分式方程教学课件与讲义

分式方程教学课件与讲义一、教学目标1.知识与技能：*使学生理解分式方程的概念，能准确识别分式方程。*使学生掌握解分式方程的基本思路和一般步骤，能熟练运用去分母法解可化为一元一次方程的分式方程。*使学生理解解分式方程时验根的必要性，并能正确进行验根。*初步学会运用分式方程解决一些简单的实际问题，体会建模思想。2.过程与方法：*通过类比整式方程，引导学生探索分式方程的解法，培养学生的转化思想和探究能力。*在解分式方程的过程中，培养学生分析问题、解决问题的能力及运算能力。*通过实际问题的解决，提高学生将实际问题转化为数学问题的能力。3.情感态度与价值观：*通过对分式方程解法的探索和应用，激发学生的求知欲，培养学生勇于探索的精神。*在解决实际问题的过程中，让学生感受数学的应用价值，增强应用意识。*培养学生严谨的治学态度，养成检验的良好习惯。二、教学重点与难点*教学重点：1.分式方程的概念。2.解分式方程的一般步骤，特别是去分母和验根环节。*教学难点：1.理解解分式方程时产生增根的原因。2.验根的方法和必要性。3.列分式方程解决实际问题。三、教学方法讲授法、讨论法、启发探究法、练习法相结合。注重引导学生主动参与，通过观察、比较、思考、实践来获取知识。四、教学准备多媒体课件（PPT）、板书、练习纸。五、教学过程（一）创设情境，引入新课问题提出：我们已经学习了整式方程以及分式的运算。现在请大家思考这样一个问题：小明同学计划用若干天完成一项阅读任务。如果他每天读30页，那么还会剩余10页未读；如果他每天读35页，那么恰好提前一天完成。请问小明原计划多少天完成这项阅读任务？我们能否设一个未知数，列出一个方程来解决这个问题呢？引导学生分析：设原计划x天完成。根据“总页数相等”这一等量关系，可得：30x+10=35(x-1)这个方程大家熟悉吗？（是一元一次方程）那么，如果我们换一个角度，设这本书总共有y页，根据“计划天数相等”这一等量关系，又该如何列方程呢？（学生思考、尝试列出）可得：(y-10)/30=y/35+1这个方程与我们刚才列出的整式方程有什么不同？（分母中含有未知数）像这样的方程，就是我们今天要学习的——分式方程。（板书课题：分式方程）（二）新课讲授1.分式方程的概念定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程。（板书定义，并强调关键词：分母、未知数）辨析：下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？(1)1/x=2/(x+3)(2)(x+1)/2=3(3)2/x-1=5(4)(x-1)/3+x/2=1(5)x/(x-1)=2（引导学生讨论，强调判断标准：分母中是否含有未知数。）结论：(1)、(3)、(5)是分式方程；(2)、(4)是整式方程。2.分式方程的解法思考：我们会解整式方程，那么分式方程能否转化为整式方程来求解呢？（引导学生回忆分式的基本性质，思考如何去掉分母。）探究：如何解方程1/x=2/(x+3)？步骤：(1)去分母：方程两边同乘以各分母的最简公分母。此方程中两个分母分别是x和x+3，最简公分母是x(x+3)。方程两边同乘以x(x+3)，得：x(x+3)*(1/x)=x(x+3)*[2/(x+3)]化简，得：x+3=2x（强调：方程两边每一项都要乘以最简公分母，不要漏乘不含分母的项。）(2)解这个整式方程：x+3=2x移项，得：3=2x-x合并同类项，得：x=3(3)检验：我们得到的x=3是不是原分式方程的解呢？将x=3代入原方程的左边：1/3代入原方程的右边：2/(3+3)=2/6=1/3左边=右边，所以x=3是原分式方程的解。再探究：解方程(x-2)/(x+2)-16/(x²-4)=1步骤：(1)去分母：先将各分母因式分解，找出最简公分母。x²-4=(x+2)(x-2)，所以最简公分母是(x+2)(x-2)。方程两边同乘以(x+2)(x-2)，得：(x-2)²-16=(x+2)(x-2)(2)解这个整式方程：展开，得：x²-4x+4-16=x²-4化简，得：x²-4x-12=x²-4移项，得：x²-4x-x²=-4+12合并同类项，得：-4x=8系数化为1，得：x=-2(3)检验：将x=-2代入原方程的分母x+2和x²-4中，分母的值为0。分式的分母为0时，分式无意义。所以x=-2不是原分式方程的解，原分式方程无解。增根的概念：在将分式方程化为整式方程的过程中，有时会产生不适合原分式方程的根，这种根叫做分式方程的增根。为什么会产生增根？因为在去分母时，我们在方程两边同乘以了一个含有未知数的整式（最简公分母）。当这个整式的值为0时，相当于方程两边同乘以0，这就违背了等式的基本性质（等式两边同乘以一个不为0的数或整式，等式仍然成立），从而可能产生增根。如何验根？解分式方程必须验根！验根的方法：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；如果最简公分母的值为0，则这个解不是原分式方程的解（是增根），原分式方程无解。（也可代入原方程检验，但代入最简公分母更简便。）总结解分式方程的一般步骤：1.去分母：在方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。2.解整式方程：解这个整式方程。3.验根：把整式方程的解代入最简公分母进行检验。（口诀：一化二解三检验）3.例题讲解例1：解方程(x)/(x-1)-2/(x+1)=1解：最简公分母是(x-1)(x+1)。方程两边同乘以(x-1)(x+1)，得：x(x+1)-2(x-1)=(x-1)(x+1)去括号，得：x²+x-2x+2=x²-1合并同类项，得：x²-x+2=x²-1移项，得：x²-x-x²=-1-2合并同类项，得：-x=-3系数化为1，得：x=3检验：当x=3时，(x-1)(x+1)=(3-1)(3+1)=8≠0所以，x=3是原分式方程的解。解题反思：去分母时要注意什么？（每一项都乘，分子是多项式时要加括号）例2：解方程(3)/(x-2)+(x)/(2-x)=1分析：注意到(2-x)=-(x-2)，所以可以先将第二个分式的分母化为x-2，或直接找最简公分母x-2。解：原方程可化为：3/(x-2)-x/(x-2)=1最简公分母是(x-2)。方程两边同乘以(x-2)，得：3-x=x-2移项，得：3+2=x+x合并同类项，得：5=2x即：x=5/2检验：当x=5/2时，x-2=5/2-2=1/2≠0所以，x=5/2是原分式方程的解。解题反思：当分母互为相反数时，可以通过变号将其化为相同或直接确定最简公分母。4.巩固练习练习1：解下列分式方程(1)2/x=3/(x+1)(2)1/(x-2)+3=(x-1)/(x-2)(3)(x)/(x-3)=2+3/(x-3)（引导学生发现增根）练习2：当k为何值时，方程(x)/(x-1)+(k)/(x-1)=2会产生增根？（拓展题，引导学生思考增根的产生条件，即最简公分母为0时x的值，代入整式方程求出k）（三）分式方程的应用列分式方程解应用题的一般步骤：1.审：审题，理解题意，找出等量关系。2.设：设未知数（一般求什么设什么，有时也间接设元）。3.列：根据等量关系列出分式方程。4.解：解这个分式方程。5.验：检验。（既要检验是否为分式方程的增根，也要检验是否符合实际意义）6.答：写出答案。例3：（行程问题）A、B两地相距若干千米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行。已知甲的速度是乙的速度的1.5倍，经过2小时两人相遇。如果甲的速度每小时增加2千米，乙的速度不变，那么两人可提前12分钟相遇。求甲、乙两人原来的速度。分析：设乙原来的速度为x千米/小时，则甲原来的速度为1.5x千米/小时。根据A、B两地距离不变列方程。第一种情况：相遇时间2小时，速度和为(x+1.5x)，路程=速度和×时间=2(x+1.5x)。第二种情况：甲速度变为(1.5x+2)千米/小时，乙速度仍为x千米/小时，相遇时间提前12分钟，即2-12/60=1.8小时。路程=1.8[(1.5x+2)+x]。解：设乙原来的速度为x千米/小时，则甲原来的速度为1.5x千米/小时。依题意，得：2(x+1.5x)=1.8[(1.5x+2)+x]化简方程左边：2(2.5x)=5x方程右边：1.8(2.5x+2)=4.5x+3.6所以5x=4.5x+3.60.5x=3.6x=7.2则甲原来的速度为1.5x=1.5×7.2=10.8（千米/小时）检验：x=7.2是所列方程的解，且符合实际意义。答：甲原来的速度为10.8千米/小时，乙原来的速度为7.2千米/小时。例4：（工程问题）一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成。现在甲队先做若干天后，因另有任务，剩下的工程由乙队单独完成，从开始到完成共用了12天。甲队做了多少天？分析：设总工作量为单位“1”。甲队工作效率为1/10，乙队工作效率为1/15。设甲队做了x天，则乙队做了(12-x)天。甲队工作量+乙队工作量=总工作量1。解：设甲队做了x天。依题意，得：x/10+(12-x)/15=1（学生独立完成解方程过程）方程两边同乘以30（10和15的最小公倍数），得：3x+2(12-x)=303x+24-2x=30x+24=30x=6检验：x=6是所列方程的解，且符合实际意义。答：甲队做了6天。（四）课堂练习1.解下列分式方程：(1)1/(x-2)=3/x(2)(x+1)/(x-1)-4/(x²-1)=1(3)(2x)/(x+1)=1-x/(x+1)2.应用题：某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，求原计划平均每天生产多少台机器？（五）课堂小结1.本节课学习了哪些主要内容？*分式方程的概念。*解分式方程的一般步骤：去分母、解整式方程、验根。*解分式方程时可能产生增根，必须验根。*列分式方程解决实际问题。2.解分式方程的关键是什么？易错点有哪些？*关键：去分母转化为整式方程，以及验根。*易错点：去分母时漏乘项；分子是多项式时未加括号导致符号错误；忘记验根。3.列分式方程解应用题最关键的是什么？*分析题意，找出等量关系，正确列出方程，并注意检验解的合理性。（六）布置作业必做题：教材对应练习题中关于分式方程解法和应用题的部分。选做题：若关于x的方程(a)/(x-1)+1=(x+a)/(x+1)有增根，求a的值。思考题：如何解分式方程组？（可举例说明，如：{1/x+1/y=5,2/x-3/y=-5}）六、板书设计分式方程教学课件与讲义一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程。判断：看分母是否含未知数。二、分式方程的解法步骤：