广西南宁市部分学校2024-2025学年高二下学期6月期末教学质量监测数学试卷

广西壮族自治区南宁市2024-2025学年高二下学期6月期末数学试题

一、单选题

1．已知集合AxN1x4，集合Byy2，则AB（）

A．2,4B．2,C．2,4D．2,3,4

2．若z2i2i，则|z|=（）

A．22B．10C．13D．15

3．已知向量a2,3，b3,x，若a//2ab，则x的值为（）

91515

A．B．0C．D．

222

4．已知递增等比数列an的前n项和为Sn，a22，S37则a4（）

A．8B．6C．4D．2

5．“m1”是“fxm2m1x2m3为幂函数”的（）条件

A．充分不必要B．必要不充分

C．充要D．既不充分也不必要

22

6．若直线xy10是圆xayb1的一条对称轴，则a2b2的最小值是（）

111

A．B．C．D．1

842

ππ1

7．设0,,0,，且tantan，则（）

22cos

ππππ

A．3B．2C．3D．2

2222

8．设函数f(x)(xa)2(xb)(ab)，对任意xR，f(1x)f(1x)2f(1).若对任意x(2,4)，都有

f(1x)f(1x)0，则f(x)的极小值为（）

A．4B．2C．1D．0

二、多选题

9．下列命题正确的是（）

A．若随机变量N2,2,P40.84，则P240.16

B．若甲、乙两组成对样本数据的样本相关系数分别为0.66和－0.85，则乙组成对样本数据的线性相关

性更强

C．在回归直线方程yˆ0.1x0.2中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量yˆ平均增加0.2个单位

1

D．已知一组数据x,x,x,x的平均数为2，方差为，则另一组数据3x2,3x2,3x2,3x2的平均

123441234

3

数、标准差分别为4,

2

2

10．已知数列an的前n项和Snn11n，则下列说法正确的是（）

S

A．a2n12B．数列n是等差数列

nn

C．Sn取最小值时n5D．a1a2a20240

11．若曲线既关于x轴对称，又关于y轴对称，还关于原点对称，则称为全对称曲线.已知曲线

C:y416x2，直线yk(x1)(k0)与曲线C恰有两个不同的交点A，B，则（）

A．曲线C为全对称曲线

22

B．k的取值范围是,,

22

C．曲线C上存在无数个点P，使得点P到点D(1,0)的距离等于点P到一条定直线的距离

2

D．使得AB为正整数的k共有94个

三、填空题

2xa

12．已知函数f(x)是奇函数，则实数a的值为.

2x1

13．A,B,C,D四个人排成一排，当A,B相邻时，A必须在B的右边，那么不同的排法共有种．

14．如图，ABCD是边长为2的正方形，AA1,BB1,CC1,DD1都垂直于底面ABCD，且

33

DDAACC3BB3，点E在线段CC上，平面BED1交线段AA于点F，给出下列四个结论：

12121111

①DCBE

②该几何体的体积为6

③过A1,C1,B,D四点的外接球表面积为12π

④截面四边形BED1F的周长的最小值为8

其中所有正确结论的序号是．

四、解答题

15．在ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a5,b2．

4

(1)若cosC，求c及ABC的面积；

5

(2)若3b2csinB0，求AC边上的高．

x2y2

16．已知双曲线C:1a0,b0的离心率为2，点P3,7在双曲线C上．

a2b2

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)直线y2x3与双曲线C交于点M,N，其中点M在第二象限．

①求MN；

②已知双曲线C的左、右顶点分别为A,B，设直线AM,BN的斜率分别为k1,k2，求k1k2的值．

17．如图所示，五边形ABCDE是正六边形ABCDME的一部分，将ADE沿着对角线AD翻折到△ADP的位

置，使平面ADP平面ABCD，已知点F,G分别为PC，AD的中点．

(1)求证：AP//平面BFG；

(2)求平面BFG与平面PAD所成二面角的正弦值．

18．为更好地发挥高考的育才作用，部分新高考试题采用了多选题这一新题型．多选题的评分规则如下：

对于多选题，每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，满分6分．全部选对得6分，有错选或

全不选的得0分．正确答案为两项时，选对1个得3分；正确答案为三项时，选对1个得2分，选对2个

得4分．某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为p，正确答案是三个选项的概率为

1p0p1．现有一道多选题，学生李华完全不会，此时他有三种答题方案：I．随机选一个选项；II．随

机选两个选项；III．随机选三个选项．

1

(1)若p，且学生李华选择方案I，求本题得分的数学期望；

3

(2)以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案I最好？

19．已知函数f(x)exax3(aR)．

(1)当a1时，求曲线yf(x)在(0,f(0))处的切线方程；

x2

(2)当x0时，若不等式f(x)2恒成立，求a的取值范围；

2

x1x2

(3)若f(x)有两个零点x1,x2，且x1x2，证明：3ee3a．

题号12345678910

答案DCAAACBABDABD

题号11

答案ACD

1．D

先化简集合A，再利用集合的交集运算即可.

【详解】由AxN1x41,2,3,4，Byy2，

可得AB2,3,4.

故选：D

2．C

先根据已知条件求出复数z，再根据复数的模的计算公式求出|z|.

【详解】已知z2i2i，可得z2i2i23i.

因为z23i，所以|z|22324913.

|z|13.

故选：C.

3．A

先利用平面向量的线性运算求出2ab1,6x，再利用向量平行的条件列方程求解即可.

【详解】因为向量a2,3，b3,x，

所以2ab1,6x，

又因为a//2ab，

所以26x310，

9

解得x，

2

故选：A.

4．A

根据等比数列递增确定的定义，利用首项a1和公比q表示a2和S3，求出首项a1公比q，代入求出a4即可.

a2a1q2

【详解】由已知，数列为等比数列，2

S3a1(1qq)7

a4

1

a1133

可求出，1（与数列为递增数列矛盾，舍去），故a4a1q128.

q2q

2

故选：A

5．A

求得fx为幂函数时m的值，利用充分条件和必要条件的定义判断即可.

【详解】当m1时，fxx5为幂函数，故充分性满足；

22m3

当fxmm1x为幂函数时，m2m11，

即m2m20，解得m2或m1，故必要性不满足，

所以“m1”是“fxm2m1x2m3为幂函数”的充分不必要条件.

故选：A

6．C

由题设易知直线过圆心得ab1，再应用基本不等式求目标式的最小值.

【详解】由题设，直线xy10过圆心(a,b)，则ab1，

(ab)211

由a2b2，当且仅当ab时取等号，

222

1

所以22的最小值为.

ab2

故选：C

7．B

根据同角的商数关系以及两角差的正弦公式，利用诱导公式即可得出结果.

sinsinsincoscossinsin1

【详解】由题设，所以sincos，

coscoscoscoscoscoscos

πππ

因为0,，则cos0，又因为0,，则0,，

222

π

又sincossin，

2

ππ

所以，解得2．

22

故选：B

8．A

先将f(x)(xa)2(xb)代入f(1x)f(1x)2f(1)，化简可得2ab3，由三次函数的图象性质及零点存

在性定理得b3，a0，从而得到f(x)x33x2，最后利用导数计算极小值即可.

【详解】由f(1x)f(1x)2f(1)可得，

222

21a1b221a1bx21a1b，

由于等式对任意xR都成立，则x2项系数必须为0，

即221a1b0，所以2ab3，

令f(x)(xa)2(xb)0，可得xa或xb，

由三次函数图象性质易得xb为函数fx的唯一变号零点，

由任意x(2,4)，都有f(1x)f(1x)0，

可得x11,3，x13,5时，总有f(1x)f(1x)0，

所以x3为函数fx的变号零点，所以b3，则a0，

此时f(x)x2(x3)x33x2，求导得f(x)3x26x3xx2，

令f(x)0，得x0或2，当x0或x2时，f(x)0；当0x2时，f(x)0.

故x2为极小值点，极小值f(2)4.

故选：A.

9．BD

根据正态分布的性质求概率判断A，应用相关系数的概念判断B，应用回归直线判断C，应用平均数交集方

程性质判断D.

【详解】对于A，由随机变量N2,2，则随机变量满足的正态分布曲线关于直线2对称，

0.840.16

故P24P02,P0P41P40.16，P240.34，故

2

A错误；

对于B，若甲、乙两组数据的相关系数分别为0.66和－0.85，0.850.66，则乙组数据的线性相关性更强，

故B正确；

对于C，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量yˆ平均增加0.1个单位，C错误；

19

对于D，另一组数据3x2,3x2,3x2,3x2的平均数为3224，方差为32，即平均数、标

123444

3

准差分别为4,，故D正确．

2

故选：BD.

10．ABD

aS,n1

11SnSnSn1

利用，求出an的通项公式判断A；写出的通项公式，判断1(n2)是

anSnSn1,n2nnn1

否为常数可判断B；判断数列an中项的正负可推出Sn取最小值时n的值判断C；根据数列an中项的正

负可去绝对值符号，再利用等差数列求和公式进行求解判断D.

22

【详解】对于A，当n2时，anSnSn1n11nn111n12n12，

而a1S110满足上式，因此an2n12，故A正确；

SSSS

对于B，nn11,n2,nn11，数列n是等差数列，故B正确；

nnn1n

对于C，由选项A知，数列an单调递增，由an2n120，得n6，即数列an前5项均为负数，

第6项为0，从第7项起为正数，Sn取最小值时n5或n6，故C错误；

对于D，a1a2a20a1a2a6a7a20

2S6S20230180240，故D正确．

故选：ABD.

11．ACD

对于A验证曲线C是否关于关于x轴对称，又关于y轴对称，还关于原点对称即可判断，对于C由y416x2，

4x,x0,

得y24x，即曲线C由两个抛物线y24x，y24x组成，利用抛物线的定义即可判断，

4x,x0,

22

对于B利用直线方程和抛物线的方程联立，利用判别式即可判断，对于D先求AB，由k21即可求得AB

的范围即可判断.

【详解】对于A：对于y416x2，以x代x，得y416x2，则曲线C关于y轴对称，

以y代y，得y416x2，则曲线C关于x轴对称，

同时以x代x，以y代y，得y416x2，则曲线C关于原点对称，故A正确.

4x,x0,

对于C：由y416x2，得y24x所以曲线C由两个抛物线y24x，y24x组成，

4x,x0,

D(1,0)是抛物线y24x的焦点，所以曲线C上存在无数个点P，

使得点P到点D(1,0)的距离等于点P到定直线x1的距离，故C正确.

对于B：因为直线yk(x1)过定点F(1,0)，所以该直线与抛物线y24x没有公共点，

将yk(x1)代入y24x，

得k2x2(42k2)xk20，则=(42k2)24k416(1k2)0，

得k21，即k1或k1，故B错误.

对于D：将yk(x1)代入y24x，得k2x2(2k24)xk20，

2k244

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则xx2，

12k2k2

421

因为F(1,0)是抛物线y24x的焦点，所以ABxxp4，AB16(1)2，

12k2k2

112

因为k21，所以01，所以112，所以AB(16,64)，

k2k2

2

则AB可取的正整数为17，18，…，63，

2

所以使得AB为正整数的k共有2(63171)94个，故D正确.

故选：ACD.

12．1

根据函数为奇函数，利用f(x)f(x)求解.

2xa

【详解】因为函数f(x)是奇函数

2x1

2xa1a2xa2x

所以f(x)f(x)恒成立，

2x112x2x1

所以a1，

故答案为：1

13．18

采用插空法和捆绑法直接求解即可.

【详解】当A，B不相邻时，采用插空法，先排其余两人再让A，B插空，

22

共有A2A312种排法；

当A，B相邻时，将A,B看作一个整体，并且A在B的右边，

3

相当于3个人排队，则不同的排法有A36种；

所以共有12618种.

故答案为：18.

14．①③

根据线面垂直判断①，应用正方体体积公式计算判断②，根据外接球的表面积计算判断③，结合截图面积

周长计算判断④.

【详解】对于①，因为C1C平面ABCD，CD平面ABCD，所以C1CCD，

又因为ABCD为正方形，所以DCCB，

又因为C1CCBC，C1C,CB平面B1BCC1，所以DC平面B1BCC1,BE平面B1BCC1，所以DCBE，

故①正确；

对于②，由对称性知，此几何体体积是底面边长为2的正方形，高为4的长方体体积的一半，

1

所以V2248，故②错误；

2

对于③，过四点A1,C1,B,D构造正方体ABCDA1B2C1D2，

所以外接球直径为正方体ABCDA1B2C1D2的体对角线所以2R23，则R3，

所以此四点的外接球表面积为4πR212π，故③正确；

对于④，由题意，平面ADD1A1//平面BCC1B1，平面ADD1A1平面BED1D1F，

平面BCC1B1平面BED1BE，所以D1F//BE，同理可得BF//D1E，

所以四边形BED1F为平行四边形，则周长l2BEED1，沿CC1将相邻两四边形推平，

当B,E,D1三点共线时，BEED1最小，最小值为5，所以周长的最小值为10，故④错误．

故答案为：①③

15．(1)c13，3

53

(2)．

2

3

（1）根据同角三角函数关系计算sinC，再应用余弦定理得出c13，最后应用面积公式计算求解；

5

3

（2）应用正弦定理得出sinC，再应用面积公式求解.

2

4

【详解】（1）因为0Cπ,cosC，

5

2

241693

所以sinC1cosC11，

525255

由余弦定理可得c2a2b22abcosC，

4

所以c252222522541613，

5

所以c13，

113

所以ABC的面积为absinC523；

225

（2）由3b2csinB0，可得3sinB2sinCsinB0，

又因为0Bπ，所以sinB0，

3

所以sinC，

2

11353

所以ABC的面积为absinC52；

2222

15353

设AC边上的高为h，所以ABC的面积为ACh，解得h，

222

53

则AC边上的高为．

2

x2y2

16．(1)1

22

215

(2)①；②526

3

（1）根据点在双曲线上结合离心率计算得出a2,b2，即可得出双曲线方程；

（2）①联立直线和双曲线方程得出韦达定理即可得出弦长；②应用斜率公式结合韦达定理计算求出定值.

97

【详解】（1）因为点P3,7在双曲线C上，所以1．

a2b2

c

离心率为2,c2a2b2，解得a2,b2．

a

x2y2

故双曲线C的标准方程为1．

22

（2）①设Mx1,y1,Nx2,y2．

x2y2

1,211

联立22得3x12x110，则x1x24,x1x2．

3

y2x3,

2215

故MN1k2xx4xx．

12123

1

②yy2x32x34xx6xx9．

121212123

由题意得点M,N都在双曲线C的左支上，且点M在第二象限，所以x2x1，

223

则xxxx4xx．

2112123

1

y1y2y1y23

故k1k2526．

x2x2xx2xx21123

12122122

33

17．(1)证明见解析

25

(2)

5

（1）只需证明OF//AP，再结合线面平行的判定定理即可得证；

（2）说明HB,HD,HP两两垂直，建立适当的空间直角坐标系，求出平面BFG与平面PAD的法向量，由向

量夹角的余弦公式以及平方关系即可得解.

【详解】（1）连接AC交BG于点O，连接CG，

如图，由平面图易得ABCG为平行四边形，则O为AC的中点，

1

连接OF，则OF//AP,OFAP，

2

又OF平面BFG,AP平面BFG，故AP//平面BFG．

（2）取AG的中点H，连接PH，BH，

由平面图形可知，ABBG,APPG，则BHAG,PHAG．

又平面ADP平面ABCD，且平面ADP平面ABCDAD，PH面ADP，

故PH平面ABCD．

以HB,HD,HP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

设AB2，则B3,0,0,A0,1,0,P0,0,3,G0,1,0，

113

则BG3,1,0,OFAP0,,，

222

设平面BFG的法向量为mx,y,z，

3xy0

mBG0

，即y3z，取z1,m1,3,1，

mOF00

22

又平面PAD的法向量为n1,0,0，

设平面BFG与平面PAD所成二面角为，

nm15

coscosn,m，

mn55

2525

sin1cos2即所求平面BFG与平面PAD所成二面角的正弦值为．

55

3

18．(1)EX

2

1

(2),1

2

（1）由题意X可以取0，2，3，求出对应的概率，进一步得分布列，结合期望公式计算即可求解；

（2）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，

33

为“从四个选项中随机选择三个选项的得分”，计算得E，E2p，E1p，由此可列

22

不等式求解.

【详解】（1）记X为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则X可以取0，2，3，

1221112C11

3

PX011,PX201,

3C43C4333C42

21C11

2

PX301,

33C46

所以X的分布列为

X023

111

P

326

1113

则数学期望EX023．

3262

（2）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则的所有可能取值为0，2，3，

211p

则P0p11p1，

C4C44

C13

3

P2p01p11p,

C44

C11

2

P3p11p0p,

C42

1p313

所以E021p3p；

4422

记为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，则的所有可能取值为：0，4，6，

C21C1C111

431

则P0p21p2p，

C4C432

C21

3

P4p01p21p,

C42

11

P6p21p0p,

C46

1111

所以E0p41p6p2p；

3226

记为“从四个选项中随机选择三个选项的得分”，的所有可能取值为：0，6，

C3113

4

则P0p11p3p，

C444

11

P6p01p31p,

C44

1313

所以E0p61p1p．

4442

3

2p

2

3311

要使唯独选择方案最好，则1p，解得p1，故p的取值范围为,1.

2222

0p1

19．(1)2xy20；

(2)a1；

(3)证明见解析.

（1）应用导数的几何意义求切线方程即可；

x2x2

（2）问题化为exax10且x0，利用导数研究g(x)exax1的性质，并结合分类讨论判断

22

不