反比例函数的图象和性质课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

27.2

反比例函数的图象和性质

27.2.1反比例函数的图象和性质（1）1.经历画反比例函数的图象、归纳得到反比例函数的图象特征和性质的过程.(重点、难点)2.会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图象和性质.(重点)3.能够初步应用反比例函数的图象和性质解题.(重点、难点)回顾我们上一课的学习内容，你能写出200m自由泳比赛中，游泳所用的时间

t(s)和游泳速度

v(m/s)之间的数量关系吗？试一试，你能在坐标轴中画出这个函数的图象吗？探究1

画出反比例函数

与

的图象.提示：画函数的图象步骤一般分为：列表→描点→连线.

需要注意的是在反比例函数中自变量x不能为0.x…－6－5－4－3－2－1123456……………－1－1.2－1.5－2－3－66321.51.2－2－2.4－3－4－66432.42－12121解：列表如下：O－2描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点．56x4321123456－3－4－1－5－6－1－2－3－4－5－6连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得与

的图象．yO－256xy4321123456－3－4－1－5－6－1－2－3－4－5－6x增大y

减小

观察这两个函数图象，回答问题：思考：(1)每个函数图象分别位于哪些象限？(2)在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？(3)对于反比例函数(k＞0)，考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗？Oxy(2)当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，

在每一个象限内，y随x的增大而增大.归纳

反比例函数图象的特点2.对称性：中心对称(对称中心是原点)，

轴对称(对称轴是直线y=x

和直线y=-x

).1.反比例函数的图象是双曲线，其两支无限接近坐标轴，但永

远不与坐标轴相交.当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，

在每一个象限内，y随x的增大而减小；例1

下列图象中是反比例函数图象的是()CA

B

C

D例2

D点拨：k+1与图象所在象限的关系1.反比例函数

的图象大致是()CyA.xyoB.xoD.xyoC.xyo2.给出下列函数：①y=﹣3x+2；

②

；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条件“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大”的是（）A．①③

B．③④ C．②④

D．②③B反比例函数

的图象及性质画法描点法列表、描点、连线图象双曲线既是轴对称图形，又是

中心对称图形性质增减性、渐进性、对称性所在象限27.2.2

反比例函数的图象和性质（2）1.理解反比例函数的系数k的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中.(重点、难点)2.能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题.(重点、难点)3.体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想方法，进一步提高对反比例函数相关知识的综合运用能力.(重点、难点)

反比例函数的图象形状是什么？双曲线

当k>0时，两条曲线分别位于第一、三象限，在每个象

限内，y随x的增大而减小；当k<0时，两条曲线分别位于第二、四象限，在每个象限

内，y随x的增大而增大.问题1

问题2

反比例函数的性质与k有怎样的关系？已知反比例函数的图象经过点A(－2，4).(1)这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？解：反比例函数图象的位置只有两种可能：位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限.

因为点A(－2，4)在第二象限，所以这个函数的图象位于第

二、四象限.在每一个象限内，y随x的增大而增大.探究1

用待定系数法求反比例函数的解析式

归纳（1）用待定系数法求解析式，再根据

k判断图象性质（2）要判断所给的点是否在该图象上，可以将其坐标代入解析式中，若满足左边＝右边，则在；否则不在

D

解：因为这个函数的图象的一支位于第一象限，

所以另一支必位于第三象限.因为这个函数的图象位于第一、第三象限，所以

m－5＞0，解得m＞5.(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x1，y1)和点B(x2，y2).如果x1＞x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？解：因为m－5＞0，所以在这个函数图象的任意一支上，y都随x的增大而减小，因此当x1＞x2时，y1＜y2.

归纳比较x(y)大小或求x(y)的取值范围1.分类（讨论）：点在同分支或异分支2.方法：图象法（数形结合）和特殊值法

C点拨：点在同分支，特殊值法

例3如图，直线y=k1x+b与反比例函数

(x＞0)交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式

k1x+b

＞

的解集是_________．1＜x＜5OBAxy15点拨：数形结合S1探究3

k的几何意义（1）在反比例函数

的图象上分别取点

P，Q向x轴、y轴作垂线，围成面积分别为

S1，S2

的矩形，填写表格：51234－15xyOP

S2P(2，2)，Q(4，1)S1的值S2的值S1与S2的关系猜想S1，S2与k的关系

4

4S1=S2S1=S2=k－5－4－3－21432－3－2－4－5－1QS1的值S2的值S1与S2的关系猜想S1，S2与k的关系P(－1，4)，Q(－2，2)（2）若在反比例函数

中也用同样的方法分别取P，Q两点，填写表格：4

4S1=S2S1=S2=－kyxOPQS1

S2由前面的探究过程，可以猜想：若点

P是反比例函数

图象上的任意一点，过点

P作PA⊥x轴于点

A，PB⊥y轴于点

B，则矩形AOBP的面积与

k的关系是

S矩形AOBP=|k|.yxOPS我们就k<0的情况给出证明：设点P的坐标为(a，b).AB∵点P(a，b)在函数

的图象上，∴

，即ab=k.∴S矩形AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k；若点P

在第二象限，则a<0，b>0，若点P在第四象限，则a>0，b<0，∴S矩形AOBP=PB·PA=a·(－b)=－ab=－k.综上，S矩形AOBP=|k|.BPAS

点Q是其图象上的任意一点，过点

Q

作

QA⊥y轴于点

A，QB⊥x轴于点

B，则矩形

AOBQ

的面积与k的关系是

S矩形AOBQ

=.

推论：△QAO

和△QBO

的面积与k的关系是S△QAO

=

S△QBO

=

对于反比例函数，AB|k|yxO反比例函数的面积不变性Q

归纳

k的几何意义例4

如图所示，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C，D在x轴上，且BC//AD，四边形ABCD的面积为3，则这个反比例函数的解析式为_______________.

ABCDOExS四边形ABOE=S四边形ABCD=3|k|=3图象在第二象限k＜0，x＜0

y点拨：同底等高等积（数形结合），

注意x的取值范围

B点拨：数形结合，点在异分支2.函数y=kx－k与

的图象可能是()