河北省邯郸市2024-2025学年高二下学期期末调研试卷 数学

河北省邯郸市2024-2025学年高二下学期期末调研考试数学试题

注意事项：

1、答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4、本试卷主要考试内容：高考全部内容.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

A{1,2},B{1,2,3},Cx∣x22x30

1.已知集合，则(AB)C（）

A.B.{1,2,3}C.3D.{1,2}

【答案】D

【详解】AB{1,2},Cx∣x22x30{x∣1x3}，

所以(AB)C{1,2}.

故选：D.

12i

2.（）

12i

34343434

A.iB.iC.iD.i

55555555

【答案】A

(12i)234i34

【详解】原式i.

(12i)(12i)555

故选：A.

3.已知向量a(1,2),b(m,4)，若(ab)a，则m（）

A.3B.-3C.4D.-4

【答案】B

【详解】因为a1,2,bm,4，所以ab(m1,2)，

因为(ab)a，所以(ab)a0，

即(m1)220，解得m3.

故选：B

4.已知函数f(x)sin(2x)(||π)的部分图象如图所示，则（）

ππ2π5π

A.B.C.D.

6336

【答案】A

5π5π5π

【详解】因为图象过点,0，所以fsin20，

121212

5π5ππ

为函数递减区间上的零点，可得π2kπ,kZ，即2kπ,kZ，

1266

π

因为||π，所以.

6

故选：A.

xa1,xa,

5.已知a1，函数f(x)则f(x)的值域为（）

logax,xa,

A.RB.(0,)C.[1,)D.[a,)

【答案】C

【详解】当xa时，f(x)xa1，f(x)在,a上为减函数，

所以f(x)f(a)aa11.

当xa时，f(x)logax，

因为a1，所以f(x)在a,上为增函数，

所以f(x)f(a)logaa1.

综上得，f(x)的值域为[1,).

故选：C.

π

6.如图，二面角l的大小为，点A,B分别在半平面,内，ACl于点C,BDl于点D.若

3

ACBD1,CD2，则直线AB与CD所成角的余弦值为（）

A.5B.25C.1D.3

5522

【答案】B

【详解】

如图，在半平面内作BCl于点C，且BCBD，连接BB,BA，

π

则四边形BDCB为矩形，且ACB为二面角l的平面角，即ACB，

3

所以BB//CD，BCBDAC1，BBCD2，

所以直线AB与CD所成的角为直线AB与BB所成的角，且△ACB是正三角形，故AB1.

因为CD^AC,CD^BⅱC,ACBC=C,AC,BCÌ平面ABC，所以CD平面ABC，

因为BB//CD，所以BB平面ABC，

因为AB平面ABC，所以BB⊥AB，故ABAB2BB25，

BB22525

所以cosABB，即直线AB与CD所成角的余弦值为.

AB555

故选：B.

x2y2

7.已知O为坐标原点，双曲线C:1(a0,b0)的右焦点为F，左顶点为A，过F作C的一条

a2b2

渐近线的垂线，垂足为P.若|PA|3|PO|，则C的离心率为（）

A.5B.3C.2D.2

【答案】C

【详解】

b

由题意得，Aa,0,Fc,0，双曲线的渐近线方程为yx，

a

b

如图，不妨设点P在直线yx上，

a

bcbc

PFb

即点P在直线bxay0上，则2，

b2ac

在直角POF中，|PF|b,|OF|c，

所以|PO|c2b2a，故|PA|3a，

|PO|2|OA|2|PA|2a2a2(3a)21

在PAO中，cosPOA，

2|PO||OA|2a22

2ππ

所以POA,POF，

33

bπcc2b2

所以tan3，故椭圆C的离心率e12.

a3aa2a2

故选：C.

8.已知某农户家里养了3只兔子和4只鸡，将它们关在同一个笼子里，若兔子和鸡随机逐一向外走，则恰

有2只兔子相继走出笼子的概率为（）

1234

A.B.C.D.

7777

【答案】D

7

【详解】由题意，兔子和鸡随机走出笼子，共有A7=5040种不同的情况，

422

其中恰有2只兔子相邻走出笼子的情况共有A4A3A5=24×6×20=2880种，

A4A2A228804

故恰有2只兔子相邻走出笼子的概率为435.

P7

A750407

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.若f(x)是定义在R上的奇函数，f(1x)f(1x)，则（）

A.f(0)0B.f(1)0C.f(2)0D.f(2024)0

【答案】ACD

【详解】因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)f(x)①，且f(0)0，故A正确；

因为f(1x)f(1x)，故得f(x)f(2x)②，则f(2)f(0)0，故C正确；

由①②可得f(2x)f(x)，则f(2x)f(x)，可得f(4x)f(2x)f(x)，

即f(x)是以4为一个周期的函数，f(2024)f(0)0，故D正确；

对于f(1)，没有相关条件求出其值，故B错误.

故选：ACD.

10.为了解某新品种玉米的亩产量（单位：千克）情况，从种植区抽取样本，得到该新品种玉米的亩产量

2

的样本均值x500，已知该新品种玉米的亩产量X服从正态分布Nx,s，则下列说法正确的是（）

2

（若随机变量Y服从正态分布N,，则

P(Y)0.6827,P(2Y2)0.9545,P(3Y3)0.9973)

A.s2的值越大，亩产量不低于510千克的样本越多B.s2的值越大，亩产量不低于510千克的样本越少

C.若s2100，则P(X480)0.97725D.若s2100，则P(X490)0.84135

【答案】ACD

【详解】因为新品种玉米的亩产量的样本均值为500，方差越大，数据越分散.

当s2的值越大时，亩产量不少于490千克且低于510千克的样本越少，不低于510千克的样本越多，A正确，

B错误.

11

因为P(X480)PX500P480X500P(480X520)0.97725，

22

11

P(X490)PX500P490X500P(490X510)0.84135，

22

所以C，D正确.

故选：ACD.

11.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状

把数分成许多类，如图中第一行的1,3,6,10,称为三角形数，第二行的1，4，9，16,称为正方形数，

第三行的1,5,12,22,称为五边形数，第四行的1,6,称为六边形数，以此类推.设第一行、第二行、第三

行、第四行、第k行的数分别构成数列an,bn，cn,en,fn，下列结论正确的是（）

n(n1)

A.aB.e3n24n2

n2n

kn2(2k)n

C.fD.第十行的第4个数为64

n2

【答案】ACD

【详解】由图可得，a11,a2a12,a3a23,a4a34,,anan1n，

n(n1)

累加可得an12n，A正确.

2

b11,b2b1121,b3b2221,b4b3321,,bnbn1(n1)21，

累加可得2.

bnn122232(n1)2n

c11,c2c1131,c3c2231,c4c3331,,cncn1(n1)31，

n(n1)3n2n

累加可得cn132333(n1)3n3.

n22

e11,e2e1141,e3e2241,e4e3341,,enen1(n1)41，

n(n1)

累加可得en142434(n1)4n42n2n,B错误.

n2

n(n1)kn2(2k)n

以此类推可得fnk，C正确.

n22

4(41)

若k10，则f41064，D正确.

42

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

1ππ

12.已知sin,(0,)，则cos()_____________.

324

【答案】42

6

1π22

【详解】因为sin,(0,)，所以cos1sin2,

323

π2222142

则cos()(cossin)().

422336

故答案为：42.

6

13.已知抛物线C:y24x的准线为l，点P在C上，直线l:4x3y110，点P到直线l的距离与到

直线l的距离之和的最小值是_____________.

【答案】3

【详解】由题意，抛物线的焦点为F1,0，

由抛物线的定义知，点P到直线l的距离等于点P到点F的距离，

因此点P到直线l的距离与到直线l的距离之和的最小值，

|4011|

即为点F到直线l的距离，即为3.

169

故答案为：3.

14.若不等式exln(xa)a0恒成立，则实数a的取值范围是_____________.

【答案】,1

【详解】由exln(xa)a0，可得xexln(xa)xa，即lnexexln(xa)xa，

构造函数f(x)lnxx，函数定义域为(0,)，

1x1

因f(x)10在(0,)上恒成立，故f(x)在(0,)上单调递增，

xx

x

由fef(xa)可得exxa0，即aexx(xa)（*），

令函数g(x)exx,(xa)，则g(x)ex1，

若a0，则当x(a,0)时，g(x)0，g(x)在(a,0)上单调递减；

当x(0,)时，g(x)0，则g(x)在(0,)上单调递增，

所以g(x)ming(0)1，故由（*）可得a(0,1]；

若a0，则当xa0时，g(x)0，g(x)在a,上单调递增，

故g(x)g(a)g(0)1，满足ag(x)，所以a0符合条件；

综上，a的取值范围是,1.

故答案为：,1.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，在平面四边形ABCD中，ADC90,tanABD3,AB4,BD10.

（1）求A；

（2）若DC2，求BC.

π

【答案】（1）A

4

（2）BC2

【小问1详解】

10310

因为tanABD30，所以ABD是锐角，则cosABD，sinABD.

1010

在△ABD中，由余弦定理得AD2BD2AB22BDABcosABD18，AD32.

BDAD2

又由正弦定理，可得，即sinA，

sinAsinABD2

π

因为BDAB，所以，则，故A.

AADBA904

【小问2详解】

AD2BD2AB25

在△ABD中，由余弦定理得cosADB，

2ADBD5

525

则sinBDCsin90ADBcosADB，cosBDC1sin2BDC.

55

在△BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcosBDC

25

10221024，解得BC2.

5

x2y2

16.已知椭圆C:1(ab0)上任意一点P到C的两个焦点F(22,0),F(22，0)的距离之

a2b212

和为43.

（1）求C的方程；

1

（2）已知直线l:yxm与C相交于A，B两点，若|AB|5，求m的值.

3

x2y2

【答案】（1）1

124

（2）2

【小问1详解】

c22,

a212,

由题意可得2a43,解得

b24,

a2b2c2,

x2y2

故C的方程为1.

124

【小问2详解】

x2y2

1

124422

联立，得x2mx3m120

13

yxm

3

416

Δ4m243m2120，解得m2.

33

3m

xx

122

设Ax,y,Bx,y，则，

11229m236

xx

124

2

12

AB1x1x24x1x2

3

103m1027m2

()2(9m236)365，

3234

解得m2，即m的值为2.

17.如图，在四棱锥PABCD中，侧棱长均为217，四边形ABCD是矩形，BC8,CD12.

（1）证明：平面PCD平面PAB.

（2）求二面角BPCD的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

（2）442

26

【小问1详解】

证明：连接AC,BD交于点O，记AB,CD的中点分别为G,F，连接PG,GF,PF,PO.

在△PAC,△PBD中，PAPC,PBPD,O是AC,BD的中点，所以POAC,POBD.

因为ACBDO,AC,BD平面ABCD，所以PO平面ABCD.

因为AB平面ABCD，所以POAB.

在矩形ABCD中，GFAB.因为POGFO,PO,GF平面PGF，所以AB平面PGF.

因为PF平面PGF，所以ABPF.

PFPC2CF242，同理得PG42.GFBC8，所以GF2PF2PG2，即PFPG.

因为ABPGG,AB,PG平面PAB，所以PF平面PAB.

因为PF平面PCD，所以平面PCD平面PAB.

【小问2详解】

作OEBC，垂足为E.以O为坐标原点，OE,OF,OP分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标

系，

11

因为OECD6,BECEBC4，OPPC2OC2417524，

22

所以B6,4,0，C6,4,0,D6,4,0,P0,0,4.

所以PC(6,4,4),BC(0,8,0),DC(12,0,0).

设nx1,y1,z1是平面PCB的法向量，

nPC0,6x14y14z10,

则即可取n(2,0,3).

nBC0,8y10,

设mx2,y2,z2是平面PCD的法向量，

mPC0,6x24y24z20,

则即可取m(0,1,1).

mDC0,12x20,

nm33

cosn,m，

nm22321126

2

3442

sinn,m1.

2626

442

故二面角BPCD的正弦值为.

26

18.已知函数f(x)exlnxa.

（1）若a1，求曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程.

（2）证明：f(x)在(0,)上单调递增.

（3）若a0，证明：f(x)2alna.

【答案】（1）y(e1)x2

（2）证明见解析（3）证明见解析

【小问1详解】

当a1时，f(x)exlnx1，f(1)e1，

1

则f(x)ex，f(1)e1，

x

故曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y(e1)(x1)e1，

即y(e1)x2；

【小问2详解】

1

f(x)的定义域为(0,)，则f(x)aeax(x0)，

x

1

令函数gxfx，则gxa2eax0，

x2

所以gx在(0,)上单调递增，即fx在(0,)上单调递增；

【小问3详解】

（证法一）由（2）得，f(x)在(0,)上单调递增，

111

因为a0，由f()ae22a0，f()aea0，

2aa

11ax1

可知存在唯一实数，使得0，

x0(,)fx0ae0

2aax0

ax01

即e，可得lnx0ax0lna，

ax0

当x0,x0时，f(x)0，则f(x)在0,x0上单调递减；

当xx0,时，f(x)0，则f(x)在x0,上单调递增；

ax01

所以f(x)的极小值为fx0elnx0aax0lnaa

ax0

1

2ax0lnaa2alna，

ax0

1

当且仅当x时，等号成立，

0a

11

因为x0,，所以fx02alna，

2aa

所以f(x)2alna.

（证法二）当a0时，f(x)2alna等价于eaxlnx2lna，

即eax1ln(ax)1，

令axt0，则有et1lnt1，

先证当t0时，et1t，

令函数F(t)ett1，则F(t)et1，

当t0时，F(t)0，则F(t)在(0,)上单调递增，

所以当t0时，F(t)F(0)0，即当t0时，et1t得证；

再证tlnt1，

1t

令函数G(t)lntt1，则G(t)，

t

当t(0,1)时，G(t)0，t(1,)时，G(t)0，

所以G(t)在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减，

则G(t)G(1)0，即tlnt1得证；

综上，et1tlnt1，即当a0时，f(x)2alna得证.

19.有nn2,nN个人（包括甲在内）一起做传球训练，第1次由甲将球传出，经过k(kN）次

传球后，记球回到甲手中的传球方式有An(k)种，球不回到甲手中的传球方式有Bn(k)种.

（1）求A3(2),B3(2),A4(2),B4(2)；

（2）求An(k)；

（3）若B4(k)A4(k)