湖北省黄冈市2024-2025学年高一下学期期末质量监测 数学

黄冈市2025年春季高一年级期末质量监测

数学

全卷满分：150分，用时1202分钟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.下列说法正确的（）

A.通过圆台侧面一点，有无数条母线

B.棱柱的底面一定是平行四边形

C.圆锥的轴截面都是等腰三角形

D.用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台

2.如图所示为水平位置的正方形ABCO，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为2,2，用斜二测画法

画出它的直观图ABCO，则点B到x的距离为（）

3222

A.2B.C.D.

424

3.已知在复平面内，O为原点，向量OA,OB对应的复数分别为34i，25i，那么向量AB对应复数

的虚部为（）

A.1B.9C.iD.9i

4.已知100个数据的上四分位数是93，则下列说法正确的是（）

A.将这100个数据从小到大排列后，第25个数据是93

B.将这100个数据从小到大排列后，第75个数据是93

C.将这100个数据从小到大排列后，第25个数据和第26个数据的平均数是93

D.将这100个数据从小到大排列后，第75个数据和第76个数据的平均数是93

5.已知m,n为异面直线，m平面，n平面.直线l满足lm,ln,l,l，则（）

A.，且lB.，且l

C.与相交，且交线垂直于lD.与相交，且交线平行于l

37

6.已知,为锐角，cos,sin，则cos（）

59

28122281222116221162

A.B.C.D.

45454545

已知正四棱台，，其侧面积为，则该棱台的体积为（）

7.ABCDA1B1C1D1AB2,A1B16323

1042

A.18B.27C.D.1042

3

8.已知0，在函数y2sinx与y2cosx图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，

则的值为（）

333

A.B.C.D.

12622

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部

选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.

设是复数，则下列说法正确的是（）

9.z1,z2

若，则或

A.z1z20z10z20

若3，则

B.z1Rz1R

若，则

C.z1z2z1z1z2z2

2

D.z1z2z1z24z1z2

10.关于平面向量a,b,c，下列说法中正确的是（）

A.若ab，a0，则存在R，使得ba

B.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量

C.若abac，则bc

D.若向量a与b同向，且ab，则ab

11.如图，在棱长均相等的正四棱锥PABCD中，O为底面正主形的中心，M,N分别为侧棱PA,PB的

中点，则下列结论中正确的是（）

A.PC平面OMN

B.OMPA

C.直线PD与直线MN所成角的大小为90°

3

D.设平面OMN底面ABCDl，则二面角MlA的余弦值为

3

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知复数zm2m12m22m8i（i为虚数单位）是纯虚数，则实数m_________.

sinC1

13.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知3,cosB，ABC的周长为7，则边长

sinA6

b为______________.

14.已知A,B是球O的球面上两点，AOB1200，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最

大值为6，则球O的表面积为____________.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于第一

象限的点4

P,y1.

5

（）求的值；

1y1

2cos222cos2

（2）求2的值.

2sin

4

16.（本小题满分15分）

如图，在平面四边形ABCD中，已知CD2BA，BCCD2，BABC2，若BOBCR.

1

（1）当时，求OAOD的值；

2

（2）求OAOD取得最小值时的值.

17.（本小题满分15分）

在ABC中，角A,B,C对应的边分别为a,b,c，已知a2sinA，2sin2Asin2CabsinB.

（1）求角C和边c；

3

（2）若b，求sin2A4B5C.

2

18.（本小题满分17分）

已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：

22记总的样本平均数，样本方差为2

m,x,S1;n,y,S2.S.

mn

（1）证明：xy；

mnmn

122

（）证明：222；

2SmS1xnS2y

mn

（3）现已知某高中共有学生1400人，其中男生800人，体重平均数66kg，方差为180，女生600人，体

重平均数为52kg，方差为90，求出该校所有学生体重的平均数和方差.

19.（本小题满分17分）

如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面，

ABCA1B1C1AA1B1BABCAA1C1CABC

，是线段上一动点，，

ABBC,ABAA13,BC1PBC1BPBC10,1.

（）证明：三棱柱是直三棱柱；

1ABCA1B1C1

1

（2）若，求平面ABP截三棱柱ABCABC所得截面的面积；

411111

3

（3）是否存在，使得直线BP与平面ACCA所成角的正切值为，若存在，求出的值，若不存在，

1117

请说明理由.

参考答案

一、选择题

题号1234567891011

答案CCBDDACDACABABD

三、填空题

12.313.314.48

5

8.解析：由题根据三角函数图象与性质可得距离最短的交点坐标可以为,2,,2，

44

2

522

2223，∴.

442

11.解析：选ABD.连接AC（图略），易得PCOM，因为OM平面OMN，PCOMN，所以PC

平面OMN，故A正确；由于四棱锥的棱长均相等，所以AB2BC2PA2PC2AC2，所以PCPA，

又PCOM，所以OMPA，故B正确.由于M,N分别为侧棱PA,PB的中点，所以MNAB.又四边

形ABCD为正方形，所以ABCD，所以直线PD与直线MN所成的角即为直线PD与直线CD所成的

角，即PDC.又PDC为等边三角形，所以PDC600，故C错误.平面OMN平面PDC，二面角

3

MlA与二面角PCDA相等，易得二面角PCDA的余弦值为，故D正确.

3

3

14.解析：易得当OC面OAB时体积最大，即VR36，从而R23,S48.

OABC12

四、解答题

15.【解析】

433

（1）依题意，cos,sin，则y；

5515

2cos222cos2

cos12cos

（2）2

sincos

2sin

4

3cos1

sincos

17

16.【解析】（1）依题意O为线段BC的中点，则

OBOC，OAOBBA,ODOCCDOB2BA，

22

从而OAODOBOBBA2BA

2

又因为BABC2，则有OBBA，

2

222

从而OAODOBOBBA2BA1.

2

（2）因为BOBC，则有OC1BC，

OAOBBABCBA，ODOCCD1BC2BA，

22

从而OAOD1BC13BCBA2BA

142

4121324243222，

8

432

当且仅当时，OAOD最小.

8

abc

17.【解析】（1）依题意，由a2sinA知：2，从而

sinAsinBsinC

abc

sinA,sinB,sinC，代入2sin2Asin2CabsinB化简得：

222

1

c2a2b2ab，由余弦定理可知：cosC

2

从而C,c2sinC3.

3

3bc337

（2）b,2，则有sinB，由b3c知，B为锐角，则cosB，

2sinBsinC424

由C，ABC，知sin2A4B5Csin32Bsin2B，

3

37

从而有sin2A4B5C2sinBcosB.

8

mxnymn

18.证明：（1）wxy.

mnmnmn

1m2n2

（）2

2Sxiwyjw

mni1j1

1i1j12

xixxwyjyyw

mnmn

mm

由可得

xixximx0

i1i1

mm

2xixxw2xwxix0

i1i1

n

同理

2yjyyw0

j1

1i12i12j12j12

∴2

Sxixxwyjyyw

mnmmnn

22

122

mS1xwnS2yw

mn

800600

（3）由（1）可知，w66526060kg，

800600800600，即该校所有学生体重的平均数为

由（2）可知

122

S28001806660600905260

800600

11326

800216600154

14007

【解析】（）在

19.1AB上任取一点D，过D作DD1AB交A1B1于D1，

在AC上任取一点E，过E作EE1AC交A1C1于E1，

由平面AA1B1B平面ABC可知，DD1平面ABC，

同理有EE1平面ABC，从而有DD1EE1，则DD1平面ACC1A1，又因为平面ACC1A1平面

ABB1A1AA1，从而有DD1AA1，即AA1平面ABC，

ABCABC

从而三棱柱111是直三棱柱.

（2）

1

当4是地，连B1P延长交直线BC于F，易得F为线段BC上靠近B的一个三等分点，过F作

FMAB交AC于点M，连AM，易证MF面B1BCC1从而截面为直角梯形MFB1A1，易得

232712327521

MF,B1F