江苏省盐城市2024-2025学年高一下学期7月期末调研考试 数学

2024~2025学年第二学期期末调研考试高一数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．

A0,2,B2,0

1.已知集合，则AB（）

A.0,2B.2,0C.2,2D.0

【答案】C

解析：由题Ax0x2，Bx2x0，

则ABx2x22,2.

故选：C

2.不等式x1x30的解集为（）

A.xx1B.xx1或x3

C.xx3D.x3x1

【答案】B

x10x10

解析：x1x30或，则得x1或x3.

x30x30

则解集为xx1或x3.

故选：B

43i

3.复数z在复平面内所对应的点位于（）

12i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

43i43i12i211i211

解析：z，则z对应点为,，在第二象限.

12i12i12i555

故选：B

4.已知向量a,b满足a1,b2，若ab7，则a与b的夹角为（）

πππ5π

A.B.C.D.

126312

【答案】C

解析：设a与b的夹角为，

22222

由ababa2abba2abcosb54cos7，

1π

则cos，解得.

23

故选：C.

5.在某频率直方图中，从左到右共有11个小矩形，若居中的那个小矩形的面积等于其他10个小矩形的面

1

积和的，且样本容量为160，则居中的那组数据的频数为（）．

4

A.32B.0.2C.40D.0.25

【答案】A

1

解析：根据题意：居中的那个小矩形的面积占全部面积的20%，故16020%32.

5

故选：A.

6.在长方体ABCDA1B1C1D1中，若ABAD3，AA11，则AD1与A1C1所成角的余弦值为（）

66626

A.B.C.D.

4323

【答案】A

解析：解：如图，连接AC，CD1．

在长方体中，因为A1C1//AC，所以AD1与A1C1所成角等于AD1与AC所成的角；

在△中，，

ACD1AC6,AD1CD12

2

22222

由余弦定理得D1ACAD1C2626．

cosD1AC

2ACAD12624

故选：A．

sin102cos20

7.（）

cos10

33

A.B.C.3D.3

33

【答案】D

sin102cos20sin102cos(3010)

解析：，

cos10cos10

sin102cos30cos102sin30sin10

，

cos10

31

sin102cos102sin10，

22

cos10

3cos10

3，

cos10

故选：D．

8.已知正四面体．PABC的所有棱长均为3，D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，则该正四面体的

外接球被平面DEF所截的截面面积为（）

π2π

A.B.C.πD.2π

33

【答案】C

解析：将正四面体如图放于正方体PJCKMBLA中，因PABC的所有棱长均为3，

36

则正方体棱长为，该正四面体的外接球即正方体的外接球，球心O为正方体中心，

22

2

1632

外接球半径为因D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，则

R3.PEFD

224

31

棱长均为，则四面体PEFD相似于四面体PABC，相似比为.

22

33

6166

注意到，

VPABCVPJCKMBLA4VBJPC4

2624

16

则VV，设EFD中心为O1，则PO1为正四面体PEFD的高.

PEFD8PABC32

2

113362

则.

VPEFDSEFDPO1PO1PO1

3342322

，，3222

又PO1O三点共线，则O到平面EFD距离为OOPOPO.

11424

182

注意到该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面为圆，则圆半径为rR2OO21，故截

116

面面积为πr2π.

故选：C

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．

9.设α，β，γ表示三个不同的平面，m，n表示两条不同的直线，则下列结论正确的有（）

A.若，，则//B.若，//，则

C.若m，n，m//n，则//D.若m，n，mn，则

【答案】BCD

解析：若，，则//或,相交，故A错误；

若，//，则，故B正确；

若m，n，m//n，则//，故C正确；

若m，n，mn，则，则D正确．

故选：BCD．

10.一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的4个小球，其中有2个红球，1个白球和1个黑球．从中

1次随机摸出2个球，记事件A为“2个都是红球”，事件B为“1个红球1个白球”，事件C为“有1个球是黑

球”，事件D为“至少有1个是红球”，则（）

1

A.PAB.PBPCPD

6

C.事件A，B为相互独立事件D.事件A，B为互斥事件

【答案】ABD

，

解析：设2个红球为a1a2，白球为b，黑球为c.

，，，，，

则1次随机摸出2个球的样本空间为：a1a2a1ba1ca2ba2cbc6种情况.

1

对于A，事件A的样本空间为aa，则PA，故A正确；

126

,,

对于B，事件B样本空间为：a1b,a2b，事件C样本空间为：a1ca2cbc，

115

事件D样本空间为：ab,ab,ac,ac,aa，则PB，PC，PD，

121212326

则PBPCPD，故B正确；

对于CD，由以上分析可得事件A，B不能同时发生，又A,B则事件A，B为互斥事件.故C错误，

D正确.

故选：ABD

11.在ABC中，ABAC4,BC43，D,E分别是AB,AC的中点，将ADE沿着DE翻折，使

点A运动到点P处，得到四棱锥PBCED，则（）

A.对任意的点P，始终有BCAP

B.存在某个点P的位置，满足平面PDE平面PBC

C.对任意的点P，始终有平面PDE与平面PBC的交线l//BC

3

D.当二面角PDEB为60时，四棱锥PBCED的体积为

2

【答案】AC

解析：

对于A：取BC的中点F，连接AF交DE与O，连接PF，可知点O为DE的中点，

又因为D,E为AB,AC的中点，所以AODE，即PODE，同理得到OFDE,

又POOFO，PO,OF平面POF，所以DE平面PAF，

因为DE//BC，所以BC平面PAF，

又因为AP平面PAF，所以BCAP，故A正确；

对于B：设平面PDE平面PBCl，因为DE//BC,DE平面PDE，

故BC//平面PDE，又BC平面PDE，则BC//l，由选项A知BC平面PAF，

所以l平面PAF，则OPF为平面PDE与平面PBC所成的二面角，

因为POOF，所以不可能为直二面角，故B错误；

对于C：设平面PDE平面PBCl，因为DE//BC,DE平面PDE，

故BC//平面PDE，又BC平面PDE,则BC//l，故C正确；

对于D：

如图，取BC的中点M，连接AM交DE与N，连接PM，可知点N为DE的中点，

又因为D,E为AB,AC的中点，所以即PNDE，同理得到MNDE，

又PNMNN，PN,MN平面PMN，所以DE平面PMN，

所以二面角PDEB的平面角为PNM,

故∠PNM60，再过点P作平面BCED的垂线交于点H，

3

在直角三角形PNH中，PHPNsin60，

2

1

，所以133，故错误；

S底面=23+431=33V33D

2PBCED322

故选：AC

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．

12.数据2，6，8，3，3，4，6，8的上四分位数为________．

【答案】7

解析：将数据从小到大排序为：2，3，3，4，6，6，8，8，

68

875%6，所以上四分位数第6个数与第7个数的中位数，为7

2

故答案为：7.

13.一个正四棱台形油槽的上、下底面边长分别为60cm和40cm，深度为75cm，则该油槽的容积为________L．

【答案】190

1190000cm3

解析：该油槽的容积为756024026040190000cm3190L.

31000cm3/L

故答案为：190.

14.在ABC中，若ABACCB5BCBAAC，则cosB的最小值为________．

【答案】5

6

解析：由ABACCB5BCBAAC可得：

ACCBACCB5BAACBAAC，

2222

所以ACCB5BAAC，

设ABC中，角A,B,C对应的边为a,b,c，

22

2222a5c

所以ba5cb，所以b2，

6

22

22a5c5212

222acac

所以acb

cosB666

2ac2ac2ac

52125

2ac2ac5212

5，当且仅当ac时取等，

66666

2ac2ac6

5

所以cosB的最小值为.

6

5

故答案为：.

6

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.已知mR，函数fxcos2x23sinxcosxsin2xm的最小值为0．

（1）求常数m的值；

（2）求函数fx的图象的对称中心．

【答案】（1）m2

kππ

（2）,2,kZ

212

（1）

22π

fxcosx23sinxcosxsinxmcos2x3sin2xm2sin2xm，

6

π

因为sin2x1,1，所以fx2m0，所以m2.

6min

（2）

π

由（1）可得：fx2sin2x2，

6

πkππ

令2xkπ,kZ，则x,kZ，

6212

kππ

所以函数fx的图象的对称中心为,2,kZ.

212

16.某厂生产的12件产品中，有10件合格品、2件不合格品，合格品与不合格品在外观上没有区别．从这

12件产品中任意抽检2件．

（1）求2件都是合格品的概率；

（2）求1件是合格品、1件是不合格品的概率；

（3）若抽检的2件产品都是不合格品，则这批产品将被退货，求这批产品没有被退货的概率．

15

【答案】（1）

22

10

（2）

33

65

（3）

66

（1）

1211

从12件产品中任意抽检2件，共有C266种抽取方法，

1221

109

其中2件都是合格品的事件数有：C245种，

1021

4515

可得2件都是合格品的概率：P.

6622

（2）

11

其中1件是合格品、1件是不合格品的事件数有：C2C1020种，

2010

可得1件是合格品、1件是不合格品的概率：P;

6633

（3）

2

抽检的2件产品都是不合格品的事件数有C21种，

1

可得抽检的2件产品都是不合格品的概率：P，

66

165

即这批产品没有被退货的概率为1.

6666

17.已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，3asinCacosCbc．

（1）求A；

（2）若b1，ABC的面积为3，求a．

π

【答案】（1）A

3

（2）a13

（1）

因为3asinCacosCbc，所以3sinAsinCsinAcosCsinBsinC，

即3sinAsinCsinAcosCsinAcosCcosAsinCsinC，

即3sinAsinCcosAsinCsinC，

因为C0,π，所以sinC0，

ππ1

所以3sinAcosA1，即2sinA1，即sinA，

662

ππ5π

因为A0,π，所以A,，

666

πππ

所以A，解得A；

663

（2）

133

由题意3S1cc，解得c4，

ABC224

1

所以由余弦定理有a2124221413，解得a13.

2

18.如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为棱AA1的中点，O为BD的中点．

（1）证明：A1C//平面MBD；

（2）求点C到平面MBD的距离；

（3）证明：平面MBD平面OC1D1．

6

【答案】（1）见解析（2）

3

（3）见解析

（1）

连接MO,AC，因为四边形ABCD为正方形，O为BD的中点，

所以AC过点O，且O为AC的中点，

在△A1AC中，O,M分别为AC,AA1的中点，

所以MO//A1C，A1C平面MBD，MO平面MBD，

所以A1C//平面MBD.

（2）

因为BDBA2AD2222222，

因为AA1底面ABCD，

AB,AD底面ABCD，所以AA1AD,AA1AB，

所以MBMDMA2AD212225，

2

12221

所以，

SMBD2252236

222

1

S222，

CBD2

设点C到平面MBD的距离为d，因为VCMBDVMCBD，

11

所以，所以，所以6

SMBDdSCBDMA6d21d.

333

6

所以点C到平面MBD的距离为.

3

（3）

取AD,BC的中点为E,F，连接EF，C1F，连接D1E与MD交于点Q，

由正方体的性质可得EF//C1D1，所以E,F,C1,D1,O五点共面，

所以平面OC1D1即为平面EFC1D1，

又由正方体的性质可得C1D1平面ADD1A1，MD平面ADD1A1，

DDAD

所以CDMD，在三角形DED中，tanDED12,tanAMD2，

1111EDMA

所以D1EDAMD，又因为MDAAMD90，所以MDAD1ED90，

所以在三角形QED，EQD90，所以ED1MD，

ED1,C1D1平面OC1D1，ED1C1D1D1，所以MD平面OC1D1，

又因为MD平面MBD，所以平面MBD平面OC1D1.

19.如图，AB是圆O的直径，AD垂直于圆O所在的平面，AB23，AD2，点C是圆O上不同于A,B

的任意一点，E为BD的中点．

（1）证明：BC平面ACD；

（2）若直线BD与平面ACD所成的角为30，求二面角OCEB的余弦值；

（3）若点P为圆O（含圆周）内任意一点，它到点A的距离与到直线BD的距离相等，求三棱锥PABD

体积的取值范围．

【答案】（1）证明见解析；

1

（2）；

3

42

（3）0,.

3

（1）

因为AD平面ABC，且BC平面ABC，所以ADBC，

因为点C在以AB为直径的圆上，所以ACBC，

又因为ACADA,AD平面ACD,AC平面ACD，

所以BC平面ACD．

（2）

因为AD平面ABC，AB平面ABC，所以ADAB，

因为AD2,AB23，所以BDAD2AB24，

因为BC平面ACD，则BDC为直线BC与平面ACD所成的角，即BDC30，

所以BC2，因为E为BD中点，所以CEBE2，

所以三角形BCE为等边三角形，取CE中点为F，连结BF，则BFCE，

过F作FGCE交OC于点G，则BFG为OCEB的平面角．

323

在直角三角形OCE中，CF1,FG,CG，

33