2026年高一数学暑假讲义教师版 （A版）板块三

2026年高一暑假讲义2026年高一暑假讲义板块三一元二次函数、方程和不等式题型预览等式性质与不等式性质题型预览题型1用不等式（组）表示不等关系题型4利用不等式的性质求数（式）的取值范围题型2比较两数（式）的大小题型5利用不等式的性质证明不等式题型3利用不等式性质判断命题真假知识梳理知识梳理知识点知识点1不等关系1、不等式的概念用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式.2、常见文字语言与符号语言之间的对应关系文字语言大于、高于、超过小于、低于、少于大于或等于、至少、不低于小于或等于、至多、不多于、不超过符号语言><≥≤3、不等关系的建立在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组．知识点知识点2比较大小1、两个实数大小的比较如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a＝b；如果a-b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a-b>0，a＝b⇔a-b＝0，a<b⇔a-b<0.从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．比较大小的基本方法关系方法作差法与0比较作商法与1比较或或知识点知识点3等式性质与不等式性质1．等式的基本性质性质1对称性：如果a＝b，那么b＝a；性质2传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；性质5可除性：如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).2．不等式的性质(1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.(2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.(3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．3．不等式的两类常用性质(1)倒数性质①a>b，ab>0⇒；②a<b<0⇒；③a>b>0，0<c<d⇒；④0<a<x<b或a<x<b<0⇒．(2)有关分数的性质：若a>b>0，m>0，则①真分数的性质：；②假分数的性质：.题型探析题型探析题型题型1用不等式（组）表示不等关系例1、在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由题意得.故选：D【变式训练1】持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（

）．A． B．C． D．【答案】D【详解】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即，故选：D．【变式训练2】一桥头竖立的“限质量”的警示牌，是提示货车司机要安全通过该桥，应使货车总质量不超过，用不等式表示为.【答案】【详解】因为货车司机要安全通过该桥，应使货车总质量不超过，所以有：.题型题型2比较两数（式）的大小例2-1、已知，，则与的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以．故选：C【变式训练3】已知，，设，，则与的大小关系为．【答案】【详解】．因为，，所以，，，所以，所以．【变式训练4】若，设，则M，N的大小关系是．【答案】【详解】，因为，所以，所以，即，故答案为：例2-2、已知a是实数，则“”是“”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】当时，，故，即成立，则成立；当时，，但推不出成立，故“”是“”的充分不必要条件，故选：A【变式训练5】设，，则（

）．A． B． C． D．【答案】D【详解】，，则.故，当且仅当时，取等号，故选：D【变式训练6】从下列三组式子中选择一组比较大小：①设，比较的大小；②设，比较的大小；③设，比较的大小.注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分.【答案】①；②；③；【详解】解：①，因为，所以，即；.②，.③方法一（作差法），因为，所以，所以，所以...方法二（作商法）因为，所以，所以，所以..题型题型3利用不等式性质判断命题真假例3、下列命题是假命题的为（

）A．若，则 B．若且，则C．若且则； D．若，则【答案】D【详解】对于A；由，可知，所以，故A正确；对于B；由可得：，因为，所以，故B正确；对于C；由可得：，又因为所以，故C正确；对于D；取，则故D错误；故选：D.【变式训练7】（多选）若实数满足，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【详解】，所以B正确；当时，满足，但，所以A，C；,故D正确.故选：BD【变式训练8】（多选）下列命题为真命题的是（

）A．若，则B．若，，则C．若且，则D．若，则【答案】BCD【详解】对于A选项，若，，则，A错误；对于B选项，若，，则，，B正确；对于C选项，若且，则，即，C正确；对于D选项，若，所以,所以，D正确.故选：BCD.题型题型4利用不等式的性质求数（式）的取值范围方法技巧方法技巧利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，解决的方法是先利用待定系数法建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再利用不等式的性质求解，具体步骤如下：已知，，求的取值范围.第一步：设；第二步：经过恒等变形，求得待定系数；第三步：再根据不等式的同向可加性即可求得的取值范围．例4、（多选）已知，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【详解】对于A，因，，利用不等式的同向可加性，则有，故A正确；对于B，不妨取，但，故B错误；对于C，因，，故由不等式的同向可加性，可得，故C正确；对于D，因，不妨取，显然，故D错误.故选：AC.【变式训练9】已知，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，，则，可得，由不等式的基本性质可得.故选：A.【变式训练10】（多选）已知实数满足，，则（

）A． B．C． D．【答案】CD【详解】因为，所以，因为，所以，故A错误；因为，所以，因为，所以，故B错误；因为，，所以，故C正确；因为，所以，所以，又，所以，故D正确.故选：CD.【变式训练11】（多选）已知，，则（

）A． B．C． D．【答案】BD【详解】A：由，，得，故，错；B：由，得，而，故，对；C：由，，得，错；D：由，得，而，则，对.故选：BD【变式训练12】已知实数x，y满足，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设，则，所以，，解得，即，，则，因此，.故选：D.【变式训练13】（多选）已知实数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】AB【详解】A选项，，相加得，故，A正确；B选项，，相加得，故，B正确；C选项，设，故，解得，所以，故，相加得，即，C错误；D选项，设，故，解得，故，，相加得，，D错误.故选：AB题型题型5利用不等式的性质证明不等式例5、（1）比较和的大小；（2）已知，，证明：【答案】（1）；（2）证明见解析【详解】（1）因为，所以.（2）证明：因为，所以，，于是，即，由，得.【变式训练14】已知实数，满足，．(1)求和的取值范围；(2)证明：．【答案】(1)，(2)证明见解析【详解】（1）因为，，所以，当，时，则，，此时，当，时，则，此时，得到，当，时，则，此时，得到，当，时，，又当或时，，综上，.（2）因为，又，，则，，所以，得到.【变式训练15】设，，.(1)证明：；(2)若，证明.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【详解】（1）证明:∵，∴.a，b，c不同时为，则，∴；（2）.∵，取等号的条件为，而，∴等号无法取得，即，又，∴，∴.课后演练课后演练一、单选题1、对于实数，下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【详解】若，则，A选项错误；若，则，B选项错误；若，则，C选项错误；若，则，则，D选项正确.故选：D.2、对于实数，下列命题正确的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么【答案】D【详解】对于A，等时，不成立，错误；对于B，取，不成立，错误，对于C，取，不成立，错误；对于D，因为，不等式两端同除，可得，正确，故选：D3、如果，那么“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】若，，则，则，即，充分性成立；若，，则，所以，必要性成立，所以如果，那么“”是“”的充要条件.故选：C4、已知，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】设，则，所以，解得，于是又，，所以，即.故．故选：D．二、多选题5、设，则P，Q，R的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】AB【详解】因为，所以．因为，又，所以，所以．6、下列说法正确的是（

）A．若，，且，则 B．若，，则C．若，，且，则 D．若，，且，则【答案】AD【详解】对于选项A，因为，所以，即，故A正确；对于选项B，取，，，，满足，，但，故B错误；对于选项C，取，，满足，，且，但，故C错误；对于选项D，因为，所以，，则，故D正确．三、填空题7、某班班主任为了解某组学生对羽毛球、篮球和乒乓球的喜爱情况，经调查发现喜欢羽毛球的人数多于喜欢篮球的人数，喜欢篮球的人数多于喜欢乒乓球的人数，喜欢乒乓球的人数的3倍减去4多于喜欢羽毛球的人数，且每位学生只喜欢一种球类运动项目，则该组学生喜欢羽毛球、篮球和乒乓球这三种球类运动项目的总人数至少为.【答案】【详解】设该组学生中喜欢羽毛球、篮球、乒乓球的人数分别为，则，且根据已知条件有，结合知，即.由于每位学生只喜欢一种球类运动项目，故喜欢羽毛球、篮球和乒乓球这三种球类运动项目的总人数为.再由，知，从而.故.当，，时，有，且.所以喜欢羽毛球、篮球和乒乓球这三种球类运动项目的总人数至少为.8、已知实数a，b满足，则的取值范围为.【答案】【详解】，.故答案为：.四、解答题9、（1）已知，，求，及的取值范围．（2）设、均为正实数，试比较和的大小．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【详解】（1）因为，所以，又，两个不等式相加可得，即．因为，所以，又，两个不等式相加可得，即．因为，所以，当时，两个不等式相加乘可得：，即；当时，两个不等式相加乘可得：，即，所以．的取值范围为；的取值范围为；的取值范围为.（2）．因为，均为正实数，所以．当，即时，，此时；当，即时，，此时；当，即时，，此时．

综上可得：当时，；当时，；当时，．10、（1）已知且，比较与的值的大小，并说明理由；（2）若，，，比较与的值的大小，并说明理由.【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析.【详解】（1），理由如下：因为故：当且时，；当或时，.（2），理由如下：由得：.因为，所以所以.又因为，所以.11、（1）已知，，，求证：；（2）证明：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【详解】（1）因为，所以．又，所以，则，所以，即．又，所以．（2）要证，只需证，即证，即证，即证，即证，显然成立，所以．题型预览基本不等式题型预览题型1基本不等式的辨析题型6二次（一次）的商式求最值题型2利用基本不等式比较大小题型7利用基本不等式证明题型3直接法求最值题型8实际问题中的基本不等式题型4配凑法求最值题型9基本不等式与恒（能）成立问题题型5常数代换法求最值知识梳理知识梳理知识点知识点1两个不等式1、两个不等式不等式内容等号成立条件重要不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)当且仅当“a=b”时取“=”基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a>0,b>0)当且仅当“a=b”时取“=”eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．注：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，eq\r(ab)≠eq\f(a＋b,2)，即只能有a2＋b2>2ab，eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2).2、基本不等式的常见变形(1).(2).知识点知识点2基本不等式与最值1、基本不等式与最值已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.注：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”．2．常见的求最值模型(1)模型一：，当且仅当时等号成立；(2)模型二：，当且仅当时等号成立；(3)模型三：，当且仅当时等号成立；(4)模型四：，当且仅当时等号成立.3．利用基本不等式求最值的几种常见方法(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.题型探析题型探析题型题型1基本不等式的辨析例1、（多选）下列说法中正确的是（

）A．成立的条件是 B．成立的条件是C．成立的条件是 D．成立的条件是【答案】BC【详解】为重要不等式，其中，A错，B对；是基本不等式，其中，C对，D错.故选：BC【变式训练1】《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，，，而（重合时取等号），因此有．故选：D．【变式训练2】（多选）已知，且，则下列不等式中，恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【详解】对于A，当为负数时不成立，故A错误，对于B，，则，故B正确，对于C，，则都为正数，，当且仅当，即时等号成立，故C正确，对于D，，当且仅当和同时成立，即时等号成立，故D正确，故选：BCD【变式训练3】（多选）以下结论正确的是（

）A．函数的最小值是4B．若且，则C．若，则的最小值为3D．函数的最大值为0【答案】BD【详解】A.对于函数，当时，，所以A选项错误.B.由于，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以B选项正确.C.，但无解，所以等号不成立，所以C选项错误.D.由于，所以，当且仅当时等号成立，所以D选项正确.故选：BD【变式训练4】（多选）下列判断正确的有（

）A． B．C． D．【答案】BCD【详解】对于A选项，当时，，A错；对于B选项，当时，，则，当且仅当时，即当时，等号成立，B对；对于C选项，因为，则，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，C对；对于D选项，因为，则，则，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，但，故等号不成立，所以，，D对.故选：BCD.题型题型2利用基本不等式比较大小例2、已知，，，则与的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，，，所以，即，当且仅当时等号成立．故选：A.【变式训练5】已知、为互不相等的正实数，下列四个数中最大的是（

）A．B． C． D．【答案】C【详解】因为、为互不相等的正实数，所以由重要不等式可得，则，所以，，则，由基本不等式可得，所以，因此，最大的数为.故选：C.【变式训练6】已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，由基本不等式得，故，因为，，两式相减得，，故，所以，故，所以.故选：B【变式训练7】已知，则下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由，得，，则，因此.故选：C题型题型3直接法求最值例3、已知，，且，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．【答案】A【详解】因为，，根据基本不等式可得，所以.当时，取最大值.故选：A.【变式训练8】的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【详解】因为，所以，由均值不等式得，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为2.故选：B.【变式训练9】已知且，则的最小值为（

）A．4 B．6 C． D．8【答案】D【详解】且，则，当且仅当，即时取等号，所以当时，的最小值为8.故选：D【变式训练10】若，则的最大值为．【答案】【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为.故答案为：.【变式训练11】若，则的最大值为．【答案】16【详解】法一：因为，所以，，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为16.法二：因为，所以，，由均值不等式可得，从而，当且仅当，即时取等号．所以的最大值为16.故答案为：16题型题型4配凑法求最值例4、函数的最小值为，此时x的值为．【答案】【详解】由知，所以，当且仅当，即时取等号．方法总结对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换等．【变式训练12】已知，则的最小值为（

）A．3 B．4 C． D．6【答案】A【详解】由，得，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为3.故选：A【变式训练13】已知，则的最大值为（

）A． B．0 C．4 D．【答案】D【详解】因为，则，所以，，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为.故选：D【变式训练14】已知，则函数的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】当时，，当且仅当，即时等号成立，所以时，的最大值为，故选：A.题型题型5常数代换法求最值例5、已知，则的最小值为（

）A．5 B．6C． D．【答案】C【详解】，当时取等，所以的最小值为.故选：C.【变式训练15】已知，，，则的最小值为（

）A．9 B． C．4 D．6【答案】B【详解】因为，所以，当且仅当b2a=2a故的最小值为，故选：B【变式训练16】已知，则的最小值为．【答案】【详解】因为，故，当且仅当时，结合，即时取等号，即的最小值为，故答案为：【变式训练17】已知，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】由，得，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为2．故选：B【变式训练18】已知正实数a、b满足，则的最小值为（

）A．2 B．3 C． D．【答案】B【详解】∵正实数满足，∴，则.当且仅当，且，即时取等号，故选：B．【变式训练19】若正数x，y满足，则的最小值是（）A．6 B． C． D．【答案】C【详解】因为正数x，y满足，所以，所以，当且仅当，即，又，时，等号成立，所以的最小值为.故选：C【变式训练20】已知，且，则的最小值为.【答案】2【详解】因为，且，所以且，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为2.故答案为：2.【变式训练21】已知，则的最小值为．【答案】25【详解】，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.故答案为：25【变式训练22】已知实数，且，则的最小值为（

）A．16 B．18 C．22 D．26【答案】C【详解】因为，所以，因为，当且仅当，即时等号成立，此时的最小值为22．故选：C题型题型6二次（一次）的商式求最值例6、若，则的最小值是.【答案】/【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号，故答案为：【变式训练23】若，则的最小值为.【答案】4【详解】当时，，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为4.故答案为：4【变式训练24】已知，则的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】，，，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.故选：C.【变式训练25】（1）设，且，求的最小值；（2）设，求的最小值.【答案】（1）1；（2）.【详解】（1）因为，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为1；（2）因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立所以的最小值为.题型题型7利用基本不等式证明例7、已知，求证(1)；(2).【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【详解】（1）解：因为，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以.（2）解：因为，则，当且仅当，即时，等号成立，所以.【变式训练26】（1）已知，，，求证：．（2）已知，，，，求证：．【答案】证明见解析；证明见解析【详解】（1）证明：∵，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴；（2）证明：∵，，，且，∴，当且仅当时取等号．.【变式训练27】证明下列不等式：(1)已知，，，求证：；(2)已知，，均为正实数，且，求证：.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【详解】（1）由，得，因为，所以，所以，进而得到，因为，所以.（2）因为，，均为正实数，且，所以由基本不等式得，，当且仅当时，等号成立.【变式训练28】已知正实数a，b，c满足.(1)求的最小值；(2)证明：，【答案】(1)9；(2)证明见解析【详解】（1）因为，所以，由，当且仅当时取等号，即的最小值是9；（2）由，当且仅当时取等号，故.【变式训练29】（1）若，，，都是正数，求证：；（2）若，，都是正数，求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【详解】证明

（1）由，，，都是正数，利用基本不等式可知，，当且仅当时，等号成立；，当且仅当时，等号成立.所以，即有，当且仅当，时，等号成立.（2）由，，都是正数，利用基本不等式可知，，当且仅当时，等号成立；，当且仅当时，等号成立；，当且仅当时，等号成立.所以，当且仅当时，等号成立.题型题型8实际问题中的基本不等式例8、火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为．(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为元．若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．【答案】(1)当左右两面墙的长度为时，甲工程队报价最低(2)【详解】解：（1）因为屋子的左右两侧墙的长度均为，底面积为，所以屋子的前面墙的长度为．设甲工程队报价为y元，所以．因为，当且仅当，即时，等号成立，所以当左右两面墙的长度为时，甲工程队报价最低，为14400元．（2）根据题意可知对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以对任意的恒成立．因为，当且仅当，即时，等号成立，所以．故当时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功．【变式训练30】利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）．(1)求a与b满足的关系式；(2)求仓库占地（即底面）面积S的最小值；(3)求仓库的储物量（即容积V）的最大值．【答案】(1)，其中，．(2)；(3)【详解】（1）由题设，则且；（2）由，得，易知S是关于b的减函数，所以当b取最大值3m时，S取最小值．故仓库占地面积的最小值为，此时．（3）解法一：由，得．因为（当且仅当时取等号）．所以，故，解得，故（当且仅当时取等号）．所以仓库容积的最大值为，此时．解法二：由，得．故．因为（当且仅当时取等号）．所以（当且仅当时取等号）．故仓库容积的最大值为，此时．【变式训练31】某厂家拟2025年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）.(1)求的值；(2)将2025年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；(3)该厂家2025年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【答案】(1)；(2)；(3)3万元【详解】（1）由题意知，当时，（万件），则，解得；（2）由（1）可得.所以每件产品的销售价格为（元），2025年的利润.（3）当时，，，当且仅当时等号成立.，当且仅当，即万元时，（万元）.故该厂家2025年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元.题型题型9基本不等式与恒（能）成立问题方法技巧方法技巧在基本不等式里，求解基本不等式更成立问题时，通常采用基本不等式求出最值然后利用恒成立思想进行求解①若在上恒成立，则；②若在上恒成立，则；③若在上有解，则；④若在上有解，则；例9、已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】不等式恒成，即，，当且仅当，即时等号成立，故.故选：.【变式训练32】存在，使得不等式能成立，则的最小值等于（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【详解】因为，所以，所以，又，当且仅当，即时取等号，因为存在，使得不等式能成立，所以.所以的最小值等于.故选：B.【变式训练33】当时，不等式有解，则实数m的最小值为.【答案】5【详解】由可得.，当且仅当，即时取等号.因为有解，所以，即，解得.故答案为：5.【变式训练34】不等式对于恒成立，则m的取值范围.【答案】【详解】因为不等式对于恒成立，所以不等式对于恒成立，所以不等式对于恒成立，所以不等式对于恒成立，而当时，，等号成立当且仅当，所以当时，有最小值3，则m的取值范围为.故答案为：.【变式训练35】已知，且恒成立，则的最大值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】因为，则，又恒成立，即恒成立，又，当且仅当，即时取等号，所以，故选：B.课后演练课后演练一、单选题1、已知，则的最小值是（

）A．4 B．5 C．3 D．2【答案】C【详解】由题设，当且仅当时取等号，故原式的最小值为3.故选：C【答案】B2、建造一个容积为，深为的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米180元和80元，那么水池的最低总造价为（

）A．1000元 B．2000元 C．2720元 D．4720元【答案】B【详解】由题意，设水池底面一边长为，则另一边长为，总造价，当且仅当，即时，等号成立．3、函数的最小值为（

）A．2 B． C．4 D．【答案】A【详解】当时，，函数，当且仅当，即时取等号，所以所求最小值为2.故选：A4、若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【详解】因为正实数x，y满足，所以，当且仅当时取等号，即当时，取等号，因此要想有解，只需，故选：B5、已知正数，满足，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【详解】由题意，，当且仅当，即时取等号.故选：B6、已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，，即.，即.，当且仅当即时等号成立.故的最小值为.故选：D.二、多选题7、下列结论正确的是（

）A．设，则的最小值是B．当时，的最小值是2C．当时，D．当时，的最小值是5【答案】CD【详解】对于A，因为不是定值，因此的最小值不是，A错误；对于B，当时，，当且仅当时取等号，而当时，不能取到等号，因此恒成立，B错误；对于C，当时，，当且仅当，即时取等号，C正确；对于D，当时，，，当且仅当，即时取等号，D正确.故选：CD8、以下结论正确的是（）A．若，则的最大值为B．的最小值为2C．若则D．若a+b＝1，则【答案】AC【详解】对于选项A，已知，又因为，所以，即，当且仅当时等号成立.将代入可得.因为，所以，则.对不等式两边同时开平方，可得，所以的最大值为，故选项A正确.对于选项B，.但是等号成立的条件是，即.而因为，所以，那么，等号不成立，所以，故选项B错误.对于选项C，已知，则（因为），所以.在不等式两边同时加上，可得.不等式两边同时除以，得到.因为，且，，开平方，可得，故选项C正确.对于选项D，.根据基本不等式则，所以，当且仅当，即时等号成立.由于；则，故选项D错误.故选：AC.三、填空题9、已知，则的最大值为．已知，，且，则的最小值为【答案】/【详解】当时，，故，当且仅当时取到等号，故的最大值为由于，，故，则，当且仅当时，即时取到等号，故的最小值为.10、已知命题，恒成立是真命题，则实数的取值范围是．【答案】【详解】因为，恒成立，所以．又因为，所以，根据均值不等式可得：，当且仅当，即时取等号，所以，即．故答案为：.四、解答题11、某企业年年初花费64万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为30万元，设备使用年后该设备的维修保养费用为万元，盈利总额为y万元．(1)求y关于x的函数关系式；(2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额＝盈利总额÷使用年数）【答案】(1)；(2)10万元【详解】（1）根据题意：，故y关于x的函数关系式为.（2）由（1）知盈利总额为，则年平均盈利额为，则，因为（当且仅当时取等号），所以有万元，故第8年年平均盈利额取得最大值，最大值为10万元.12、（1）已知，求的最大值；（2）若，求的最小值；（3）已知为正实数，，求的最小值.【答案】（1）；（2）8；（3）．【详解】（1）因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号；所以，的最大值为.（2）因为，所以，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为.（3），．又，，，当且仅当，即时，等号成立．由得当，时，取得最小值．13、（1）已知a，b，c，d都是正实数，证明：；（2）已知x，y是正实数，，若恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）．【详解】（1）方法1：，∴；方法2：∵，，，∴，当且仅当时，等号成立，故.（2）由恒成立，知，∵，，，∴，当且仅当，即时，等号成立，即，∴，解得或，故m的取值范围为.二次函数与一元二次方程、不等式题型预览题型预览题型1解不含参的一元二次不等式题型6一元二次不等式的根的分布情况题型2解含参的一元二次不等式题型7一元二次不等式的恒成立问题题型3解分式、高次、绝对值不等式题型8一元二次不等式的有解问题题型4由一元二次不等式的解求参数题型9一元二次不等式的实际应用题型5三个“二次”关系的应用知识梳理知识梳理知识点知识点1一元二次不等式1、一元二次不等式一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.2、一元二次不等式的解法(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；②计算对应方程的判别式；③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．(2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤：①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．3、分式、高次、绝对值不等式的解法(1)解分式不等式的一般步骤：①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．(2)解高次不等式的一般步骤：高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集.(3)解绝对值不等式的一般步骤：对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解.知识点知识点2三个“二次”的关系1、二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．注：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系∆>0∆=0∆<0y=ax2+bx+c

(a>0)的图象ax2+bx+c=0

(a>0)的根有两个不相等的实数根

x1,x2（x1<x2）有两个相等的实数根

没有实数根ax2+bx+c>0

(a>0)的解集或Rax2+bx+c<0

(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅注：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．知识点知识点3一元二次不等式恒成立、有解问题1、二次函数的零点不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件．一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为．题型探析题型探析题型题型1解不含参的一元二次不等式例1、解一元二次不等式(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)或．(3)一切实数．(4)．【详解】（1），方程的解是．不等式的解为．（2）整理得，．，方程的解为.原不等式的解为或．（3）整理，得．由于上式对任意实数都成立，原不等式的解为一切实数．（4）整理，得．由于当时，成立；而对任意的实数都不成立，原不等式的解为．【变式训练1】解下列不等式：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1).(2)(3)或(4).【详解】（1）原不等式可化为.对于方程，因为，可知函数的图象开口向上，且与x轴无交点，其大致如图1所示，由图1可知原不等式的解集为.（2）原不等式可化为，即，函数的图象如图2所示，由图2可知原不等式的解集为.（3）易知方程的两根分别是，，则函数的图象与x轴有两个交点，分别为点和点，又函数的图象是开口向上的抛物线，图象如图3所示，由图3可得原不等式的解集为或.（4）原不等式可化为，易知方程有两个相等实根，画出函数的图象如图4所示，由图4可知原不等式的解集为.【变式训练2】解下列不等式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)或；(2)；(3)或；(4)【详解】（1）方程的两根为，．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为或；（2）原不等式可化为．解方程，得．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为．（3）原不等式可化为．方程两根为2和-3．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为或．（4）由原不等式得．原不等式等价于．解方程，得．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为．题型题型2解含参的一元二次不等式例2、若，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】，，不等式，即不等式的解集为.故选：C.【变式训练3】关于x的一元二次不等式，当时，该不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由，得，不等式化为，而方程的二根为或，又，即，所以原不等式的解集为.故选：C【变式训练4】解关于的不等式．【答案】答案见解析【详解】由不等式，则，当，即时，解得或；当，即时，解得；当，即时，解得或.综上，当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或.【变式训练5】（1）解关于的不等式.（2）解关于的不等式.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析【详解】（1），①若，则原不等式可化为，解得；②若，则原不等式化为，解得或；③若，则原不等式化为，解得；综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；（2）由题意得，①当，即时，方程无实根，所以原不等式的解集为；②当，即或时，方程的两个根为，，所以当时，原不等式的解集为；当或时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.题型题型3解分式、高次、绝对值不等式例3、解下列不等式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)；(2)；(3)或；(4)；(5)；(6)或.【详解】（1）原不等式可化为，所以原不等式的解集为．（2）∵，∴，解得，所以原不等式的解集为．（3）不等式可化为，即，整理可得．等价于，解得或．原不等式的解集为或.（4）不等式，则，解得，所以原不等式的解集为.（5）不等式化为：或或，解得；不等式组无解；解得，所以原不等式的解集为.（6）不等式化为：，即，则或，解得或，所以原不等式的解集为或.【变式训练6】解下列关于x的不等式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10).【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)(7)；(8)；(9)；(10)【详解】（1）由，得，即，所以，所以不等式的解集为.（2）原不等式可化为或，所以解集为{或}.（3）由题得由可得：或，又，则得或，即不等式的解集为.（4）由，得，所以，解得或，所以不等式的解集为.（5）当，即时，，得，此时，，当，即时，，得，此时，，综上所述，，即不等式的解集为.（6）原不等式可化为或，即或．由图可知，原不等式的解集为或．（7）原不等式可化为，即，即或，即或．由图可知，原不等式的解集为或.（8），令，则，原不等式为：，即，由，则或，即.（9）对于，当时，，原不等式等价于，等价于，解得或，即；当时，，原不等式成立，所以是原不等式的一个解；综上，原不等式的解集为.（10）对于，变形为，即，与同解，，即.【变式训练7】解关于x的不等式：(1)；(2).【答案】(1)；(2)答案见解析【详解】（1）不等式，移项得，通分得，可转化为且，解得，故原不等式解集为．（2）当时，，解得；当时，则，①时，则，解得；②时，则有：若，即时，则；若，即时，则且；若，即时，解得或；综上所述：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为．题型题型4由一元二次不等式的解求参数例4、若不等式的解集为，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【详解】由题意，和1是方程的两个实数根，则，解得，，所以.故选：C.【变式训练8】若关于的不等式的解集为，则的值是（

）A． B． C．2 D．【答案】D【详解】不等式的解集为，则方程的两根为，由韦达定理得：，，可得，故.故选：.【变式训练9】若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是．【答案】【详解】不等式，可化为当，即时，，解集中含有两个整数解，，当，不等式解集为，不符合题意，当，即时，，解集中含有两个整数解，，综上得.故答案为：.【变式训练10】关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【详解】由题意得，原不等式可转化为，当时，解得，此时解集中的整数为2，3，则；当时，解得，此时解集中的整数为0，，则；当时，不等式为，无解，不符合题意.综上所述，实数的取值范围是或.故选：B．题型题型5三个“二次”关系的应用例5、若对任意实数b，关于x的方程有两个实根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．且【答案】B【详解】关于x的方程有两个实根，即方程有两个实根，所以，即对任意实数恒成立，所以，即，得.故选：B.【变式训练11】一元二次不等式的解为，那么的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】一元二次不等式的解为，所以的解为，且，由韦达定理得，代入得，故选：D.【变式训练12】（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（

）A．B．不等式的解集为C．不等式的解集为D．【答案】AC【详解】关于的不等式的解集为，所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确；且方程的两根为、4，由韦达定理得，解得.对于B，，由于，所以，所以不等式的解集为，故B不正确；对于C，因为，所以，即，所以，解得或，所以不等式的解集为，故C正确；对于D，，故D不正确.故选：AC.【变式训练13】（多选）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是

（

）A．B．的解集为C．D．的解集为【答案】AD【详解】由题意得是方程的两根，且，A正确；故，即，，所以，B错误；，C错误；，解得，D正确.故选：AD题型题型6一元二次不等式的根的分布情况方法技巧分布情况两根都小于即两根都大于即一根小于，一大于即图象（a>0时）结论图象（a<0时）结论（不讨论a时）分布情况两根都在内两根仅有一根在内（图象有两种情况，只画了一种）一根在内，另一根在内，图象（）结论或图象（）结论或（不讨论时）——————例6、已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】记，则函数为开口向上的二次函数，要使方程的根一个大于1一个小于1，则只需要时，即可，即，解得，所以实数a的取值范围是.故选：C.【变式训练14】关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（

）A．或 B．C． D．【答案】C【详解】设，则由题意可知，即，解得，故实数的取值范围是.故选：C【变式训练15】已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（）A．或 B．C． D．或【答案】B【详解】设关于x的方程的两个根分别为,则由根与系数的关系，知所以由题意知，即，解得.故选：B题型题型7一元二次不等式的恒成立问题例7、若不等式对一切实数都成立，则整数的个数为（

）A．67 B．68 C．69 D．70【答案】C【详解】依题意可得对一切实数都成立，当时，对一切实数都成立；当时，需满足，解得．综上，，整数的个数为69．故选：C【变式训练16】若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】当时，恒成立，则；当时，，解得，所以实数的取值范围为.故选：D【变式训练17】若不等式的解集为，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】原不等式整理成：.当时，，不等式恒成立；设，当时函数为二次函数，要恒小于0，抛物线开口向下且与轴没有交点，得到：，解得.综上得到故选：B.【变式训练18】对任意的，关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意得，由，得，则恒成立.令，得，则二次函数，当时，取得最大值，所以，所以a的取值范围为．故选:C【变式训练19】“”是“在上恒成立”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】根据题意，若在上恒成立，所以，在上恒成立，由“对勾函数”可知，函数在上单调递增，所以，当时，，可得，所以，在上恒成立“的充要条件是”“，因为，因此，“”是“在上恒成立”的充分不必要条件.故选：A.【变式训练20】已知集合，对于任意的，不等式恒成立，则实数x的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由题设，由，即在上恒成立，当时，恒成立，此时，当时，不等式不成立，当时，恒成立，此时，综上，实数x的取值范围是.故选：D题型题型8一元二次不等式的有解问题方法技巧方法技巧一元二次不等式在某区间上的恒成立问题，解题步骤：1、判断区间和二次函数对称轴的位置（若无法确定，需要进行分类讨论）2、判断二次函数的单调性从而确定最大值或者最小值3、代入题中关系式内进行求解例8、关于的不等式有解是“”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件【答案】B【详解】若关于的不等式有解，则，得由“”可以推出“”，由“”不能推出“”，所以“关于的不等式有解”是“”的必要不充分条件故选：B．【变式训练21】若不等式的解集为，则a的取值范围是（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【详解】因为不等式的解集为，所以，解得，所以a的取值范围是.故选：A.【变式训练22】若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】，所以当或时，取得最大值为，由于关于的不等式在区间内有解，所以，解得.故选：A【变式训练23】方程在区间[1,3]内有解，则实数的取值范围是（

）A．[2,5] B．[1,7] C． D．[1,5]【答案】B【详解】由题设在内有解，即在上有解，令，，则在上递增，所以，故.故选：B【变式训练24】若“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是．【答案】【详解】由题意知，“，使得成立”是真命题，所以，根据基本不等式的性质可得：，当且仅当，即时，等号成立.所以实数的取值范围为.故答案为：.题型题型9一元二次不等式的实际应用例9、某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，，即，解得，又因为，所以，这批台灯的销售单价的取值范围是.故选：C【变式训练25】某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】依题意得，调整后研发人员人数为，年人均投入为万元，则有，化简整理得，解得．因为，且，所以．故选：A.【变式训练26】某服装公司生产的衬衣，在某城市年销售8万件，现该公司在该市设立代理商来销售衬衫，代理商向服装公司收取销售金额的代理费．为此，该衬衫每件价格要提高到元才能保证公司利润．由于提价，每年将少销售万件，如果代理商每年收取的代理费不少于16万元，则的取值范围是．【答案】【详解】由题可知，提价后每年可销售万件，所以，，整理得，，解得，故答案为：