2025~2026学年吉林省实验繁荣高级中学高一下册学程性考试（二）数学试题 含答案

/吉林省实验繁荣高级中学2025-2026学年度下学期高一年级学程性考试（二）数学注意事项：1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟.2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.并在规定位置粘贴考试用条形码.3．请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效.不得在答题卡上做任何标记.4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.5．考试结束后，答题卡要交回，试卷由考生自行保存.一、选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.已知复数满足（是虚数单位），则的值为（）A. B.1 C. D.【正确答案】D【详解】由已知可得.2.下列条件一定能确定一个平面的是（）A.空间三个点 B.空间一条直线和一个点C.两条相互垂直的直线 D.两条相交的直线【正确答案】D【详解】对于A，如果三点共线，则无法确定一个平面，所以A错误；对于B，如果点在直线上，则无法确定一个平面，所以B错误；对于C，如果两条直线是异面垂直，则无法确定一个平面，所以C错误；对于D，由平面的基本性质，两条相交直线可以确定唯一的一个平面，所以D正确.3.已知向量与的夹角为，，，则（）A.1 B.2 C. D.3【正确答案】C【分析】本题主要考查向量模的计算，由，运用数量积的运算律展开，代入已知条件计算即可求出结果.【详解】解：由，所以.4.设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下面正确的是（）A.若，，则 B.若，，，则C.若，，，则 D.若，，则【正确答案】C【详解】对于选项A：若，，则或与相交，故A错误；对于选项B：若，，，则的位置关系有平行、相交或异面，故B错误；对于选项C：若，，，由面面平行的性质定理可知，故C正确；对于选项D：若，，则的位置关系有平行或异面，故D错误.5.如图，两座山峰的高分别为，，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（A，B，C在同一水平面上）测得M点的仰角为30°，N点的仰角为60°，且，则两座山峰峰顶之间的距离（）A.200m B. C.400m D.600m【正确答案】A【分析】根据题意，分别求得的长，然后在中，由余弦定理代入计算，即可得到结果.【详解】在中，，.在中，.在中，.故选：A6.如图，正方体的一个截面经过顶点、及棱上一点，且将正方体分成体积之比为的两部分，则的值为A. B. C. D.【正确答案】C【分析】连接，设正方体的棱长为，设，可得，设截面与棱的交点为点，连接、，利用面面平行的性质定理可得，可知棱台的体积为，利用台体的体积公式可计算出的值，即可得出的值.【详解】连接，设设截面与棱的交点为点，连接、，如下图所示：设正方体的棱长为，设，则，由于平面平面，平面平面，平面平面，所以，，在正方体中，且，则四边形为平行四边形，，，，，的面积为，由题意可知，三棱台的体积为，整理得，，解得，因此，.故选：C.本题考查平面截正方体所得截面图形的确定，同时也考查了台体体积公式的应用，考查推理能力与计算能力，属于中等题.7.在中，已知，，，点在线段上运动，当取得最小值时，（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】设，可用、表示出、，再利用数量积公式计算可得取得最小值时的的值，从而可得此时的长度.【详解】由，，则为等腰直角三角形，故，设，，则，，则，当且仅当时，取得最小值，此时，则.8.在中，角的对边分别为，，，则的内切圆的半径为（）A. B.1 C.2 D.【正确答案】D【分析】结合正弦定理、余弦定理，由三角形的面积公式列方程，化简求得的值.【详解】依题意，由正弦定理得，，,，由于，所以，所以，由于，所以.，由余弦定理得，，则，，其中是三角形内切圆半径，即，解得.故选：D二、选择题（本题包括3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.下列结论正确的是（

）A.若复数满足，则B.复数在复平面内对应的点在第二象限C.若复数是纯虚数，则实数或D.若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为【正确答案】BD【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：根据复数的坐标表示求解；对于C：根据纯虚数的概念列式求解；对于D：根据复数模长的几何意义运算求解.【详解】对于A：例如也满足，故A错误；对于B：复数在复平面内对应的点为，该点在第二象限，故B正确；对于C：若复数是纯虚数，则满足，解得，故C错误；对于D：因为复数满足，则复数对应的点构成的图形为圆环，它的面积为，故D正确．10.在直角中，，，为上一点，现将直角以边所在直线为轴旋转一周，其余两边旋转一周形成的面围成圆锥，点为此圆锥底面圆周上一点，且，则（）A.该圆锥的侧面积为B.当为中点时，过作平行于圆锥底面的平面，截圆锥所得台体的体积为C.当在圆锥表面上的距离最短时，为三等分点D.该圆锥内装有三个半径相等的铁球时，铁球的最大半径为【正确答案】ABD【分析】根据题意，得到圆锥的底面圆的半径为，母线长为，则高为，结合圆锥的侧面积公式，可判定A正确；根据圆锥的体积公式，可判定B正确，结合圆锥的侧面展开图，可判定C不正确；设铁球的最大半径，当三个铁球两两相切且与圆锥相切时，铁球的半径最大，列出关系式，求得的值，可判定D正确.【详解】如图所示，在直角中，由，，可得，即圆锥的底面圆的半径为，母线长为，则高为，对于A，圆锥的侧面积为，所以A正确；对于B，大圆锥的体积为，因为为中点时，过作平行于圆锥底面的平面，可得，所以小圆锥的体积为，所以截圆锥所得台体的体积为，所以B正确；对于C，设圆锥的侧面展开图的圆心角为，则，可得，因为点为此圆锥底面圆周上一点，且，可得点是弧的中点，如图（2）所示，可得，过点作，在直角中，可得，所以点不是三等分点，所以C错误；对于D，设铁球的最大半径，则圆锥的轴截面为等腰三角形，且底边为，高为，当三个铁球两两相切且与圆锥相切时，铁球的半径最大，此时，圆锥的轴截面中，三个铁球的球心构成一个等边三角形，边长为，可得,，，所以，解得，所以D正确.故选：ABD.11.如图，已知点在表面积为的球的球面上，且，平面，点为中点，当二面角的大小为时，则有（）A.异面直线和所成角的大小为B.直线与平面所成角的大小为C.D.的面积为【正确答案】ACD【分析】设球的半径为，求得，证得平面，得到，得到，进而得到，把异面直线和所成角转化为直线和所成角，可判定A正确；作，证得平面，得到即为直线与平面所成角，可判定B不正确；在直角中，求得，结合二倍角公式，可得判定C正确；结合面积公式，可判定D正确.【详解】设球的半径为，因为球的表面积为，可得，可得，因为和分别为的中点，所以，所以，又因为平面，平面，所以，因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以，所以为二面角的平面角，所以，在直角中，可得，对于A，由，可得异面直线和所成角，即为直线和所成角，因为，所以异面直线和所成角的大小为，所以A正确；对于B，过点作，垂足为，因为平面，平面，所以，又因为，且平面，所以平面，所以即为直线与平面所成角，在直角中，，可得，则，所以，所以B不正确；对于C，在直角中，，可得，所以，则，所以，所以C正确；对于D，由的面积为，所以D正确.故选：ACD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.若是关于的方程的一个根，则___________.【正确答案】【分析】根据方程复数根互为共轭复数，可求得另一个根，在利用韦达定理结合复数的加法和乘法运算求出，即可得解.【详解】解：因为是关于的方程的一个根，所以时方程的另一个根，则，所以.故答案为.13.在三棱锥中，底面为正三角形，平面，若四点都在球的表面上，则球的表面积为______．【正确答案】【分析】先求出底面正三角形的外接圆半径，再结合侧棱垂直底面的几何特征计算外接球半径，最后代入球的表面积公式求解．【详解】设底面正的外接圆圆心为，外接圆半径为，已知是正三角形，边长，则其外接圆半径为，平面，三棱锥的外接球球心在过且垂直于平面的直线上，且球心到平面的距离，外接球半径为：，由球的表面积公式得．14.如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面EFG，则点G的轨迹长度为______．【正确答案】【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解.【详解】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，因为，分别为，的中点，所以，同理可得，因为，，所以四边形是平行四边形，可得，所以，同理可证明，，所以，，，，，共面，因为，面，面，所以平面，若平面，则点在平面内，又因为点在上底面（含边界），所以点在面与面的交线上，所以点在线段上，则点轨迹长度为.故答案为.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知复数.（1）求z的共轭复数；（2）求的实部和虚部；（3）若复数（）在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围.【正确答案】（1）（2）实部为，虚部为（3）【分析】（1）先根据虚数单位的幂次规律化简，再根据共轭复数的定义求出；（2）先求出，再根据复数实部和虚部的定义确定其实部和虚部；（3）先求出的表达式，再根据复数在复平面内的坐标表示以及第四象限内点的坐标特征列出不等式组，求解的取值范围.【小问1详解】因为，所以.所以.【小问2详解】由（1）知，则，所以的实部为，虚部为.【小问3详解】已知，则，复数在复平面内对应的点的坐标为，因为该点位于第四象限，则，所以不等式组的解集为，即的取值范围是.16.如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，与，分别垂直，垂足为，且，是侧棱的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与夹角的正弦值．【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）连接，与交于点，由中位线得证线线平行，然后得线面平行；（2）取中点，证明，从而得到异面直线与所成的角或其补角，然后由余弦定理求得余弦值，进而求得正弦值.【小问1详解】连接，与交于点，则为中点，又为中点，，又平面，平面，平面．【小问2详解】取中点，连接，、是、的中点，，就是异面直线与所成的角或其补角，在中，，，，则，，所以直线与夹角的正弦值为.17.如图，在直三棱柱中，已知，，，点，分别在棱，上，且，.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）直三棱柱中，平面，可得，利用线面垂直的判定定理可得平面.（2）在中，，，，则，得到垂直关系，计算三角形面积，利用等体积变换求得与平面之间的距离，继而利用线面所成角的正弦值．【小问1详解】直三棱柱中，平面，又平面，且，又，平面平面；【小问2详解】在中，，，则，因此，直三棱柱中，平面，又平面，，且平面，所以平面，与平面之间的距离为1，因为平面，平面，所以平面，与平面之间的距离与与平面之间的距离相等，与平面之间的距离为1，，设与平面之间的距离为，，，得，与平面所成的角的正弦值为.18.在中，角所对的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求的周长的范围；（3）设是边上一点，为角平分线且，求的值.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用正弦定理结合三角变换公式化简题设条件可得，从而可求；（2）利用正弦定理可得，再利用三角变换公式化简后可求的取值范围，从而可得周长的取值范围；（3）由角平分线的性质可得，两次利用余弦定理可求的值.【小问1详解】由和正弦定理，可得，因，代入可得，因，则，故，又因，故；【小问2详解】由正弦定理有，所以，而，所以因为，故，故，故，即周长的取值范围为.【小问3详解】如图，因平分，且，由角平分线的性质可得，即，在中，由余弦定理，，即得，则，故.19.如图，四棱锥的底面为平行四边形，，，与全等．（1）求证：平面平面；（2）设平面平面．（i）求证：平面；（ii）当二面角的大小为多少时，四棱锥的体积取得最大值？求出该最大值．【正确答案】（1）因为与全等，所以，，因为为与中点，所以，，因为平面，平面，，所以平面，因为平面，所以平面平面（2）（i）因为，平面，平面，所以平面，又因为平面，平面平面，所以，又因为平面，平面，所以平面.（ii）【分析】（1）通过三角形全等得到，，再由线面垂直的判定定理即可证明；（2）（i）由平面得到，由线面平行的判定定理即可证明；（ii）作，，确定二面角，再结合体积公式，三角函数的性质即可求解.【小问1详解】略【小问2详解】（i）略（ii）作，，垂足分别为，，如图所示，因为，，所以，，所以为二面角的平面角，所以，设，与全等，所以，又因为，，，，则，，因为，，，平面，平面，所