六升七 数学正比例函数课｜理解正比例关系

1生活中的“变与不变”——初识相关联的量演讲人CONTENTS生活中的“变与不变”——初识相关联的量从具体实例到抽象定义——正比例关系的本质正比例关系的判断与易错点辨析正比例关系的图像初探实际应用与课堂练习课堂小结与回顾目录六升七数学正比例函数课｜理解正比例关系各位同学，大家好。我是负责你们小升初数学衔接课程的张老师，在正式开讲前，我想先和大家聊一个大家都经历过的小事：上周我陪我家孩子去文具店买笔记本，他拿了3本，收银员阿姨收了15块；又多拿了2本，一共5本，收了25块。我当时就随口问他，你有没有发现这里面的规律？他说买的越多花的钱越多，每多买1本就多花5块。其实这个小事里，就藏着我们今天要学习的核心数学关系——正比例关系。接下来，我们就从这些生活里的常见场景出发，一步步把这个关系讲清楚、学明白。01生活中的“变与不变”——初识相关联的量1变量与常量的区分在正式讲正比例关系之前，我们得先搞清楚两个基础概念：变量和常量。1变量与常量的区分1.1什么是变量简单来说，在一个变化的过程中，数值会发生变化的量，就是变量。还是刚才的文具店例子，“购买笔记本的数量”就是一个变量：你可以买2本，也可以买7本，这个数值是可以变的；同时，“需要支付的总金额”也是变量，买3本花15块，买5本花25块，总金额跟着购买数量的变化而变化。再举个上学的例子：你每天骑车去学校，骑得快一点，10分钟就到了；骑得慢一点，15分钟才到，这里的“骑行速度”和“到校时间”就是两个变量，它们的数值都会随着你的骑行状态变化而变化。1变量与常量的区分1.2什么是常量和变量相对的，在整个变化过程中，数值始终保持不变的量，就是常量。还是文具店的例子，每本笔记本的售价是5块钱，不管你买1本还是10本，单价都不会变，这个单价就是常量。再比如刚才的上学场景，你家到学校的距离是固定的，不会因为你骑得快慢改变，所以“家到学校的距离”也是一个常量。2相关联的变量不知道大家有没有发现，刚才我们提到的变量之间，并不是毫无关系的：购买笔记本的数量变了，总金额也跟着变；骑行速度变了，到校时间也跟着变。我们把这种“一个量变化，另一个量也随着发生变化”的两个量，称为相关联的量。这是我们认识正比例关系的第一个前提：如果两个量根本没有关联，那肯定不可能是正比例关系。这里我要给大家举一个反例：比如你的身高和你买的笔记本数量，这两个量之间有没有关系？显然没有，你买1本笔记本的时候，身高不会变；买10本的时候，身高也不会跟着变，所以它们不是相关联的量，自然也就不可能成为正比例关系的两个量。02从具体实例到抽象定义——正比例关系的本质1整理生活中的实例数据为了更清楚地看到相关联变量之间的关系，我们可以把数据整理成表格，这样看起来更直观。还是以文具店买笔记本为例，假设每本笔记本的单价是5元，我们列出购买数量和总金额的对应关系：|购买数量x（本）|1|2|3|4|5||----------------|---|---|---|---|---||总金额y（元）|5|10|15|20|25|接下来我们计算一下每一组数据里，总金额和购买数量的比值（也就是y除以x）：当x=1时，y/x=5/1=5；x=2时，10/2=5；x=3时，15/3=5；x=4时，20/4=5；x=5时，25/5=5。大家发现了吗？不管购买数量怎么变，总金额和数量的比值始终是5，也就是固定不变的。1整理生活中的实例数据我们再换一个大家都熟悉的场景：一辆汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶的时间和行驶的路程之间的关系，我们也整理成表格：|行驶时间t（小时）|1|2|3|4|5||-------------------|---|---|---|---|---||行驶路程s（千米）|60|120|180|240|300|同样计算一下s/t的比值：60/1=60，120/2=60，180/3=60……不管行驶时间怎么变，路程和时间的比值始终是60，也就是汽车的行驶速度。2提炼正比例关系的共同特征现在我们把这两个实例的共同特点找出来，整理一下：第一，都有两个相关联的变量：一个是可以主动改变的量（比如购买数量、行驶时间），我们后面会把它叫做自变量；另一个是随着前者变化而变化的量（比如总金额、行驶路程），也就是因变量。第二，这两个变量的比值（也就是商）始终保持固定不变，不会随着其中一个量的变化而变化。第三，当其中一个变量取0的时候，另一个变量也取0：比如买0本笔记本，总金额是0；2提炼正比例关系的共同特征行驶0小时，路程是0，这也符合我们的生活常识。我们把具有这样特征的两个变量之间的关系，叫做正比例关系，这两个变量叫做成正比例的量。这里我要特别强调一下“比值固定”这个核心点，这是判断正比例关系的关键。很多同学容易把“和固定”或者“乘积固定”当成正比例，比如两个数的和是10，x+y=10，这时候x和y的比值不是固定的，比如x=1，y=9，比值是1/9；x=2，y=8，比值是1/4，所以它们不是正比例关系。再比如路程固定的时候，速度和时间的乘积是路程，也就是固定的，这时候它们的比值是变化的，所以也不是正比例关系，这个我们后面会再对比区分。3正比例关系的数学表达式既然我们找到了正比例关系的共同特征，我们就可以用一个通用的数学式子来表示它。假设两个成正比例的量分别是x和y，它们的固定比值是k（k是一个不为0的常量），那么我们就可以得到：$$\frac{y}{x}=k\quad(k≠0，且k为常数)$$把这个式子变形一下，就可以得到我们更熟悉的形式：$$y=kx\quad(k≠0，且k为常数)$$这里我要再解释一下为什么k不能等于0：如果k=0的话，那么y=0×x=0，不管x怎么变，y始终都是0，这两个量之间就没有变化的关系了，也就不能称之为相关联的变量了，所以k必须是不为0的常量。比如刚才的笔记本例子，k就是单价5元，所以y=5x，完全符合我们之前的表格数据。我在去年的衔接课上，有个学生问我，老师，如果我买0本笔记本，那总价是不是0？这个问题问得非常好，我们可以看看这个式子，当x=0的时候，y=5×0=0，确实符合这个情况，这也说明我们的式子是符合生活实际的。03正比例关系的判断与易错点辨析1正比例关系的判断步骤21根据我们刚才学到的内容，判断两个量是不是成正比例关系，我们可以按照以下三步来进行，这样就不会出错了：第三步：确认当其中一个量为0时，另一个量也为0，这个其实是第二步的推论，不过可以第一步：确认这两个量是相关联的量，也就是一个量变化，另一个量也跟着变化，如果两个量没有关联，直接排除；第二步：确认这两个量的比值（也就是y/x）始终保持固定不变，或者说可以写成y=kx（k≠0，常数）的形式；431正比例关系的判断步骤帮助我们快速排除一些错误情况。我们来举几个例子练习一下：例1：圆的周长C和半径r之间的关系，是不是正比例关系？首先，圆的周长C=2πr，当半径r变大的时候，周长C也会变大，它们是相关联的量；其次，C/r=2π，2π是一个固定的常数（π是圆周率，固定不变）；最后，当r=0时，C=0，符合条件。所以圆的周长和半径成正比例关系。例2：圆的面积S和半径r之间的关系，是不是正比例关系？圆的面积S=πr²，那么S/r=πr，这里的πr不是一个固定的常数，因为r在变化，所以S和r的比值会随着r的变大而变大，所以它们不是正比例关系。这里很多同学容易出错，要特别注意，圆的面积和半径的平方才是成正比例关系的，因为S/r²=π，是固定的常数。1正比例关系的判断步骤例3：人的身高和体重，是不是正比例关系？首先，身高变高的时候，体重通常会变重，但它们的比值并不是固定的，比如一个身高160cm的人体重50kg，比值是50/160≈0.3125；另一个身高170cm的人体重60kg，比值是60/170≈0.3529，两个比值不一样，所以它们不是正比例关系。2容易混淆的两种关系对比我们刚才提到了两种容易和正比例混淆的关系，这里给大家简单对比一下，方便大家区分：（1）和固定的关系：比如x+y=5（5是固定的和），这时候x和y的比值不是固定的，比如x=1，y=4，比值是1/4；x=2，y=3，比值是2/3，所以不是正比例关系；（2）乘积固定的关系：比如xy=5（5是固定的积），这时候y/x=y/(5/y)=y²/5，也是变化的，所以也不是正比例关系，这种关系我们称之为反比例关系，是你们升入初中后下学期会重点学习的内容，今天我们只要简单区分一下就好。3带“固定起步价”的场景辨析很多同学在做练习题的时候，会遇到带有起步价的场景，比如打车费：起步价8元，3公里以内都是8元，超过3公里的部分每公里2元，那么总车费和行驶里程是不是正比例关系？我们来算一下：当行驶里程x≤3公里时，总车费y=8元，这时候不管x是1公里还是3公里，y都是8，比值y/x不是固定的；当x>3公里时，y=8+2(x-3)=2x+2，这时候y/x=2+2/x，也不是固定的，所以总车费和行驶里程不是正比例关系。这里要特别注意，只有当没有固定的“起步价”或者“额外常数项”的时候，也就是y=kx的形式，才是正比例关系，如果有额外的常数项，比如y=kx+b（b≠0），那就不是正比例关系，只是一次函数关系，这个我们后面会学到。04正比例关系的图像初探1描点法绘制图像我们还是以笔记本的例子为例，y=5x，我们可以把每一组(x,y)的数据看成平面直角坐标系里的点：(1,5)、(2,10)、(3,15)、(4,20)、(5,25)，我们把这些点描在坐标系里，会发现这些点都在同一条直线上，而且这条直线经过原点(0,0)。我们再用汽车行驶的例子，y=60x，描点(1,60)、(2,120)……同样也会得到一条经过原点的直线。2正比例关系图像的特征通过上面的例子，我们可以总结出正比例关系的图像有两个核心特征：第一，正比例关系的图像是一条经过原点(0,0)的直线；第二，这条直线从原点出发，向右上方延伸，随着x的增大，y也随之增大，符合我们之前的生活常识。这里我要说明一下，如果我们把x取负数的话，比如x=-1，那么y=5×(-1)=-5，对应的点是(-1,-5)，这时候点会在第三象限，但在我们的生活场景里，x通常是正数（比如购买数量不能是负数，行驶时间不能是负数），所以我们平时画正比例关系的图像的时候，通常只画第一象限的部分。3图像的实际意义正比例关系的图像可以帮助我们更直观地看到两个变量之间的变化关系，比如我们看y=5x的图像，当x=2.5的时候，y=12.5，也就是买2.5本笔记本的话，总金额是12.5元，虽然在现实中不能买半本笔记本，但从数学的角度来说，这个点是存在的，这也体现了数学的抽象性和实用性。05实际应用与课堂练习1典型应用场景正比例关系在我们的生活中无处不在，我们来举几个常见的应用场景，让大家更熟悉这个知识点：（1）工程问题：如果工人的工作效率是固定的，那么工作总量和工作时间成正比例关系，比如一个工人每小时可以做10个零件，那么工作2小时做20个，工作3小时做30个，工作总量y=10x，x是工作时间，y是工作总量。（2）电费问题：如果电费的单价是每度0.5元，那么总电费和用电量成正比例关系，总电费y=0.5x，x是用电量（度），y是总电费（元）。（3）比例尺问题：在一张地图上，比例尺是1:1000，也就是图上距离1厘米代表实际距离1000厘米，那么图上距离和实际距离成正比例关系，实际距离y=1000x，x是图上距离，y是实际距离。2课堂练习接下来我们做几个练习题，巩固一下今天学到的内容：在右侧编辑区输入内容（2）正方形的边长和面积；在右侧编辑区输入内容练习1：判断下列各组量是不是成正比例关系，并说明理由：在右侧编辑区输入内容（3）匀速行驶的汽车的行驶路程和时间；在右侧编辑区输入内容（1）正方形的边长和周长；在右侧编辑区输入内容（4）人的年龄和身高。参考答案：（1）是，因为周长C=4a，C/a=4，固定不变，且二者是相关联的量；在右侧编辑区输入内容（2）不是，因为面积S=a²，S/a=a，随a的变化而变化，比值不固定；在右侧编辑区输入内容（3）是，因为路程s=vt，v固定，s/t=v，固定不变；在右侧编辑区输入内容2课堂练习（4）不是，因为年龄和身高的比值不是固定的，不同年龄段的身高增长速度不一样，比如青春期增长快，成年后基本不变。练习2：已知y和x成正比例关系，当x=3时，y=12，求当x=5时，y的值是多少？解题步骤：首先，y和x成正比例，所以y=kx，代入x=3，y=12，得到12=3k，解得k=4，所以y=4x，当x=5时，y=4×5=20。练习3：某商店售卖钢笔，每支钢笔的售价是8元，不打折，不设起步价，那么购买钢笔