第三讲 分式方程及其应用-【满分之路】备战2026年中考数学一轮复习（解析版）

模块二方程（组）与不等式（组）第三讲分式方程及其应用知识梳理夯实基础知识点1：分式方程的相关概念定义：中含有未知数的方程叫做分式方程。“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别。增根：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，使方程中的，这样的根叫方程的增根。基本思路去分母，化分式方程为整式方程。一般步骤①方程两边同时乘以各分式的，化为整式方程；②解整式方程；③检验，把整式方程的解代入最简公分母，看计算结果是否为0，若结果不为0，说明此解是原分式方程的解；若为0，则为增根，原分式方程无解。验根方法方法一：利用方程解的定义，直接代回原方程检验；方法二：把整式方程的解代入最简公分母，看计算结果是否为0。知识点2：解分式方程例：解：最简公分母：检验：当时，所以原分式方程的解为知识点3：分式方程的实际应用列分式方程解应用题的一般步骤审：审清题意，分清题中的已知量、未知量，搞清等量关系。设：设出未知数。列：根据题中的等量关系，列出分式方程。解：解分式方程验：既要检验所得的解是否适合分式方程，又要检验是否符合实际问题。答：完整作答（包括单位）常见模型及关系式行程问题基本关系式：常用关系式：（注意统一单位）；工程问题基本关系式：常用关系式：销售问题基本关系式：常用关系式：直击中考胜券在握1．（2021·广东广州·中考真题）方程的解为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解即得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：，移项合并得：，化系数为“1”得：，检验，当时，，∴是原分式方程的解．故选：D．【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．2．（2021·湖北大冶·八年级期末）解分式方程时，去分母后变形正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可作出判断．【详解】解：方程变形得去分母得：故选：【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，注意去分母时不要漏乘．3．（2021·四川成都·中考真题）分式方程的解为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接通分运算后，再去分母，将分式方程化为整式方程求解．【详解】解：，，，，解得：，检验：当时，，是分式方程的解，故选：A．【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是：去分母化为整式方程求解，最后需要对解进行检验．4．（2021·巴中中考）关于x的分式方程有解，则实数m应满足的条件是（）A．m＝﹣2 B．m≠﹣2 C．m＝2 D．m≠2【答案】B【分析】解分式方程得：即，由题意可知，即可得到.【详解】解：方程两边同时乘以得：，∴，∵分式方程有解，∴，∴，∴，∴，故选B.【点睛】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程有意义的条件是解题的关键.5．（2021·湖北十堰·中考真题）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】设现在每天生产x台，则原来可生产（x−50）台．根据现在生产400台机器的时间与原计划生产450台机器的时间少1天，列出方程即可．【详解】解：设现在每天生产x台，则原来可生产（x−50）台．依题意得：．故选：B．【点睛】此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在生产400台机器的时间与原计划生产450台机器的时间少1天”这一个条件，列出分式方程是解题关键．6．（2022·全国·九年级专题练习）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【答案】C【分析】先把分式方程化为整式方程，再把增根x=2代入整式方程，即可求解．【详解】解：，去分母得：，∵关于x的分式方程有增根，增根为：x=2，∴，即：m=2，故选C．【点睛】本题主要考查解分式方程以及分式方程的增根，把分式方程化为整式方程是解题的关键．7．（2021·安徽霍邱·七年级期末）已知关于x的分式方程的解满足2＜x＜5，则k的取值范围是（）A．﹣7＜k＜14 B．﹣7＜k＜14且k≠0 C．﹣14＜k＜7且k≠0 D．﹣14＜k＜7【答案】C【分析】先解分式方程，然后根据分式方程的解满足2＜x＜5和分式有意义的条件进行求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，∵分式方程的解满足2＜x＜5，∴，解得且，故选C．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解分式方程，分式方程的解，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．8．（2021·北京·九年级专题练习）定义运算“※”：，如果，那么的值为（）A．4 B．4或10 C．10 D．4或【答案】B【分析】根据定义，分x>5和x<5两种情况，列方程求出x的值即可得答案．【详解】解：∵5※，∴当时，5※，解得：，经检验：x=4是分式方程的解，当时，5※，解得：，经检验：x=10是分式方程的解，∴的值为4或10，故选：．【点睛】本题考查解分式方程，根据定义列出分式方程并检验是解题关键．9．（2021·海南·中考真题）分式方程的解是____．【答案】【分析】先将分式方程化为整式方程，再解方程即可得．【详解】解：，方程两边同乘以得，，解得，经检验，是原方程的解，故答案为：．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．10．（2021·湖北荆州·中考真题）若关于的方程的解是正数，则的取值范围为_____________．【答案】m＞-7且m≠-3【分析】先用含m的代数式表示x，再根据解为正数，列出关于m的不等式，求解即可．【详解】解：由，得：且x≠2，∵关于的方程的解是正数，∴且，解得：m＞-7且m≠-3，故答案是：m＞-7且m≠-3．【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，求出方程的解是解题的关键．11．（2021·辽宁本溪·中考真题）为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力，某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同学颁奖．在购买奖品时发现，A种奖品的单价比B种奖品的单价多10元，用300元购买A种奖品的数量与用240元购买B种奖品的数量相同．设B种奖品的单价是x元，则可列分式方程为________．【答案】【分析】设B种奖品的单价为x元，则A种奖品的单价为（x+10）元，利用数量=总价÷单价，结合用300元购买A种奖品的件数与用240元购买B种奖品的件数相同，即可得出关于x的分式方程．【详解】解：设B种奖品的单价为x元，则A种奖品的单价为（x+10）元，依题意得：，故答案为：【点睛】本题考查了根据实际问题列分式方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．12．（2021·四川达州·中考真题）若分式方程的解为整数，则整数___________．【答案】【分析】直接移项后通分合并同类项，化简、用来表示，再根据解为整数来确定的值．【详解】解：，整理得：若分式方程的解为整数，为整数，当时，解得：，经检验：成立；当时，解得：，经检验：分母为0没有意义，故舍去；综上:，故答案是：．【点睛】本题考查了分式方程，解题的关键是：化简分式方程，最终用来表示，再根据解为整数来确定的值，易错点，容易忽略对根的检验．13．（2021·山东·日照市田家炳实验中学一模）已知关于x的方程无解，则m的值是___．【答案】或1【分析】分方程有增根，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出m的值和方程没有增根两种情况进行讨论.【详解】解：①当方程有增根时方程两边都乘，得，∴最简公分母，解得，当时，故m的值是1，②当方程没有增根时方程两边都乘，得，解得，当分母为0时，此时方程也无解，∴此时，解得，∴综上所述，当或1时，方程无解.故答案为：或1.【点睛】本题考查了分式方程的的无解问题．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值④当方程吴增根时一定要考虑求得的方程的解分母为0的情况．14．（2021·江苏南京·中考真题）解方程．【答案】【分析】先将方程两边同时乘以，化为整式方程后解整式方程再检验即可．【详解】解：，，，，检验：将代入中得，，∴是该分式方程的解．【点睛】本题考查了分式方程的解法，解决本题的关键是牢记解分式方程的基本步骤，即要先将分式方程化为整式方程，再利用“去括号、移项、合并同类项、系数化为1”等方式解整式方程，最后不能忘记检验等．15．（2021·陕西·中考真题）解方程：．【答案】【分析】按照解分式方程的方法和步骤求解即可．【详解】解：去分母（两边都乘以），得，．去括号，得，，移项，得，．合并同类项，得，．系数化为1，得，．检验：把代入．∴是原方程的根．【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟知分式方程的解法步骤是解题的关键，尤其注意解分式方程必须检验．16．（2021·广东·深圳中学八年级期中）解方程：．【答案】【分析】先两边同时乘以去分母化为整式方程求解即可．【详解】解：去分母，得，去括号，得，整理，得，解得：，经检验，是原方程的解．【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键在于能够熟练掌握解分式方程的方法．17．（2021·云南·中考真题）“30天无理由退货”是营造我省“诚信旅游”良好环境，进一步提升旅游形象的创新举措．机场、车站、出租车、景区、手机短信……，“30天无理由退货”的提示随处可见，它已成为一张云南旅行的“安心卡”，极大地提高了旅游服务的品质．刚刚过去的“五·一”假期，旅游线路、住宿、餐饮、生活服务、购物等旅游消费的供给更加多元，同步的是云南旅游市场强劲复苏．某旅行社今年5月1日租用A、B两种客房一天，供当天使用．下面是有关信息：今天用2000元租到A客房的数量与用1600元租到B客房的数量相等．今天每间A客房的租金比每间B客房的租金多40元．请根据上述信息，分别求今年5月1日该旅行社租用的A、B两种客房每间客房的租金．【答案】租用的A种客房每间客房的租金为200元，B种客房每间客房的租金为160元．【分析】设租用的B种客房每间客房的租金为x元，根据用2000元租到A客房的数量与用1600元租到B客房的数量相等列出方程，解之即可．【详解】解：设租用的B种客房每间客房的租金为x元，则A种客房每间客房的租金为x+40元，由题意可得：，解得：，经检验：是原方程的解，160+40=200元，∴租用的A种客房每间客房的租金为200元，B种客房每间客房的租金为160元．【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系，列出方程．18．（2020·贵州黔南·中考真题）新冠肺炎疫情期间，某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙品牌消毒剂每瓶的价格比甲品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用400元购买乙品牌消毒剂的数量相同．(1)求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？(2)若该小区从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶，且总费用为1400元，求购买了多少瓶乙品牌消毒剂？【答案】（1）甲品牌消毒剂每瓶的价格为30元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为40元；（2）购买了20瓶乙品牌消毒剂【分析】（1）设甲品牌每瓶x元，则乙品牌每瓶3x-50元，根据题意列出方程，解出x即可；（2）设购买了乙品牌a瓶，则购买了甲品牌40-a瓶，，根据题意列出方程，解出a即可.【详解】（1）解：设甲品牌每瓶x元，则乙品牌每瓶3x-50元，根据题意得：，解得：x=30，则3x-50=3×30-50=40，则甲品牌消毒剂每瓶的价格为30元，乙品牌消毒剂每瓶的价格为40元；（2）设购买了乙品牌a瓶，则购买了甲品牌40-a瓶，根据题意得：，解得：a=20，则购买了20瓶乙品牌消毒剂.【点睛】本题是对分式方程运用的考查，准确根据题意列出方程是解决本题的关键.19．（2021·江西·中考真题）甲，乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件．（1）求这种商品的单价；（2）甲，乙两人第二次再去采购该商品时，单价比上次少了20元/件，甲购买商品的总价与上次相同，乙购买商品的数量与上次相同，则甲两次购买这种商品的平均单价是______元/件，乙两次购买这种商品的平均单价是______元/件．（3）生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，结合（2）的计算结果，建议按相同______加油更合算（填“金额”或“油量”）．【答案】（1）这种商品的单价为60元/件；（2）48,50；（3）金额【分析】（1）根据题意设这种商品的单价为元/件，通过甲乙之间购买的商品数量间的数量关系列分式方程进行求解即可；（2）利用两次购买总价÷两次购买总数量=平均单价，列式分别求出甲乙两次购买的平均单价即可；（3）对比（2）中的计算数