湖南省衡阳市2024-2025学年高一下学期7月期末质量监测 数学

2025年上期高一期末质量监测试卷

数学

注意事项：

1.本试卷共150分，考试时量120分钟.

2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.

3.考试结束后，只交答题卡.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

z

1.复数z1i（i是虚数单位），则（）

A.1B.2C.3D.2

2.某学校高一年级有1100名学生，高二年级有1000名学生，高三年级有900名学生，为了解不同年级学

生运动的情况，通过分层随机抽样的方法，从全体学生中抽取一个容量为300的样本，那么从高一年级抽

取的学生人数为（）

A.110B.100C.90D.80

3.已知a4，b1，ab2，则a与b的夹角为（）

πππ2π

A.B.C.D.

6433

4.已知平面，直线m，n，如果m∥n，且m，那么n与的位置关系是（）

A.相交B.n∥或nC.nD.n∥

ππ

5.在ABC中，A，BC2，则“AB6”是“C”的（）

63

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

充要条件既不充分也不必要条件

C.D.

6.一个袋子中有2个红球，4个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.记事件A：第一次取到

红球，事件B：第二次取到绿球，事件C：两次取到同色球，事件D：两次取到异色球，则（）

A.A与B互斥B.A与C相互独立

C.C与D互为对立事件D.B与D相等

7.如图1，已知四边形PABC是直角梯形，AB//PC，ABBC，PC2AB2BC，D是线段PC中

π

点.将△PAD沿AD翻折，使PDC，连接PB，PC，如图2所示，则PB与平面ABCD所成角的正

2

弦值是（）

10663

A.B.C.D.

4433

8.在锐角ABC中，角A，B，C所对应边分别为a，b，c，ABC的面积为S，若2SacsinAc2sinC，

2

则tanCA的可能取值为（）

tanA

A.22B.3C.4D.42

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.有一组样本数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，若去除首末两个数，得到一组新的样本数据，则这两组

数据的（）

A.极差相等B.中位数相等C.方差相等D.平均数相等

10.已知ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）

A.若ab，则sinAsinB

B.若sinBsinC，则BC

C.若AC，则cos2Acos2C

D.若tanA0，则ABC是锐角三角形

11.如图，在四棱锥PABCD中，APPD2,AB6,CD1,ADCAPD90，平面PAD

平面ABCD,E是棱PA的中点，且BE∥平面PCD，则（）

A.AP平面PCD

B.异面直线BE与PD所成角的正切值为2

C.三棱锥PACD的外接球的表面积为36π

D.底面四边形ABCD内（包含边界）有一动点Q，PQ3，则动点Q的轨迹长度为π

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知圆锥的底面周长为6π，高为5，则该圆锥的体积为_______.

13.如图，在正八边形上有A，B，C，D，E，F，G，H八个顶点，每个相邻的两顶点间称为1步（例如：

A到B为1步）.现有一小球起始位置在点A处，并按规则沿八边形的边进行移动，移动规则为：抛掷一枚

均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为ii1,2,,6，则小球按顺时针方向前进i步到达另一个顶点.若抛

掷两次骰子，则小球回到顶点A处的概率为_______.

π

14.已知ABC中，CB3，CA2，C，CQ2CB31CAR，则∣CQ∣的最小值

3

为_______.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知a1,2，b,1，c2,3.

（1）若ab，求λ的值；

（2）当k为何值时，a2c∥kac？

16.某校进行“AI知识”讲座，讲座之后对所有参加学习的学生进行学习效果测评，通过简单随机抽样，获得

了100名学生的测评成绩作为样本数据，分成40,50，50,60，60,70，70,80，80,90，90,100

六组，整理得到如下频率分布直方图.

（1）根据频率分布直方图求a的值，并估计众数和中位数；

（2）在抽取的100名学生中，选取2名测评成绩在80,100的学生作为座谈代表，求这两名学生的测评成

绩恰好在同一组的概率.

17.在锐角ABC中，角A，B，C所对应边分别为a，b，c，2sinAccosBbcosC3a.

（1）求A；

（2）若a3，求b2c2bc的取值范围.

18.如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为正方形，PAAB2，点E在

线段PC上.

（1）当PEEC时，

（ⅰ）求证：PA//平面BDE；

（ⅱ）求点P到平面BDE的距离；

（2）当PE2EC时，求二面角EBDC的余弦值.（不允许用空间向量法求解）

19.数据传输包括发送与接收两个环节.在某数据传输中，数据是由数字0和1组成的数字串，发送时按顺

序每次只发送一个数字.发送数字0时，收到的数字是0的概率为p1(0p11)，收到的数字是1的概率为

1p1；发送数字1时，收到的数字是1的概率为p2(0p21)，收到的数字是0的概率为1p2.假设每

1

次数字的传输相互独立，且pp.

122

23

（1）若发送的数据为“01”，且p，p，求接收到的两个数字中有且只有一个正确的概率；

1324

（2）用X表示收到的数字串，将X中数字0的个数记为nX，如X“001”，则nX2，对应的概率

记为PnX2.

（ⅰ）若发送的数据为：“011”，且2PnX213PnX3，求p2；

（ⅱ）若发送的数据为“0101”，求PnX2的最大值.

2025年上期高一期末质量监测试卷

数学

注意事项：

1.本试卷共150分，考试时量120分钟.

2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.

3.考试结束后，只交答题卡.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

z

1.复数z1i（i是虚数单位），则（）

A.1B.2C.3D.2

【答案】B

【解析】

【分析】本题可根据复数的模的计算公式来求解z.

【详解】已知z1i，根据复数模的计算公式可得：

|z|1212112.

故选：B

2.某学校高一年级有1100名学生，高二年级有1000名学生，高三年级有900名学生，为了解不同年级学

生运动的情况，通过分层随机抽样的方法，从全体学生中抽取一个容量为300的样本，那么从高一年级抽

取的学生人数为（）

A.110B.100C.90D.80

【答案】A

【解析】

【分析】由题意及分层抽样知识可得答案.

1100

【详解】样本中高一年级的学生人数为300110．

11001000900

故选：A

3.已知a4，b1，ab2，则a与b的夹角为（）

πππ2π

A.B.C.D.

6433

【答案】C

【解析】

【分析】利用向量的夹角计算公式即可求解.

【详解】由已知a4，b1，ab2，

a·b21

设则a与b的夹角为，则余弦值cos，

ab42

π

又因为0π，所以.

3

故选：C.

4.已知平面，直线m，n，如果m∥n，且m，那么n与的位置关系是（）

A.相交B.n∥或nC.nD.n∥

【答案】B

【解析】

【分析】根据线面平行的位置关系判断即可.

【详解】如果m∥n，且m，那么n∥或n.

故选：B

ππ

5.在ABC中，A，BC2，则“AB6”是“C”的（）

63

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

ππ

【分析】根据正弦定理分别判断“AB6”能否推出“C”以及“C”能否推出

33

“AB6”，进而确定结果.

π

【详解】已知在ABC中A，BC2，AB6，

6

π1

BCAB6sin6

根据正弦定理，可得：ABsinA623，

sinAsinCsinC

BC222

π2π

因为ABBC，所以CA，又因为0Cπ，所以C或C，

33

π

即“AB6”不能推出“C”；

3

ππ

已知在ABC中，A，BC2，C，

63

BCABππ

根据正弦定理，将BC2，A，C代入可得：

sinAsinC63

π3

2sin2

BCsinC

AB326，

π1

sinAsin

62

π

即“C”可以推出“AB6”；

3

π

所以“AB6”是“C”的必要不充分条件.

3

故选：B

6.一个袋子中有2个红球，4个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.记事件A：第一次取到

红球，事件B：第二次取到绿球，事件C：两次取到同色球，事件D：两次取到异色球，则（）

A.A与B互斥B.A与C相互独立

C.C与D互为对立事件D.B与D相等

【答案】C

【解析】

【分析】根据互斥事件和对立事件的定义即可判断AC；利用事件独立性的定义即可判断B；列出事件B,D

的样本空间即可判断D.

【详解】设2个红球为a1,a2，4个绿球为b1,b2,b3,b4，所以

Ωa1,a2,a1,b1,a1,b2,a1,b3,a1,b4,a2,b1,a2,b2,a2,b3,a2,b4,b1,b2,b1,b3,b1,b4,b2,b3,b2,b4,b3,b4，

Aa1,a2,a1,b1,a1,b2,a1,b3,a1,b4,a2,b1,a2,b2,a2,b3,a2,b4，

Ba1,b1,a1,b2,a1,b3,a1,b4,a2,b1,a2,b2,a2,b3,a2,b4,b1,b2,b1,b3,b1,b4,b2,b3,b2,b4,b3,b4，

Ca1,a2,b1,b2,b1,b3,b1,b4,b2,b3,b2,b4,b3,b4，

Da1,b1,a1,b2,a1,b3,a1,b4,a2,b1,a2,b2,a2,b3,a2,b4，

由AB，所以A与B不互斥，故A错误；

9371

PA,PC,PAC，

1551515

因为PACPAPC，所以A与C不独立，故B错误；

由CD,CD，所以C与D互为对立事件，故C正确；

显然BD，故D错误.

故选：C.

7.如图1，已知四边形PABC是直角梯形，AB//PC，ABBC，PC2AB2BC，D是线段PC中

π

点.将△PAD沿AD翻折，使PDC，连接PB，PC，如图2所示，则PB与平面ABCD所成角的正

2

弦值是（）

10663

A.B.C.D.

4433

【答案】D

【解析】

【分析】根据定义找出直线与平面所成的角，然后在直角三角形中计算.

【详解】由已知PDDC，PDAD，又ADCDD,AD,CD平面ABCD，

所以PD平面ABCD，所以PBD是PB与平面ABCD所成角，

BD平面ABCD，则PDBD，

由题意BD2AB，PDAB，所以PBPD2BD23AB，

PD3

所以sinPBD，

PB3

故选：D.

8.在锐角ABC中，角A，B，C所对应边分别为a，b，c，ABC的面积为S，若2SacsinAc2sinC，

2

则tanCA的可能取值为（）

tanA

A.22B.3C.4D.42

【答案】C

【解析】

【分析】使用面积公式以及正弦定理化简得到aba2c2，并结合余弦定理求得C2A，根据锐角三角

ππ

形可得A，然后化简式子并使用对勾函数的性质可得结果.

64

【详解】在锐角ABC中，2SacsinAc2sinC，

所以acsinBacsinAc2sinc，即asinBasinAcsinC，

由正弦定理有aba2c2，又由余弦定理c2a2b22abcosC，

aba2a2b22abcosC,a2acosCb，

由正弦定理有sinA2sinAcosCsinBsinACsinAcosCcosAsinC，

sinAsinCcosAcosCsinAsinCA，

ABC，所以ACA，即C2A，

π

0A

2

π

又锐角ABC中，0BπACπ3A，

2

π

0C2A

2

ππ3

AtanA,1，

643

2273

tanCAtanA3,，

tanAtanA3

2

故tanCA的可能取值为4，

tanA

答案选：C.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.有一组样本数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，若去除首末两个数，得到一组新的样本数据，则这两组

数据的（）

A.极差相等B.中位数相等C.方差相等D.平均数相等

【答案】BD

【解析】

【分析】分别计算这两组数据的极差，中位数，方差，平均数比较即可.

123456789

【详解】原始数据的极差为8，中位数为5，平均数为5，

9

222222222

15253545556575859520

方差为；

93

2345678

去除首末两个数余下数据极差为6，中位数5，平均数为5，

7

2222222

25354555657585

方差为4.

7

故选：BD

10.已知ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）

A.若ab，则sinAsinB

B.若sinBsinC，则BC

C.若AC，则cos2Acos2C

D.若tanA0，则ABC是锐角三角形

【答案】ABC

【解析】

【分析】可根据正弦定理以及三角函数的性质对选项逐一进行分析.

【详解】对于选项A，若ab，根据正弦定理可得sinAsinB，故A正确；

对于选项B，在ABC中，若sinBsinC，则BC或BπC，

又因为BCπ，所以BπC不成立，即BC，故B正确；

对于选项C，根据二倍角公式可得

cos2Acos2C12sin2A12sin2C2sin2Csin2A，

c2a2c2a2

由正弦定理可得，

cos2Acos2C2222

4R4R2R

因为AC，可得ac，即c2a20，所以cos2Acos2C0，即cos2Acos2C，故C正确；

π

对于选项D，若tanA0，则0A，但仅根据A为锐角不能确定ABC是锐角三角形，

2

πππ

例如A，B，C，此时tanA30，但ABC是直角三角形，故选项D错误.

326

故选：ABC.

11.如图，在四棱锥PABCD中，APPD2,AB6,CD1,ADCAPD90，平面PAD

平面ABCD,E是棱PA的中点，且BE∥平面PCD，则（）

A.AP平面PCD

B.异面直线BE与PD所成角的正切值为2

C.三棱锥PACD的外接球的表面积为36π

D.底面四边形ABCD内（包含边界）有一动点Q，PQ3，则动点Q的轨迹长度为π

【答案】ABD

【解析】

【分析】由面面垂直的性质定理及线面垂直的判断定理可判断A；取AD中点为F，连接EF,BF，则可得

BEF为BE与PD所成角（或补角），由面面平的判断定理及以性质定理可得BF平面PAD,在直角三

3

角形BEF中，求解即可；由题意可得三棱锥PACD的外接球球心为AC的中点，求得半径为，求出

2

外接球的表面积，即可判断C；确定动点Q的轨迹是以F为圆心1为半径的半圆，即可判断D.

【详解】解：对于A，因为平面PAD平面ABCD，交线为AD，

又CD平面ABCD,CDAD，所以CD平面PAD，

又因为AP平面PAD，所以APCD，

又因为APPD,PDCDD,PD平面PCD,CD平面PCD，

所以AP平面PCD，故A正确；

对于B，取AD中点为F，连接EF,BF，

因为E为AP中点，

所以EF∥PD，

所以BEF为BE与PD所成角（或补角），

又EF平面PCD，PD平面PCD，所以EF∥平面PCD，

又因为BE∥平面PCD，EFBEE，EF平面BEF,BF平面BEF，

所以平面BEF∥平面PCD，

又平面BEF平面ABCDBF，平面PCD平面ABCDCD，

所以CD∥BF，

又CD平面PAD，

所以BF平面PAD,EF平面PAD，

所以BFEF，BFAB2AF22，EF1，

BF

所以tanBEF2，故B正确；

EF

对于C，因为△APC和△ADC为直角三角形，

所以三棱锥PACD的外接球球心为AC的中点，

又因为APPD2,APD90，

所以AD22，ACAD2CD2813，

3

所以半径为，

2

所以三棱锥PACD的外接球表面积为9π，故C错误；

对于D，连接PF，则PF为三棱锥PABCD的高，

又PQ3，AD22，

1

所以PFAD2,

2

故QFPQ2PF21，

所以动点Q的轨迹是以F为圆心1为半径的半圆，故D正确.

故选：

ABD.

【点睛】关键点睛：C选项中，得到三棱锥PACD的外接球球心为AC的中点是判断C的关键.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知圆锥的底面周长为6π，高为5，则该圆锥的体积为_______.

【答案】15π

【解析】

【分析】根据圆锥底面周长求出底面半径，再结合圆锥体积公式求出圆锥体积.

【详解】已知圆锥底面周长C6π2πr，（其中r为底面半径），解得r3，

1

已知圆锥的高h5，由圆锥体积公式可得：Vπ32515π.

3

故答案为：15π

13.如图，在正八边形上有A，B，C，D，E，F，G，H八个顶点，每个相邻的两顶点间称为1步（例如：

A到B为1步）.现有一小球起始位置在点A处，并按规则沿八边形的边进行移动，移动规则为：抛掷一枚

均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为ii1,2,,6，则小球按顺时针方向前进i步到达另一个顶点.若抛

掷两次骰子，则小球回到顶点A处的概率为_______.

5

【答案】

36

【解析】

【分析】根据题意棋子在点A处，可得两次骰子点数之和为8，再利用列举法以及古典概型的概率公式计算

可得．

【详解】两次数字和为8的有2,6，3,5，4,4，5,3，6,2共5个结果，

其中拋2次骰子共有6636种结果，

5

所以游戏结束时棋子回到点A处的概率P.

36

5

故答案为：

36

π

14.已知ABC中，CB3，CA2，C，CQ2CB31CAR，则∣CQ∣的最小值

3

为_______.

【答案】33

【解析】

【分析】令CM2CB,CN3CA,则M,N,Q三点共线，进而可得当CQ垂直MN时，CQ最小，计算

即可.

π

【详解】令CM2CB,CN3CA,CMCN6,C，

3

所以CMN为等边三角形，2CB13CACM1CN，

记CQCM1CN,M,N,Q三点共线，

当CQ垂直MN时，CQ最小，则CQ的最小值为623233.

故答案为：33

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知a1,2，b,1，c2,3.

（1）若ab，求λ的值；

（2）当k为何值时，a2c∥kac？

【答案】（1）2

1

（2）

2

【解析】

【分析】（1）根据数量积坐标运算；

（2）根据共线向量的坐标公式计算.

【小问1详解】

由题可知，ab，ab0

a1,2,b,1，ab1210

解得2

【小问2详解】

由a1,2,c2,3，得a2c3,4

kack2,2k3

a2c∥kac，32k34k20，

1

k

2

16.某校进行“AI知识”讲座，讲座之后对所有参加学习的学生进行学习效果测评，通过简单随机抽样，获得

了100名学生的测评成绩作为样本数据，分成40,50，50,60，60,70，70,80，80,90，90,100

六组，整理得到如下频率分布直方图.

（1）根据频率分布直方图求a的值，并估计众数和中位数；

（2）在抽取的100名学生中，选取2名测评成绩在80,100的学生作为座谈代表，求这两名学生的测评成

绩恰好在同一组的概率.

【答案】（1）a0.025，众数为75分，中位数为64

2

（2）

5

【解析】

【分析】（1）结合频率分布直方图的性质，通过矩形面积和为1求a，再依据众数、中位数的定义进行求

解；

（2）先确定相关区间人数，再利用古典概型概率公式计算概率.

【小问1详解】

因为0.015aa0.0300.0030.002101

所以a0.025

参加这次测评学生成绩的众数为75分

由所给频率分布直方图知

100名学生成绩在40,60的频率为0.4，在40,70的频率为0.65，

所以参加这次问卷调查学生成绩的中位数在60,70内

设中位数为x，则0.40x600.0250.50，

解得x64

所以参加这次问卷调查学生成绩的中位数为64.

【小问2详解】

在抽查的100名学生中，成绩在80,90中的学生有0.003101003人，

成绩在90,100中的学生有0.002101002人，

记［80,90）中的3人为1,2,3，

记［90,100］中的2人为a,b

所有基本事件有：

1,2,1,3,1,a,1,b,2,3,2,a,2,b,3,a,3,b,a,b共10种，

来自同一组的有：1,2,1,3,2,3,a,b，共4种情况，

42

故恰好来自同一组的概率P.

105

17.在锐角ABC中，角A，B，C所对应边分别为a，b，c，2sinAccosBbcosC3a.

（1）求A；

（2）若a3，求b2c2bc的取值范围.

π

【答案】（1）A

3

（2）7,9

【解析】

【分析】利用正弦定理将边转化为角可得2sinAsinA3sinA，然后计算即可；

22π

利用余弦定理可得b2c23bc，然后将边转化为角可得bcbc54sin2B，然后确定角

6

度范围，使用正弦函数的性质求解.

【小问1详解】

abc

依题意，由正弦定理

sinAsinBsinC

得2sinAsinCcosBsinBcosC3sinA

2sinAsinBC3sinA

即2sinAsinA3sinA

π

又在锐角ABC中，有A0,，所以sinA0，

2

3π

所以sinA，所以A；

23

【小问2详解】

π2π

结合（1）可得A,BCπA，

33

abc

由a3，则根据正弦定理有2，

sinAsinBsinC

得b2sinB,c2sinC，

根据余弦定理有a2b2c22bccosA，得b2c23bc，

222π

bcbc32bc38sinBsinC38sinBsinB

3

2π

343sinBcosB4sinB323sin2B2cos2B54sin2B

6

π2ππππ

又ABC为锐角三角形，则有B0,,B0,，得B,，

23262

ππ5ππ1

2B,，sin2B,1.

66662

22π

故bcbc54sin2B7,9

6

18.如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为正方形，PAAB2，点E在

线段PC上.

（1）当PEEC时，

（ⅰ）求证：PA//平面BDE；

（ⅱ）求点P到平面BDE的距离；

（2）当PE2EC时，求二面角EBDC的余弦值.（不允许用空间向量法求解）

【答案】（1）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）2

3

（2）

3

【解析】

【分析】（1）（ⅰ）连接AC交BD于点O，连接EO，根据三角形的中位线可得PA//OE利用线面平行的

判断定理即可证得结果；（ⅱ）由（ⅰ）知PA//平面BDE，点P到平面BDE的距离可以转为A到平面BDE

的距离，AO即为所求结果；

（2）可证得EOC为二面角PBDC的平面角，通过余弦定理计算即可求得结果.

【小问1详解】

（ⅰ）连接AC交BD于点O，连接EO，

因为底面ABCD为正方形，所以点O为AC的中点，

当PEEC时，E为PC中点，所以PA//OE

因为PA平面BDE,OE平面BDE

PA//平面BDE

（ⅱ）由（ⅰ）知PA//平面BDE，

所以点A到平面BDE的距离即为点P到平面BDE的距离.

PA底面ABCD，PA//OE

EO底面ABCD，EOAO，

因为底面ABCD为正方形，所以AOBD，

又因为EO,BD平面平面BDE，EOBDO，所以AO平面BDE，

所以AO即为点A到平面BDE的距离，

1

AOAC2

2

所以点P到平面BDE的距离为2，

【小问2详解】

当PE2EC时，点E为PC上靠近于C的三等分点，

因为PA平面ABCD，AB,AC,AD平面ABCD，

所以PAAB,PAAC,PAAD，

23

连接EO,PCPA2AC223,EC，PAPD22，

3

又PBPD,BCDC,PCPC,△PBC≌△PDC，点E在公共边PC上.

BEDE,EOBD，又OCBD

EOC为二面角PBDC的平面角

AC226

在Rt△PAC中，cosPCA，

PC233

在△EOC中，在由余弦定理得：

42362

EO2OC2EC22OCECcosPCA222.

3333

24

2222

EOOCEC333

cosEOC.

2EOOC63

22

3

3

所以二面角PBDC的余弦值为.

3

19.数据传输包括发送与接收两个环节.在某数据传输中，数据是由数字0和1组成的数字串，发送时按顺

序每次只发送一个数字.发送数字0时，收到的数字是0的概率为p1(0p11)，收到的数字是1的概率为

1p1；发送数字1时，收到的数字是1的概率为p2(0p21)，收到的数字是0的概率为1p2.假设每

1

次数字的传输相互独立，且pp.

122

23

（1）若发送的数据为“01”，且p，p，求接收到的两个数字中有且只有一个正确的概率；

1324

（2）用X表示收到的数字串，将X中数字0的个数记为nX，如X“001”，则nX2，对应的概率

记为PnX2.

（ⅰ）若发送的数据为：“011”，且2PnX213PnX3，求p2；

（ⅱ）若发送的数据为“0101”，求PnX2的最大值.

5

【答案】（1）

12

315

（2）（ⅰ）p；（ⅱ）52

242

【解析】

【分析】（1）接收到的两个数字中有且只有一个正确，包括数字0接收正确数字1错误和数字0接收错误

数字1正确两种情况，利用事件独立性和互斥性计算即可求解；

（2）（i）事件nX2表示接收到的数据中含两个0，包含两种情况：①数字0接收正确，数字1有一个

正确一个错误，②数学0错误，数字1都错误，事件nX3表示接收到的数据中含三个0，只有1种情

1

况：数字0接收正确数字1都错误，然后建立等式，将pp代入等式中消元，然后根据范围确定取

122

值：（ii）理解事件nX2包含以下三种情况：①两个1传输都正确，且两个0传输都正确，②有且只

有一个1传输正确，且有且只有一个0传输正确，③两个1传输都错误，且两个0传输都错误，分别求出

概率再相加，利用换元的思想，令xp1p2，利用二次函数的性质研究最值即可求解，注意需要确定x的

范围.

【小问1详解】

23

记“接收到的两个数字中有且只有一个正确”为事件