广西百色高级中学2025-2026学年高一下学期期中自主检测练习数学试卷（含答案）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页广西百色高级中学2025-2026学年高一下学期期中自主检测练习数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知一个圆锥的底面半径为3，母线长，则该圆锥的表面积是（

）A． B． C． D．2．在中，，则（

）A． B．C． D．3．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形中对角线的长度为（

）A． B． C． D．54．已知复数为纯虚数，则的值为（

）A．或3 B． C．3 D．65．《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其上、下底面的周长分别为4，8，方亭的高为3，则方亭的体积为（

）A．10 B．9 C．8 D．76．已知，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．7．如图，为平行四边形所在平面外一点，为上一点，且，为上一点，当平面时，（

）A． B． C． D．8．已知为边长为的等边三角形，设点为边的中点，点在边上（包括端点），则的最小值等于（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知复数，则下列说法正确的是（

）A．的共轭复数的虚部是B．是方程的一个根C．D．表示的点在第一象限10．已知为空间中一点，，，为互不相同的直线，，，为互不相同的平面，则下列命题中正确的是（

）A．，或 B．若，，则C．， D．，11．在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为，且，则下列结论正确的是（

）A． B．C．当时， D．的取值可能是三、填空题12．某个班共有54名学生，其中男女生人数比为，现采用等比例分层随机抽样的方法从全班学生中抽取18人参加合唱比赛，则应抽取男同学________人.13．已知一个圆柱的底面半径为3，高为8，则该圆柱的外接球的表面积等于________.14．如图，正方体的棱长为4，点为棱的中点，点为线段上的一个动点，设直线与平面所成角为，则的最大值为________.四、解答题15．已知向量.(1)若，求；(2)若，求；(3)若，求.16．如图，在正三棱柱中，，为棱的中点.(1)证明：平面；(2)求异面直线与所成角的余弦值；(3)求三棱锥的体积.17．如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两个位置进行测量，，，，在同一平面内且与水平面垂直.在点测得，的俯角分别为，，在点测得，的俯角分别为，，同时测得.(1)求的长度；(2)求，之间的距离.18．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，平面.(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)求二面角所成角的余弦值.19．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.(1)求角；(2)若，的面积为，求；(3)若为锐角三角形，，求的取值范围.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《广西百色高级中学2025-2026学年高一下学期期中自主检测练习数学试卷》参考答案题号12345678910答案ABCBDBBAACDABC题号11答案BCD12．13．14．15．【详解】（1）当时，，则，所以.（2）因为，所以，又，所以，解得：.（3）因为，所以，又，所以，解得：.16．(1)取的中点，连接，由，得四边形为平行四边形，所以.由，，得四边形为平行四边形，所以.因为平面，平面，所以平面.同理可得，平面.因为平面，所以平面平面.又平面，所以平面；（2）由（1）知，所以为异面直线与所成的角，，，，所以，所以.所以，即异面直线与所成角的余弦值为.（3）三棱柱为正三棱柱，所以其体积为.三棱锥的体积.17．【详解】（1）在中，由题意可知，，所以．由正弦定理得，即．故的长度为．（2）在中，因为点测得的俯角为，所以，则．由正弦定理得，即．在中，，由余弦定理得=22+(32)2−2×2×32×218．(1)证明：因为，，所以，又平面，平面，所以，又，所以平面.(2)证明：因为，所以，又，所以在中，，所以，又平面，平面，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面.（3）由（2）平面，平面，所以，又，所以为二面角所成角，因为平面，平面，所以，在中，由，则，所以.19．【详解】（1）由正弦定理得，展开并整理得.结合余弦