2025~2026学年河北承德市高新区第一中学下册期中考试高一数学试题 含答案

/2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列说法不正确的是（）A.单位向量的模一定相等B.若，则C.在等边三角形中，与的夹角为D.若，则平面四边形一定是平行四边形【正确答案】B【分析】根据单位向量的定义判断A；根据相等向量的定义判断B；根据向量夹角的定义判断C；根据平行四边形的判定判断D．【详解】对于A，单位向量为模为1的向量，故A正确；对于B，若，由于方向不确定，故不一定相等，故B错误；对于C，在等边三角形中，与的夹角为，故C正确；对于D，若，则平面四边形一定是平行四边形，故D正确．2.中，，，是的中点，则（）A. B.7 C. D.25【正确答案】A【详解】因为是的中点，所以，又，所以.3.将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，则所得图象的解析式为（）A. B.C. D.【正确答案】B【详解】的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到，故B正确.4.已知函数的最小正周期为4，且，则（）A. B. C.0 D.【正确答案】D【详解】由函数的最小正周期为4，得，解得，由，得，解得，所以.5.已知函数的最小正周期是，则下列区间中，函数f(x)单调递增的区间是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】先由最小正周期求，根据求，再结合余弦函数的单调递增区间推导的增区间，结合选项得出结果.【详解】由于函数最小正周期，得，由，且，得，因此，令，解得：，当时，一个递增区间为，而，所以函数在上单调递增.6.记，，分别为的内角，，的对边，且，，则的形状为（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角或直角三角形【正确答案】C【分析】应用正弦定理得出，再应用余弦定理计算得出两角和余弦值即可得出角的范围判断形状.【详解】因为，由正弦定理得，又，故，由余弦定理得，故，得，所以，得，所以，或，，所以为钝角三角形.7.在中，角的对边分别是，若，则的面积为（）A. B.1 C.5 D.【正确答案】D【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出边长a，再利用余弦定理求，结合三角形面积公式求出面积即可求解．【详解】在中，由正弦定理得：，因此，则，而，由余弦定理可得，即，解得或（舍去），所以．8.设，，，则有（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】由辅助角公式、两角和的正切公式、及余弦二倍角公式化简，结合正弦函数的单调性即可判断.【详解】，，，由在的单调性可知.二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求）9.已知函数，则（）A.函数的最小值为B.点是函数图象的一个对称中心C.函数在区间上单调递增D.函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到【正确答案】AB【分析】对A：利用值域即可得函数值域，即可得其最小值；对B：借助代入检验法计算即可得；对C：求出范围可得函数在区间上单调性；对D：借助平移变换性质计算即可得.【详解】对于A，由，故，即函数的最小值为，故A正确；对于B，当时，，由点是函数图象的一个对称中心，故点是函数图象的一个对称中心，故B正确；对于C，时，，则函数在区间上单调递减，故C错误；对于D，将的图象向左平移个单位长度，可得，故D错误.10.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）A.若，，，则符合条件的有且仅有一个B.若，则是等边三角形C.若，则是锐角三角形D.若，则为等腰三角形【正确答案】BCD【分析】由余弦定理解得第三边长可判断A；由余弦函数的值域可判断B；利用等式变形为边长间关系可得C；先由正弦定理边化角和平方关系得到，再结合余弦型函数的单调性可得D.【详解】由余弦定理得，即，解得，故符合条件的有两个，A错误；由于，所以，故0，整理得，所以为等边三角形，B正确；因为，所以，，所以是锐角三角形，C正确；由正弦定理及，得，所以，即，显然，，函数在，上单调递增，且当时，，当时，，由，可得，是等腰三角形，D正确．11.已知向量，则（）A.当时，B.存在，使C.当时，在方向上的投影向量为D.当与的夹角为锐角时，【正确答案】AD【分析】根据向量共线的坐标表示判断A，根据向量模的坐标运算判断B，根据投影向量的计算公式求解判断C，根据数量积的坐标运算判断D.【详解】对A，，则，解得，A正确；对B，，若，则，即，故不存在，使，B错误；对C，当时，，，在方向上的投影向量为，C错误；对D，当与夹角为锐角时，且不共线，即且，解得，D正确．三、填空题（本大题共3小题，共15分）12.已知为锐角，，则__________．【正确答案】【分析】借助同角三角函数基本关系及两角差的正弦公式计算即可得.【详解】由，为锐角，则，由为锐角，则，又，故，则，故，又为锐角，故.13.化简___________．【正确答案】【详解】14.已知边长为2的菱形，，设中点为，，点为线段上一点，且满足，则__________；此时__________．【正确答案】①.②.【分析】设，用，表示出，列方程组即可求出；用，表示出，根据向量数量积的运算律即可求出.【详解】设.，，..又，所以，解得.此时..所以.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知，，，设，，．（1）若，求实数，的值；（2）若为线段靠近点的三等分点，求点的坐标．（3）若与垂直，求的值．【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根据向量的坐标表示和线性运算坐标表示列方程组计算即可求解；（2）根据，设，结合向量线性运算坐标表示计算即可求解；（3）根据向量线性运算坐标表示结合题意列式计算即可求解.【小问1详解】因为，且，所以，所以，因为，所以可得，解得．【小问2详解】因为线段的三等分点为（点靠近点），所以，设，即，得到，解得，即点的坐标为．【小问3详解】a+由于与垂直，∴，∴．16.在中，内角的对边分别为，且满足.（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，进而分析求解；（2）利用余弦定理整理可得，利用正弦定理结合三角恒等变换可得，再根据正弦函数有界性运算求解.【小问1详解】因为，由正弦定理可得，则，即，又因为，则，即，且，则，即，可得，又因为，则，可得，所以.【小问2详解】由正弦定理得，则，由余弦定理得，即，可得，又因为，因为为锐角三角形，则，解得，则，可得，则，可得，即，所以的取值范围为.17.已知函数.（1）求的最小正周期和增区间；（2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围.【正确答案】（1）最小正周期为，增区间为；（2）【小问1详解】，所以的最小正周期为，令，则，所以的增区间为；【小问2详解】当时，，则，故，令，得，即实数的取值范围是.18.已知.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调增区间；（3）将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象.若图象关于点对称，求函数的解析式.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简，然后根据周期公式即可求解；（2）根据正弦函数的单调增区间即可求解；（3）首先根据图像平移得出，然后根据正弦函数的对称性求出.【小问1详解】因为，所以函数的最小正周期为.【小问2详解】由，可得，所以函数的单调增区间为.【小问3详解】将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象，所以，由的图象关于点对称，可得，所以，解得，又，当时，，故.19.如图，在梯形中，，，，、分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点．（1）若，求的值；（2）求的长；（3）求的取值范围．【正确答案】（1）（2）（3）【分析】建