2025~2026学年河北承德双滦圣泉高级中学下册期中考试高二数学试题 含答案

/2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.过坐标原点作曲线的两条切线，记其斜率分别为，，则（）A.c B. C. D.【正确答案】B【分析】把函数展开，求出导数，设切点为，根据点斜式写出切线方程，代入原点坐标求出,代入导数可求出切线斜率，即可得到结论.【详解】由题知，则，设切点坐标为，则切线方程为，又切线过原点，则，解得或c，当时，，当时，，故．故选：B2.已知，的值是（）A. B. C. D.【正确答案】A【详解】因为，又，所以.3.已知事件满足，则的值为（）A. B. C. D.【正确答案】D【详解】根据条件概率的公式得，.4.用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是（）A.720 B.648 C. D.【正确答案】B【分析】采用间接法求解.【详解】间接法：在0到9这10个数字中，任取3个数字，按从左到右的顺序排列，有种排法，其中不能组成三位数的即第一个数字为0的有种排法；故可以组成没有重复数字的三位数一共有个；直接法：选一个数字为百位数字，十位和个位任意排，故有种.5.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】由函数在区间上的单调性，转化为不等式恒成立问题，构造新函数，利用导数与函数单调性求最值即可.【详解】由函数，则，因为函数在上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立，等价于在上恒成立，令，则，因为，所以，所以函数在上单调递增，所以，所以，所以函数在上单调递减，则实数的取值范围为.6.某商场推出抽奖促销活动．把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母，3个球标有字母；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个、白球2个．顾客按如下规则进行操作：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母的球，则在第三个盒子中任取一个球，如果第二次取出的是红球，则可得到一份奖品，那么顾客获奖的概率为（）A.0.48 B.0.41 C.0.59 D.0.64【正确答案】C【详解】设“从第一个盒子中取得标有字母的球”，“从第一个盒子中取得标有字母的球”，“第二次取出的球是红球”，由题意可知，，，，,则.7.设，则的展开式中的系数为（）A. B.96 C. D.48【正确答案】C【分析】先将原式括号内的代数式化简为完全平方形式，转化为标准二项式后，利用二项展开式通项公式求解对应的系数即可.【详解】因为，对括号内代数式变形得，因此原式可化为.根据二项式定理，的展开式通项为，则的展开式通项为，​令的指数等于5，即，解得.代入系数表达式得.8.已知的展开式中x³的系数为m，所有项的系数之和为n，若则a=（）A.2 B.1 C.-2 D.-1【正确答案】D【分析】根据二项式的展开式，求出指定项，令，求出所有项的系数之和即可求解.【详解】已知，展开式通项为，当，即时，，当，即时，，所以含的项为，可得含的项的系数,令，则所有项的系数之和由于若所以，解得：二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求）9.已知为正整数，且，则下列等式正确的是（）A.B.C.D.【正确答案】BC【详解】因为，所以A错误；因为，所以B正确；因为，所以C正确；因为，而即，所以D错误.10.已知，则下列说法正确的有（）．A.函数有唯一零点B.函数的单调递减区间为C.函数有极大值D.若关于x的方程有三个不同的根，则实数a的取值范围是【正确答案】AC【详解】，定义域为，则A选项，令，得，则当时，单调递增，当时，单调递减，所以，当，；当，，所以函数只有1个零点，且此时，所以A选项正确；B选项，由A选项解析可知，函数的单调递减区间为，所以B选项错误；C选项，由A选项解析可知，函数有极大值，所以C选项正确；D选项，由A选项解析可知，关于x的方程不可能有三个根，所以D选项错误.11.已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两张1号奖券，一张2号奖券和一张3号奖券；2号盒子内装有两张1号奖券，一张3号奖券；3号盒子内装有三张1号奖券，两张2号奖券．若第一次先从1号盒子内随机抽取1张奖券，将取出的奖券放入与奖券同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一张奖券，则下列说法错误的是（）A.在第一次取到2号奖券的条件下，第二次取到1号奖券的概率为B.第二次取到3号奖券的概率为C.第二次取到2号奖券的概率为D.现将21个相同的玩偶放入这3个编号的盒子中，每个盒子至少分得一个玩偶的分法共有210种【正确答案】ACD【分析】对于A，利用条件概率公式求解；对于B，利用全概率公式求解；对于C，利用全概率公式求解；对于D，相同元素的分配问题，利用隔板法即可求解.【详解】记第一次抽到第号奖券的事件分别为，则有，对于A，在第一次抽到2号奖券的条件下，将2号奖券放入2号盒子内，因此第二次抽到1号奖券的概率为，故A错误；对于B，记第二次在第号盒子内抽到3号奖券的事件分别为，而两两互斥，和为，且，记第二次抽到3号奖券的事件为，则，故B正确；对于C，记第二次在第号盒子内抽到2号奖券的事件分别为，而两两互斥，和为，且，记第二次抽到2号奖券的事件为，则，故C错误；对于D，将21个相同的玩偶放入这3个编号的盒子中，每个盒子至少分得一个玩偶的分法共有种不同的放法，故D错误.三、填空题（本大题共3小题，共15分）12.的展开式中的系数为__________.【正确答案】【详解】根据二项式定理，的通项为：，，要找项，分为两部分：中的项，需要出现的项，此时，，乘以后为；中的项，需要出现的项，此时，，乘以后为；则的系数为13.若直线与曲线相切，则的最小值为________．【正确答案】##【分析】利用相切构造方程①，利用导数的几何意义构造方程②，联立①②得出关系，一元化，求最小值．【详解】已知直线与曲线相切，设切点横坐标为，则①，曲线求导得，则②，解得，代入①得，，故，，当时，取得最小值，最小值为．14.中国七大古都是指西安、洛阳、北京、南京、开封、杭州、安阳这七座古代都城.为弘扬民族文化，某校社团开展“中国七大古都”讲座活动，每座古都安排1次讲座，共安排7次.讲座次序要求“西安”“洛阳”讲座不相邻，“南京”和“杭州”讲座也不相邻，则“中国七大古都”讲座不同的次序共有________种.【正确答案】2640【分析】先算7个不同古都的全排列数，再算至少有一对相邻的排列数，最后得到两对都不相邻的排列数.【详解】7个不同古都的全排列:,西安与洛阳相邻的排列数:,同理，南京与杭州相邻的排列数也是1440,西安洛阳相邻且南京杭州相邻的排列数:,至少有一对相邻的排列数:两对都不相邻的排列数:.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.现有10名学生，其中女生4名，男生6名.（1）从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？（2）从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？（3）从中选4人，若男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内，有多少种选法？【正确答案】（1）90（2）30（3）140【分析】（1）由分步乘法计数原理结合组合数即可求解；（2）分1男1女和2名女讨论求解即可；（3）通过间接法求解即可.【小问1详解】根据题意，从4名女生中任选2人的选法有种，从6名男生中任选2人的选法有种，则从中选出男、女各2名的选法有种；【小问2详解】根据题意，分2种情况讨论：①选出的2名代表为1男1女，有种选法；②选出的2名代表都为女生，有种选法；则必须有女生的选法有种；【小问3详解】从10人中任选4人，要求男生甲与女生乙至少有1人在内，利用排除法有种选法.16.已知函数（1）求在处的切线方程．（2）求的单调区间．（3）求在区间上的最值．【正确答案】（1）切线方程为；（2）单调递减区间为，单调递增区间为；（3）最小值为，最大值为.【分析】（1）先确定函数定义域并求导，利用导数几何意义求切线方程；（2）通过分析导函数符号确定单调区间；（3）比较区间内极值点和端点的函数值得到最值.【小问1详解】函数的定义域为，，所以，即切点为，，由点斜式得切线方程为，即.【小问2详解】将导函数整理为，令，解得，令，解得，所以单调递减区间为，单调递增区间为.【小问3详解】由（2）知，在上单调递减，在上单调递增，故为极小值点，计算端点与极值点的函数值：比较大小：，因此：最小值为；最大值为.17.为拉动假期经济，某集团在“五一”劳动节期间对旗下高档海景民宿进行调价，已知该民宿的每日入住量（单位：间）与价格（单位：千元/间）满足，其中，该民宿的综合成本为千元/间．（1）将该民宿每日所获利润表示为价格的函数；（2）当每日所获利润最大和最小时，价格分别是多少？（参考数据：，，）【正确答案】（1）（2）当销售单价为（千元）时，利润最大；当销售单价为（千元）时，利润最小【分析】（1）由化简可得出的解析式，结合题中的取值范围可得结果；（2）利用导数分析函数在区间的单调性，利用函数的最值与导数的关系求解即可.【小问1详解】由题意.【小问2详解】因为，设，则，因为，所以，所以函数在上单调递增.又，，又，当时，，所以，所以在上单调递减；当时，，所以，所以在上单调递增.又，，.所以当销售单价（千元）时，利润最大；当销售单价（千元）时，利润最小．18.已知函数，且．（1）求的值；（2）若．（ⅰ）求在上的最大值和最小值；（ⅱ）若使得成立，求实数m的取值范围．【正确答案】（1）（2）（ⅰ）最大值为，最小值为；（ⅱ）【分析】（1）对函数求导，代入求出的关系，进而求解；（2）（ⅰ）求导，利用导数分析函数的单调性和极值，结合端点值得出在上的最大值和最小值；（ⅱ）把存在性问题转化成在上的最大值，进而构造不等式求出实数m的取值范围．【小问1详解】函数求导得，已知，则，．【小问2详解】（ⅰ），则，求导得：，，在上恒成立，导数符号由决定：当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；在处取得极大值，即为最大值，，，，，在上的最小值为，最大值为；（ⅱ）已知使得成立，则在上的最大值，在上的最大值为，，解得，又，，的取值范围为．19.已知的展开式中第项的系数为，且的展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数之比为．（1）求n的值；（2）求展开式中的系数；（3）求的值．【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根据二项式系数定义确定第三、四项系数，利用已知比例