且，求的值.【答案】【详解】由于，故或，解得或.当时，，不符合集合中元素的互异性，舍去；当时，，满足题意.故.题型预览集合间的基本关系题型预览题型1判断集合的包含关系题型5空集的概念及性质应用题型2求集合子集、真子集题型6根据集合的包含关系求参数题型3子集、真子集的个数题型7根据两个集合相等求参数题型4判断两个集合是否相等知识梳理知识梳理知识点知识点1子集、真子集与Venn图1、子集一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）。2、Venn图在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。则上述集合和集合的包含关系，可以用如下图表示：注：①子集的定义可以理解为：若任意的，都有，则.这可以作为证明的方法；②规定：空集是任何集合的子集；③任何一个集合是它本身的子集，记作AA；④包含关系具有传递性，即若AB，且BC，则AC；⑤集合是集合的子集不能理解为集合是由集合中的“部分元素”组成的，因为集合可能是空集，也可能是集合．⑥注意符号“”与“”的区别：“”只用于集合与集合之间，如{0}N，而不能写成{0}N；“”只能用于元素与集合之间，如0N，而不能写成0N．3、真子集如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于”或“真包含”.注：①空集是任何非空集合的真子集；②对于集合A，B，C，AB，且BC，则AC；③若，则与有两种可能的关系：即或；知识点知识点2空集1、定义：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；2、空集的性质：①空集只有一个子集，即它本身；②空集是任何集合的子集，即；③空集是任何非空集合的真子。④空集是不含任何元素的集合，它既不是有限集，也不是无限集；知识点知识点3集合相等如果集合是集合的子集（），且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作。注：①若且，则；反之，如果，则且。这就给出了我们证明两个集合全等的方法，即预证，只需证且都成立即可；②两集合相等，则所含元素完全相同，与元素顺序无关；③要判断两个集合是否相等，对于元素比较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，看两个集合的元素是否完全相同；若是无限集，应依据“互为子集”从两个方向入手进行判断。④同一个集合，可以有不同的表示方法，这也是定义两个集合相等的意义所在；⑤集合中的关系与实数中的结论类比实数集合包含两层含义：，或AB包含两层含义：，或若，且，则若AB，且AB，则A＝B若，，则若AB，BC，则AC题型探析题型探析题型题型1判断集合的包含关系例1、下列各式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】对于A选项，，A错；对于B选项，，B错；对于C选项，，C错；对于D选项，，D对.故选：D.【变式训练1】（多选）若集合，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【详解】，所以，，故AD正确；所以，，故BC错误.故选：AD.【变式训练2】若集合，，则下面结论中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由，得是无理数，由，得集合是不超过45的自然数形成的集合，因此，集合不包含于集合，D正确，A错误，由元素、集合间关系知BC错误.故选：D【变式训练3】已知集合，则（

）A． B． C． D．与的关系不确定【答案】A【详解】∵，是整数，是奇数，∴.故选：A．题型题型2求集合子集、真子集例2、（多选）下列是集合的子集的为（

）A． B． C． D．【答案】ABD【详解】集合的子集为．故选：ABD【变式训练4】（多选）下列各个选项中，满足⫋的集合A有（

）A． B． C． D．【答案】AC【详解】因为，即有，所以中定有和3，故排除B，又因为是的真子集，故排除D．故选：AC.【变式训练5】（多选）已知集合M满足⫋，则这样的集合M可能为（

）A． B． C． D．【答案】ABC【详解】因为⫋，故或或，ABC正确，D错误.故选：ABC【变式训练6】已知非空集合满足:对任意，总有，且.若，则满足条件的的个数是（

）A．11 B．12 C．15 D．16【答案】A【详解】当中有元素时，，当中有元素时，，所以，所以集合是集合的非空子集，且去掉元素2，4同时出现的集合，故满足题意的集合有，共11个.故选：A.题型题型3子集、真子集的个数方法技巧方法技巧如果集合A中含有n个元素，则有（1）A的子集的个数有2n个．（2）A的非空子集的个数有2n－1个．（3）A的真子集的个数有2n－1个．（4）A的非空真子集的个数有2n－2个．例3、集合的真子集个数为．【答案】【详解】,故真子集的个数为，故答案为：【变式训练7】已知集合，则的非空子集的个数是.【答案】15【详解】依题意，，所以的非空子集的个数是.故答案为：15【变式训练8】已知集合，则集合A的真子集个数为（

）A．32 B．4 C．5 D．31【答案】D【详解】∵∴为12的正约数，又，∴，4，3，2，0∴集合，∴集合A的真子集个数为31，故选：D.【变式训练9】若,则就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为A．15 B．16 C．32 D．256【答案】A【详解】具有伙伴关系的集合中有1个元素时：、共2个具有伙伴关系的集合中有2个元素时：、、共3个具有伙伴关系的集合中有3个元素时：、、共4个具有伙伴关系的集合中有4个元素时：、、共3个具有伙伴关系的集合中有5个元素时：、共2个具有伙伴关系的集合中有6个元素时：共1个则共有个故选A【变式训练10】若集合有且仅有2个子集，则实数k的最小值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【详解】由题意知，结合有且仅有2个子集，即方程组只有一个解，即方程只有一个解，当时，，满足条件；当时，，解得或，综上，实数的最小值为．故选：A.【变式训练11】设集合，．(1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)．(2)或．【详解】（1）解：由集合，因为集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素，故，所以，所以实数的取值范围是．（2）解：由，解得或，所以，因为，所以集合可能是，，，；当时，即方程无实数根，则，解得；当时，即方程有且只有一个根0，，解得；当时，即方程有且只有一个根，则，方程组无解；当时，方程有两根和，则，解得，综上所述，实数的取值范围是或．题型题型4判断两个集合是否相等例4、（多选）下列各组中M，N表示不同集合的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】ABC【详解】A选项，为数集，为点集，则两集合不同，故A正确；B选项，为点集，为数集，则两集合不同，故B正确；C选项，为数集，表示射线上的点，则两集合不同，故C正确；D选项，两集合均表示全体奇数，故两集合相同，故D错误.故选：ABC【变式训练12】（多选）下列集合中，与集合相等的是（

）A． B． C．D．【答案】BD【详解】A选项，，A错误；B选项，，B正确；C选项，，C错误；D选项，只有当和时，，故，D正确.故选：BD【变式训练13】（多选）下面关于集合的表示正确的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【详解】A项：因为，所以，故A错误；B项：若，则，故B错误；C项：，故C正确；D项：因为，所以无解，故D正确，故选：CD.【变式训练14】（多选）下列说法中正确的是（

）A．任何集合都是它自身的真子集B．集合共有4个子集C．集合D．集合【答案】BC【详解】对A，空集不是它自身的真子集，故A错误；对B，因为集合中有2个元素，所以有个子集，故B正确；对C，因为两个集合中的元素均为被3除余1的所有整数，所以两个集合相等，故C正确；对D，因为，当时，，所以，但，故两个集合不相等，故D错误.故选：BC.题型题型5空集的概念及性质应用例5、下列四个集合中，是空集的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：，，所以，A不是空集．，，所以,B不是空集．，，，；即C是空集．，，，即，所以；D不是空集．故选：C．【变式训练15】下列四个集合中是空集的是（

）A． B．C．，或 D．【答案】B【详解】对于A，不是空集，故A错误；

对于B，无解，所以集合是空集，故B正确；对于C，集合，或不是空集，故C错误；对于D，集合不是空集，故D错误.故选：B.【变式训练16】（多选）下列选项中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【详解】因为空集不含任何元素，故，A错误；因为空集为任何集合的子集，故，B正确；因为方程，所以方程的解集为，所以，C正确；因为空集不含任何元素，是1个元素，故D错误；故选：BC.【变式训练17】（多选）给出下列选项，其中正确的是（

）A． B． C． D．⫋【答案】BCD【详解】对于，不是的元素，故不正确；对于，是任何集合的子集，所以是的子集，故正确；对于，是的元素，故正确；对于，是任何非空集合的真子集，有一个元素，是非空集合，故正确.故答案为：.题型题型6根据集合的包含关系求参数例6、设集合，，且，则（

）A．1 B．2 C．1或2 D．-1或2【答案】B【详解】由题意，，则有或，解得或，显然当时，集合中的元素出现重复，与集合元素的互异性矛盾，而时，，，满足.故选：B.【变式训练18】（多选）已知集合，若，则的可能取值为（

）A． B． C．0 D．【答案】AC【详解】，因为，当时，此时；当时，此时；当时，此时；故选：AC【变式训练19】已知集合，，若，则（

）A．1 B． C．1或0 D．1或【答案】D【详解】因为，当，即时，，，符合题意；当，即时，，，符合题意．综上，或．故选：D．【变式训练20】已知集合，，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，，且，所以，所以实数的取值范围是，故选:D.【变式训练21】已知集合，，若M⫋N，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，，且M⫋N，所以故选：A【变式训练22】已知集合，，且满足，则实数的取值范围是．【答案】【详解】当时，，即，满足；当时，有，解得.综上所述，实数的取值范围是.【变式训练23】已知．(1)若，求实数a的取值范围；(2)若，求实数a的取值范围．【答案】(1)；(2)【详解】（1）因为，，所以，解得，故实数a的取值范围为；（2），，当时，，解得，满足题意；当时，，解集为，综上，实数a的取值范围为.题型题型7根据两个集合相等求参数例7、已知集合，，若，则（

）A．或2 B．或1 C． D．1【答案】D【详解】集合，，因为，所以，解得，故选：D.【变式训练24】已知数集，，若，则.【答案】1【详解】易知，所以或，若，即，此时，，符合题意；若，此时，，，舍；综上，.故答案为：1【变式训练25】若集合，则的值为【答案】12【详解】因为，所以集合可表示为，所以.故答案为：12.【变式训练26】已知集合A＝{x|0<ax＋1≤5}，集合B＝，若A＝B，则实数a的值为（

）A．0 B．－ C．2 D．5【答案】C【详解】因为B＝，且A＝B，所以当x＝2时，2a＋1＝5，解得a＝2.故选：C.【变式训练27】已知实数集合，，若，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【详解】当，时，，或任意，（不符集合元素的互异性，舍）；当，时，，，不符集合元素的互异性，所以，，．故选：A．课后演练课后演练一、单选题1、已知集合，且，则M可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由于，,故,故选：B2、下列表述中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】对于A，因为空集中不含有任何元素，因此，即A错误；对于B，集合中只有一个元素，而中有两个元素，所以，即B错误；对于C，空集中不含有任何元素，而中有一个元素，所以C错误；对于D，自然数集中包含0，因此，即D正确.故选：D3、已知集合，且，则实数的值为（

）A． B． C． D．3【答案】C【详解】由于，故，解得，故选：C4、已知集合，，则集合的真子集个数为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，则，所以，集合的真子集个数为.故选：A.二、多选题5、（多选）若集合，，且，则满足条件的实数可以是（）A． B．C． D．【答案】BCD【详解】，，即，由集合中元素的互异性知，，即且.当时，，，验证：当时，，；当时，，.当时，（舍），或验证：当时，，,.综上，或.故选：BCD.6、（多选）已知集合，且，则实数可能的取值是（

）A． B．0 C．-1 D．【答案】ABC【详解】解：，且，则：①当时，或，解得或，A适合题意；②若，则，解得，③若，则，此时无解，④若，则，此时无解，不合题意；综上：的值为0和.故选：ABC.7、（多选）设是有理数集，集合，在下列集合中，与相同的集合有（

）A． B．C． D．【答案】ABC【详解】对于A，由，得，一一对应，则；对于B，由，得，一一对应，则；对于C，由，得，一一对应，则；对于D，，但方程无解，则与不相同故选：ABC.三、填空题8、已知集合，，若，则实数的取值范围是．【答案】【详解】因为，，，所以，所以．故答案为：9、已知，若，则．【答案】1【详解】由已知得，则，所以，于是，即或，又由集合中元素的互异性知应舍去，故，所以．故答案为：1.四、解答题10、已知集合．(1)若，写出集合A的所有子集；(2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值．【答案】(1)(2)0或【详解】（1）若，则，所以集合A的所有子集是：，（2）当时，方程，符合题意，因此，当时，集合A中仅含有一个元素，则，解得，所以实数a的值为0或.11、已知.(1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合；(2)若，求实数a的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2)【详解】（1）因为只有一个元素，，当时，；当时，对于，有，解得，把代入集合，得；综上，或，对应的集合或.（2）因为，，当时，对于，有，解得；当时，将代入，得，则，此时（舍去）；当，将代入，得，则，此时（舍去）；当，则有，方程无解析，此时不存在满足条件；综上，的取值范围为.12、已知（），（）是的子集，定义集合，若，则称集合是的恰当子集.用表示有限集合X的元素个数.(1)若，，求并判断集合是否为的恰当子集；(2)已知（）是的恰当子集，求的值并说明理由.【答案】(1)，集合是的恰当子集(2)，或，；理由见解析【详解】（1）若，有，由，则，满足，集合是的恰当子集；（2）（）是的恰当子集，则，，由则或，时，，此时，，满足题意；时，，此时，，满足题意；，或，.13、定义：若任意（可以相等），都有，则集合称为集合的生成集．(1)求集合的生成集；(2)若集合，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值；(3)若集合，的生成集为，求证．【答案】(1)；(2)或或；(3)证明见解析【详解】（1）由题可知：①当时，，②当时，，③当，或时，，所以．（2）①当时，，②当时，，③当，或，时，，的子集个数为4个，则中有2个元素，所以或或，解得或或（舍去）．（3）证明：，，，，，即，，又，所以，综上可得．题型预览集合的基本运算题型预览题型1交集的概念与运算题型5交、并、补的混合运算题型2并集的概念与运算题型6由集合的混合运算求参数题型3补集的概念与运算题型7Venn图在集合运算的应用题型4由交、并、补运算求参数题型8容斥定理的应用知识梳理知识梳理知识点知识点1交集、并集与补集1、交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即．2、并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即．3、补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．知识点知识点2集合的运算性质1、，，．2、，，．3、，，．4、高频结论（1）．（2）,．知识点知识点3区间的概念及表示1、区间的概念：设a，b是两个实数，而且，我们规定集合区间名称闭区间开区间半闭半开区间半开半闭区间2、含有无穷大的表示：全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即。集合区间题型探析题型探析题型题型1交集的概念与运算例1、已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】根据集合交集中元素的特征，可得，故选：A.【变式训练1】已知集合，或，则（

）A． B．C． D．或【答案】C【详解】因为，或，所以.故选：C【变式训练2】已知集合，，那么（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为集合，，因此，.故选：B.【变式训练3】若集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】依题意得，集合中的元素满足，，，，，，则的可能取值为0，1，2，3，4，8，即，所以．【变式训练4】集合，，则中元素的个数为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解不等式可得：，因为,所以集合,又，所以，所以中元素的个数为.故选：.题型题型2并集的概念与运算例2、已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由.故选：A.【变式训练5】已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为集合，所以.故选：C.【变式训练6】集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，所以．故选：C．【变式训练7】已知集合，，则中的元素个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【详解】由题意得：，所以，故共5个元素，故选：C．【变式训练8】设集合，，则A∩B=（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，，所以．故选：B．题型题型3补集的概念与运算例3、已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以.故选：A【变式训练9】已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为集合，，故.故选：B.【变式训练10】已知集合或，则（

）A．或 B．C．或 D．【答案】B【详解】因为或，所以，故选：B【变式训练11】已知全集，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】全集，则故选：D题型题型4由交、并、补运算求参数例4、已知集合，，若，则实数的值为（

）A．4 B．3 C．2 D．不存在【答案】B【详解】由可得，若，则,故，故选：B【变式训练12】设，，若，则实数a的值为.【答案】或或【详解】集合，由可得，若，，满足，若，，若，则或得或．综上，实数a的取值为或0或1．【变式训练13】已知集合，且，则（

）A． B．0 C． D．1【答案】D【详解】因为，且，所以，解得．故选：D．【变式训练14】已知集合，.(1)当时，求，；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)，.(2)【详解】（1）当时，，而，则，.（2）由，得或，解得或，所以的取值范围是.【变式训练15】已知集合(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)或.【详解】（1）由题设，故；（2）由，若，有满足题设；若，有，可得；综上，或.【变式训练16】设集合，集合．(1)若，求实数的值；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)．【详解】（1）由题意得．，即，化简得：，即，解得：，经检验当，满足当，满足（2），故①当为空集，则，即，得或；②当为单元素集，则，即，得或，当，舍去；当符合；③当为双元素集，则，则有，无解，综上：实数的取值范围为.【变式训练17】已知集合，.(1)当时，求；(2)若，且，求实数a的取值范围.【答案】(1)；(2)【详解】（1）当时，集合，，∴；（2）∵，（），，∴，∴，又，解得.∴实数a的取值范围是：.题型题型5交、并、补的混合运算例5、设全集，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】有题意可得，则.故选：C.【变式训练18】已知集合，集合，集合．求：(1)求，；(2)求，．【答案】(1)，；(2)，.【详解】（1）因为，，所以，，（2）因为，，所以，又，所以，由（1），，所以.【变式训练19】已知全集，集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题，可得，所以.故选：B.【变式训练20】设集合，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】依题意，，所以或，A选项错误；，B选项正确；或，或，C选项错误.，，D选项错误.故选：B题型6由集合的混合运算求参数题型6由集合的混合运算求参数例6、已知集合，且，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由得或．又，所以，故．【变式训练21】已知或，，若，则m的取值范围是.【答案】【详解】由或，可得，因为，，所以且，解得，故答案为：【变式训练22】已知集合，若，则的取值范围是.【答案】【详解】，所以或，又，所以，故答案为：【变式训练23】已知集合，．(1)当时，求；(2)若，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由，即，解得，所以，当时，，所以；（2）因为，所以，又，，所以，所以实数m的取值范围为.题型题型7Venn图在集合运算的应用例7、如图，是全集，是的子集，则阴影部分表示的集合是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】根据题意可知阴影部分为集合的外部与集合交集内部的公共部分，即，故选：C【变式训练24】已知全集，则如图所示的阴影部分所表示的集合为

B．或 C． D．【答案】D【知识点】交并补混合运算【详解】,所以阴影部分所表示的集合为,选D.【变式训练25】如图表示图形阴影部分的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】图中阴影部分表示元素满足：是A中的元素，或者是B与C的公共元素故可以表示为，也可以表示为：.故选：B．【变式训练26】（多选）集合U，S，T，F的关系如图所示，那么下列关系中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【详解】由图可知，是的子集，故A正确；不是的子集，故B错误；是的子集，故C正确；不是的子集，故D错误；故选：AC题型题型8容斥定理的应用方法技巧方法技巧若集合A为有限集,则用card(A)表示集合A中元素的个数.如果集合A中含有个元素,那么有card(A).（1）一般地,对于任意两个有限集合A,B,有cardcard(A)card(B)－card.（2）一般地,对于任意三个有限集合A,B,C,有cardcard(A)card(B)－card－card－card＋card.例8、为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、AI社团、围棋社团，高一某班学生共有30人参加了学校社团，其中有15人参加篮球社团，有8人参加AI社团，有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，只参加围棋社团的人数为(

)A．10 B．9 C．7 D．4【答案】A【详解】有15人参加篮球社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，所以只参加篮球社团的9人；设同时参加AI社团和围棋社团有人，因为有8人参加AI社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，所以只参加AI社团的有人；又因为有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，所以只参加围棋社团的有人.综上所述，共有30人参加了学校社团，所以，解得，故只参加围棋社团的人数为人.故选：A.【变式训练27】（多选）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（

）A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人【答案】BC【详解】根据题意，设是参加拔河的同学，是参加4人足球的同学，是参加羽毛球的同学，则，，，又，，所以，所以三项比赛都参加的有2人，只参加拔河的有3人，只参加4人足球的有2人，只参加羽毛球的有1人．故选：BC【变式训练28】高一1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（

）A．16人 B．18人 C．20人 D．24人【答案】A【详解】设集合“高一1班读过《牡丹亭》的学生”，其元素个数记为；集合“高一1班读过《醒世恒言》的学生”，其元素个数记为；则，则.故该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有16人.故选：A.课后演练课后演练一、单选题1、已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】令，解得，则，因为，所以，故D正确.故选：D2、已知，，则的子集个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】依题意，，所以的子集有个.故选：C3、已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由题意可得，所以.故选：D4、已知，，则A． B． C． D．【答案】D【详解】试题分析：因为，,所以,,，故答案为．5、已知集合，．若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，因为，且满足，，所以当时满足，此时，解得，当时，则有，解得,综上，，即实数的取值范围为．故选：A．二、多选题6、（多选）设，，若，则实数a的值可以是（

）A．0 B． C． D．3【答案】ABC【详解】∵，又∵，∴所以当时，此时；当时，此时；当时，此时；时，此时不存在；综上可得：实数a的值可以是，故选：ABC.7、（多选）已知全集，集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【详解】对于选项A：由，得4，所以，则，故A错误；对于选项B：，故B正确；对于选项C：由于，故，故C正确；对于选项D：由于，故，故D错误故选：BC三、填空题8、已知集合，，则.【答案】【详解】由可得，可得，故，故答案为：9、定义集合的商集运算为：，已知集合，，则集合的真子集个数是.【答案】【详解】因为，则，又因为，故，所以，集合有个元素，故集合的真子集个数.故答案为：.四、解答题10、设全集，集合，．(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由，即.当时，由，即.所以.（2）因为，若，则，由得：；若，则，成立；若，则，由得：.综上，实数的取值范围是：.11、已知集合，集合．(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围；(3)若，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)；(3).【详解】（1）由，则，故；（2）由，则，可得；（3）由，即，若，则，可得；若，则，无解；综上，.12、对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为，若集合A中只有一个元素，则.(1)若，求；(2)若，，，，求的最大值，并写出取最大值时的一组，，.【答案】(1)3(2)18，，，【详解】（1）由集合，知，，所以.（2）因为，，，，由此可知集合，，中各有3个元素，且完全不相同，根据定义要让取到最大值，则只需，，中元素不同且7，8，9分布在3个集合中，4，5，6分布在3个集合中，1，2，3分布在3个集合中，这样差值才会最大，总体才会有最大值，所以的最大值为，所以有一组，，满足题意.题型预览充分条件与必要条件题型预览题型1命题的判断题型4由条件关系求参数的取值范围题型2充分、必要、充要条件的判断题型5充要条件的证明题型3充分、必要、充要条件的探究知识梳理知识梳理知识点知识点1命题及相关概念1、定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题.2、命题的分类①真命题：判断为真的语句；②假命题：判断为假的语句.(3)命题的形式：“若p，则q”.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论.知识点知识点2充分、必要与充要条件1、充分条件与必要条件命题真假“若p,则q”是真命题“若p,则q”是假命题推出关系及符号表示由p通过推理可得出q，记作：p⇒q由条件p不能推出结论q，记作：条件关系p是q的充分条件

q是p的必要条件p不是q的充分条件

q不是p的必要条件一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．2、充要条件如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．【注】：“⇔”的传递性若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件．3、充分、必要与充要条件的判定(1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q.(2)如果p⇏q且q⇏p，则p是q的既不充分也不必要条件.(3)如果p⇒q且q⇏q，则称p是q的充分不必要条件.(4)如p⇏q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件.(5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}，若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A=B，则p是q的充要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件；若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．4、充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.5、充分条件、必要条件的应用充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.题型探析题型探析题型题型1命题的判断例1、下列语句是命题的是（

）A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180°C．这里的景色山真美啊! D．【答案】B【解析】对于A：命题是陈述句不是疑问句，A错误；对于B：这是陈述句，同时对事件作出判断，是命题，B正确；对于C：这是感叹句，不是命题，C错误；对于D：这是一个数学不等式，没有作出判断，所以D错误，故选：B【变式训练1】下列语句中，命题的个数是（

）①空集是任何集合的真子集；②请起立；③的绝对值为1；④你是高一的学生吗?A．0B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】①③是命题；②是祈使句，不是命题；④是疑问句，不是命题.故选：C.【变式训练2】已知，则下列判断中，正确的是（

）A．p为真，q为假 B．p为假，q为真C．p为真，q为真 D．p为假，q为假【答案】B【解析】p为假，q为真,故选：B【变式训练3】对于命题：全等三角形的周长相等，命题：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（

）A．和都是真命题 B．和都是假命题C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题【答案】C【解析】对命题，全等三角形的形状和大小均相同，故周长相等，故命题为真命题,对命题，只要三角形三边和相等，则周长相等，对形状和大小无要求，故周长相等的三角形不一定全等，故命题为假命题；对A,命题为真命题,命题为假命题，故A错；对B，命题为真命题,命题为假命题，故B错；对C,命题为真命题,命题为假命题，故C对，对D,命题为真命题,命题为假命题,故D错.故选：C.题型题型2充分、必要、充要条件的判断例2、“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】因为，所以，即，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A【变式训练4】“”是“”成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，，即“”是“”必要不充分条件.故选：B.【变式训练5】已知集合，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】集合，因等价于，即或，解得或，经检验符合题意；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.【变式训练6】已知，，则“”是“”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】因为若，则；若，则．故“”是“”的充要条件．故选：A【变式训练7】“月相变化”即地球上所看到的月球被日光照亮的不同形象．当地球位于月球和太阳之间时，我们可以看到整个被太阳直射的月球部分，这就是“满月”；当月球位于地球和太阳之间时，我们只能看到月球不被太阳照射的部分，这就是“朔月”；当地月连线和日地连线正好成直角时，若我们正好可以看到月球西半边亮且呈半圆形，这就是“上弦月”，若我们正好可以看到月球东半边亮且呈半圆形，这就是“下弦月”．根据以上信息可知“地月连线和日地连线正好成直角”是“下弦月”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】充分性：地月连线和日地连线正好成直角时，我们可能看到“上弦月”或“下弦月”，充分性不成立；必要性：若为“下弦月”，则地月连线和日地连线正好成直角，必要性成立，故“地月连线和日地连线正好成直角”是“下弦月”的必要不充分条件．故选：B.【变式训练8】满足“闭合开关”是“灯泡R亮”的必要而不充分条件的电路图是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】对于A，闭合开关或者闭合开关都可以使灯泡R亮，即充分性成立，反之，若要使灯泡R亮，不一定非要闭合开关，即必要性不成立，因此“闭合开关”是“灯泡R亮”的充分而不必要条件，不符合题意，故A错误；对于B，闭合开关而不闭合开关，灯泡R不亮，即充分性不成立，反之，若要使灯泡R亮，则开关必须闭合，即必要性成立，因此“闭合开关”是“灯泡R亮”的必要而不充分条件，符合题意，故B正确；对于C，闭合开关可使灯泡R亮，即充分性成立，反之，若要使灯泡R亮，开关一定是闭合的，即必要性成立，因此“闭合开关”是“灯泡R亮”的充要条件，不符合题意，故C错误；对于D，闭合开关但不闭合开关，灯泡R不亮，即充分性不成立，反之，灯泡R亮也可不闭合开关，只要闭合开关即可，即必要性不成立，因此“闭合开关”是“灯泡R亮”的既不充分又不必要条件，不符合题意，故D错误.故选：B.题型题型3充分、必要、充要条件的探究例3、“”成立的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得，所以是选项中对应集合的真子集，结合选项可知，D符合.故选：D【变式训练9】使“或”成立的一个充分不必要条件是（

）A． B．或C． D．或【答案】C【详解】各选项中，只有为或的真子集，其余均不为真子集，故“”是“或”的一个充分不必要条件，故选:C【变式训练10】一元二次方程有两个不相等负根的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设两个不等负实数根分别为，则需满足，解得，即，所以是方程有两个不相等负根的充要条件；是方程有两个不相等负根的既不充分又不必要条件；是方程有两个不相等负根的既不充分又不必要条件；是的真子集，所以是方程有两个不相等负根的必要不充分条件，故选：B.【变式训练11】（多选）已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】因为集合，集合，所以等价于即，对比选项，、均为的充分不必要条件.故选：AD.题型题型4由条件关系求参数的取值范围例4、已知集合，集合，且是的充分条件，则实数的取值范围为（

）A．B． C． D．【答案】D【解析】因是的充分条件，则，故，则.故选：D【变式训练12】已知非空集合，，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【详解】由题意,且,所以,则,可得;故选：A.【变式训练13】（多选）若是的必要不充分条件，则实数a的值可以为（

）A．2 B． C． D．0【答案】BCD【详解】由可解得：或，依题意，是的真子集，则可以是，或.当时，易得；当，可得；当，可得.故选：BCD.【变式训练14】已知：，，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】设集合，集合，因为的充分不必要条件是，所以是的真子集，则，解得.故选：D【变式训练15】若是或的一个既不充分也不必要条件，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解法1

设，，由题意可知和都不成立，所以．解法2

若，则，故不成立，排除A，C；若，则，故不成立，排除D．【变式训练16】已知集合或，.(1)若“”是“”成立的必要条件，求的取值范围；(2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求的取值范围；(3)若“”是“”成立的充分条件，求的取值范围；(4)若“”是“”成立的充分不必要条件，求的取值范围.【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【详解】（1）若“”是“”成立的必要条件，则是的子集，故，解得.所以的取值范围是.（2）若“”是“”成立的必要不充分条件，则是的真子集，故，解得.所以的取值范围是.（3）若“”是“”成立的充分条件，则是的子集，易知，所以.所以的取值范围是.（4）若“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集，因为，所以.所以的取值范围是.【变式训练17】已知集合，集合，.(1)当时，求；(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)【详解】（1）当时，，又则；（2）由“”是“”的必要不充分条件，可知，所以或，解得或，综上所述，即.题型题型5充要条件的证明例5、求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是．【答案】证明见解析【解析】证明：充分性：因为，所以，代入方程，得，即．所以方程有一个根为1．必要性：因为方程有一个根为1，所以满足方程，所以，即．故关于的方程有一个根为1的充要条件是．【变式训练18】已知，求证：成立的充要条件是．提示：【答案】证明见解析.【详解】充分性：若，则，即充分性成立；必要性：若，而，则，又，由，得且，即，且，因此，则，即必要性成立，所以成立的充要条件是.【变式训练19】已知是实数，集合，．(1)若，请写出集合的所有子集；(2)求证：“”是“”的充要条件．【答案】(1)，，，，，，，(2)证明见解析【详解】（1）若，则，所以的所有子集为：，，，，，，，.（2）证明：若，则，所以，故充分性成立；若，则，因为，所以，解得或，当时，，不满足互异性，故舍去，当时，，满足互异性，故必要性成立.所以“”是“”的充要条件.课后演练课后演练一、单选题1、“”是“”成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由题意可得，即“”可以推得“”，满足充分性，但由“”得不出“”，不具备必要性，所以为充分不必要条件.故选：A.2、下列命题为真命题的是（

）A．“且”是“”的充要条件B．“”是“”的充分条件C．“”是“一元二次方程有实数根”的充要条件D．“一个三角形的三边长满足两边的平方和等于第三边的平方”的充要条件是“此三角形为直角三角形”【答案】D【详解】对于A，由“且”得“”，但“”未必能推出“且”，如且满足，但不满足，故A是假命题；对于B，“”未必能推出“”，如，故B是假命题；对于C，如一元二次方程有实数根，但不满足“”，故C是假命题，D是真命题．3、下列命题中，为假命题的是（

）A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的充分条件C．“”的充要条件是“” D．“”是“”的必要条件【答案】D【详解】因为，所以“”是“”的必要条件，A是真命题；因为，所以“”是“”的充分条件，B是真命题；因为，C是真命题；因为，所以“”是“”的充分条件，D是假命题．4、已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，当时，，解得；当时，，前两个等号不能同时取得，解得，综上m的取值范围是，故选：A.二、多选题5、在下列条件中，能成为“使二次方程的两根为正数”的必要不充分条件是（

）A． B．C．且 D．，，【答案】ABC【详解】若二次方程的两根为正数，则，，，故满足其中一个或两个不能推出二次方程的两根为正数，所以选项A，B，C能成为使二次方程的两根为正数的必要不充分条件.6、已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】AD【详解】因为集合，集合，所以等价于即，对比选项，、均为的充分不必要条件.故选：AD.三、填空题7、已知，，则“”是“”的条件（“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”）.【答案】必要不充分【详解】取，显然成立，而不成立，所以“”是“”的不充分条件；当，不妨假设，则，所以，又因为，所以，所以“”是“”的必要条件.所以“”是“”的必要不充分条件.故答案为：必要不充分8、已知．（1）若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是；（2）若仅有一个整数使得“p不成立，且q成立”，则实数m的取值范围是．【答案】【详解】设条件p对应集合A，条件q对应集合B，则．（1）由题得集合B是集合A的真子集，当时，有，此时；当时，有此时，所以实数m的取值范围是．（2）或．由题意知，所以．若中只有一个整数，则，得．四、解答题9、设为实数，集合．(1)若，求；(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．【答案】(1)；或；(2)【详解】（1）若，则，且，可得，，所以或.（2）若“”是“”的必要不充分条件，可知集合B是集合A的真子集，显然集合B不是空集，则，解得，所以实数的取值范围为.题型预览全称量词与存在量词题型预览题型1全称量词命题、存在量词命题的辨析题型4根据全称量词命题的真假求参数题型2全称量词命题、存在量词命题的真假题型5根据存在量词命题的真假求参数题型3全称量词命题、存在量词命题的否定题型6常用逻辑用语与集合问题的综合考查知识梳理知识梳理知识点知识点1全称量词与存在量词1、全称量词与全称量词命题全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给符号∀全称量词命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”2、存在量词与存在量词命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示∃存在量词命题含有存在量词的命题形式“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”3、全称量词命题与存在量词命题的真假判断(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题.知识点知识点2存在量词命题与存在量词命题的否定1、全称量词命题与存在量词命题的否定(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题．(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题．2、对全称量词命题否定的两个步骤：①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)eq\o(→,\s\up7(改为))存在量词(∃)．②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．3、对存在量词命题否定的两个步骤：①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)eq\o(→,\s\up7(改为))全称量词(∀)．②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．知识点知识点3命题的否定与原命题的真假1、命题的否定与原命题的真假一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假．2、命题否定的真假判断(1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真.题型探析题型探析题型题型1全称量词命题、存在量词命题的辨析例1、（多选）下列命题中，是全称量词命题的是（

）A．至少有一个x，使成立 B．对任意的x，都有成立C．对任意的x，都有不成立 D．存在x，使成立【答案】BC【详解】A选项中有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题，故A错误；BC选项中有全称量词“任意的”，是全称量词命题，故BC正确；D选项中有存在量词“存在”，是存在量词命题，故D错误.故选：BC.【变式训练1】下列命题是全称量词命题的是（

）A． B．存在一个菱形的四条边不相等C．偶数的平方是偶数 D．有一个数不能做除数【答案】C【详解】对于A，命题含有存在量词，此命题为特称命题，不符题意；对于B，命题含有存在量词，此命题为特称命题，不符题意；对于C，命题为：所有偶数的平方是偶数，此命题为全称命题，符题意；对于D，命题含有存在量词，此命题为特称命题，不符题意.故选：C.【变式训练2】下列命题中是存在量词命题的是（

）A．所有的素数都是奇数 B．，C．对任意一个无理数x，也是无理数 D．有一个偶数是素数【答案】D【详解】对于A中含有“所有的”，该命题是全称量词命题；对于B中含有“”，该命题是全称量词命题；对于C中含有“任意一个”，该命题是全称量词命题；对于D中含有“有一个”，该命题是存在量词命题；故选：D.【变式训练3】下列命题中的存在量词命题是（

）A．所有能被3整除的整数都是奇数 B．每一个四边形的四个顶点在同一个圆上C．有的三角形是等边三角形 D．任意两个等边三角形都相似【答案】C【详解】对于A，含有量词所有，为全称量词命题，故A错误；对于B，含有量词每一个，为全称量词命题，故B错误；对于C，含有量词有的，为存在量词命题，故C正确；对于D，含有量词任意，为全称量词命题，故D错误.故选：C.题型题型2全称量词命题、存在量词命题的真假例2、下列命题中为真命题的是（

）A． B．是整数C． D．【答案】B【详解】对于A选项，对于命题，因为对于任意实数，，所以，恒大于，A选项错误.对于B选项，对于任意的整数，一定是整数，也一定是整数，所以是整数，B选项正确.对于C选项，对于命题，当时，，不满足，C选项错误.对于D选项，对于命题，例如，则，D选项错误.故选：B.【变式训练4】（多选）下列命题正确的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】BD【详解】当时，，无解，故A错误；当时，，故B正确；当时，，故C错误；由，故D正确.故选：BD【变式训练5】下列四个命题中真命题是（

）A．， B．，C．，使 D．，【答案】C【详解】对于A，显然，，故A错误；对于B，当时，，故B错误；对于C，当时，，故C正确；对于D，由，故D错误.故选：C【变式训练6】下列含有量词的命题中为真命题的是（

）A．任意实数的平方都大于0B．，C．存在整数，使得D．，一元二次方程有实根【答案】C【详解】AB是全称量词命题，排除，CD是存在量词命题，C，存在使得，故C正确；对于D，质数中，只有2的平方是偶数，故D错误.故选：C.题型题型3全称量词命题、存在量词命题的否定例3、已知命题，则为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】已知命题，则为.故选：B.【变式训练7】已知命题，，则命题为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【详解】由题可得，，的否定是，.故选：A【变式训练8】若命题，则（

）A．是真命题，且B．是真命题，且C．是假命题，且D．是假命题，且【答案】C【详解】当时，，所以是假命题，且.故选：C.【变式训练9】已知，，则（

）A．是假命题，，B．是假命题，，C．是真命题，，D．是真命题，，【答案】B【详解】因为，所以方程无实数根，则是假命题，，．故选：B题型题型4根据全称量词命题的真假求参数方法技巧方法技巧1.常以一次函数、二次函数等为载体，题目中常出现“恒成立”等词语。2.求参数的取值范围时，从真命题的角度容易列关系式，如果已知一个存在量词命题是假命题，可以写出该命题的否定，利用该命题的否定是真命题求得参数的取值范围。3.若情况较多的时候，也可以采用正难则反的思路进行求解例4、已知命题，若p为真命题，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为命题为真命题，则对恒成立，所以，即的取值范围是.故选：D【变式训练10】若命题“，”