《计算化学》-计算化学-第9章

第9章实验设计与优化化学是建立在实验科学的基础上的，任何一种新物质的合成或新方法的诞生，总是通过实验，并且往往通过很多次实验才获得最终的成功。任何实验工作者的基本目标就是有效地进行实验以及发展最优化方法。实验者总是希望从尽量少的实验数据中最大限度地提取有用信息，为此就必须进行实验设计与优化。科学的实验设计与优化是达到理想实验结果的基础。下一页返回9.1化学实验设计基础实验是研究者在各个研究领域进行的活动，目的在于发现关于一个特定过程或系统的某些事情。一个实验是一个试验。一个设计的实验是一个试验或一系列试验，它对一个过程或系统的输人变量作一些有目的的改变，以便能观察和识别引起输出变化的缘由。化学实验是通过观察被实验的化学体系对某种激励的响应，以获取体系的化学信息的过程。观察者、实验对象、激励源和体系对激励的响应是构成实验的四个基本要素。它们组成了由实验者创造并控制的实验环境，研究就是在这样的环境中对实验对象进行观察。实验因素分为两类：一类是完全由实验者控制的因素一实验因素；另一类是由被实验者控制的因素一类别因素。此外，某些不可控制的随机因素也可能对实验结果产生影响，但这种随机因素对实验结果的影响与实验因素相比通常是比较小的。对于酸和碳碳多重键的加成反应，温度、溶剂及酸的种类完全由实验者控制，而多重键的类型则为所研究物质的自身特性。因此，前者是实验因素，后者为类别因素。由实验获得的信息会丰富人们关于特定系统的知识。知识的更新有助于人们做出更有价值的决定。下一页返回9.1化学实验设计基础要想最大限度地提取关于系统的有用信息，就必须进行实验设计和优化。分析化学中分析方法的选择、反应条件的优化、光谱分析中波长的选择、色谱条件的选择以及化学合成过程都需要进行精心的实验设计。那么，什么是实验设计？实验设计是指在实验域（因素的取值区域）内，最有效地选择试验点，科学地安排试验，进而通过数据分析得到指标取得最优值的条件的一种方法，即研究如何设计试验条件使指标获得最优值。一个良好的实验设计应能以最小的试验工作回答所有有关研究对象的问题。换言之，实验设计会告诉我们如何安排实验最合理，怎样对实验结果去评价、检验，最终在科学研究和工业生产等诸多领域能够达到缩短时间、节约经费、提高效率，创造更大价值的目的。实验设计涉及实验对象的选择、因素及水平的研究、试验方案的安排等。上一页下一页返回9.1化学实验设计基础9.1.1试验指标实验设计中，衡量试验效果的物理量称为试验指标。指标的观察值是研究体系在激励源的作用下产生的响应。它可以是单一的指标，也可以是多个指标。实验设计按照指标个数多少可分为单指标实验设计和多指标实验设计。实验设计的目的是要使试验指标取得最优，这就要求指标具有可比性。实验设计中，总是将那些定性指标进行量化处理以数据表示。在最优化领域，指标则称为目标或目标函数。上一页下一页返回9.1化学实验设计基础9.1.2因素和水平影响试验指标取值的物理量称为因素；因素在试验中所处的状态或因素在试验中的取值称为因素水平。有几种状态就称有几个水平。如要考察温度对实验对象的影响，温度就是因素。要试验80^和100^两个温度的影响，则80和100即为温度这个因素的两个水平。所选因素的水平发生变化时，应引起试验指标的变化，否则认为该因素对指标没有影响，应从试验中刪除。如果所考虑的两个因素在试验中相互影响，即一因素水平的高低对另一因素水平对指标的贡献有影响，称两因素之间存在交互效应。根据影响指标的因素的多少，实验设计可以分为单因素实验设计和多因素实验设计。由于单因素具有简单、直观的优点，许多科学工作者习惯于用单因素试验的方法处理多因素问题，但是用这样的方法处理多因素问题往往不能发现因素之间的交互作用的影响，因此在许多情况下往往不能得到最优的因素水平。上一页下一页返回9.1化学实验设计基础9.1.3同时试验和序贯试验同时试验是指通过实验设计对有关因素水平进行规划后，同时进行诸因素各水平的试验("同时"的意义是指在多次试验中，先做或后做哪一次试验不会影响试验效果与实验进程〉，然后综合分析得到的试验结果，获得最优条件。而序贯实验则是每进行一次或少数几次试验后，先分析取得的试验结果，再根据这些结果规划下一次的试验，其试验次序是不能改变的，即按设定的顺序依次地进行，逐步向最优条件靠近。目前，广泛使用的正交实验设计、析因设计和均匀设计都是同时试验方法，而序贯试验的典型代表是单纯形优化法。上一页下一页返回9.1化学实验设计基础9.1.4试验最优化和解析最优化在多因素实验设计中，有多个因素影响指标的取值。当指标与各因素之间的函数关系已知时，寻求目标的最优值的实验设计和优化，可以用数学上求函数极值的方法得到，这就是最优化解析方法。在绝大多数化学实验设计中，目标与各因素之间的函数关系表达式是未知的。在这种情况下，就要通过大量的实验获得目标与因素之间关系的信息，以获取最佳的实验条件。通常有两种方法达到优化的目的。一是通过大量的试验构造一个函数来拟合这些数据，然后再用解析法求解这个拟合函数的最优解，同时进行试验验证。另一种方法是并不去寻求目标与因素之间的数学关系表达式，而仅通过一系列设计的试验，寻求使目标取得最优值的各因素的水平，这就是纯粹用实验方法的试验最优化，称之为"黑箱"方法。上一页下一页返回9.1化学实验设计基础9.1.5有效实验存在的条件一个有效的实验必须满足如下的条件。①实验必须有明确的目标：应事先明确地陈述要解决的问题，弄清有关实验目的的全部想法，如哪些因素对实验指标最有影响、因素在何区域使指标接近所期望的值、有影响的因素在何处使指标的变异性较小、因素在何水平时不可控制因素对指标的效应最小等，这有利于选取有关的设备7材料、实验环境和实验因素水平。②实验应提供实验误差的估计：通过实验误差，可对实验结果的重复性和稳定性做出评价。非控制因素或其他实验因素不能掩盖实验因素的作用，各种因素的作用可通过方差分析来估计。上一页下一页返回9.1化学实验设计基础③实验必须有足够的精度：只有满足一定精度的实验才能说明要研究的问题。因此，必须精心选择和设计实验单元，增加实验精度。④实验模式合理。⑤实验必须是无偏的：在任何情况下，实验所得的结果都必须是研究对象特性的无偏估计，否则所得结果无效，原因在于实验误差无法估计，无法确定置信水平。上一页下一页返回9.1化学实验设计基础9.1.6实验设计的基本原理

一个有效的实验必须用科学的方法来设计。实验设计必须遵循重复、随机化和区组化三个基本原理。所谓重复就是基本实验的重复进行。重复有两个重要的性质。一是它允许实验者得到实验误差的一个估计量。二是如果样本的均值用作实验中一个因素的效应的估计量，则重复允许实验者求得这一效应更为精确的估计量。随机化是实验设计使用统计方法的基石。所谓随机化，就是实验材料的分配和实验的各个试验进行的次序都是随机确定的。统计方法要求观察值是独立分布的随机变量。随机化使这一假设有效。把实验进行适当的随机化有助于消除外来因素对实验的影响。区组化是提高实验精度的一种方法。一个区组就是试验材料的一个部分，与实验材料全体相比，它们本身的性质更为相似。区组化涉及在每个区组内对感兴趣的实验条件进行比较。上一页下一页返回9.1化学实验设计基础9.1.7实验设计的步骤要设计一个有效的实验，就必须预先对研究的问题是什么、如何收集数据，有清楚的认识，因此一个实验设计一般遵循如下的步骤。①问题的识别和提出，也就是说必须明确实验的对象和目的。清晰地理解和提出问题对理解现象和最终求解问题是十分有利的。②因素和水平的选择，必须选择在实验中准备变化的因素、因素的变化范围及在实验中对这些因素规定水平。此外，还应考虑如何将这些因素控制在所希望的值上。重要的是，应研究所有可能的重要因素。当目的是因素筛选或过程特征化时，通常最好保持少的因素水平数目（一般为两个水平）。上一页下一页返回9.1化学实验设计基础③试验指标的选择，在选择试验指标时，应确信这一指标能真正体现研究过程。通常取量测特性的均值或标准偏差（或两者）为试验指标。④实验设计的选择，实验设计涉及考虑样本量（重复次数）、对试验选择合适的试验次序、确定是否划分区组等。在选择设计时，重要的是思想上总要想着实验的目的。在许多实验中，一开始人们就知道有些因素水平使指标得出不同的值。人们感兴趣的是哪些因素引起这种差异并估计指标改变量的大小。⑤进行实验，在进行实验时，谨慎监视实验过程以确保每件事情按计划做完是非常重要的。错误的实验方法会破坏实验的有效性。计划在先是成功的关键。在复杂的制造过程或研究开发环境中试验已设计好的实验，显得尤为重要。上一页下一页返回9.1化学实验设计基础⑥数据分析，应用统计方法分析数据可以得到客观的结果和结论。如果实验设计合理，并按设计实施，就可以应用Origin、Excel等软件包进行数据分析。⑦结论和建议，一旦对数据进行了分析，就必须写出有关实验结果的实践结论并推荐行动的路线。上一页下一页返回9.1化学实验设计基础贯穿整个过程，在思想上应牢记实验是学习过程的一个重要部分。在学习过程中，人们暂时提出了关于系统的假设，进行实验来研究这些假设，根据实验的结果又提出新的假设，如此等等。这表明实验是迭代式地逐步深化的。一种主要的错误是在研究一开始就去设计一个单一的、庞大的、内容广泛的实验。一个成功的实验需要重要因素的知识、这些因素可能变化的范围、使用合适的水平个数以及这些变量的合适的度量单位。人们不可能完全了解这些问题的答案。当一个实验规划进行时，常会抛弃一些不重要的因素，而加进其他一些因素、改变因素的变化范围或加进新的试验指标。因此，通常序贯地进行试验，作为一般法则，在第一次试验中，投入的可用资源不要超过25%。本章我们主要讨论化学设计中常用的和基本的正交实验设计、析因实验设计、均匀实验设计、单纯形实验设计及响应界面法等实验设计方法。上一页返回9.2正交实验设计正交实验设计是目前最常用的处理多因素多水平的实验设计方法，是以拉丁方(LatinSquare)和群论为基础，用正交表来安排多因素试验的方法。9.2.1正交表正交表是一种数学矩阵，记作L表示正交表的代号,来源于拉丁方，表示拉丁表（18世纪欧洲普鲁士皇帝威廉二世为了设计与众不同的阅兵式，请数学家欧拉帮忙，用拉丁方组织了按兵种军衔均衡排列的方队。当时拉丁方中的元素为拉丁字母，这就是拉丁方的起源）；n表示试验的总次数tj(j=1,2,…,m)代表第j列由因素j的tj个水平组成。如果所有的tj相等，则记作Ln(tm)，称为t水平正交；如果有两列水平数不等，则称为混合型正交表。如L8(27)称作7因素2水平8次试验正交表，见表9.1。常用的正交表可在一般统计手册上查到。用正交表安排试验可以从较少的试验次数中最大限度地获取有关主效应及交互效应的信息。下一页返回9.2正交实验设计9.2.2正交实验设计的一般步骤在正交实验设计中，各因素水平的安排因其正交表的搭配均衡性而具有均衡分散性和整齐可比性的特征，通过正交实验设计而确定的最佳实验条件，即使不是全面试验中的最佳条件，也是相当好的条件，正交实验属于最优实验设计。用正交表安排试验的一般步骤如下：①确定指标或目标函数，挑因素，选水平，绘制因素水平表；②根据因素水平表，选择合适的正交表，并正确安排试验方案；③进行试验，获得试验指标，对试验结果进行分析，确定最佳条件。若最优条件不在正交表中或属于因素范围的边界时，应补充试验。因素水平较多时，可以做趋势图，分析是否还有更好的条件，如果有，也应补充试验。下面举例说明其具体实施步骤,并讨论有关问题。上一页下一页返回9.2正交实验设计【例9.1】设有一化学反应，需要考察2个试验条件(因素)的影响:反应物1(因素A)和反应物2(B)的投入量，反应温度C、反应时间D，并设各条件均为2个水平。请以正交实验设计安排试验并进行结果分析。解:(1)构造因素水平表指标或目标函数取化学反应中生成物的产率，且产率越高，指标越优。根据初步化学试验，选定了因素和水平，由此构造的因素水平表见表9.2。(2)选择正交表，设计试验方案并试验选择L8(27)正交表，将所考察的4个因素按表头设计分别排列在正交表的1,2,4,7列上，第3,5,6列留作进一步考察因素间的交互效应，试验方案与所得试验结果即指标(产率)见表9.3。上一页下一页返回9.2正交实验设计(3)对试验结果进行直观分析，确定最佳条件先计算各个因素水平对指标的贡献。将各因素某个水平对应的产率相加即得该水平的效果(或对指标的贡献)，记为Ti比如因素或条件A的Ti=252.2，即是因素A的水平1的2个结果之和即56.5十78.9十57.2十61.8=252.2;又如h的第2个水平的效果卫的计算为57.2十61.8十69.9十92.3=281.2等。因为正交表的搭配均衡性，计算的Ti就代表了第i个水平的效果，因而通过比较某因素各个Ti的大小就可确定该因素的最佳水平。本例中最佳条件水平为A2B1C2D2。对照表可知这个条件对应的各因素水平不在试验方案之中，因此必须补做该最优条件下的试验以检查指标值是否确实最优。经补做实验后，得产物产率为95.4%，确实是最高的产率。如果补做实验后的结果并不是最优，此时首先应该检验各次试验是否有误，体系是否稳定等，因为正交试验结果分析的基础是每次试验都应当准确无误，否则会产生误差。因而，对于正交试验一般应做多次平行试验以保证结果分析的准确性和便于进行统计分析。上一页下一页返回9.2正交实验设计(4)趋势分析在因素水平较多的情况下可以作趋势图判断所选条件之外有无更好的条件。所谓趋势分析就是依据趋势图(因素水平为横坐标，该因素水平对指标的贡献为纵坐标所作的二维图)的走向决定在试验域外是否可能存在更好的条件。例如在图9.1中，图9.1(a)表可能存在更好的条件，而图9.1(b)则表示没有。上一页下一页返回9.2正交实验设计(5)交互效应分析上面分析了A,B,C,D这4个因素对结果的影响，它们分别来自正交表1,2,4,7列，表中3,5,6列可提供有关A，B，C，D四个因素间的交互效应的信息。比如第三列是A与B的交互效应列，第5列是A与C的交互效应列，而第6列是B和C的交互效应列。由T1和T2的结果分析可知，A与B之间存在一定的交互效应(极差为3.8)，而B与C,及A与C.不存在交互效应(极差为0)。A与B的交互效应可看成新因素(AXB)的4个水平，即(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)，按前述方法算得各水平对指标的贡献为135.4,119.0,182.4,162.2。因而因素A与B的最好搭配应是A2B1。原分析为A2B1C2D2是最佳条件，这证明原分析结果是正确的。如果这种搭配在方案中不存在，应再安排试验进行检验。上一页返回9.3析因实验设计为了在几个水平上研究几个因素而设计的实验称为析因实验设计(FactorialDesign,FD)。析因实验设计不仅要研究各因素水平对指标的影响，还强调分析各因素对指标的作用。析因实验设计是将各因素的全部水平按一定的规则相互组合进行试验，以考察各因素主效应以及因素之间的交互效应的优化实验设计方法。即按照析因设计表设计实验方案，通过分析实验指标的变化来决定各因素的主效应以及各因素间的交互效应。下一页返回9.3析因实验设计9.3.1析因设计表m个试验因素，安排n次试验的两水平析因实验设计写作其中，2表示因素的两个水平，n=2m。如果以“-”表示因素的低水平，而以“＋”表示因素的高水平，则二因素二水平析因设计表FD4(22)见表9.4。表中第一列是实验序号。第二列是为了分析各因素对指标的平均影响而设计的的，都以“＋”高水平表示，记为I。第三列是第一个因素A，从“-”开始，以“-”与“＋”相间的方式排列。第四列是第二个因素B，试验安排以“--”与“＋＋”相间的方式排列，是在前一个水平上“加倍”后再以相同的方式排列。所有的二水平析因表都按照此规律编排。如果还有第三个上一页下一页返回9.3析因实验设计因素存在，则再“加倍”以“---”与“＋＋＋”相间的排列安排第三个因素的试验次序。第五列是两因素的交互效应列，其水平的安排遵守“乘法规则”。即交互效应列的水平是两因素在同一试验中水平的乘积，且有同号相乘得正，异号相乘得负。在运算中，把因素的两个水平“＋”与“-”看成“正”与“负”。依照上述的“相间加倍规则”和“乘法规则”，就可以推导出其他两水平析因表的试验设计方案。例如，对于FD8(23)析因设计表，应用上述两规则得出的各次试验中因素的水平取值，见表9.5。上一页下一页返回9.3析因实验设计9.3.2析因实验设计的一般步骤首先依据化学经验和初步试验，挑选影响因素，确定大致范围，决定因素的两个水平，构成因素水平表;然后选择合适的析因设计表，根据析因设计表安排试验并获得试验结果(指标);最后对指标进行试验，得出各因素的主效应和交互效应。下面举例说明其具体实施步骤，并讨论有关问题。【例9.2】设有Lewis催化烷烃重排的反应。现考察催化剂与反应物浓度的比值(因素A)、反应温度(B)和反应时间(C)对该合成反应的影响，以找出更好的条件提高重排产率，请设计试验计算各因素主效应和交互效应。上一页下一页返回9.3析因实验设计解:①选择各因素的两水平，结果见表9.6。②选择FD8(23)安排8次试验，获得试验结果见表9.7。③分析各因素的主效应，即建立指标与因素间的关系模型。将析因设计表中各次试验结果表不成如下方程:式中，y表示8次试验中生成物产率构成的矢量;xj表示第j个因素在8次试验中的水平矢量;e表示误差矢量，以8次试验误差为兀索。该八元一次方程组中待求的8个参数dj(j=1,2,...,8)对应于表中从I一直到ABC各项的效应系数，其大小说明相应因素对指标的贡献大小。上一页下一页返回9.3析因实验设计将上式写成矩阵的形式如下。式中，xij表示第j个因素在第i次试验中的水平取值(“+1”或“—-1”);yi与ei分别表示第i次试验产物的产率和测量误差。以矩阵符号可将上式简记为上一页下一页返回9.3析因实验设计利用析因设计方案中X矩阵和试验结果Y矩阵，对式(9.2)两边同时左乘X的逆矩阵X—即可求得系数矩阵A的估计值:同时，逆矩阵与转置矩阵之间存在如下关系:即逆矩阵等于转置矩阵的试验次数分之一。故或上一页下一页返回9.3析因实验设计由此可得因素A的主效应为上一页下一页返回9.3析因实验设计可以看出，A因素的主效应对应于FD8(23)析因表中A因素所在列各次试验中的水平与相应产率乘积的代数和(考虑正负号)的平均值。同理Al一知B因素的主效应对应B所在列的水平与相应产率乘积的代数和的平均值,C因素的主效应对应C所在列的水平与相应产率乘积的代数和的平均值。即有由A,B,C的值可知，在这个催化重排反应中，反应时间对产率的影响最大，其次是反应温度和浓度比。上一页下一页返回9.3析因实验设计④分析因素间的交互效应，按计算主效应一样的方法计算交互效应的大小，即求因素交互效应所在列水平与指标乘积代数和的平均值，即上一页下一页返回9.3析因实验设计显然，A和C之间有较明显的交互效应，其他交互效应较小。同理，也可计算八个因素对指标的平均贡献，即由以上实例可知，析因试验计算各因素主效应及各因素间的交互效应大小的方法非常简单，只需将析因表各因素相应列的水平与相应实验结果相乘求代数和的平均值即可。值得注意的是，随着因素水平的增加，试验次数明显增多，因此析因设计方法只适用于因素和水平较少的实验。当必须应用较多因素及其水平的析因设计时，可以采用部分析因试验设计(FractionalFactorialDesign，FFD)。上一页返回9.4均匀实验设计均匀设计是我国数学家方开泰和王元等将数论用于实验设计，于1980年提出的实验设计方案，旨在寻求一种适用于多因素多水平而试验次数相对更少的实验设计方案。其基本思想是抛开正交设计中的“整齐可比”的特点，而只考虑试验点的“均匀分散”性，即使试验点在所考察的范围均匀分布。这也就是“均匀设计”的由来。下一页返回9.4均匀实验设计9.4.1均匀设计表均匀实验设计需要用规范化的表格安排试验，这种表格称为均匀设计表(Uniform，均匀表)。如果各因素的水平相等，则均匀表可记为其中，U指设计均匀表;n指试验次数;t为因素水平数;k为最多可安排的因素数。这里n=t，k=t-1，即试验次数与水平数相等。最多可安排的因素数比水平数少1。如U5(54)均匀表最多可安排4个因素，每个因素分成5个水平，做5次试验即口1。均匀表中，n,t全部为奇数，不包括偶数水平表，如4,6水平，这些水平的实验设计只保留比该水平大1的均匀表，然后划大最后一行即可。上一页下一页返回9.4均匀实验设计均匀实验设计的突出优点是试验的工作量很少，特别适用于水平较多时的实验安排。与正交表不同，为了保证不同因素、水平所设计的试验均匀分布，每个均匀表都带有一个使用表，指出不同因素应选择哪几列。这是由于均匀表中不同列的组合其试验点分布情况不同。如此安排试验使试验数据失去了整齐可比性，数据一般采用回归分析法处理。通常，为了减少误差和数据处理方便，水平数应大于因素数的两倍，按这个水平选取均匀表，并按表中的使用表选择列设计试验。上一页下一页返回9.4均匀实验设计9.4.2均匀实验设计首先挑选因素水平设计因素水平表，然后选择合适的均匀设计表及相应的使用表，设计好实验方案，最后进行结果分析。结果分析一般采用多元回归分析法。由于均匀表允许安排的因素水平较多，水平的间隔较小，研究因素的范围宽，试验点在整个试验区域的分布均匀，试验结果具有较好的代表性，因此也可以使用直观分析法。【例9.3】用均匀设计表[U13(1312)]安排实验，研究灰化温度Tc、灰化时间tc、原子化温度Ta、原子化时间ta对石墨炉原子化测定把吸光度A的影响，请找出最优条件，并进行分析。解:(1)设计实验方案这里仅考察4个因素，根据均匀表和使用表的要求，试验因素分别安排在1,6,8,10列上，并按试验安排进行试验，结果见表9.8。上一页下一页返回9.4均匀实验设计(2)直观分析观察表9.8的试验结果可知第3号试验吸光度最大，达到0.199，对应各因素水平即为最佳条件:(3)回归分析此处，先不考虑三次项与三因素之间的交互作用，因此设定指标函数的回归方程为上一页下一页返回9.4均匀实验设计以矩阵形式表示即为其中，新因素xixj记为

应用多元线性回归技术，则上一页下一页返回9.4均匀实验设计求得的回归系数bk(k=0,1,...,T)表不因素xk在其他因素不变的情况下，xk变化一个单位引起y值的变化。它的绝对值越大，表明该因素对y的影响越大。但是，回归系数绝对值的大小与因素的单位有关。因此，不同单位的各回归系数不能直接进行比较，必须将各回归系数标准化，求出标准回归系数b0k其中上一页下一页返回9.4均匀实验设计此时，回归系数b0与因素xk所用单位无关，b0k绝对值越大，该因素对y的影响越大。在本例中，即有14+1=15个待估计参数，但只有12次试验，显然不能满足最小二乘法的条件:为此，现不考虑交互效应，则T=8，仅有9个待估计参数，满足最小二乘法的条件，则可求得B，并得标准回归系数，见表9.9。上一页下一页返回9.4均匀实验设计由表9.9的数据可知，原子化温度影响最大，其次是灰化温度。根据所建立的回归方程可对最佳试验条件进行预测，将会归方程分别对各因素求一阶导数并令其等于零，可得于是，最优条件为这个条件与直观分析的结果不一致，所以应该再安排一次试验得出指标，并与计算值比较，如果小于或等于实验误差，则结束;否则，将该试验值加入分析数据，得到新的回归方程，再预测，再试验，直到达到要求。上一页返回9.5响应曲面法已知各次试验的数据称为响应。响应随因素变化的特性则称为响应曲面(ResponseSurface)。图9.2是一个二维响应界面或单元响应界面。如果存在N个因素，则存在一个(N十1)维响应界面。响应与因素间的关系称为响应函数。如果用y表示依赖于因素期,x1,x2,x3,...,xn的响应，则这个函数称为响应函数。响应函数是研究和预测引发一定现象的各种相互作用的关键。如特定化学反应产率与反应温度及反应物浓度间的关系、色谱分析中分辨率与流动相流速和柱温之间的关系，对这些关系的了解十分有助于人们以最少的试验获取最多的信息。在一定程度上可以通过使响应最大来达到这一目的。为发现使响应最大的因素和水平，有必要对响应界面进行研究。下一页返回9.5响应曲面法9.5.1形状已知的响应界面法假设要确定相邻两组分在液相色谱分析中分辨率R最大时流动相的流速f和组成流动相的A和B两组分的物质的量之比r。设这个方程既可由分析推理得出，也可能是通过对已知数据的最小二乘分析而得到的拟合响应界面。为求得R最大时的ropt和fopt，对上述响应函数取关于r和f的微分，并设上一页下一页返回9.5响应曲面法因此，rpot=1.0;fopt=2.0。条件最优时，响应的最佳值为Rmax=2.0.上述的情况是一种理想情况。实际上，在多数情况下，响应函数是末知的，对模型的估计也是很困难的。还应该注意的是响应界面是否为单峰形式。上一页下一页返回9.5响应曲面法9.5.2形状未知的响应界面法对于形状末知的响应界面，通常使用最速上升法，这种方法假设响应界面如图9.3所示。当远离最优点时，通常假设在一个小的区域范围内线性模型是真实曲线的近似描述。最速上升法是沿最速上升的路径，即响应由最大增量的方向逐步移动的方法。这样一来，沿路径的步长就与线性模型的回归系数有关，而实际步长的大小则依赖于试验者对所研究系统的了解。实验是沿最速上升的路径进行的，直到观察的响应不再增加为止。然后，拟合一个新的线性模型，确定一条新的最速上升路径，如此反复，直到达到最优点附近。在最优点附近，采用更为确切的模型，以得到最优点。上一页下一页返回9.5响应曲面法最速上升法的具体步骤如下。步骤一:初步试验，确立线性模型初步试验的目的在于确定线形模型的常数的估计值b0,b1,b2,...,bn和试验的随机误差。应用正交实验设计、析因实验设计、均匀实验设计等方法都是可行的。这里应用两水平析因实验设计来安排初始试验，见表9.10。此处对变量进行了重新标定，分别用+1.0和-1表示变量的小值、均值和大值由于只有两个变量:和f,所以线性拟合模型为上一页下一页返回9.5响应曲面法设b0,b1和b2分别为参数β0，β1和β2的估计值。它们的值按下列公式计算求得(计算b1和b2时不涉及设计的起点):于是上一页下一页返回9.5响应曲面法步骤二:线性模型适应性检验方法一，通过设计计算起点的分辨率与其他四点分辨率的均值的差异来检验。为了确认△R与零之间是否存在显著性差异，报道△R的值时应附带报出试验的误差(由重复试验确定)。方法二，估计参数间的相互作用(除起始点外)。报道此值时也应附带报出试验误差。此处，假设△R和βrf可以忽略不计，即线性模型是恰当的。如果响应界面在设计区域较大地偏离线性，则必须应用其他方法，最速上升法不再适用。上一页下一页返回9.5响应曲面法步骤三:最速上升路径的确定在设计区域，r每变化+1单位，f对应改变十b1/b2个单位。对表9.10中的数据，设计区域，的每+1单位等于变量空间+0.1单位，同样设计空间f的每+1单位等于变量空间+0.1单位。因此，在空间变量，一值每增加+0.1单位的变化，f值必然变化于是，又有下列的一系列试验(见表9.11)。上一页下一页返回9.5响应曲面法这样就可以得到R最大时此时，Rmax=1.99，与前面的结果基本一致。一般认为由最速上升法获得的最大点是全局最大，除非有证据表明响应界面存在数个最大点。上一页返回9.6序贯优化:单纯形法在优化的过程中，为了找到最合适的因素组合，我们可以分为同时(Simultaneous)及序贯(Sequential)两类优化方法。①同时方法，同时优化方法利用同时策略通过进行实验设计、构筑数学模型及响应曲面法(RSM)研究响应与因素的关系。通常RSM的目标在于从图上研究这种关系并得到相应的结果。如果希望找到最佳点，我们可以通过计算相对于独立因素的偏微商或在整个响应曲面上进行网格搜索。②序贯方法，优化的序贯策略基于一个初始的实验设计，然后在最陡梯度或下降的方向做进一步的顺序测量。这种方法虽然不能评估响应与因素间的定量关系，但是，搜索是沿着响应曲面上最佳的(不可见的)途径进行的。下一页返回9.6序贯优化:单纯形法两者的区别在于同时优化方法是基于响应面积的数学模型而序贯途径代表搜索方法。在响应曲面法中，响应由一个数学模型(响应曲面的虚线等高线)描述。在搜索方法中，响应沿着一个搜索途径，如单纯形途径，进行测量。在优化过程中，当每个因素彼此间独立改变，彼此间不相互作用时，基于单因素单时间(Single-factor-at-a-time)方法将能优化成功。图9.4(a)描述了一个包括曲线因素效应的响应曲面。如果我们开始改变因素2，保持因素1在标记(1)的位置，那么我们可在坐标(2)找到因素2的优化值。下一步，因素在标记(2)处保持不变，我们可以研究因素1并找到其优化值。上一页下一页返回9.6序贯优化:单纯形法然而，如果因素间有相互作用，则不能保证用单因素单时间方法找到最佳值。正如从图9.4(b)中可以看到，改变因素2将得到标记(2)的坐标，而此时因素1是固定不变的。在这种情况下将永远不能找到真正的最佳值，其结果位于次最佳值。原因是在图9.4(b)中隆线并不平行于因素的坐标轴，因此，因素1的改变对因素2不是独立的，必须同时考虑因素间的相互作用。最通用的序贯优化方法是基于Nelder和Mead提出的单纯形方法。单纯形是一个几何图形，其特征是具有比因素数多1的顶点数。因此，一维单纯形是直线，二维是三角形，三维是四面体，多维是超四面体。上一页下一页返回9.6序贯优化:单纯形法9.6.1固定步长单纯形法通过单纯形法沿着响应曲面找到最陡途径必须遵循一个算法，即设计一个初始单纯形，在初始顶点坐标条件进行试验，通过反射最差的响应顶点计算新的顶点。以固定长度的步长移动的单纯形称固定长度单纯形。算法按如下步骤进行(参见图9.5和表9.12)。①根据表9.12中给出的因素编码水平产生起始单纯形。②在起始单纯形顶点坐标进行试验