湖南省长沙市宁乡市2024-2025学年高二下学期7月期末联考 数学

长沙市2025年上学期高二期末调研考试

数学试题

（考试时量：120分钟满分150分）

一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.）

2

1.在复数范围内方程x30的解为（）

A.3iB.3iC.3iD.3

【答案】C

【详解】解：方程x230，即x233i2，开方得x3i，

故选：C．

2.已知函数fxx22x，x2,4的最小值是：（）

A.1B.0C.4D.8

【答案】B

【详解】由题意可知，fx在2,4上单调递增，则最小值为f2440.

故选：B

3.从a，b，c，d中取出2个字母的所有排列，共有（）种

A.6B.8C.10D.12

【答案】D

【详解】根据题意，从a,b,c,d中取出2个字母的所有排列，

2

共有A44312种.

故选：D.

ABACABAC1

4.若非零向量AB与AC满足BC0，且，则ABC为（）

|AB||AC||AB||AC|2

A.三边均不相等的三角形

B.直角三角形

C.底边和腰不相等的等腰三角形

D.等边三角形

【答案】D

ABAC

【详解】因为,分别为与AB,AC同向的单位向量，

ABAC

ABAC

因为BC0，可知A的角平分线与BC垂直，则ABAC，

ABAC

ABAC11

又因为11cosA，即cosA，

|AB||AC|22

π

且A0,π，则A，所以ABC是等边三角形.

3

故选：D.

5.将一枚质地均匀的硬币抛掷10次，求恰好出现4次正面朝上的概率是：（）

451510563

A.B.C.D.

1024128512256

【答案】C

【详解】每次抛掷硬币都是2种可能，则抛掷10次共有2101024种可能，

4

其中恰好出现4次正面朝上，6次反面朝上共有C10210种，

210105

则硬币抛掷10次，求恰好出现4次正面朝上的概率是.

1024512

故选：C

6.假如女儿的身高y（单位：cm）关于父亲的身高x（单位：cm）的经验回归方程y0.81x25.82，已

知父亲的身高175cm，则女儿的身高：（）

A.一定是167.57cmB.高于167.57cm

C.低于167.57cmD.可能是167.57cm

【答案】D

【详解】由题设y0.8117525.82167.57cm，女儿的身高大约为167.57cm.

故选：D

π

7.在下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间,π上单调递减的是（）

2

A.ysinxB.ycosx

x

C.ytanxD.ycos

2

【答案】A

【详解】对A：对A：ysinx的图象是由ysinx的图象将x轴下方的图象关于x轴对称上去，

x轴及x轴上方部分不变所得，其函数图象如下所示：

π

则ysinx的最小正周期为π，且在,π上单调递减，故A正确；

2

对B：ycosx的最小正周期为2π，故B错误；

π

对C：ytanx的最小正周期为π，但是在,π上单调递增，故C错误；

2

2π

x4π

对D：ycos的最小正周期为1，故D错误.

2

2

故选：A.

8.银行储蓄卡的密码由6位数字组成，某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后的1位数字，

则任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率是：（）

1114

A.B.C.D.

102055

【答案】C

【详解】设Ai为“第i次按对密码”(i1,2)，

事件A为“任意按最后1位数字，不超过2次就按对”，

则，事件互斥，

AA1A1A2A1,A1A2

1911

所以P(A)P(A)P(AA)P(A)P(A)P(A|A),

1121121101095

故选：C.

二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）

9.下列问题中不适合用分层随机抽样法抽样的是：（）

A.某会堂有32排座位，每排有40个座位，座位号是1~40，有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为

听取意见，要留下32名听众进行座谈

B.从10台冰箱中抽取3台进行质量检查

C.某地农田有山地8000亩，丘陵12000亩，平地24000亩，洼地4000亩，现抽取农田480亩估计该地农

田平均产量

D.从50个零件中抽取5个做质量检验

【答案】ABD

【详解】选项A，总体中的个体无明显差异，且总体容量较大，故不宜采用分层随机抽样法；

选项B，总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便，不宜采用分层随机抽样；

选项C，总体容量较大，且各类农田的产量有明显差别，宜采用分层随机抽样；

选项D，总体中的个体无明显差异，总体容量较小，宜采用随机抽样法.

故选：ABD

10.在某次单元测试中，4000名考生的考试成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用

该组区间中点作代表，则下列说法中正确的有：（）

A.成绩在70,80分的考生人数最多B.考生考试成绩的第80百分位数为83.3

C.考生考试成绩的平均分约为70.5分D.考生考试成绩的中位数为75分

【答案】ABC

【详解】A：由直方图知70,80对应矩形最高，即频率最大，故成绩在70,80分的考生人数最多，对；

B：由0.01100.10.2(0.010.015)100.25，故成绩的第80百分位数在区间[80,90)，

250

设为x，则0.1(90x)0.0150.2，可得x83.3分，对；

3

C：由图知，平均分为0.1450.15550.2650.3750.15850.19570.5，对；

D：由(0.010.015)100.250.5(0.010.0150.03)100.55，

215

所以中位数位于区间[70,80)，设为y，则0.25(80y)0.030.5，可得y71.7分，错.

3

故选：ABC

11.定义在R上的奇函数fx满足fx2f2x，且在0,2上单调递增，下列判断正确的是

（）

A.fx的周期是4B.f2是函数的一个最大值

C.fx的图象关于点2,0对称D.fx在2,6上单调递减

【答案】BD

【详解】因为fx是定义在R上的奇函数，则f(x)f(x)①，且f(0)0.

又因为函数在0,2上单调递增，所以函数在2,2上单调递增.

再由fx2f2x，得f(x4)f(x)②

故函数图象关于直线x2对称，故函数在2,6上单调递减，故D正确；

由①②可得f(x4)f(x)，所以有fx8fx4fx，

故得8为函数的一个周期，又由f6f2f2，得不到f6f2，故A错误；

由上分析，函数在2,2上单调递增，在2,6上单调递减，

所以在一个周期内函数有最大值f2，即f2是函数的一个最大值，故B正确.

由对称性可知函数关于x2对称，不是关于2,0对称，所以C错误.

故选：BD

三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）

12.从一副不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A“抽到红心”，事件B“抽到方

1

块”，PAPB，C“抽到红花色”，则PC____________.

4

【答案】1##

20.5

1

【详解】由题意CAB且A,B为互斥事件，PAPB，

4

1

则PCP(A)P(B).

2

故答案为：1

2

18

13.展开式中的常数项为____________.

22xy

xy

【答案】70

88rr

【详解】对于xy，展开式通项为r8rrrr22，r0,1,,8，

Tr1C8(x)(y)(1)C8xy

4224

当r4时T5C8xy，故原式的常数项为C870.

故答案为：70

14.若将6名高二学生分到3个社团参加活动，一个1名，一个2名，一个3名，则有____________种不

同的分法.

【答案】360

1

【详解】先从6名学生中选取1名，则有C6种；

2

再从剩下的5名学生中选取2名，则有C5种；

3

最后从剩下的3名学生中选取3名，则有C3种；

1233

所以共有C6C5C3A361016360种分法.

故答案为：360.

四、解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.化简计算下列各式：

2

0.5

3

（1）7210037

20.123.

92748

1324

（2）lglg8lg245.

2493

【答案】（1）100；（2）1.

2

12

解析：原式=2521643375937

31003100

90.12274831648

1411

(2)原式=lg32lg49lg82lg245

232

1431

5lg22lg7lg22lg7lg5

2322

51

lg2lg72lg2lg7lg5

22

11

lg2lg5

22

1

lg10

2

1

2

16.已知a,b,c分别是ABC内角A,B,C的对边，sin2B2sinAsinC．

（1）若ab，求cosB;

（2）若B90，且a2,求ABC的面积．

1

【答案】（1）；（2）1

4

解析：（1）由题设及正弦定理可得b22ac

又ab，可得b2c,a2c

a2c2b21

由余弦定理可得cosB

2ac4

（2）由（1）知b22ac

因为B90，由勾股定理得a2c2b2

故a2c22ac，得ca2

所以的面积为1

17.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AD平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．

（1）求证：BCA1B；

（2）若AD3，ABBC2，P为AC的中点，求二面角PA1BC的余弦值．

27

【答案】（1）证明见解析；（2）二面角PA1BC的余弦值为．

7

【详解】（1）在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面ABC，BC平面ABC，则A1ABC，

因AD平面A1BC，且BC平面A1BC，则ADBC，

又AA1平面A1AB，AD平面A1AB，A1AADA，因此BC平面A1AB，又A1B平面A1AB，

所以BCA1B.

（2）由（1）知，BC,BA,BB1两两垂直，以B为原点建立空间直角坐标系Bxyz，如图，

在△中，，，则，，

RtABA1ADA1BAD3,AB2ABA160AA123

13，，

A(0,2,0),C(2,0,0),P(1,1,0),A(0,2,23),D(0,,)BP(1,1,0),BA1(0,2,23)

122

nBPxy0

设平面的一个法向量，则，令，得，

PA1Bn(x,y,z)z1n(3,3,1)

nBA12y23z0

33

由（1）知AD平面A1BC，则平面A1BC的法向量AD(0,,)，

22

nAD2327

则cosn,AD，显然平面PA1B与平面A1BC的平面角为锐角，

|n||AD|737

27

所以平面PA1B与平面A1BC的余弦值是.

7

18.盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良.现对一批

某品种种子的密度（单位：g/cm3）进行测定，认为密度不小于1.2的种子为优种，小于1.2的为良种.自

然情况下，优种和良种的萌发率分别为0.8和0.6.

（1）若将这批种子的密度测定结果整理成频率分布直方图，如图所示，据图估计这批种子密度的平均值；

（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）

（2）在（1）的条件下，用频率估计概率，从这批种子（总数远大于2）中选取2粒在自然情况下种植，设

萌发的种子数为X，求随机变量X的分布列和数学期望（各种子的萌发互相独立）；

（3）若该品种种子的密度N1.3,0.01，任取该品种种子20000粒，估计其中优种的数目.附：假设随

机变量XN,2，则PX0.6827,P2X20.9545.

【答案】（1）1.24g/cm3

（2）分布列见解析，期望1.44；

（3）16827粒.

【小问1详解】

种子密度的平均值为：(0.70.50.90.61.10.91.31.41.51.11.70.5)0.21.24

（g/cm3）

【小问2详解】

3

由频率分布直方图知优种占比为1.41.10.50.2，

5

343318

任选一粒种子萌发的概率p1，

555525

因为为这批种子总数远大于2，所以XB2,p，

7749187252

P(X0)C0p0(1p)2，P(X1)C1p(1p)2，

2252562522525625

1818324

P(X2)C2p2(1p)0，

22525625

所以X布列为：

X012

49252324

P

625625625

36

期望EX2p1.44.

25

【小问3详解】

因为该品种种子的密度N1.3,0.01，

所以1.3，20.01，即=0.1，

0.6827

所以20000粒种子中约有优种200000.5200000.8413516827（粒）

2

即估计其中优种的数目为16827粒.

π

19.已知函数fxcos2x3sin2xt0，若fx的图象上相邻两条对称轴的距离为，

4

图象过点0,0.

（1）求fx的表达式和fx的递增区间；

π

（2）将函数fx的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不

8

π

变)，得到函数ygx的图象.若函数Fxgxk在区间0,上有且只有一个零点，求实数k的

2

取值范围.

πkππkππ

【答案】（1）fx2sin4x1，fx的递增区间为,，kZ.（2）

626212

[31,31]{1}

π

【详解】（1）fxcos2x3sin2xt2sin2xt，

6