河北省部分重点高中2024-2025学年高一下学期7月期末考试 数学

2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

一、单选题

1．复数z32i的虚部是（）

A．2B．2iC．2D．2i

2．已知向量a1,2,b2,k1，若a∥b，则k（）

A．4B．4C．5D．5

3．某校高一年级有720名学生，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为48的样本，其中身高

在175cm以下的学生人数为32，则该校高一年级身高在175cm以下的学生人数为（）

A．320B．360C．420D．480

4．在空间直角坐标系Oxyz中，A1,1,0,B2,1,2,C0,2,1，则平面ABC的一个法向量为（）

A．2,1,3B．2,1,3C．2,1,3D．2,1,3

5．已知随机事件A和B相互独立，且PA0.6,PB0.75，则PAB（）

A．0.9B．0.85C．0.8D．0.78

π

6．已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A,b4，若ABC有两解，则a的取值范围是（）

4

A．2,22B．22,4C．22,23D．23,4

7．用抽签法抽取的一个容量为10的样本x1,x2,,x10的平均数为12，方差为6，用随机数表法抽取的一个容

量为20的样本y1,y2,,y20的平均数为15，方差为9，则样本x1,x2,,x10,y1,y2,,y20的方差为（）

A．8B．10C．12D．14

π

8．已知菱形ABCD的边长为6，BAD，现将△ABD沿直线BD翻折，得到三棱锥ABCD，则当三

3

棱锥ABCD体积最大时，三棱锥ABCD的外接球的表面积为（）

A．24πB．36πC．48πD．60π

二、多选题

9．下列关于非零向量a,b的说法正确的是（）

abab

A．若a,b共线，则B．若，则a,b共线

abab

C．若ab0，则a,b的夹角为锐角D．若a,b的夹角为锐角，则ab0

1711

10．已知事件A,B,C两两互斥，若PB,PAB,PAC，则（）

41215

12

A．PAB．PC

35

1353

C．PBCD．PABC

2060

11．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则下列说法正确的有（）

A．A1CBC1

3

B．直线AD1到平面A1BC1的距离为

3

6

C．直线A1C与平面ABC1所成角的正弦值为

3

3

D．平面ABC1与平面A1BC1所成角的正弦值为

3

三、填空题

12．已知一组数据如下：3,4,4,6,7,7,8,8,9,10，则这组数据的第80百分位数是.

13．若圆锥的母线长为6，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为.

14．在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，记ABC的面积为S，若a3，sinB2sinC，

23sinAcosA，则ABC的面积为.

四、解答题

15．设复数z1ai,z22bi（其中a,bR）.

(1)若z1z2，求ab的值；

2

(2)若z1是关于x的方程xmx20的一个根，求m的值.

16．如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCBB12,AC22,N为线段AB的中点.

(1)证明：AC1//平面B1CN；

(2)平面B1CN将三棱柱分成两部分，求这大小两部分体积的比值.

17．在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，向量mba,sinAsinC，nsinBsinA,c，且mn.

(1)求B；

(2)若ABC的外接圆的面积为4π，求ABC周长的取值范围.

18．这么近，那么美，周末到河北.“五一”小长假过后，为更好地提升旅游品质，邯郸东太行旅游度假区的

工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），将评分绘制成频率分布直方图，请根

据下面尚未完成的频率分布直方图解决下列问题.

(1)根据频率分布直方图，求x的值；

(2)估计这100名游客对景区满意度评分的中位数；

(3)若工作人员从这100名游客中随机抽取了5名，其中评分在50,60内的有2人，评分在70,80内的有3

人.现从这5人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分均在70,80内的概率.

1

19．如图1，在直角梯形ABCD中，已知AD//BC,ADABBC2,BAD90，现将△ABD沿BD折起

2

到△PBD的位置，使平面PBD平面BCD，如图2.

(1)求证：CDPB；

(2)求PC与平面BCD所成的角的正弦值；

(3)求二面角PBCD的平面角的余弦值.

题号12345678910

答案CCDAABBDBDBC

题号11

答案ACD

1．C

根据虚部的定义求解即可.

【详解】由复数的定义可知复数z32i的虚部为2.

故选：C.

2．C

由a∥b，利用平行向量的坐标表示即可求解.

【详解】因为a∥b，所以1k14，

解得k5.

故选：C.

3．D

根据分层抽样定义计算即可.

32

【详解】由比例分配的分层抽样方法可得高一年级身高在175cm以下的学生人数为720480.

48

故选：D.

4．A

根据法向量的求法求解即可.

【详解】由已知AB3,0,2,AC1,1,1，设平面ABC的一个法向量为nx,y,z，

nAB3x2z0

，取x2，得n2,1,3，

nACxyz0

选项A符合，另外选项BCD中的向量与选项A中的向量不共线.

故选：A.

5．A

根据乘法公式以及并事件的概率求法，即可求得答案.

【详解】因为事件A和B相互独立，PA0.6,PB0.75,

故PABPAPB0.45，

所以PABPAPBPAB0.9.

故选：A.

6．B

根据ABC有两解，列不等式求解可得结果.

π

【详解】如图，在ABC中，A,b4，则ABC有两解的充要条件为：bsinAab，

4

即22a4.

故选：B.

7．B

求出新样本的平均数，根据方差公式计算，即可求得答案.

10122015

【详解】由题知x,x,,x,y,y,,y的平均数为z14，

1210122030

122

则所求方差s21061214209151410.

30

故选：B.

8．D

当三棱锥ABCD体积最大时，平面ABD平面BCD，分别取ABD和△BCD的外接圆圆心O1,O2，进

而找到三棱锥ABCD的外接球的球心O，求出外接球的半径，最后根据球的表面积公式即可得解.

【详解】当三棱锥ABCD体积最大时，平面ABD平面BCD，

取BD的中点E，连接AE,CE，

因为四边形ABCD为菱形，

所以AEBD,CEBD，

因为平面ABD平面BCDBD，

π

所以AEC，

2

如图，过AE上靠近E的三等分点O1作平面ABD的垂线，

过CE上靠近E的三等分点O2作平面BCD的垂线，

两条垂线的交点O即为三棱锥ABCD的外接球的球心，连接OC，

π

因为ABAD6，BAD，

3

所以ABD为等边三角形，

所以AE33，

所以O1EOO23，

同理可得CO223，

22

所以ROC32315，

2

所以S球4πR60π.

故选：D.

9．BD

由向量共线的意义、数量积的几何意义逐一判断各个选项即可得解.

ab

【详解】对于选项A，当a,b方向相反时，，故选项A错误；

ab

ab

对于选项B，若，则a,b方向相同，即a,b共线，故选项B正确；

ab

对于选项C，若ab0,a,b的夹角为锐角或a,b的方向相同，故选项C错误；

对于选项D，若a,b的夹角为锐角,ababcos0，故选项D正确.

故选：BD.

10．BC

利用互斥事件满足的关系式，对选项一一分析求解，求出答案.

【详解】A选项，因为事件A,B,C两两互斥，

17

所以PABPAPBPA，

412

12

则PA，所以PA，故A错误；

33

1112

B选项，PACPAPCPC，则PC，故B正确；

3155

1213

C选项，PBCPBPC，故C正确；

4520

11259

D选项，PABCPAPBPC，故D错误.

34560

故选：BC.

11．ACD

对于A，只需证明BC1平面A1B1C即可说明A正确；对于B，由等体积法验算点面距离即可；对于C，D，

由线面角、面面角的定义逐一验算CD选项即可得解.

【详解】对于A，如图，连接B1C，因为A1B1平面BCC1B1,BC1平面BCC1B1，所以A1B1BC1，

因为B1CBC1,A1B1B1CB1，A1B1,B1C平面A1B1C，所以BC1平面A1B1C，

因为A1C平面A1B1C，所以A1CBC1，故A正确；

对于B，AD1//BC1,BC1平面A1BC1,AD1平面A1BC1，所以AD1//平面A1BC1.

因为正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，所以A1BC1是边长为22的正三角形.

设直线到平面的距离为h，由等体积法V=V得：

AD1A1BC1A-A1BC1C1-AA1B

131123

h8222，解得h，故B错误；

34323

对于C，连接BD1，平面ABC1即为平面ABC1D1.

设A1C与BD1交于点O，则O为A1C的中点.过点A1作A1EAD1，交AD1于点E，

则E为AD1的中点，AB平面ADD1A1，A1E平面ADD1A1，

所以ABA1E，又ABAD1A，所以A1E平面ABC1.

连接EO，则A1OE为直线AC与平面ABC1所成的角，

A1E26

sinA1OE，故C正确；

A1O33

对于D，设B1CBC1F，连接A1F,EF，则A1FBC1,EFBC1，

所以A1FE为平面ABC1与平面A1BC1所成角的平面角，因为A1EEF，

A1E23

所以sinA1FE，故D正确.

A1F63

故选：ACD

17

12．8.5/

2

根据题意，利用百分位数的计算方法，即可求解.

【详解】由题意，数据3,4,4,6,7,7,8,8,9,10，可得80%108，

89

故第80百分位数是第8个数和第9个数的平均数，即为8.5.

2

故答案为：8.5.

13．93π

设圆锥的底面半径为r，母线长为l，分析得出l2r，可求得r3以及圆锥的高h33，再利用圆锥的体

积公式可求得结果.

【详解】设圆锥底面半径为r，母线长为l.

因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，所以πl2πr，即l2r6，r3，

那么圆锥的高hl2r2623233.

1

圆锥的体积Vπr2h93π.

3

故答案为：93π.

333

14．/3

22

ππ

由辅助角公式可得3sinAcosA22sinA，结合A0,π，可求得A，再利用余弦定理可得

63

a2b2c2bc，结合sinB2sinC可求得c3,b23，从而可判断ABC为直角三角形，即可求解.

ππππ

【详解】由题意3sinAcosA2，即2sinA2，因为0Aπ，所以A,A.

6623

由余弦定理可知a2b2c22bccosAb2c2bc，

因为sinB2sinC，所以b2c.代入解得c3,b23，

此时b2a2c2，所以ABC为直角三角形，

133

所以ABC的面积为Sac.

22

33

故答案为：.

2

15．(1)3

(2)2或2

（1）利用共轭复数的定义和两复数相等得到方程组，求出a2,b1，得到答案；

（2）将z1ai代入方程，化简后，根据两复数相等得到方程组，求出答案.

【详解】（1）z22bi，因为z1z2，所以ai2bi，

故a2,b1，所以ab3.

2

（2）z1是关于x的方程xmx20的一个根，

2

aimai20，即a2am12ami0.

a2am10a1a1

所以，解得或.故m2或m2.

2am0m2m2

16．(1)证明见解析

(2)5

（1）构造线线平行，根据线面平行的判定定理可证结论.

（2）分别计算棱柱ABCA1B1C1和棱锥B1BCN的体积，可求两部分的体积之比.

【详解】（1）如图：

连接BC1交B1C于点O，连接ON，

则O为BC1的中点，又N为线段AB的中点，则AC1∥ON，

因为AC1平面B1CN,ON平面B1CN，

所以直线AC1//平面B1CN.

（2）由题知AB2BC2AC2，所以ABBC，

1

所以三棱柱的体积V2224.

2

112

三棱锥BBCN的体积V122，

11323

210

所以多面体ABCACN的体积V4.

111233

V

所以25.

V1

π

17．(1)；

3

(2)43,63.

1

（1）利用向量数量积的坐标运算，结合正弦定理角化边，再根据余弦定理计算可得cosB，由此求得角B；

2

（2）利用正弦定理求得b23，再根据余弦定理结合基本不等式求得ac43，又根据三角形的三边关

系可得23ac43，即可得ABC周长的取值范围.

【详解】（1）因为mn，所以mn0，

即basinBsinAcsinAsinC0，

由正弦定理可知babacac0，所以a2c2b2ac，

a2c2b21

根据余弦定理，cosB，

2ac2

π

又B0,π，所以B.

3

（2）因为ABC的外接圆的面积为4π，所以半径R2.

b

2R4

由正弦定理可知π，所以b23.

sin

3

由b2a2c2ac，知a2c2ac12，

2

22ac

即ac3ac12,3ac(ac)123，

2

2

解得ac48，即ac43，当且仅当ac时等号成立，

又acb23，所以23ac43，

所以43abc63，即ABC周长的取值范围为43,63.

18．(1)0.015

(2)86

3

(3)

10

（1）根据直方图中频率和为1求参数即可；

（2）由中位数的求法，结合直方图求解即可；

（3）根据分层抽样的各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解.

【详解】（1）由图知：0.0210x0.180.250.41，可得x0.015.

（2）由0.020.150.180.350.5,0.020.150.180.250.60.5，

所以中位数在80,90之间，设中位数为a，那么a800.0250.50.35，

解得a86.所以中位数为86.

（3）设在50,60中抽取的2人分别为a,b；在70,80中抽取的3人分别为C,D,E；

从这5人中随机抽取2人，则样本空间为：

a,b,a,C,a,D,a,E,b,C,b,D,b,E,C,D,C,E,D,E，共有10个基本事件.

设选取的2人评分均在70,80内为事件A，

3

则A中包含C,D,C,E,D,E3个基本事件，所以PA.

10

19．(1)证明见解析

6

(2)

6

3

(3)

3

1

【详解】（1）因为ADABBC2,BAD90，则BDCD22，

2

可得BD2CD2BC2，则BDCD.

又因为平面PBD平面BCD，且平面PBD平面BCDBD,CD平面BCD，

可得CD平面PBD，

且PB平面PBD，所以CDPB.

（2）法一（几何法）：过点P作PEBD，交BD于点E.

因为PBPD，则E为BD的中点，

又因为平面PBD平面BCD，平面PBD平面BCDBD，PE平面PBD，

所以PE平面BCD.

连接CE，则PCE为PC与平面BCD所成的角.

由（1）知BDCD22，

因为PE2,CECD2DE210，则PCPE2CE223，

PE6

所以直线PC与平面BCD所成的角的正弦值sinPCE.

PC6

法二（空间向量法）：过点P作PEBD，交BD于点E.

因为PBPD，则E为BD的中点，

因为平面PBD平面BCD，平面PBD平面BCDBD，PE平面PBD，

所以PE平面BCD，

以E为坐标原点，EB所在的直线为x轴，过E且平行于DC所在的直线为y轴，EP所在的直线为z轴，如

图建立空间直角坐标系，

则P0,0,2,C2,22,0，可得CP2,22,