高等数学（下册第2版）课件 第十章 差分方程

e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、差分方程的概念一、差分的概念目录/Contents第一节差分与差分方程的概念三、常系数线性差分方程解的结构第十章差分方程1．差分的定义设函数中只对在非负整数值上有定义,在自变量依次取遍非负整数时,

即,,相应的函数值为或简记为.定义10.1当自变量从变到时,函数

的改变量

称为函数的一阶差分,一、差分的概念,即

记为【例1】解【例2】解所以常数的差分为零.设,求所以指数函数的差分等于指数函数乘上一个常数.一、差分的概念设（为常数）,求【例3】解【例4】解求设求设一、差分的概念【例5】求设当

在例5中,若（

为正整数）,则

当

则

,则

一般地,若

.解

,一、差分的概念根据一阶差分的定义,容易得到下述差分的性质：,(为常数),(为常数)一、差分的概念,(为常数)2．一阶差分的性质称为函数的二阶差分,同样,二阶差分的差分称为函数的三阶差分,记为

即依次类推,可得函数的

阶差分为

一、差分的概念3．高阶差分的定义当自变量从

变到

时,一阶差分的差分定义10.2即记为

【例7】

求

设

一、差分的概念解

,解

求

设

【例6】e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、差分方程的概念一、差分的概念目录/Contents第一节差分与差分方程的概念三、常系数线性差分方程解的结构由差分的定义及性质可知,差分方程的不同形式之间可以互相转例如,差分方程或或为同一方程的三种不同表达式.二、差分方程的概念含有未知函数差分或表示未知函数几个时期值的符号的方程称为定义10.3差分方程,其一般形式为:换,故上述三种不同的表达形式是等价的.例如,是一个三阶差分方程.虽然形式上含有三阶差分,但因为差分方程

是一个二阶差分方程.所以原方程等价于下面的二阶差分方程二、差分方程的概念差分方程中未知函数最大下标与最小下标的差数称为差分方程的阶.定义10.4满足差分方程的函数,称为差分方程的解.所含独立的任意常数的个数等于差分方程的阶数的解,称为差分方程的通解.差分方程附加的定解条件,称为差分方程的初始条件.通解中的任意常数被初始条件确定后的解称为差分方程的特解.验证函数

是二阶差分方程

的解,【例8】是解.因此,二、差分方程的概念由于解

定义10.5定义10.6定义10.7时的特解.并求当用得代入解得是满足的特解.所以二、差分方程的概念e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、差分方程的概念一、差分的概念目录/Contents第一节差分与差分方程的概念三、常系数线性差分方程解的结构如果未知函数及未知函数的各阶差分都是一次的,则称该方程为线性差分方程.其中,…,,为已知函数.称为

阶非齐次线性差分方程.若称为阶齐次线性差分方程.若若均为常数,则该方程称为常系数线性差分方程.三、常系数线性差分方程解的结构n

阶线性差分方程的一般形式为定义10.8称当阶常系数线性差分方程的一般形式为（10-2）

阶常系数齐次线性差分方程.为方程（10-1）所对应的为常数,且其中（10-1）,三、常系数线性差分方程解的结构阶常系数线性差分方程的解具有以下性质：则这个函数的线性组合也是齐次差分方程（10-2）的解,其中为任意常数.是齐次差分方程（10-2）的通解,其中为任意常数.三、常系数线性差分方程解的结构线性无关的特解,若函数均是齐次线性差分方程（10-2）的解,定理10.1若函数

均是齐次线性差分方程（10-2

）的

个定理10.2则它们的线性组合则非齐次线性差分方程（10-1）的通解为是其对应的齐次线性差分方程（10-2）的通解,的特解,的特解.三、常系数线性差分方程解的结构若是非齐次线性差分方程（10-1）的一个特解,定理10.3若函数

和

分别是非齐次线性差分方程定理10.4就是方程

则的通解.代入方程左端,得将所以

是方程

的解,三、常系数线性差分方程解的结构（为任意常数）是二阶差分方程【例9】验证又

中有两个任意常数,所以是方程的通解.解

e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C学海无涯,祝你成功！高等数学上海财经大学数学学院

编Advancedmathematics（下册）（第2版）e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、一阶常系数非齐次线性差分方程一、一阶常系数齐次线性差分方程目录/Contents第二节一阶常系数线性差分方程第十章差分方程一阶常系数线性差分方程的一般形式为称为一阶常系数非齐次线性差分方程；若所对应的一阶常系数齐次线性差分方程.其中且为常数，为已知函数.若称为方程则下面我们介绍一阶常系数线性差分方程的解法.第二节

一阶常系数线性差分方程

则依次可推出：已知，把方程

改写为显然

是方程

的一个特解.其中

为任意常数.

若记

，则齐次方程

的通解为

，

一、一阶常系数齐次线性差分方程1．迭代法由此可见，一阶常系数齐次线性差分方程的通解是指数函数型.由于方程

中是常数，且指数函数的差分仍为指数函数，因此设

是方程

的解，上述方程称为齐次方程

的特征方程，代入得

，即

.其根

称为特征根.于是是方程

的一个特解，

的通解.（C

为任意常数）是齐次方程因而一、一阶常系数齐次线性差分方程

2.特征根法一、一阶常系数齐次线性差分方程【例1】求差分方程的通解.解所给差分方程的特征方程为，其特征根为，于是，原方程的通解为，其中为任意常数.【例2】求差分方程满足初始条件的特解.解原方程改写为，其特征方程为，特征根为，于是，原方程的通解为，其中为任意常数.把初始条件代入通解，得，初始条件的特解为因此，原方程满足e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、一阶常系数非齐次线性差分方程一、一阶常系数齐次线性差分方程目录/Contents第二节一阶常系数线性差分方程二、一阶常系数非齐次线性差分方程若（），其中是的次多项式，即方程为由于相应齐次线性差分方程的通解的求法已经解决，下面讨论非齐次线性差分方程的特解的求法.当方程右端是特殊形式函数时，用待定系数法求其特解较为方便.当时，即.由定理10.3知，一阶非齐次线性差分方程的通解等于它相应齐次线性差分方程的通解与其一个特解之和.二、一阶常系数非齐次线性差分方程，即.因此，设，其中是某个多项式，将其代入方程，并消去，得我们知道，多项式函数与指数函数乘积的差分仍是同类型的函数，二、一阶常系数非齐次线性差分方程比较等式两端同次幂的系数使其相等，由于是一个次多项式，则为一个次待定多项式，①如果不是特征方程的根，即.令，其中为次待定多项式.把代入原方程，要使方程两端恒等，作为未知数的个方程的联立方程组.就得到含有从而可以定出这些，并得到所求的特解为二、一阶常系数非齐次线性差分方程代入原方程，用比较法来确定的系数，并得到所求的特解为.由于是次多项式，则是次多项式,②如果是特征方程的根，即，要使方程的两端恒等，令可设为其中是与已知多项式同次（次）的待定多项式，按非特征根、特征根，分别取为.综上所述，一阶常系数非齐次线性差分方程的特解，即二、一阶常系数非齐次线性差分方程【例3】求差分方程的通解.解原方程对应的齐次差分方程为，其特征方程为，特征根为，于是对应的齐次差分方程的通解为，其中为任意常数.由于这里为零次多项式，且不是特征根，故设原方程的一个特解为，将它代入原方程，得，于是原方程的一个特解为，所以，原方程的通解为，其中为任意常数.二、一阶常系数非齐次线性差分方程【例4】求差分方程的通解.解原方程即为，其对应的齐次差分方程为，特征方程为，特征根为，于是对应的齐次差分方程的通解为，其中为任意常数.由于这里为一次多项式，且不是特征根，故设原方程的一个特解为，

二、一阶常系数非齐次线性差分方程将它代入方程，得，即，比较上式两边同次幂的系数，得解之得，原方程的一个特解为于是，所以，原方程的通解为其中为任意常数.二、一阶常系数非齐次线性差分方程【例5】求差分方程的通解.解原方程对应的齐次差分方程为，其特征方程为，特征根为，于是对应的齐次差分方程的通解为，其中为任意常数.由于这里为二次多项式，且是特征根，故设原方程的特解为，二、一阶常系数非齐次线性差分方程将它代入原方程，得，即，比较上式两边同次幂的系数，得解之得，，.于是，原方程的一个特解为，所以，原方程的通解为，其中为任意常数.二、一阶常系数非齐次线性差分方程【例6】求差分方程的通解及满足初始条件的特解.解原方程对应的齐次差分方程为，其特征方程为，特征根为，于是对应的齐次差分方程的通解为，其中为任意常数.由于这里为零次多项式，且不是特征根，故设原方程的特解为，代入原方程，得，消去，得，于是原方程的一个特解为

，所以原方程的通解为把初始条件

代入通解，得

，其中

为任意常数.二、一阶常系数非齐次线性差分方程所以原差分方程满足初始条件的特解为e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C学海无涯,祝你成功！高等数学上海财经大学数学学院

编Advancedmathematics（下册）（第2版）e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、二阶常系数非齐次线性差分方程一、二阶常系数齐次线性差分方程目录/Contents第三节二阶常系数线性差分方程第十章差分方程一、二阶常系数齐次线性差分方程二阶常系数线性差分方程的一般形式为：，其中为已知函数，为常数，，且为未知函数.若则方程称为二阶常系数非齐次线性差分方程；若则方程，称为非齐次方程对应的二阶常齐次线系数性差分方程.下面介绍二阶常系数差分方程的解法.一、二阶常系数齐次线性差分方程对于二阶常系数齐次线性差分方程，（10-3）根据通解结构定理，要求它的通解，需找到其两个线性无关的特解.我们知道，一阶常系数齐次线性差分方程的通解是指数函数型，所以二阶常系数齐次线性差分方程的通解也是指数函数型.设为方程特解，代入方程，得，即称上式为的特征方程，一、二阶常系数齐次线性差分方程所以差分方程（10-3）的通解为，其中为任意常数.其根称为特征根.与二阶常系数齐次线性微分方程相似，根据特征根的三种不同情况，可以分别确定（10-3）的通解.（1）相异实根当时，有这时，得到差分方程（10-3）的两个线性无关的特解，，（2）相同实根当

时，有两个相等的实根

，这时，得到差分方程（10-3）的一个特解

，可以验证是差分方程（10-3）另一个与

线性无关的特解，所以差分方程（10-3）的通解为其中

为任意常数.

一、二阶常系数齐次线性差分方程（3）共轭复根当

时，有其中这时，可以验证差分方程（10-3）有两个线性无关的特解：其中所以差分方程（10-3）的通解为

，

一、二阶常系数齐次线性差分方程其中为任意常数.

第三步根据特征方程的两个根的不同情形，按照下综上所述，求解二阶常系数齐次线性差分方程（10-3）步骤如下：第二步求出特征方程的两个根

与

；第一步写出差分方程

一、二阶常系数齐次线性差分方程的问题就归结为求其对应的特征方程的特征值的问题.

的特征方程

；表写出常系数齐次线性差分方程（10-3）的通解.

特征方程

的根差分方程的通解两个不等的实根两个相等的实根一对共轭复根其中一、二阶常系数齐次线性差分方程【例1】求差分方程

的通解.

解

所给差分方程的特征方程为

，

因此，原方程的通解为

，一、二阶常系数齐次线性差分方程

它有两个相异实根为

，

，

其中

为任意常数.【例2】求差分方程

解

所给差分方程的特征方程为

，它有两个相等的实根为

，因此，原方程的通解为

，一、二阶常系数齐次线性差分方程

满足初始条件

，

的特解.

其中

为任意常数.

把初始条件，代入通解，得，，所以，原方程满足初始条件的特解为.一、二阶常系数齐次线性差分方程于是，，，因此，原方程的通解为，其中为任意常数.【例3】求差分方程的通解.解所给差分方程的特征方程为，它有一对共轭复根为，，，e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、二阶常系数非齐次线性差分方程一、二阶常系数齐次线性差分方程目录/Contents第三节二阶常系数线性差分方程第十章差分方程二、二阶常系数非齐次线性差分方程当时，即此时.(10-4)由于相应齐次线性差分方程的通解的求法已经解决，下面讨论非齐次线性差分方程的特解的求法.当方程右端是特殊形式函数时，用待定系数法求其特解较为方便.由定理10.3知，二阶非齐次线性差分方程的通解等于它相应齐次线性差分方程的通解与其一个特解之和.若（），其中是的次多项式，即方程为我们知道，多项式函数

与指数函数

乘积的差分仍是同类型的函数，因此，设

，其中

是某个多项式，

，二、二阶常系数非齐次线性差分方程(10-4)将其代入方程

，并消去

，得即

(10-5)二、二阶常系数非齐次线性差分方程就得到含有作为未知数的个方程的联立方程组.①如果不是特征方程的根，即则为一个次待定多项式，其中为次待定多项式.令(10-5)由于是一个次多项式，要使方程两端恒等，把(10-4)，代入原方程比较等式两端同次幂的系数,

从而可以定出这些

，得到所求的特解为可知

是

次多项式，则

是

次多项式,令要使方程的两端恒等，即

(10-5)②

如果

是特征方程

的单根，即

二、二阶常系数非齐次线性差分方程并得到所求的特解为

代入原方程(10-4），用比较法来确定

的系数可知

是

次多项式，则

是

次多项式,令要使方程的两端恒等，即

(10-5)③如果

是特征方程

的重根，即

二、二阶常系数非齐次线性差分方程并得到所求的特解为

代入原方程(10-4），用比较法来确定

的系数二、二阶常系数非齐次线性差分方程综上所述，二阶常系数非齐次线性差分方程的特解，可设为，其中是与已知多项式同次（次）的待定多项式，按非特征根、特征单根、特征重根，分别取为.二、二阶常系数非齐次线性差分方程【例4】求差分方程的通解.解原方程对应的齐次差分方程为，其特征方程为，它有两个相异的实根于是，对应的齐次差分方程的通解为，其中为任意常数.所以，原方程的通解为，其中为任意常数.由于这里为零次多项式，且不是特征根，故设原方程的一个特解为，将它代入原方程，得，于是，原方程的一个特解为，二、二阶常系数非齐次线性差分方程【例5】求差分方程的通解.解原方程对应的齐次差分方程为，其特征方程为，它有两个相异的实根于是，对应的齐次差分方程的通解为，其中为任意常数.由于，这里为一次多项式，且是特征单根，故设原方程的一个特解为，比较上式两边同次幂的系数，得

解得

于是原方程的一个特解为二、二阶常系数非齐次线性差分方程代入原方程，得，即，所以，原方程的通解为其中

为任意常数.二、二阶常系数非齐次线性差分方程【例6】写出差分方程的特解形式.解原方程对应的齐次差分方程为，其特征方程为，它有两个相异的实根，由于，这里为二次多项式，且是特征单根，故设原方程的一个特解形式为，其中为待定系数.二、二阶常系数非齐次线性差分方程【例7】求差分方程的通解.解原方程对应的齐次差分方程为，它有两个相同的实根其特征方程为，，于是，对应的齐次差分方程的通解为，其中为任意常数.由于，这里为零次多项式，且是特征重根，故设原方程的一个特解为于是，原方程的一个特解为

，即得所以，原方程的通解为其中

为任意常数.二、二阶常系数非齐次线性差分方程代入原方程，即，消去，得，e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C学海无涯,祝你成功！高等数学上海财经大学数学学院

编Advancedmathematics（下册）（第2版）e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents第四节差分方程的经济应用第十章差分方程第四节差分方程的经济应用这就是一笔本金存入银行后，年利率为，按年复利计息，年末的本利和.解由题意可知，即，用与微分方程完全类似的方法，可以建立经济学的差分方程的模型，下面举例说明它的应用.【例1】（存款模型）设是年末存款总额，年利率为，且初始存款为，按年复利计息，求年末的本利和.这是一个一阶常系数齐次线性差分方程，其特征方程为，特征根为，于是，齐次差分方程的通解为，将初始条件代入，得，故年末的本利和为.第四节差分方程的经济应用【例2】（教育经费筹措模型）设某家庭从现在着手，每月从工资中拿出一部分资金存入银行，用于投资子女的教育，并计划20年后开始从投资帐户中每月支取1000元，直到10年后子女大学毕业并用完全部资金，要实现这个投资目标，