2025年全国高考理科数学试题分类汇编2：函数

2025年全国高考理科数学试题分类汇编2：函数函数作为高中数学的核心内容，始终是高考考查的重中之重。它不仅是数学知识体系的基石，也是解决其他数学问题乃至物理、工程等学科问题的重要工具。2025年的全国高考理科数学试题，在延续了历年对函数基础知识全面考查的同时，也更加注重对函数思想、逻辑思维能力以及实际应用能力的检验。本汇编旨在对2025年高考理科数学试卷中函数相关的题目进行梳理与分析，希望能为广大师生提供一份有价值的参考资料，助力后续的教学与备考。一、函数的概念与基本性质函数的概念是研究函数一切性质的出发点，而其基本性质则是函数的“灵魂”所在。本年度试题对这一部分的考查依然保持了较高的比例和一定的深度。1.1函数的定义域与值域定义域是函数的“生命线”，任何函数问题的解决都必须首先考虑定义域。今年的试题中，涉及具体函数定义域求解的题目，依然围绕着常见的限制条件，如分式分母不为零、偶次根式被开方数非负、对数的真数大于零、零次幂的底数不为零等。值得注意的是，部分题目在考查定义域的同时，也间接考查了考生对复合函数概念的理解，需要逐层分析，避免遗漏。与定义域紧密相关的是函数的值域。求函数值域的方法多种多样，如配方法、换元法、单调性法、判别式法、基本不等式法以及利用函数图像等。今年的题目在这部分体现了一定的综合性，有些题目需要结合函数的单调性或奇偶性来确定值域，有些则需要考生灵活选择合适的方法，甚至将多种方法结合使用。这要求考生不仅要掌握各种方法的适用场景，更要能融会贯通，举一反三。1.2函数的单调性与最值函数的单调性是描述函数图像变化趋势的重要性质，也是求函数最值、比较大小、解不等式等问题的关键依据。今年对单调性的考查，既有直接判断或证明简单函数单调性的基础题，也有在综合题中利用单调性解决问题的考查形式。对于单调性的证明，定义法仍是基础，而导数法作为研究函数单调性的有力工具，在解答题中占据了重要地位。最值问题几乎贯穿了函数考查的始终。利用单调性求最值是最基本也是最重要的方法。此外，结合二次函数的图像特征、基本不等式、三角函数的有界性等求最值的题目也有所体现。部分题目还巧妙地将最值问题与实际应用相结合，考查考生的数学建模能力。1.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性从代数和几何两个角度刻画了函数的对称性，是高考的常考内容。今年的试题中，判断函数的奇偶性、利用奇偶性求参数值、利用奇偶性简化函数求值或作图等题目均有出现。考生需要注意的是，判断奇偶性的前提是函数的定义域关于原点对称，这是一个容易被忽略的细节。周期性则主要体现在三角函数以及抽象函数中。利用周期性可以将不在已知区间内的函数值转化到已知区间内求解，或者简化复杂的运算。今年关于周期性的考查，更多地融入到了函数图像的识别与应用以及函数性质的综合应用题目中。二、基本初等函数基本初等函数是构成复杂函数的“基本积木”，对其图像和性质的熟练掌握是解决函数综合问题的前提。2.1一次函数与二次函数一次函数和二次函数作为最基本的多项式函数，是高考的基础考查内容。一次函数的单调性、二次函数的图像开口方向、对称轴、顶点坐标、最值以及零点分布等，都是考查的重点。今年的试题中，二次函数依然是“宠儿”，不仅有单独考查二次函数性质的题目，更在导数应用、不等式证明等综合题中扮演了重要角色。特别是含参数的二次函数问题，对考生的分类讨论思想提出了较高要求。2.2指数函数与对数函数指数函数与对数函数是两类重要的基本初等函数，它们的图像、单调性、定义域、值域以及相互关系（互为反函数）是考查的核心。今年的试题中，比较指数式、对数式的大小，解指数不等式、对数不等式，以及利用指数函数、对数函数的性质解决综合性问题等，都有所涉及。值得一提的是，对指数函数与对数函数图像的识别和应用，以及结合它们的单调性比较大小，依然是考查的热点，需要考生具备较强的数形结合能力。2.3幂函数、三角函数及其他幂函数的考查相对稳定，主要集中在常见幂函数（如y=x,y=x²,y=x³,y=x^(1/2),y=x^(-1)等）的图像与性质上，要求考生能根据幂指数的不同判断函数的定义域、奇偶性和单调性。三角函数作为基本初等函数的重要组成部分，其图像与性质（周期性、奇偶性、单调性、最值）、三角恒等变换、解三角形等内容在高考试卷中自成体系，但也常与函数的其他性质结合考查。今年的试题中，三角函数的图像变换、利用三角函数的性质解决实际问题等题目，体现了其工具性和应用性。三、函数的图像函数图像是函数性质的直观体现，识图、作图、用图是学习函数的重要能力。今年的高考数学试题对函数图像的考查力度依然较大。3.1函数图像的识别与判断给出函数解析式，判断其对应的图像，或者给出函数图像，判断其对应的解析式（或解析式中参数的取值范围），这类题目能有效考查考生对函数性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点函数值等）的综合运用能力。解答此类问题，通常需要结合排除法，利用函数的某几个显著特征排除错误选项。3.2函数图像的变换函数图像的平移变换、伸缩变换、对称变换是高考的常考点。今年的试题中，既有直接考查图像变换规律的基础题，也有在综合问题中利用图像变换解决问题的题目。考生需要准确掌握各类变换对函数解析式的影响，例如平移变换中的“左加右减、上加下减”，以及伸缩变换中横纵坐标的变化规律。3.3函数图像的应用利用函数图像解决方程根的个数问题、不等式的解集问题、参数的取值范围问题等，充分体现了数形结合思想的优越性。今年的试题中，这类题目屡见不鲜。通过画出函数图像，将抽象的代数问题转化为直观的几何问题，往往能起到化繁为简、化难为易的效果。四、函数与方程、不等式函数、方程、不等式三者之间有着密切的联系，它们相互转化的思想是高考考查的重点。4.1函数的零点函数的零点是连接函数与方程的桥梁。判断函数零点的个数、确定函数零点所在的区间、利用函数零点求参数的值或取值范围等问题，是近年来高考的热点。解决此类问题，常用的方法有：利用函数的单调性和零点存在性定理；转化为两个函数图像交点的个数问题；利用导数研究函数的图像与性质进而判断零点情况。今年的试题对零点问题的考查，既有选择填空题，也有解答题，且综合性有所增强。4.2函数与不等式利用函数的单调性解不等式，或者将不等式恒成立、能成立问题转化为函数的最值问题，是函数与不等式结合的主要考查形式。特别是不等式恒成立问题，常常需要构造辅助函数，利用导数研究其单调性、最值，进而求出参数的取值范围。这类题目对考生的综合能力要求较高，是拉开差距的关键题型之一。五、导数在函数中的应用导数是研究函数单调性、极值、最值等性质的强大工具，也是高考数学的核心内容和难点所在。5.1利用导数研究函数的单调性利用导数判断函数的单调性，求函数的单调区间，是导数的基本应用。今年的试题中，这部分内容既有直接考查，也常作为解决更复杂问题（如极值、最值、不等式证明等）的基础。考生需要熟练掌握求导公式和法则，并能正确解不等式f’(x)>0或f’(x)<0。对于含参数的函数单调性问题，分类讨论思想的运用尤为重要。5.2利用导数研究函数的极值与最值利用导数求函数的极值和最值，是导数应用的重点内容，也是高考解答题的常考题型。求极值的步骤一般是：求导、令导数等于零求驻点、判断驻点左右导数的符号确定极值点、求极值。而最值则需要在函数的极值和区间端点值中进行比较。今年的试题中，极值与最值问题常常与函数的单调性、不等式等知识结合，形成综合性较强的题目。5.3导数的综合应用导数的综合应用主要体现在利用导数证明不等式、解决函数零点问题、研究函数图像的交点问题等。这类题目往往难度较大，需要考生具备扎实的基础知识、较强的逻辑推理能力和综合分析问题的能力。今年的压轴题中，就出现了以导数为工具，结合函数、不等式、方程等多方面知识的综合性问题，重点考查考生的创新意识和探究能力。六、函数的实际应用数学源于生活，用于生活。函数的实际应用问题能很好地考查考生的数学建模能力和应用意识。今年的函数应用题，背景材料更加贴近现实生活，如经济利润问题、成本控制问题、环境治理问题、物理运动问题等。解决这类问题的关键步骤是：认真审题，理解题意，将实际问题抽象为数学问题，建立恰当的函数模型（如一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、分段函数模型等），然后利用函数的知识求解模型，并对结果进行检验和解释。这类题目强调对信息的提取和加工能力，以及运用数学知识解决实际问题的能力。总结与备考建议综上所述，2025年全国高考理科数学试题中的函数部分，在保持稳定性的基础上，更加注重对基础知识的深刻理解和综合运用，强调数学思想方法的渗透，突出对考生能力的考查。函数作为贯穿高中数学的主线，其重要性不言而喻。针对函数专题的复习备考，建议考生：1.夯实基础，构建知识网络：系统梳理函数的基本概念、基本性质、基本初等函数的图像与性质，深刻理解各知识点之间的内在联系，形成完整的知识体系。2.突出重点，突破难点：重点掌握函数的单调性、奇偶性、周期性、最值，以及导数在研究函数性质中的应用。对于函数与方程、函数与不等式的综合问题，要加强练习，总结规律。3.强化数学思想方法的应用：数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想、函数与方程思想在