《画法几何与土木建筑制图》课件-上

第1章制图的基本知识与技能1.1国家制图标准的有关规定1.3几何作图《土木工程制图》是探讨绘制土木工程图样的理论，方法和技术的一门技术基础课，是工程界的语言。该语言为图形语言，必须遵循相应的国家标准(GB)、部颁标准、国际标准（ISO）。●基本要求：了解图幅，比例，坡度的概念；绘图工具的用法；几何作图；平面图形的尺寸分析；徒手作草图的技巧。◆重点掌握：图线、尺寸标注及字体的正确运用

1.2常用手工绘图工具及用法★一、图纸幅面及格式★二、常用图线★三、字体 ★四、比例★五、尺寸注法1.1国家制图标准有关规定

土木工程制图执行的国家标准有：《房屋建筑制图统一标准》（GB/T50001-2010），《总图制图标准》（GB/T50103-2010），《建筑制图标准》（GB/T50104-2010），《建筑结构制图标准》（GB/T50105-2010），《道路工程制图标准》（GB/T50162-1992），《水电水利工程基础制图标准》（DL/T5347-2006）等。一、图纸幅面和格式

幅面代号A0A1A2A3A4幅面尺寸b×l841×1189594×841420×594297×420210×29710255周边尺寸ca单位：mm1.图纸幅面2.图框格式图纸分为两种：横式和立式(a)横式(b)立式a标题栏blccc图框线用粗实线绘制图幅线3.标题栏位置：在图框的右下角。标题栏中文字的方向为看图方向。c标题栏acclb图框线二、常用图线名称粗中细实线虚线线宽一般用途b0.5b0.25b主要可见轮廓线可见轮廓线,尺寸起止符图例,尺寸界线,尺寸线细粗b0.25b见有关专业制图标准不可见轮廓线单点长画线细粗0.25bb见有关专业制图标准中心线,轴线,对称线双点长画线细粗0.25bb见有关专业制图标准假想轮廓线,极限位置线波浪线折断线细细0.25b0.25b断裂线断裂线,构造层次分界线线型线宽b一般取值：0.5、0.7、1.0、1.4(mm)，地坪线用加粗线(2

倍，取1.4b）图线的画法和要求◆1、图线要清晰整齐、均匀一致、粗细分明、交接正确；◆

2、虚线、单点长画线或双点长画线的线段长度和间距，宜各自相等。虚线的线段长度约3~6mm，间隔约为1mm。单点长画线或双点长画线的线段长度约为15~20mm；◆

3、单点长画线或双点长画线的两端不应是点，点画线与点画线交接或点画线与其他图线交接时应是线段交接；◆

4、虚线与虚线交接或虚线与其他图线交接时应是线段交接，虚线位于实线的延长线时不得与实线连接。◆

5、图线不得与文字、数字或符号重叠、相交，不可避免时，应首先保证文字等的清晰。错误不应是点应超出图形外约5mm太长应以线段相交不留空隙留空隙正确点画线、虚线交接的画法交在线段上

字体的号数，即字体的高度h（单位为毫米）分为：20、14、10、7、5、3.5、2.5、1.8

，以

2倍递增减。1.基本要求字体端正、笔划清楚、排列整齐、间隔均匀字体的高度三、字体2.汉字用长仿宋体字高：字宽≈1：0.7（长仿宋体中“长”的含义）书写要领：横平竖直，结构匀称，排版整齐。3.数字和字母有正体和斜体，斜体字头向右倾斜，与水平线成75°。可用长仿宋体，也可用iso.shx字体（世界标准）。比例：

图中图形与实物相应要素的线性尺寸之比。标注形式为：“图中长度：对应实物长度”，如“1:100”、“2:1”；比例宜注写在图名的右侧，如：平面图

1：100四、比例常用比例可用比例1:1,1:2,1:5,1:10,1:20,1:30,1:50,1:100,1:150,1:200,1:500,1:1000,1:20001:3,1:4,1:6,1:15,1:25,1:40,1:60,1:80,1:250,1:300,1:400,1:600,1:5000,1:10000,1:20000,1:50000,1:100000,1:200000●1、基本规则五、尺寸标注●2、线性尺寸的注法●3、直径与半径尺寸的注法●4、角度的注法●5、坡度注法●6、标高及等长尺寸注法1.基本规则（1）物体的真实大小应以图样上所注的尺寸数值为依据，与图形的大小和绘图的准确度无关。（2）图样中的尺寸，除标高及总平面图以米为单位外，其余以毫米为单位，不需标注计量单位的代号或名称。（3）物体的每一尺寸，一般只标注一次，应标注在反映该结构最清晰的图形上。2.线性尺寸的注法

尺寸的组成：一个完整的尺寸包括尺寸界线(细实线画)、尺寸线(细实线绘制)、尺寸起止符(中粗2~3mm)和尺寸数字(字高3.5)尺寸起止符尺寸线尺寸数字>27~10约72~3尺寸界线◆线性尺寸数字的方向如上图所示：水平尺寸，字头朝上；垂直尺寸，字头朝左。尽量避免在图示30°范围内标注尺寸。★尺寸数字不允许被任何图线穿过。线性尺寸数字的注写7878正确7878错误3.直径和半径尺寸的注法●起止符用实心箭头（尺寸线过圆心）●整圆或大于半圆的圆弧标注直径，并在直径尺寸数字前加注符号“Φ”。●小于或等于半圆的圆弧标注半径，并在半径尺寸数字前加注符号“R”，尺寸线从圆心引出。●球面尺寸还需在符号“Φ”或“R”前加注符号“S”。φ2004.角度的注法①尺寸界线应沿径向引出;②尺寸线应画成圆弧,其圆心是该角的顶点;③角度尺寸数字一律水平书写。5.坡度尺寸注法1：4的坡度线45°6.标高及等长尺寸注法标高注法（单位：米）等长尺寸注法3尺寸标注的一般规则

水平尺寸，数字写在尺寸线上方，字头向上；竖直尺寸，数字写在尺寸线的左侧，字头向左；倾斜尺寸，数字写在尺寸线的偏上一侧，字头有向上的趋势。

书写尺寸数字处其他图线要断开。

尺寸数字不要贴靠尺寸线，留出0.5m的间隔。

拥挤的尺寸数字可错开注写。

几种典型的错误注法一、图板和丁字尺二、三角板三、比例尺四、绘图仪器1.2常用手工绘图工具及用法一、图板、丁字尺、二、三角板三、分规、比例尺(a)(b)5m(c)比例尺的刻度四、绘图仪器(b)(a)(c)六、铅笔--用于画细线和写字。（H、HB）--用于画粗线。（B、2B）1.3几何作图一、平面图形的尺寸分析二、平面图形的线段分析三、平面图形的画图步骤一、平面图形的尺寸分析1.基准—

标注尺寸的起点；尺寸基准的形式：图形对称中心线、主要轮廓线等。2.定形尺寸—确定平面图形上各种线段长度的尺寸。3.定位尺寸—确定平面图形上线段间相对位置的尺寸。φ354-φ10定位尺寸定形尺寸尺寸基准平面图形尺寸分析（续）R1050608070定形尺寸1.已知线段—有定形尺寸和两个方向定位尺寸的线段。2.中间线段—

有定形尺寸但定位尺寸不全，或虽有定位尺寸但无定形尺寸的线段。3.连接线段—

只有定形尺寸而无定位尺寸的线段。二、平面图形的线段分析楼梯扶手线段分析◆图中尺寸标黑色字的线段为已知线段◆图中尺寸标洋红色字的为中间线段的定位或定形尺寸◆图中尺寸标深蓝色字为连接线段的定形尺寸三、平面图形的画图步骤（画楼梯扶手）1.画基准线、定位线。三、画楼梯扶手（续）2.画已知线段三、画楼梯扶手（续）3.画中间线段三、画楼梯扶手（续）4.画连接线段5.整理全图，描深三、画楼梯扶手（续）第2章投影的基本知识2.1投影概念2.2正投影的特性2.3三面投影图◆重点：理解中心投影和平行投影（正投影和斜投影）的概念；理解正投影特性；掌握三面投影图的作图方法。▲一般理解：了解投影图的形成，理解三面投影的对应关系。●难点：投影图的形成。

一、投影的形成：在右图中，若要作出平面ABC在平面H上的图像，将S与A、B、C连成直线，作出SA、SB、SC与平面H的交点a、b、c，将三点连成线即为ABC的图像。平面H称为投影面，点S称为投射中心，直线SA等称为投射线，abc称为ABC的投影。这种产生图像的方法称为投影法2.1投影概念aABCbcHS投影中心投射线投影面空间图形投影二、投影分类：★中心投影法：投射线相交于一点的投影法称之。中心投影法常用于绘制透视投影图★平行投影法：投射线互相平行的投影法称之。平行投影法又分正投影法和斜投影法aABCbcHHHS中心投影法正投影法斜投影法AABBCCabcabc=90°=90°三、

工程上常用的几种图示法正投影图轴测图透视图标高投影dceAB2.2正投影特性★实形性：直线或平面平行于投影面时，反映实长和实形★积聚性：直线或平面垂直于投影面时，积聚为点和直线H实形性积聚性类似性Cba★类似性：直线或平面倾斜于投影面时，具有收缩性和类似性cdeEDDCEABa(b)HHAB2.2正投影特性（续）★从属性：点在直线上，则点的投影必在该直线的投影上★定比性：点把线段分成两段，该两段长度之比=投影长度比H从属性、定比性平行性ba★平行性：两平行直线的投影仍互相平行CHKkAK:KB=ak:kbDEFefcd2.3三面投影图八分角

三投影面体系将空间划分为八分角（每4个分角按逆时针排序），如右图所示。我国标准规定，将物体置于第一分角中进行投影。正立投影面—用V表示，简称V面水平投影面—用H表示，简称H面侧立投影面—用W表示，简称W面●三投影面OX轴，反映物体长度OY轴，反映物体宽度OZ轴，反映物体高度●三投影轴ZXYOⅠⅡⅢⅣⅤⅥ(Ⅶ)ⅧVWH一、三面投影体系HWV

三投影面展平：V面不动，将H面绕OX轴向下旋转90°，W面绕OZ轴向右后旋转90°。主视图—从前向后看，在V面上形成的投影俯视图—从上向下看，在H面上形成的投影左视图—从左向右看，在W面上形成的投影●三投影图ZXY二、三面投影图的形成左视图主视图俯视图HYHWYW三、三面投影图的投影关系●投影关系：主俯视图长对正，主左视图高平齐，俯左视图宽相等。●方位关系：主视图反映物体的左右、上下关系；俯视图反映物体的左右、前后关系；左视图反映物体的前后、上下关系；远离主视为前面。长高宽宽三面投影图展平无边框三面投影图VHXZWYHYWO左右后前左右上下下上前后第3章点、直线的投影及两直线的相对位置3.1点的投影3.2直线的投影▲重点：掌握点、直线在第一分角中各种位置的投影特性和作图方法；掌握直线上点的投影特性；掌握一般直线倾角和实长的求法。◆一般理解：两点的相对位置及重影点；平行、相交、交叉直线以及一边平行于投影面的直角的投影特性；●难点：用直角三角形法求一般直线的倾角及实长。

3.1点的投影一、符号规定：1．空间点：用大写字母表示，如A、B、C…2．水平投影用小写字母表示，如a、b、c…3．正面投影用带撇的小写字母表示，如a'、

b'

、c'

…4．侧面投影用带两撇的小写字母表示，如a''

、

b''

、c''

…二、点的三面投影1、点的三面投影规律：(1)aa'⊥OX(2)a'a''⊥OZ(3)aaYH⊥OYH(4)a''aYW⊥OYW(a)立体图(b)投影图1(c)投影图2aVYHWHZYWOa'a''HXaXaZaYHZYWOa'a''XaXaZaYHaYWXVWHYOZa'Aa''axayaza(a)立体图2、点的投影与坐标：A点到W面的距离为x坐标，即；Aa''=

a'aZ=aay=aXO=xA点到V面的距离为y坐标，即；Aa'=

aax=a''az=ayO=yA点到H面的距离为z坐标，即；Aa=a'ax=a''ay=azO=z点的投影与坐标VWa'AHXYOZa''axayaz(b)投影图aYHZYWOa'a''XaXaZaYHaYWa例1：已知D（20，10，15），作点的三面投影

XZYHYWdXdYdZZdZdXdY201015XYHYWOOdd'd''c'例2：特殊位置（投影面内）点的三面投影

VWHXYOZBb'AaCb''c''ca''a'b(a)

投影面内点的立体图(b)

投影面内点的投影图XZYHYWOb'bb''aa'a''c''c'ce''ef'd'e'e例2续：特殊位置（投影轴上）点的三面投影

VWHXYOZDd'FfEd''e''f'd(a)

投影轴上点的立体图(b)

投影轴上点的投影图XZYHYWOdf''f''fe'd''b'a'a3、两点的相对位置两点的相对位置：A在B之左10mmA在B之前5mmA在B之下7mmVWHYOZAa'Bb''a''baXZYHO△y=5△x=10△z=7b'b''ba''XYWfdc''VHXW4、重影点及其可见性H面上重影V面上重影W面上重影a(b)YHZYWOa'a''Xb'b''cYWOc'(d')d''XYHZeYWOe'e''(f'')XYHf'Za(b)a'b''BYOAb'a''VHXWYc'(d')CDc''d''dcVHXWYFEOOe'f'e''(f'')efbb''a''b'3.2直线的投影几个概念：直线实长AB；直线的投影长ab、a'b'、a''b''；直线对投影面的倾角，对H面的倾角用α表示，对V面的倾角用β表示，对W面的倾角用γ表示。一、两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。aYHZYWOa'XαAB⊥H面投影积聚为一点

a(b)AB∥H面投影反映实长ab=ABAB倾斜于H面投影比实长短ab=ABcosα二、直线对一个投影面的投影特性HABabHABabHABa(b)投影面垂直线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面平行线正垂线（垂直于Ｖ面）铅垂线（垂直于H面）侧垂线（垂直于W面）正平线（只平行于Ｖ面）水平线（只平行于H面）侧平线（只平行于W面）一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面三、各种位置直线的投影特性投影特性:a'b'积聚为一点

ab∥OYHa''b''∥OYWab=a''b''=ABaVa'(b')b''BWHXZYOba''A立体图a'(b')abb''a''XZYWYHO投影图1.投影面垂直线投影特性正垂线a(b)Va'b''BHXZYOA立体图投影特性:ab积聚为一点

a'b'∥a''b''∥OZa'b'=a''b''=AB投影图a(b)a'b'b''a''XZYWYHOb'a''W1.投影面垂直线投影特性（续）铅垂线a''(b'')a''(b'')abXZYWYHOb'a'aVa'BHXZYObA立体图投影特性:

a''b''

积聚为一点

ab∥a'b'∥OXab=a'b'=ABb'投影图W1.投影面垂直线投影特性（续）侧垂线aba'b'b''a''XZYWYHOαγ正平线投影特性:

①ab∥OX

，a''b''∥OZ；②a'b'=AB；③a'b'与投影轴的夹角反映α,γ

b''aVa'BHXZYbA立体图b'a''W投影图αγ2.投影面平行线投影特性正平线2.投影面平行线投影特性（续）aba'b'b''a''XZYWYHOγβb''aVa'BHXZObA立体图b'a''W水平线投影特性:

①a'b'∥OX

，a''b''∥OYW；②

ab=AB；③ab与投影轴的夹角反映β,γ

βγ投影图Y水平线b''aba'b'a''XZYHOαβ侧平线投影特性:

①ab∥OYH

，a'b'∥OZ

；②

a''b''=AB；③a''b''与投影轴的夹角反映α,β

b''aVa'BHXZObA立体图b'a''Wβα投影图YYW2.投影面平行线投影特性（续）侧平线b''ba''b'

三个投影的长度都小于实长，且都倾斜于各投影轴，都不能反映真实的倾角；

ab=ABcosαa'b'=ABcosβ，a''b''=ABcosγaZYWOa'XYH投影图3.一般位置直线投影特性立体图四、用直角三角形法求一般位置直线的实长和倾角ZA-ZBZA-ZBa'b'baAB实长ZA–ZBAB实长

利用直角三角形求一般线的实长和倾角的方法，称直角三角形法。例1：求直线AB的实长及其对H面的倾角αXXOOa'b'ababZA–ZB空间分析方法一方法二ααYB-YAa'b'baAB实长AB实长例2：求直线AB的实长及其对V面的倾角βXOa'b'aba'b'空间分析方法一方法二XOYB–YA△Y△Yββ

总结：若已知直角三角形的四个要素（两直角边、斜边、夹角）中的任意两个，就可以利用直角三角形法解一般直线的相关问题。它们的关系如下图：图中H面投影长表示水平投影长，其他类推；△Z、△Y、△X表示坐标差。H面投影长V面投影长W面投影长△Z实长实长实长△Y△Xk五、直线上的点1

、几何条件：若点在直线上，则点的投影必在该直线的同面投影上。如下图，已知AB线K点的H投影，求K点的另两个投影XOa'b'aba''b''YHYWZk'k''立体图投影图mabnm2、直线上的点和直线本身有两种投影关系：从属性关系和定比性关系。例3：如下图所示，已知侧平线AB和M、N两点的H和V投影，判断M点和N点是否在AB上，结果，M点在，N点不在。XOa'b'baXOa'b'baXOa'b'YHYWZn''m'n'n'm'n'm'mmnnm''nb已知求W投影判断其从属关系用定比性判断a''b''六、两直线的相对位置平行两直线的各组同面投影都互相平行且同面投影长度之比相等（定比性）1、两直线之间的相对位置有三种：平行、相交、交叉；垂直是相交和交叉的特殊情况。一、两直线平行立体图投影图XOa'b'YHYWZc'd'b''d''c''a''badc2、如果两直线相交，则它们的各组同面投影一定相交，并且，各组同面投影的交点符合点的投影特性。二、两直线相交立体图投影图XOa'b'YHYWZc'd'b''d''c''a''badck'kk''3、交叉直线—既不平行又不相交的空间两直线立体图投影图XOa'b'YHYWZc'd'b''d''c''a''badca交叉两直线可能会有一组或两组同面投影互相平行，但决不会三组同面投影都互相平行。平行与交叉的叛别ACDBbdcH3、交叉直线（续）立体图投影图XOa'b'YHYWZc'd'b''d''c''a''badca交叉两直线也可能会有一组两组甚至三组同面投影都相交，但它们的交点一定不符合空间一点的投影规律。相交与交叉的叛别ACDBbdcⅡⅠ1(2)H1'2'1(2)4、两直线垂直—相交垂直或交叉垂直立体图垂直相交DMBCZAEKkHbadc直角投影特性：在直角的投影中，只要其中有一直角边平行于某一投影面，则它在该面上的投影还是直角Fe(f)NLIJN1L1l(l1)n(n1)j(j1)J1I1i(i1)垂直交叉4、两直线垂直（续）立体图BCAbac直角投影特性证明已知:AB⊥BC,BC∥H面，而AB倾斜于H面，求证：bc⊥ab。证明：因BC⊥Bb,BC⊥AB,则BC⊥ABba平面；因bc∥BC,所以bc⊥ABba平面,因此bc⊥ab,即∠abc=∠ABC=90°投影图Ha'abcb'c'XO例4：已知直线AB和C的两面投影，求C点到AB的距离4、两直线垂直（续）XOa'b'c'bac已知求C点到AB的距离dd'XOa'b'c'bac距离第4章平面的投影4.1平面的表示法4.2各种位置平面的投影特性4.3平面内的点和直线▲重点：掌握平面在第一分角中各种位置的投影特性和作图方法；掌握在平面上作点、作直线的方法。◆一般理解：平面上最大坡度线的作图方法及意义。●难点：作平面上最大坡度线的投影。

4.1、平面的表示方式：迹线表示、几何元素表示迹线表示平面(a)立体图(b)投影图PVPWPHPVPWPH水平迹线正面迹线正面迹线侧面迹线侧面迹线YHYWZZXXOO(a)不属于同一直线上的三点(b)直线和直线外一点(c)相交两直线(d)平行两直线(e)任意平面图形a'b'c'a'a'a'a'b'b'b'b'c'c'c'c'd'abcbbbbccccd几何元素表示平面aaaaXXXXX投影面平行面垂直于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直面水平面（平行H面）正平面（平行V面）侧平面（平行W面）铅垂面（只垂直于H面）正垂面（只垂直于V面）侧垂面（只垂直于W面）一般位置平面与三个投影面都倾斜的平面统称特殊位置平面平行某一投影面4.2、各种位置平面的投影特性1.投影面平行面投影特性投影特性：水平投影p

反映平面P的实形；正面投影p'和侧面投影p''都积聚为直线，分别∥OX轴和OYW轴。水平面Pp'pp''p''p'p立体图投影图XZYHYWO1.投影面平行面投影特性（续）投影特性：正面投影q'

反映平面Q的实形；水平投影q

和侧面投影q''都积聚为直线，分别∥OX轴和OZ轴。正平面q'立体图投影图XYHYWq''qZOqq''1.投影面平行面投影特性（续）投影特性：侧面投影r''反映平面R的实形；水平投影r

和正面投影r'都积聚为直线，分别∥OYH轴和OZ轴。侧平面r'立体图投影图XYHYWr''rZOrr'r''R2.投影面垂直面投影特性投影特性：水平投影p

积聚为与投影轴倾斜的直线段，并反映β、γ角；正面投影p'和侧面投影p''均为与原图形边数相同的类似形。铅垂面pp''p'p立体图投影图XZYHYWOγβ2.投影面垂直面投影特性（续）投影特性：正面投影q'

积聚为与投影轴倾斜的直线段，并反映α、γ角；水平投影q和侧面投影q''均为与原图形边数相同的类似形。正垂面q'q''q'q立体图投影图XZYHYWO2.投影面垂直面投影特性（续）投影特性：侧面投影r''

积聚为与投影轴倾斜的直线段，并反映α、β角；水平投影r和侧面投影r'均为与原图形边数相同的类似形。侧垂面r''r''r'r立体图投影图XZYHYWO3.一般位置平面投影特性投影特性：三个投影均无积聚性，也不反映实形，是原图形的类似图形。立体图投影图XZYHYWOs's''sZYOXVWH4.3平面内的点和直线a'b'baXXOOa'b'ab平面内的点平面内的直线ckk'cc'c'n'm'mnd'd1、几何条件★若点在平面内的一条已知直线上，则该点在平面内;★若直线通过平面内的两个已知点，则该直线在平面内;★或直线通过平面上的一个已知点，且平行于平面内的另一条已知直线，则该直线在平面内。a'ba例1：判断D点是否在平面ABC内XO已知作图步骤cc'在H投影中过d点任作辅助直线,如be作图步骤作辅助直线BE的V面投影b'e'由于d'不在该辅助直线b'e'上，故D点不在平面ABC内XOab'b'a'c'cbed'd'dde'a'b'ba2、平面内的投影面平行线XOc'c几何条件：既属于平面内的直线，又符合投影面平行线的投影特性；有平面内的水平线、正平线、侧平线三种。a'b'baXOc'ca'b'baXOc'cd'de'ef'f作平面内水平线作平面内正平线作平面内侧平线a'例2：在平面ABC内求作M点，使M距H面10mm，距V面15mm。X求点M作图步骤Oab'c'cbm'1510●先作de∥OX，且距OX为15mm，再作出d'e'；ded'e'f'g

'●作f'g'∥OX，且距OX为10mm，f'g'与d'e'相交于m'；●由m'作出de上的m，M（m,m'）即为所求；m（1）定义

–在平面内的所有直线中对某一投影面夹角最大的直线，称为平面内对这个投影面的最大斜度线。分三种：◆平面内对H面的最大斜度线，又叫坡度线▲平面内对V面的最大斜度线★平面内对W面的最大斜度线3、平面上的最大斜度线（2）投影特性

—

平面对某一投影面的最大斜度线必定⊥平面内对该投影面的平行线。★平面内对H面的最大斜度线⊥平面内的水平线▲平面内对V面的最大斜度线⊥平面内的正平线◆平面内对W面的最大斜度线⊥平面内的侧平线1）∵AN∥H面，∴根据直角投影特性：am1⊥an

(即⊥PH）证明：平面内对H面的最大斜度线⊥平面内的水平线；它们的水平投影互相垂直。已知：AN∥H面(即∥PH），AM1⊥AN(即⊥PH）。求证：AM1为面内过A点对H面的最大斜度线，且am1⊥PH

。PAanNHPHM1m1结论：AM1与H面的夹角即平面P对H面的倾角α。2）过A作面内任意直线AM2，比较AM1和AM2的斜度大小，即比较tgα1和tgα2的大小，∵tgα1=Aa/am1，tgα2=Aa/am2

，△am1m2为直角△，am2为斜边，am1为直角边，∴am2>am1，

tgα1>tgα2,α1>α2。PAanNHPHM1m1M2m2α2α1（3）应用

—

用来求一般平面对某一投影面的倾角1）平面内对H面的最大斜度线与H面的夹角即代表平面对H面的倾角α；2）平面内对V面的最大斜度线与V面的夹角即代表平面对V面的倾角β；3）平面内对W面的最大斜度线与W面的夹角即代表平面对W面的倾角γ。bcb'Xc'aa'例3求△ABC对H面的倾角α

。分析：利用平面对H面的最大斜度线求α

。作图步骤：1）作平面内水平线BE，2）作平面内对H面的最大斜度线AF，3）求AF的α角即平面的α角。ef'e'fαafZF－ZA

FAbcb'Xc'ae'fef'a'a'f'

β2AYF－YA

F例4求△ABC对V面的倾角β。分析：利用平面对V面的最大斜度线求β。作图步骤：1）作平面内正平线BE2）作平面内对V面的最大斜度线AF，3）求AF的β角即平面的β角。第5章直线与平面、平面与平面的相对位置5.1直线与平面、平面与平面平行5.2直线与平面、平面与平面相交5.3直线与平面、平面与平面垂直▲重点：求解特殊平面与一般直线、一般平面与垂直直线、一般直线与一般平面的交点及特殊平面与一般平面的交线。★一般理解：直线与平面及两平面之间的平行及垂直的投影特性和作图方法。◆难点：线面相交、面面相交可见性的判断；线面之间相互垂直的作图方法。一、直线与平面平行的的投影特性5.1直线与平面、平面与平面平行几何条件：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。立体图LOLPH若L∥LO，LO在P面上，L在H面上，则LO

∥H，L∥P。a'ba例1：判断DE、DF是否平行平面ABCXO(b)DF∥△ABCcc'XOab'b'a'c'cbd'd'●(2)在图(b)中作辅助线BL判断，结果DF∥△ABC

。分析e'f'e'f'fell'ddfe●(1)可直观判断，在图(a)中b'c'∥d'e'，但bc∥de，所以DE不∥△

ABC；(a)DE∥△

ABCX直线投影∥平面有积聚性的同面投影,它们在空间必互相平行特殊情况：若直线与某一投影面的垂直面平行，则它们在该投影面上的投影一定平行。X直线与平面对某一投影面同时有积聚性,它们在空间必互相平行。PH特殊情况：若直线与平面同时垂直某一投影面，则它们空间一定平行。二、平面与平面平行的的投影特性几何条件：当一平面内的相交两直线对应地平行另一平面内的相交两直线，则两平面平行。XVABCEFGHa'投影图ab'c'bc立体图gg'e'f'fecXa'

b'bac'b1b1'a1'c1'

a1c1

分析：若两面相互平行，则它们有一对相互平行的相交直线。例2：判断两平面（四边形与AB×AC）是否平行Xa'cabc'b’1231'2'3'd'd

若两正垂面相互平行，则它们的正面投影相互平行。特殊情况：相互平行的两投影面垂直面，它们的一对有积聚性的同面投影必平行。

若两铅垂面相互平行，则它们的水平投影相互平行。X特殊情况（续）二、特殊直线与一般平面相交5.2直线与平面、平面与平面相交一、特殊平面与一般直线相交三、特殊平面与一般平面相交

直线与平面不平行时即相交，交点是直线与平面的共有点；

两平面不平行时必相交，其交线是两平面的共有线。a例3求铅垂面ABC与直线DE的交点K分析:

利用平面H面投影的积聚性确定交点的一个投影，根据点在线上求出交点的另一投影。一、特殊平面与一般位置直线相交abcdee'd'a'b'c'XOkk'bcdeEDABCKk投影图立体图判断过程：1.求出交点后，对于直线与平面投影重叠的部分，要判别直线的可见性（不重叠的部分都是可见的）。2.交点是直线可见部分与不可见部分的分界点。3.判别方法:1)直接观察;2)利用交叉直线的重影点例3（续）bcdeEDABCKka

求出交点后，对于直线与平面投影重叠的部分，要判别直线的可见性。1'(2')12投影方向e'xc'cabed例4求正垂线AB与△CDE的交点K分析:

利用直线V面投影的积聚性确定交点的一个投影，根据点在面上求出交点的另一投影1k二、特殊位置直线与一般位置平面相交2'1'd'a'(b')k'2可见性判断:

直观判断或用重影点判断

当相交两平面之一为特殊位置平面时，可利用它的投影积聚性直接求出交线上的两个点，然后连成交线。三、特殊平面与一般位置平面相交

两平面相交的两种情况：全交：一个平面全部穿过另一个平面;互交：两个平面的边线互相穿过。互交全交l'de'a'abb'Xed'f'fcc'kl例5求△DEF(⊥H面)与△ABC的交线KL。（全交）

分析利用dfe的积聚性，求两平面交线。k'1'(2')121.求出交线后，对于两平面同面投影重叠的部分，要判别可见性（不重叠的部分都是可见的）。2.交线是可见部分与不可见部分的分界线。3.判别方法:

1)直接观察;2)利用交叉直线的重影点。

特殊情况：当两平面同时垂直某一投影面时，它们的交线也是此投影面的垂直线。ABCDE当直线和平面都处于一般位置时，交点的求法是：含已知直线作辅助平面;求辅助平面与已知平面的交线;交线与已知直线的交点即为所求。为了作图方便，应选择特殊位置平面作为辅助平面。四、一般位置直线与一般位置平面的相交PkPV例6求直线DE与平面△ABC的交点。aa'gg'f'fbb'c'ckXdd'e'ek'd3'(4')d'aa'bb'c'ckXe'ek'1(2)432'1'

利用两交叉直线的重影点判别直线的可见性例6判别可见性（续）一、直线和平面垂直几何条件

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。LBACDP5.3直线与平面、平面与平面垂直1、特殊位置的直线与平面的垂直关系pXaa'bb'r'Xdcd'c'水平线RHPV正平线2、一般位置的直线与平面的垂直关系●直线与平面垂直的投影特性：直线的水平投影⊥平面内的水平线的水平投影，直线的正面投影⊥平面内的正平线的正面投影。●由于直线和平面处于一般位置时，其垂线也处于一般位置，此时，线面的垂直关系（直角）不能直接反映出来，因此要利用平面内的水平线和正平线确定垂直线的投影方向。c'CKAkeMBEFfabcHe'cbaa'b'f'fedd'k'km'mX∵m'k'⊥e'f',mk⊥ad,∴MK⊥△ABC所确定的平面2、一般位置的直线与平面的垂直关系（续）二、平面与平面垂直几何条件如一直线⊥一平面，则包含这直线的一切平面都⊥该平面，如右立体图所示。结论如一平面内有一直线垂直于另一平面，则此两平面互相垂直。如右投影图中，∵

AB⊥DE，AB⊥DF，∴AB、AC所构成平面⊥△DEFXa'bb'PRacc'd'e'f'defABH第6章投影变换6.1投影变换概述6.2换面法6.3旋转法▲一般理解：1、投影变换概念；用换面法解决的基本问题及其应用（如求实形）。2、用旋转法（饶垂直轴旋转）求一般线的实长、倾角及垂直面的实形。a

abb

c

cX实形实长实长ma

d

am

b

c

k

kdcbXa

dd

l

k

kca(b)Xc

b

le(d)d

a

abb

c

cXe

θ实角

当直线或平面相对于投影面平行或垂直时，其投影具有度量性，易求解空间点线面的定位问题（交点和交线）和度量问题（实长、实形和倾角）。6.1投影变换概述一、投影变换:改变空间几何元素与投影面的相对位置，把一般位置的问题转化为特殊位置的问题来解决。二、投影变换的方法换面法：空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。旋转法：投影面不动，通过旋转使几何元素处于有利于解题的特殊位置。本节只讨论几何元素绕垂直于投影面的轴旋转。a1

b1

c1

V1X1V/H

体系变为V1/H

体系b1

c1

a1

一、

新投影体系的建立V1/H

体系称为新投影体系；V/H

体系为原投影体系。V1称为新投影面；V称为被更换的投影面；H称为被保留的投影面。X1称为新投影轴；X称为被更换的投影轴。Vb

c

Hab(c)BACXb(c)ac

a

b

XVHHX1V1a

5.2换面法新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：(1)新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置(平行或垂直)(2)新投影面必须垂直于于原投影体系中的一个被保留的投影面。二、

新投影面的选择原则V1∥ABCV1┴HV1X1b1

c1

a1

Vb

a

Hab(c)BACc

ax（1）以点的一次变换为例-替换V面AHa

VXaa1

V1X1ax1axHa

VXaa1

X1ax1V1新投影到不变投影连线垂直于新投影轴:a1a⊥X1新投影到新投影轴的距离等于旧投影到旧投影轴的距离:a1ax1=aax替换投影面新投影面保留投影面三、

换面法的投影规律1.换面法的投影规律替换投影新投影旧轴保留投影新投影新轴a

aa1ax1a1a

X1XVHVH1VHAaaxX1XH1a1a⊥X1a1ax1=aax新替换投影面新投影面保留投影面（2）以点的一次变换为例-替换H面XVHa

axaa1

ax1HV1X12、基本作法AHa

VXaa1

V1X1ax1ax四、

六个基本问题1、一般位置线变换为投影面平行线2、投影面平行线变换为投影面垂直线4、投影面垂直面变换为投影面平行面6、一般位置面变换为投影面平行面3、一般位置面变换为投影面垂直面5、一般位置线变换为投影面垂直线一次换面二次换面b1

a1

1、

一般位置线变换为投影面平行线√√a

b

abX一般位置线换V面“正平线”（实长，α）一般位置线换H面“水平线”（实长，β）XVX1aa

Hbb

ABV1a1'b1'VHX1HV1Xaa

Hbb

ABa1(b1)a

b

aba1(b1)2、

投影面平行线变换为投影面垂直线H1水平线“正垂线”换V面正平线“铅垂线”换H面VXVHX1H1VX1a

ab

d

bdcc

a1

(d1

)b1

c1

3、

一般位置面变换为投影面垂直面

一般位置面取水平线“正垂面”（α）换V面一般位置面“铅垂面”（β）取正平线换H面XX1aa

Hbb

ABCcc

a1'b1'c1'αV1VXVHX1V1Hc1

a1

a

ab

b(c)c

b1

实形4、

投影面垂直面变换为投影面平行面正垂面“水平面”（实形）换H面铅垂面“正平面”（实形）换V面X1HV1XVHV1X1b1

c1

a1

Vb

Hab(c)BACXa

c

V1X1a1

b1

a

b

abXVHX2a2(b2)5、

一般位置线变换为投影面垂直线:二次换面X2H2V1X1HV1a1

b1

aba'b'VHXH2a2(b2)AB√√dc1a1(d1)b1X1H1Va2

b2

c2

d2X2V2H1实形abca

c

b

d

6、

一般位置面变换为投影面平行面:二次换面ab

bkb1

c1

a1

k

ck1

例1

过点K作直线与直线AB垂直相交。a

c

√√五、

应用举例XVHX1HV1m

m例2

求直线AB和平面EFD的交点。a

ab

bdd

e

f

eff1

d1

m1

e1

b1

a1

XVHX1HV1n1h

例3

求点K到平面EFD的距离。kn

nhd

de

eff

k

d1(h1)e1f1k1LXVHX1H1VVXYZABOOCa(b)oocc1c1'a'b'o'o'c'C1

旋转法:投影面不动，通过旋转使几何元素处于有利于解题的特殊位置。本节只讨论几何元素绕垂直于投影面的轴旋转。6.3旋转法HVXYZ一、

点的旋转规律θθAA1OOPaa1oa'a1'o'o'aa'o'o'oθXoa1a1'aoθa1a1'ooXoa'

点绕投影面垂直轴旋转的投影规律：（1）点的旋转轨迹在轴所垂直的投影面上的投影，反映圆的实形。（2）轨迹圆在旋转轴所平行面上的投影，为平行于投影轴的直线。第7章立体7.1立体表面上取点与线重点内容：1、平面立体和曲面立体的投影特性和作图方法，及表面取点、线的方法；2、分析平面立体截交线的性质，掌握特殊平面与平面立体、曲面立体的截交线的作图方法。难点内容：本章内容均为难点内容。7.2立体的截交线7.1立体表面上取点和线一、平面立体投影特性与表面取点和线二、曲面立体投影特性与表面取点和线

常见的基本立体平面立体曲面立体棱柱棱锥圆柱圆锥圆球圆环由若干个平面围成的立体由回转面或平面与回转面所围成的立体一、平面立体VW（一）正棱柱体1.正棱柱体的形体特点正棱柱上顶面及下底面为多边形，各棱线平行且相等。侧棱面上顶面棱线一、

平面立体投影特性与表面取点和线下底面H

画平面立体的投影图，就是画出它的平面、棱线和所有顶点的投影。a

a(a

)(b

)bb

2.正棱柱体表面上取点和线cccddd3.平面立体表面上的点在立体表面上取点的方法和步骤1)弄清所取的点在哪一个表面上;2)作图方法：与在平面内取点相同;3)判别点的可见性：若点所在表面可见,则点可见;否则,点不可见。（二）正棱锥体1.正棱锥体的形体特点正棱锥底面平行于水平面，其水平投影反应实形；后棱面的侧面投影有积聚性；左右棱面的三个投影有类似形。VWH辅助线法:过顶点s做辅助线，与底边交于一点做平行于底面的线（水平线），与两棱线相交s(c

)s

a

ac

b

b

cs

ba

1

1r

r2

2

23(3

)3

2.正棱锥体表面上取点1

s(c

)s

a

ac

b

b

cs

ba

455

3.正棱锥体表面上取线4(5)4

6

66VW（一）圆柱体1.圆柱体的形体特点圆柱的上顶面及下底面平行于水平面,水平投影为圆。侧面投影和正面投影为矩形。二、

曲面立体投影特性与表面取点和线H最前素线最左素线最右素线最左（右）素线：正面投影的分界线；

最前（后）素线：侧面投影的分界线。★圆柱面上的直素线都是∥轴线的直线。a

a(a

)(b

)bb

2.圆柱体表面上取点和线cccd

dd

e

e

e求圆柱表面上线的V和W面投影。VW（二）圆锥体1.圆锥体的形体特点圆锥的底面平行于水平面,水平投影为圆。侧面投影和正面投影为三角形。H最前素线最左素线最右素线最左（右）素线：正面投影的分界线；

最前（后）素线：侧面投影的分界线。★圆锥面上的直素线都是通过锥顶的直线。a

a(a

)(b

)2.圆锥体表面上取点和线cc(c)直素线法纬圆法bb

求正圆锥表面上线的W和H面投影。②辅助直素线法a'b'baa''b''c'c''cOVHW（三）球体1.球体的形体特点球体的三个投影为三个等直径的圆三条转向线俯视转向线:水平投影的分界线主视转向线:正面投影的分界线侧视转向线:侧面投影的分界线主视转向线侧视转向线俯视转向线原理:利用球面上平行于投影面的圆作为辅助线。做法:过球表面上的点可任意作一个与投影面平行的圆。1′1〞问题:过球表面上的点可作几个与投影面平行的圆？12.球体表面取点纬圆法ⅠⅠ求圆球表面上线的W和H面投影。a”a”a’aa截平面

——

用来截断形体的平面。截交线

——

截平面与立体表面的交线。截断面

——

由交线围成的平面图形。讨论的问题：截交线的分析和作图。截交线截断体截断面（一）基本概念一、

平面立体的截交线7.2立体的截交线平面立体的截交线是封闭的平面多边形，多边形的各顶点是截平面与被截棱线的交点，即立体被截断几条棱，那么截交线就是几边形。截交线是截平面与立体表面的共有线。求截交线的实质:截平面与立体上被截棱线的交点或截平面与立体表面的交线（二）截交线的性质及求解关键●分析截平面与体的相对位置★分析截平面与投影面的相对位置确定截交线的投影特性1.空间及投影分析2.画出截交线的投影★运用线面交点法或面面交线法，分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形，并判断可见性。3.完善轮廓确定截交线的形状（三）求解步骤25ⅠⅡⅤⅣⅢ(3

)4(2)51341[例题1]求作正六棱柱被正垂面截割后的投影。25341[例题2]求立体的水平投影,并完善侧面投影23541

11

6

6

5

4

6ⅠⅤⅣⅢⅡⅥ4

（5

）2

（3

）3

2

【例题3】完成四棱台上部开槽后的水平投影和侧面投影空间分析

水平截平面与四棱台四个棱面相交，交于四条边；两个侧平截平面均与四棱台三个面相交，分别交于三条边；截平面之间有二条交线；1′2′5′6′7′8′4′3′9′10′12562〞6〞1〞5〞4〞7〞3〞8〞10〞9〞3478109整理棱线投影截交线是截平面与曲面立体的共有线。截交线的形状取决于曲面立体的形状及

截平面与曲面立体轴线的相对位置。截交线都是封闭的平面图形（封闭曲线或由直线和曲线围成）。截平面与曲面上被截素线的交点二、

曲面立体的截交线（一）截交线的性质及求解关键1.截交线的性质2.求解关键

⒈空间及投影分析★分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置。●分析截平面与投影面的相对位置，如积聚性、类似性等。找出截交线的已知投影，预见未知投影。⒉画出截交线的投影●光滑连接各点，并判断截交线的可见性。◆先找特殊点（圆锥\圆柱外形素线、球体转向线上的点和极限位置点(最高\最低)）。确定截交线的形状确定截交线的投影特性★补充2~3个一般点。3.完善轮廓（二）求解步骤（三）圆柱的截交线截平面截平面平行于轴线截平面倾斜于轴线截平面垂直于轴线立体图投影图截交线两条平行的直线椭圆圆分析圆柱体截交线为椭圆的投影特性1、当α＜45°截交线椭圆的长轴投影后，仍为投影椭圆的长轴；α＜45°α＞45°α＝45°2、当α＞45°截交线椭圆的长轴投影后，成为投影椭圆的短轴；3、当α＝45°截交线椭圆的长轴投影后，与短轴相等，椭圆的投影成为圆；[例题1]求圆柱截交线的水平投影.11'1"5"4"23ⅥⅦⅢⅡⅣⅤⅠⅧ4'(5')2'(3')2"3"1．分析截平面为正垂面，截交线的侧面投影为圆，水平投影为椭圆2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅷ3．求出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ、Ⅵ、Ⅶ；4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性5．整理轮廓线。766'(7')6"7"8'8"845【例题2】完成圆柱体截切后的侧面投影。【例题3】完成圆柱体截切后的侧面投影。【例题4】完成圆柱体穿三棱柱孔后的侧面投影。（四）圆锥的截交线截平面截平面垂直于圆锥轴线截平面倾斜于圆锥轴线截平面平行于素线截平面平行于圆锥轴线截平面通过圆锥顶点立体图投影图截交线圆椭圆抛物线加直线双曲线加直线等腰三角形P求解步骤找特殊点求一般点顺序连接最右最左最后最前65877′(8′)11′2′3′(4′)435′(6′)6″5″8″7″[例题5]求圆锥截交线找特殊点补充一般点光滑连接各点(3)完善轮廓(1)分析(2)求截交线3″4″2″21″【例题6】完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。1、空间与投影分析

截交线形状为抛物线。抛物线的正面投影落在截平面的积聚性投影上，求作抛物线的水平投影和侧面投影。2、投影作图

运用锥面取点方法作出抛物线顶点和底端点、转向轮廓线上点和一般点，用曲线光滑连接各点。3、整理轮廓线【例题7】完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。1、空间与投影分析

截交线为圆弧和两根直线段，两截平面间有一条交线。截交线的正面投影落在截平面的正面积聚性投影上，求作截交线的水平投影和侧面投影。2、投影作图

截交线圆弧的水平投影反映圆弧的实形。3、整理轮廓线【例题8】完成圆锥截穿孔后的水平投影和侧面投影。1、空间与投影分析

截交线为圆弧、椭圆弧和直线段组成的空间曲线，三条截平面间的交线。截交线的正面投影落在截平面的正面积聚性投影上。2、投影作图

分别求解各个截平面的截交线，截交线上的点可运用锥面取点方法获得。3、整理轮廓线

平面与圆球相交，其截交线总是圆。截平面∥投影面截交线的投影是圆、直线截平面∠投影面截交线的投影是椭圆、直线（五）球体的截交线1．分析截平面为正垂面，截交线为圆；截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ；3．求出若干个一般点A、B、C、D；4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5．整理轮廓线。1"2"123"4"34565"6"787"8"b"a"c"d"abcd2'1'3'(4')5'(6')7'(8')b'(a')c'(d)[例题9]求圆球的截交线[例题10]求半球的截交线【例题11】完成半球被截切后的水平投影和侧面投影。【例题12】完成圆球穿孔后的水平投影和侧面投影。第8章两立体表面的交线8.1两平面立体相贯重点内容：掌握两平面立体、平面立体与曲面立体、以及两曲面立体相贯的相贯线的画法（前两种立体相交时，至少有一个立体的表面投影具有积聚性；两曲面体相交时，要求二个立体的轴线垂直于投影面）。一般理解的内容：求同坡屋面交线。难点内容：本章内容均为难点内容。8.2平面立体与曲面立体相贯8.3两曲面立体相贯8.4同坡屋面交线

相贯线是相交立体表面上的共有线，是两立体表面的分界线,共有线上的点是两立体表面的共有点相贯线为封闭的空间曲线，特殊情况为平面曲线或直线。1.相贯线的性质2.相贯线的求解实质两平面立体相交平面立体与曲面立体相交两曲面立体相交求棱线与平面的交点平面与曲面立体截交线利用积聚性利用辅助平面相贯线的性质和求解实质8.1两平面立体相贯相贯线:空间折线求解实质:

线线问题:两立体相应棱线的交线;

线面问题:立体的棱线与另一立体表面的交点dfescbad

e

f

s

c

a

b

DFECABS3625412

5

3

6

1

4

ⅢⅠⅡⅣⅤⅥ[例题1]已知三棱柱与三棱锥SABC相交，求相贯线。8.2平面立体与曲线立体相贯相贯线:空间曲线求解实质:截交线问题:平面立体的棱面与曲面立体的截交线求解关键:分析棱面与曲面立体的相对位置,判断截交线的形状,找特殊点和一般点。[例题2]三棱柱与半球相贯，绘制相贯线的正面投影。（1）分析相贯线由3段圆弧组成;已知其水平投影，可利用表面取点法求共有点；（2）找出特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ；（3）求出2个一般点Ⅷ、Ⅸ；（4）光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；（5）整理轮廓线。PHQHTH35SH123'9'8'6'7'1'2'4'5'46789[例题3]求平面立体与曲面立体的相贯线按表面相交的多少分类：全贯：一曲面立体的表面素线完全参与穿透另一曲面立体互贯：两个曲面立体各有一部分表面互相相交一、

相贯线的类型按轴线相对位置分类：正贯：轴线垂直相交偏贯：轴线垂直交叉8.3两曲面立体的相贯二、作图步骤—求解实质：找共有点(1)空间分析：参加相贯的几何体分别是什么形体两个立体的相对位置两个立体相对投影面的位置判别是是那种相贯，并判别相贯线的形状特点及各投影的特点选择做图方法：表面取点法、辅助平面法(2)找特殊点（圆柱、圆锥表面的素线、球体的转向线）(3)找2个以上的一般点(4)依次连接各点(5)判断可见性相贯线所在的两曲面均可见时相贯线可见(6)整理轮廓线当曲面立体中有一个形体是圆柱，且立体表面投影具有积聚性时，表面上所有点的投影均在立体的积聚性投影上。表面取点法即是利用立体表面的积聚性投影求作相贯线上点的方法。三、求解方法:表面取点法1、适用条件2、作图步骤1）空间分析2）由积聚性找已知投影（特殊点）3）找一般点4）光滑连线5）判断可见性6)判断外形线及可见性，整理轮廓12[例题4]求两圆柱的相贯线3'(4')6'(8')5'(7')1''(2'')IIII4''3''5''(6'')7''(8'')4386571'2'内外分别求先求特殊点本例以圆弧近似代替相贯线[例题5]两圆柱筒相贯柱X柱圆柱相交的三种情况柱X孔孔X孔工程中常见的两圆柱正贯：两外表面内外表面两内表面四、相贯线的特殊情况特殊情况一：当两回转体共轴时，它们的相贯线是垂直于轴线的圆。特殊情况二：两个二次曲面公切于另一个二次曲面时