湖北省荆门市2024-2025学年高一下学期7月期末考试 数学

2024-2025学年高一下学期期末学业水平检测

数学试题

一、单选题

=--ð

1．已知全集U{2,1,0,1,2}，集合A1,0,1，则UA（）

A．0,1,2B．2,2C．1,0,1D．0,1

1

2．已知复数z满足z（i为虚数单位），则z的共轭复数z对应的点位于（）

1i

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

3．样本数据34,24,17,21,32,100,41,30,28,33的上四分位数为（）

A．30B．31C．33D．34

4．下列结论正确的是（）

A．用一个平面去截一个圆台，得到的截面可能是平行四边形

B．有两个面平行且相似，其余各个面都是梯形的多面体是棱台

C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形

D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台

1

5．已知a,b是两个单位向量，若向量a在向量b上的投影向量为b，则向量a与向量的夹角为（）

2ab

A．30°B．60°C．90°D．120°

6．已知cos3cos，则tantan（）

11

A．B．C．2D．2

22

7．规定工厂产生的废气必须过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物P（单位：毫克/升）与

kte

过滤时间t（单位：小时h）之间的函数关系式为：PtP0e（为自然对数的底数，P0为污染物的初始

161

含量），过滤2小时后检测，发现污染物的含量为原来的，要使污染物的含量不超过初始值的，则至

25100

少需要过滤（）（参考数据：lg20.3）

A．10hB．20hC．30hD．40h

1

8．已知定义在R上的函数yfx满足fx4，当0x4时，若fxaxba0,b0，且

fx

12

f20251，则的最小值是（）

ab

A．32B．22C．322D．232

二、多选题

9．下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（）

A．fxx3B．fx2x2x

C．fxsinxD．fxlnx21x

1

10．已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且cosB，c4，sinB2sinA则（）

4

15

A．sinAB．a2

8

8

C．sinAsinB2sinCD．S15

ABC3

11．阅读数学材料：“设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为

1≥

1QPQQPQQPQQPQ，其中Qii1,2,,k,k3为多面体M的所有与点P

2π1223k1kk1

相邻的顶点，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3,，平面Qk1PQk和平面QkPQ1为多而体M的所有以P为公共点的

面.”解答问题：已知在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AA1AB，则（）

1

A．直四棱柱ABCDABCD是正方体，则直四棱柱ABCDABCD在顶点A处的离散曲率为

111111113

11

B．若ACBD，则三棱锥ABCD在顶点B处的离散曲率为

124

7

C．若四面体AABD在点A处的离散曲率为，则AC平面ABD

111211

17

D．若直四棱柱ABCDA1B1C1D1在顶点A处的离散曲率为，则BC1与平面ACC1所成角的正切值为

37

三、填空题

12．若底面半径为3圆锥的侧面展开图为一个半圆面，则该圆锥的体积为.

13．已知向量a,b满足a1,b1,2，且ab2，则ab.

ππ3

14．若函数fxcosx0在0,上的值域为1,，则的取值范围为.

622

四、解答题

15．已知函数fx23sin2x2sinxcosx3.

(1)求fx的最小值，并求取得最小值时x的取值集合：

(2)将fx的图象向右平移0单位长度，得到ygx的图象，若ygx的图象关于y轴对称，求

的最小值.

16．在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2ccosB2ab.

(1)求角C的大小；

3

(2)若ABC的面积Sc，求ABC面积的最小值.

2

17．为了解游客五一假期来漳河旅游的体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100

名游客，该兴趣小组将收集到的游客满意度分值数据（满分100分）分成六段：40,50,50,60,,90,100

得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中a的值，并估计100名游客满意度分值的众数和中位数（结果保留整数）；

22

(2)已知满意度分值落在70,80的平均数z175，方差s19，在80,90的平均数为z285，方差s24，

试求满意度分值在70,90的平均数z和方差s2.

18．我们知道：函数yfx的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数yfx为奇函数，有同

学发现可以将其推广为：函数yfx的图象关于点Pa,b成中心对称图形的充要条件是函数

2xm

yfxab为奇函数.已知函数fx的图象关于0,1成中心对称图形.

2x12

(1)求m的值；

(2)判断fx的单调性，并用定义证明：

(3)如果对任意xR，不等式fa2cos2xf2sinx3a2恒成立，求实数a的取值范围.

π

19．如图，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，且AB3,AD4，DAB,M为BC的

3

中点，点P在平面ABCD内的射影为点H，且AHDM.

(1)求证：PADM；

(2)当PAB为等边三角形时，求点H到平面PAB的距离；

(3)若记PAm5,PAH，记三棱锥PABH的外接球表面积f，当函数f取最小值时，求AH

的长.

题号12345678910

答案BADCBABCABDAC

题号11

答案BCD

1．B

根据补集概念计算.

=--ð

【详解】全集U{2,1,0,1,2}，集合A1,0,1，则UA2,2.

故选：B.

2．A

利用复数的除法运算法则计算z，进而求出z，根据复数的几何意义确定复数z对应的点所在象限.

11i1i11

【详解】zi，

1i1i1i222

1111

zi，对应点,位于第一象限.

2222

故选：A

3．D

利用上四分位数的定义，计算数据即可判断．

【详解】样本数据的上四分位数为从小到大排列：17,21,24,28,30,32,33,34,41,100，

133

因为1，107.5，所以上四分位数是第8个数为34.

444

故选：D.

4．C

根据截面性质可判断A，根据棱台、棱柱、圆台的定义可判断BCD.

【详解】对于A：用一个平面去截一个圆台，截面一定与圆台侧面相交，当交线是母线时显然

对边不平行，当交线不是母线时，一定不是直线，更不会平行，说明两组对边分别平

行的截面不可能，故A错误；

对于B：根据棱台定义知两个面不仅要平行、相似，各条侧棱所在直线要交于一点，故B错误；

对于C：根据棱柱的定义可知：C正确；

对于D：用一个平行于底面的平面截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，故D错误；

故选：C.

5．B

由条件结合投影向量的定义可求a,b，再根据向量夹角余弦公式求结论.

1

【详解】因为向量a在向量b上的投影向量为b，a,b是两个单位向量，

2

1

所以acosa,bbb，

2

1

所以cosa,b，又a,b0,π，

2

π

所以a,b，

3

211

所以aabaab111，

22

21

又a1，abab112111，

2

aab1

所以cosa,ab，又a,ab0,π，

aab2

π

所以向量a与向量的夹角为，即60.

ab3

故选：B.

6．A

根据两角和差的余弦公式和同角三角函数关系式求解即可.

【详解】cos3cos，所以coscossinsin3coscos3sinsin，

得2coscos4sinsin，coscos2sinsin，

sinsinsinsin1

所以tantan.

coscos2sinsin2

故选：A.

7．B

162kk4t1

根据p0p0e，求得e的值，即可得到k的值，p(t)p()p，化简整理，取以10为底的对数，

25051000

计算即可得到所求最小值．

16

【详解】因为过滤2小时后检测，发现污染物的含量为原来的，

25

162kk454t

根据题设，得p0p0e，e，可得kln，所以，p(t)p0()，

25545

t4

由41，得t2，

ptp0p0()10

51005

两边取10为底对数tlg8lg102，整理得t(13lg2)2，

0.1t2，t20，

因此，至少还需过滤20小时，

故选：B.

8．C

121212

根据已知条件求出函数的周期，进而求得ab1，化ab，再利用基本不等式即

ababab

可求解最小值.

11

【详解】由fx4得fx44fx，

fxfx4

即fx8fx，所以yfx的周期为8，

f(2025)f(82531)f(1)ab1，

1212b2a

ab3，

ababab

b2a

因为a0，b0，所以0，0，

ab

b2ab2a

由基本不等式有：323322，

abab

b2a

a21

当且仅当ab，即时，等号成立.

b22

ab1

故选：C.

9．ABD

利用函数的奇偶性和单调性的定义以及导数分别判断四个选项即可得出答案.

【详解】对于A，函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，

且f(x)x3f(x)，所以函数f(x)为奇函数，

又f(x)2x20，所以f(x)在R上单调递增，故A正确；

对于B，函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，

且f(x)2x2xf(x)，所以函数f(x)为奇函数，

又y2x为增函数，y2x为减函数，

根据单调性的性质：增函数-减函数=增函数，

所以f(x)在R上单调递增，故B正确；

对于C，函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，

且f(x)sinxsinxf(x)，所以函数f(x)为奇函数，

ππ

因为fxsinx，所以f(x)在2kπ,2kπ,kZ上为增函数，

22

π3π

f(x)在2kπ,2kπ,kZ上为减函数，故C不符合题意；

22

对于D，函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，

11

且fxlnx21xlnlnx21xfx，

2

x1x

所以fx是奇函数，又f(x)lnx21x，

令(x)x21x，则(x)为增函数，又函数yln为增函数，

所以f(x)lnx21x在R上单调递增，故D正确.

故选：ABD.

10．AC

由cosB求得sinB，再根据sinB2sinA求得sinA判断A；由sinB2sinA结合正弦定理求得b2a，再利用

余弦定理求解a、b判断B；根据ab2c，结合正弦定理判断C；利用面积公式求解SABC判断D.

1π115

【详解】因为cosB，所以B,π，sinB1cos2B1，

42164

1515

又因为sinB2sinA，所以2sinA=，所以sinA，所以A正确；

48

因为sinB2sinA，由正弦定理有：b2a，

a2+c2-b2a2+16-4a21

由余弦定理有：cosB===-，

2ac8a4

816

整理得：3a2-2a-16=0，解得a或a2（舍），b，

33

8

所以a，所以B错误；

3

816

a+b=+=8=2c，由正弦定理有：sinAsinB2sinC，所以C正确；

33

111615415

因为S=bcsinA=创4�，所以D错误.

ABC22383

故选：AC.

11．BCD

根据多面体M在点P处的离散率的定义，由各选项的条件分析几何体的结构特征，判断垂直关系及计算直

线与平面所成的角，判断选项的正误.

【详解】A.直四棱柱ABCDA1B1C1D1是正方体，则直四棱柱ABCDA1B1C1D1在顶点A处的

11πππ1

离散曲率为1BAA1BADDAA11，故A错误；

2π2π2224

B.若ACBD，则三棱锥A1BCD在顶点B处的离散曲率为

11πππ11

1CBA1CBDDBA11，故B正确；

2π2π24324

7

C.若四面体AABD在点A处的离散曲率为，

1112

11ππ7

即1AA1BAA1DBA1D1BA1D，

2π2π4412

π

则BAD，故BAD为正三角形，BDABAD2AB，

13111

所以BD2AB2AD2，所以四边形ABCD为正方形，

所以直四棱柱ABCDA1B1C1D1是正方体，因为CC1平面ABCD，

BD平面ABCD，所以BDCC1，因为BDAC，AC平面ACC1，

CC1平面ACC1，ACCC1C，所以BD平面ACC1，

又因为AC1平面ACC1，所以AC1BD，

同理可得AC1A1B，又BD平面A1BD，A1B平面A1BD，

BDA1BB，则有AC1平面A1BD，故C正确；

D.若直四棱柱ABCDA1B1C1D1在顶点A处的离散曲率为：

1ππ1π

1BAD，则BAD，如图，设AA1AB1，

2π2233

221

ACBDO，则BC112，BO，由C可知BDCC1，

12

因为四边形ABCD为菱形，所以BDAC，又AC平面ACC1，

CC1平面ACC1，ACCC1C，所以BD平面ACC1，

所以BC1O即BC1与平面ACC1所成角，

BO2

，214，

sinBC1OcosBC1O1sinBC1O

BC144

sinBC1O7

故tanBC1O，故D正确.

cosBC1O7

故选：BCD.

12．3π

由侧面积公式和半圆面积公式可计算母线长，再计算高，即可求体积.

【详解】

11

设圆锥的高为h，母线长为l，根据侧面积公式与半圆的面积公式可得：πl22πrl，

22

因为r3，所以l23，

由勾股定理得：h1233，

1

所以圆锥的体积为Vπ333π，

3

故答案为：3π

13．22

根据题意求出ab1，再对ab进行平方计算即可.

【详解】由题设可得a1,b1,2，ab2，

2

222

故b1225，aba2abb4，

即12ab54，解得：ab1，

2

22

则aba2abb12158，

即ab22.

故答案为：22.

510

14．

33

借助余弦函数性质计算即可得.

πππππ

【详解】由x0,，则x,，

26626

3ππ11π510

fx的值域为1,，则π，解得.

226633

510

故答案为：.

33

π

15．(1)最小值为2，xxkπ,kZ

12

π

(2)

12

（1）借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再借助正弦函数的性质计算即可得；

（2）先求出平移后的函数解析式，再利用正弦函数的对称性计算即可得.

π

【详解】（1）fx31cos2xsin2x32sin2x，

3

ππ

当且仅当2x2kπkZ，

32

π

即xkπkZ时，fx的最小值为2：

12

所以函数fx的最小值为2，

π

此时x的取值集合为xxkπ,kZ；

12

ππ

（2）由题知，ygx2sin2x2sin2x2，

33

要使得ygx的图象关于y轴对称，

πππkπ

则2kπkZ，即kZ，

32122

π

则的最小值为.

12

2π

16．(1)C.

3

(2)33.

12π

（1）由正弦定理和正弦和角公式得到cosC，求出C；

23

11

（2）由三角形面积公式得到cab，再由余弦定理和基本不等式得到a2b23ab,ab12，求出三角形面

24

积的最小值.

【详解】（1）ABC中，2ccosB2ab，由正弦定理得

2sinCcosB2sinAsinB2sinBCsinB，

即2sinCcosB2sinBcosC2cosBsinCsinB，

故2sinBcosCsinB0，又B0,π，则sinB0，

1

即cosC，

2

2π

又C0,π，可得C；

3

1331

（2）SabsinCabc，则cab，

ABC2422

由余弦定理得c2a2b22abcosCa2b2ab3ab，

122

即ab3ab,ab12，即当且仅当ab23时，等号成立，

4

3

故ABC面积的最小值为1233.

4

17．(1)a0.03，众数为85，中位数为82

(2)81；30

（1）由频率分布直方图可得a0.03，众数为85，分别求满意度分值在40,80的频率和在40,90的频率，

根据题意求中位数即可.

22

（2）由频率分布直方图计算得，分值在70,80平均数z1，方差s1，在80,90平均数z2，方差s2，在70,90

的平均数z，根据方差的定义计算s2即可

【详解】（1）由频率分布直方图可得，0.0050.0120.02a0.025101，

解得a0.03，

由频率分布直方图可估计众数为85.

满意度分值在40,80的频率为0.0050.0120.02100.450.5，

在40,90的频率为0.0050.0120.020.03100.750.5，

所以中位数落在区间80,90内，

0.50.45245

所以中位数为801082.

0.33

（2）由频率分布直方图得，满意度分值在70,80的频率为0.02100.2，

人数为20；在80,90的频率为0.03100.3，人数为30，

2

把满意度分值在70,80记为x1,x2,,x20，其平均数z175，方差s19，

2

在80,90记为y1,y2,,y30，其平均数z285，方差s24，

所以满意度分值在70,90的平均数

20z30z20753085

z1281，

5050

根据方差的定义，满意度分值在70,90的方差为

202302

s2s2zzs2zz

50115022

2030

9(7581)24(8581)230.

5050

18．(1)m5.

(2)fx在R上单调递减，证明见解析

(3)1a2.

（1）奇函数的定义列出等式，求解m即可；

（2）由函数单调性的定义证明即可；

（3）根据题意得出gxfx1是奇函数，且在R上单调递减，根据条件计算不等式即可.

【详解】（1）因为fx关于0,1对称，所以fx1是奇函数，

则fx1fx1，即fxfx2，

x

2xm2xm1m2x2xmm121

即2，

2x122x1222x12x1222x1

对定义域内任意实数x成立.

即m5.

2x52x1631

（2）fx在R上单调递减，

2x122x122x12

任取x1,x2R，且x1x2

xx

3332221

fx1fx2xx，

2112212x112x21

x1x2

因为x1x2，则22，则fx1fx2，

故fx在R上单调递减.

（3）因为fx关于0,1对称，所以gxfx1是奇函数，且在R上单调递减，

由fa2cos2xf2sinx3a2

所以ga2cos2xg2sinx3a0，

所以ga2cos2xg2sinx3ag2sinx3a

所以a2cos2x3a2sinx，

即a23acos2x2sinx对任意xR都成立，

由于cos2x2sinx(sinx1)22，其中1sinx1，

所以(sinx1)222，即最小值为2，所以a23a2，

即a23a20，解得1a2.

故实数a的取值范围为1a2.

19．(1)证明见解析

15

(2).

3

(3)21.

【详解】（1）因为PH平面ABCD,DM平面ABCD，

则PHDM，

且AHDM,PHAHH,PH,AH平面PAH，

所以DM平面PAH，

且PA平面PAH，所以PADM

（2）作HEAB，垂足为E，连接PE，过点H作HGPE，

若PAB为等边三角形，则E为AB中点，

因为PH平面ABCD,AB平面ABCD，则PHAB，且PEAB，

且PHHEH,PH,HE平面PHE，可得AB平面PHE，

又AB平面PAB，则平面PAB平面PHE，

又平面PAB平面PHEPE,HGPE，HG平面PHE，

则HG平面PAB，

点H到平面PAB的距离即为HG，

对于平行四边形ABCD，建立平面直角坐标系，如图所示，

3

则A0,0,B3,0,C5,23,D2,23,M4,3,E,0，

2