2025~2026学年河北承德市高新区第一中学下册期中考试高二数学试题 含答案

/2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若函数，则的图象在点处的切线方程为（）A. B. C. D.【正确答案】D【详解】将函数求导得，则切线的斜率，又，则切线方程为，即．2.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列描述正确的是（）A.在单调递增 B.在处取得极大值C.在单调递增 D.在处取得最大值【正确答案】C【详解】由导函数的图象，可得：当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，但不一定为函数的最大值3.二项式的展开式中，常数项为（）A.40 B.80 C.90 D.100【正确答案】B【详解】根据题意，，令，得，所以常数项为.4.某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5：3，其中甲班女生占，乙班女生占．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是男生的概率为（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】通过定义样本空间的划分事件，利用全概率公式，结合各班的人数占比与男生占比，分步计算出遇到男生的总概率.【详解】设事件为“遇到的同学是男生”，事件为“遇到的同学来自甲班”，事件为“遇到的同学来自乙班”.由两班人数比得：，.甲班男生占比：，乙班男生占比.由全概率公式：.5.从0，1，2，3，4这五个数中随机选取4个不同的数，组成的四位偶数有（）个A.36 B.48 C.60 D.68【正确答案】C【详解】四位偶数要求个位为偶数，且千位不能为0，按个位是否为0分两类计算：情况1：个位为0.只需从剩余的1,2,3,4这4个数中选3个排列在千位、百位、十位，排列数为；情况2：个位为2或4.个位有种选择；千位不能为0，也不能与个位重复，共种选择；剩余百位、十位从剩下的3个数中选2个排列，排列数为；该情况总个数为.两类相加，总共有个符合要求的四位偶数.6.若函数在定义域内有两个不同的零点，则实数的取值范围（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】将零点问题转化为交点问题，数形结合可解.【详解】函数在内有两个不同的零点，即在内有两个不等实根.设，，则，由解得，所以为上的减函数，为上的增函数.则，而当且时，；当时，.如下图：由题可知和有两个不同交点，所以有.7.若函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】求导得，转化为在上有解，最后分离参数即可.【详解】函数，则，因为在上存在单调递增区间，所以在上有解，所以当时，有解，令，而当时，令，即为，此时(此时)，所以，故实数a的取值范围为.8.已知盒子中有9个大小相同、质地均匀的球，其中有5个红球、4个白球，有两种取球方式：①不放回地取球两次，第一次任取1个球，第二次任取2个球，设第二次取到2个红球的概率为；②一次性任取2个球，设取到2个红球的概率为，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】由全概率公式和概率乘法公式求出，得到答案【详解】不放回地取球两次，第一次任取1个球，第二次任取2个球，第一次任取1个球为红球，第二次任取2个球均为红球的概率为，第一次任取1个球为白球，第二次任取2个球均为红球的概率为，故，一次性任取2个球，取到2个红球的概率为，故.二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求）9.已知，则m的值可以为（）A.1 B.5 C.7 D.8【正确答案】AC【详解】已知，则，，解得.若，解得.若，解得.10.甲､乙､丙､丁､戊共5位志愿者被安排到，，，四所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教，则下列结论正确的是（）A.不同的安排方法共有种B.甲志愿者被安排到学校的概率是C.若学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有60种D.在甲志愿者被安排到学校支教的前提下，学校有两名志愿者的概率是【正确答案】BCD【详解】对于A，共有种不同的安排方法，A错误；对于B，若学校只有一个人，则有种安排方法，若学校只有2个人，则有种安排方法，所以甲志愿者被安排到学校有种安排方法，所以甲志愿者被安排到学校的概率是，B正确；对于C，共有种不同安排方法，C正确；对于D，在甲志愿者被安排到学校支教的前提下，学校有两名志愿者的安排方法有24种，所以在甲志愿者被安排到学校支教的前提下，学校有两名志愿者的概率是，故D正确.11.函数，则下列说法正确的有（）A.若，则B.若，则函数的极大值点为C.当时，函数有2个零点D.当时，函数在上的取值范围是【正确答案】AD【分析】A直接代入求解即可；B利用导数分析的单调性，进而可得极值点；C利用导数分析的单调性，进而可得零点；D导数研究单调性，进而求值域.【详解】由题意可知：的定义域为，且，令，解得或.A：若，解得，故A正确；B：若，则，当时，；当时，；所以在内单调递增，在内单调递减，所以为的极小值点，故B错误；C：若，则，当时，；当时，；可知在内单调递增，在内单调递减，则的极大值为，极小值为，当趋近于时，趋近于，所以有且仅有1个零点，故C错误；D：若，则在上恒成立，所以在上单调递增，而，，所以在上的值域为，故D正确.三、填空题（本大题共3小题，共15分）12.小杨同学每天的运动计划主要是两种方式：室内健身和户外运动．第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．若第一天选择室内健身，则第二天继续选择室内健身的概率为；若第一天选择户外运动，则第二天选择室内健身的概率为．小杨同学第二天去室内健身的概率为______；若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为______．【正确答案】①.②.##【分析】用全概率公式进行求解.【详解】设第一天选择室内健身为事件，第一天选择户外运动为事件，第二天选择室内健身为事件.则由题意得：，，，，由全概率公式得：，.13.已知，则___________．【正确答案】【分析】根据题意，分别令和，得到运算结果，两式相加，进而得到答案.【详解】由，令，则①；令，则，即②．，得．14.已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则的值为__________.【正确答案】0或1【分析】根据导数的几何意义可得曲线在点处的切线方程，分析可知方程有且仅有一个解，分析讨论即可.【详解】令，，则，可得，，则在点处的切线方程为，令，则，由题意可知方程有且仅有一个解，若，则有且仅有一个解，符合题意；若，则，解得；综上所述：或1.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（1）用0，1，3，6，8这5个数字可以组成多少个没有重复数字的五位数？（用数字作答）（2）用0，1，3，6，8这5个数字可以组成多少个没有重复数字且大于30000的五位数？（用数字作答）（3）用0，1，3，6，8这5个数字可以组成多少个没有重复数字的五位偶数？（用数字作答）【正确答案】（1）96；（2）72；（3）60【分析】（1）先排万位，再排其它位置，根据分步乘法计数原理计算及排列求解即可；（2）先排万位，再排其它位置，根据分步乘法计数原理及排列求解即可；（3）分个位是0和个位不是0，两种情况讨论，再根据分步乘法和分类加法计数原理及排列求解即可.【详解】（1）万位只能从1，3，6，8这4个数字中选一个，有4种选法，其余四位有，所以可以组成个没有重复数字的五位数；（2）万位只能从3，6，8这3个数字中选一个，有3种选法，其余四位有，所以可以组成个没有重复数字的五位数且大于30000的五位数；（3）当个位是0时，有个，当个位不是时，个位只能是或，万位不能为且不能与个位数字相同，万位是除以外的数，因此有个，所以可以组成个没有重复数字的五位偶数.16.已知的展开式中各二项式系数的和为32.（1）求的值，并求展开式中二项式系数最大的项；（2）展开式中是否有常数项？若有，请求出该项；若没有，请说明理由；（3）求展开式中各项系数的和.【正确答案】（1），，（2）没有，理由见解析（3）1【分析】（1）根据二项式系数和公式求出的值，再根据展开式的通项求展开式中二项式系数最大的项；（2）根据通项公式，令通项中的指数为0，求解判断；（3）令，代入原式即可求解.【小问1详解】由题可知，所以，则展开式中二项式系数最大的项为第3项和第4项，所以，【小问2详解】展开式的通项为，令，解得，所以展开式中没有常数项；【小问3详解】令，则，展开式中各项系数的和为117.已知函数．（1）求函数的导函数；（2）求的极值；（3）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【正确答案】（1）（2）极小值为1，无极大值（3）【分析】（1）根据复合函数求导、导数四则运算求得正确答案.，（2）求导，根据导数求解单调性，即可求解极值，（3）将恒成立问题参数分离，构造函数，即可求导求解最值．【小问1详解】由得.【小问2详解】令，则，故在单调递增，当时，单调递减，所以当时，取极小值，无极大值，【小问3详解】由得，故，构造函数，则，令，则，故当时，单调递增，时，单调递减，故当取极小值也是最小值，，所以，即18.某工厂生产一种零件，该零件的质量分为三个等级：一等品、二等品和次品．根据历史数据，该工厂生产一等品、二等品和次品的概率分别为0.7，0.2和0.1．现对一批刚生产出来的零件进行质量检测，检测方式分为两种：自动检测和人工抽检，自动检测能将一等品全部正确识别，但有5%的概率将二等品误判为次品，有15%的概率将二等品误判为一等品，也有10%的概率将次品误判为二等品．（1）求自动检测判断零件为次品的概率．（2）求在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率．（3）假设零件先经过自动检测，若判断为一等品，则进行人工抽检；若判断为二等品或次品，则直接淘汰．求人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率．【正确答案】（1）（2）0.9（3）【分析】（1）利用全概率公式计算可得.（2）先由互斥事件和的概率与条件概率计算，再由条件概率计算即可；（3）根据条件概率公式求解即可.【小问1详解】设事件表示“零件是次品”，表示“自动检测判断零件为次品”，事件分别表示零件是一等品、二等品，则．【小问2详解】由（1）知，则．所以在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率为【小问3详解】设事件表示“零件需要进行人工抽检”，表示“人工抽检的零件为一等品”，则，，所以人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率为．19.已知函数.（1）若是函数的极值点，求a的取值；（2）讨论的单调区间；（3）设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围.【正确答案】（1）−1（2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减（3）【分析】（1）由为极值点,先利用处导数为0求出,再回代验证确为极值点.（2）求导后讨论在上的符号.（3）将“对任意，均存在”转化为恒成立，再利用导数求的最大值