复习讲义04 三角形（原卷版）

专题04三角形（期末复习讲义）内容导航明·期末考情把握命题趋势，明确备考路径记·必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区破·重难题型题型分类突破，方法技巧精讲题型01判断三边是否能构成三角形题型02三角形的稳定性题型03已知三角形的两边长，求第三边的取值范围题型04判断是否三角形的高线题型05根据三角形的中线求解题型06在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积题型07利用三角形的中线、高线、角平分线求解题型08利用全等三角形的性质求解题型09判断是否能使两三角形全等题型10与全等三角形有关的多结论问题题型11三角形全等的判定与性质题型12全等三角形中的动点综合问题过·分层验收阶梯实战演练，验收复习成效核心考点复习目标考情规律三角形的定义与基本概念理解三角形的定义，掌握“不在同一直线上、三条线段、首尾顺次相接”三个关键词，能正确用符号表示三角形基础必考点，常以选择题或填空题形式考查，易混淆的是顶点顺序与边角的对应关系，需注意“△ABC”的规范记法三角形内角和定理掌握三角形三个内角之和等于180°这一定理，能熟练运用该定理进行角度的计算与证明高频必考点，常出现在填空题和解答题的计算类小题中，常与角平分线、平行线等知识综合考查，注意与折叠问题结合时∠1+∠2=2∠A的结论模型三角形三边关系掌握“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，能运用这一关系判断三条线段能否构成三角形，并求第三边的取值范围基础必考点，常以选择题或填空题形式出现，易错点在于忽视三角形存在的条件（两边之和大于第三边）或弄混淆不等式方向直角三角形的性质掌握直角三角形的两个锐角互余的性质，能运用该性质进行直角三角形的角度计算基础考点，常以选择题、填空题形式出现，常与三角形的内角和定理结合考查，注意在Rt△ABC中∠A+∠B=90°三角形中的重要线段——中线、角平分线、高能准确画出三角形的三条中线、三条角平分线和三条高；理解三条中线交于重心且重心将中线分为2∶1的比例；掌握角平分线、高在解决角度和面积问题中的应用中档必考点，常以填空题、作图题或解答题形式出现，易错点在于忘记三角形的三条高（尤其钝角三角形的高在外部）以及忽略重心分中线的比例关系三角形的稳定性理解三角形的形状是固定不变的，这一性质叫三角形的稳定性；能区分三角形与四边形的稳定性差异，并了解其在生活中的应用基础概念题，常以选择题形式考查，易错点是误以为所有多边形都具有稳定性，注意四边形不具有稳定性全等三角形的概念与性质理解全等三角形的定义——“能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形”，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等的性质，并能正确写出对应顶点基础必考点，常出现在填空题和解答题的第一问中，易错点是判定全等三角形时，写错对应顶点全等三角形的判定——SSS、SAS、ASA、AAS理解并熟练掌握四种全等三角形判定方法：①三边分别相等（SSS）；②两边及其夹角分别相等（SAS）；③两角及其夹边分别相等（ASA）；④两角分别相等且其中一组等角的对边相等（AAS）期末必考点，常以大题形式呈现，是三角形部分的命题与推理核心，易错点是将“边边角”（SSA）误认为全等条件，以及辅助线的“截长补短”“倍长中线”方法利用三角形全等测距离能结合全等三角形的判定，构建全等三角形的几何模型来解决实际生活中的测距问题（如河宽、池塘宽度等）综合应用题型，常出现在解答题的最后一问中，侧重于将实际问题抽象成几何模型尺规作图——作三角形能结合全等三角形的判定条件（SSS、SAS、ASA），利用尺规作出一个与已知三角形全等的三角形，并保留作图痕迹、写出作法和结论实践必考题型，常以作图题形式出现，易错点在于作图后忘记检验三边关系是否符合三角形成立条件，以及尺规作图后忘记保留必要的作图痕迹知识点01三角形的概念与基本要素1.三角形的定义定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。表示方法：用符号“△”表示，如顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。基本要素：-边：三条边，如AB、BC、AC-角：三个内角，如∠A、∠B、∠C-顶点：三个顶点，如点A、点B、点C示例：如图，图中三角形的个数为________；以为边的三角形是_________________，以为一个内角的三角形是____________________．解：图中的三角形有、△ABE、△ABC、△ADE、、，共个；以为边的三角形有、△ABE、△ABC，以为一个内角的三角形是、△ACD、．易错点：1.忽略“不在同一直线上”：三条线段共线时不能构成三角形。2.符号表示顺序混乱：顶点字母应依序（顺时针或逆时针）书写。3.数三角形时遗漏：应按照一定顺序（如从小到大、按顶点）逐个数，避免重复或遗漏。知识点02三角形的内角和定理定理：三角形三个内角的和等于180°。证明方法：通过作平行线，将三个内角转化为一个平角。示例：在△ABC中，∠A=50°，∠B=70°，求∠C的度数。解：由三角形内角和定理，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=180°-50°-70°=60°。易错点：1.忘记内角和为180°：特别是在复杂图形中，容易忽略使用该定理。2.计算错误：加减法失误导致结果错误。3.与三角形外角定理混淆：三角形外角等于不相邻两个内角的和，不是等于内角和。知识点03三角形的分类1.按角分类类型定义图示特征锐角三角形三个内角都是锐角（<90°）三个角都小于90°直角三角形有一个内角是直角（=90°）有一个角为90°钝角三角形有一个内角是钝角（>90°）有一个角大于90°直角三角形性质：直角三角形的两个锐角互余（和为90°）。2.按边分类类型定义不等边三角形三条边都不相等等腰三角形至少有两条边相等等边三角形三条边都相等（特殊的等腰三角形）示例：已知三角形三个内角的度数之比为2:3:4，判断三角形的类型。解：设三个内角分别为2x、3x、4x，则2x+3x+4x=180°，9x=180°，x=20°。∴三个角为40°、60°、80°，均为锐角，∴是锐角三角形。易错点：1.直角三角形分类归属不清：直角三角形既按角分类，又可按边分类（如等腰直角三角形）。2.等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。3.混淆“互余”与“互补”：直角三角形两锐角互余（和为90°），不是互补（180°）。知识点04三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。用途：1.判断三条线段能否构成三角形。2.确定三角形第三边的取值范围。示例：以下列各组线段为边，能构成三角形的是（）A.7cm、5cm、12cm;B.6cm、8cm、15cmp;C.8cm、4cm、3cm;D.4cm、6cm、5cm解：只有D选项满足4+6>5、4+5>6、5+6>4，故选D。易错点：1.只验证一组和的关系：需要验证任意两边之和大于第三边，通常只需验证较小两边之和大于最大边。2.等腰三角形分类讨论忘验证：如两边长为2和5，若腰为2，则2+2<5不能构成三角形，只能腰为5。3.忽略差的关系：已知两边求第三边范围时，忘记“差小于第三边”。知识点05三角形的重要线段1.三角形的中线定义：连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。性质：-一条中线平分对边。-三条中线交于一点，交点叫做三角形的重心（在三角形内部）。-重心将中线分成2:1的两段（重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的2倍）。-一条中线将三角形分成面积相等的两个三角形。2.三角形的角平分线定义：三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。性质：-三条角平分线交于一点（在三角形内部）。-角平分线上的点到角两边的距离相等。3.三角形的高线定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。三条高的位置关系：三角形类型三条高的交点位置锐角三角形三角形内部直角三角形直角顶点处钝角三角形三角形外部示例：如图，△ABC中，，G为的中点，延长交于点E，F为边上一点，且于点H，下列说法错误的是（）A．是△ABD中边上的中线 B．是△ABE中的平分线C．△ACH中边上的高 D．是△ACF的角平分线和高解：∵G为的中点，∴，即是△ABD中边上的中线，故A选项正确，不符合题意；∵，∴是△ABE中的平分线，故B选项错误，符合题意；∵于点H，∴是△ACH中边上的高，故C选项正确，不符合题意；∵，，∴是△ACF的角平分线，是△ACF的高，故D选项正确，不符合题意．易错点：1.中线与中位线混淆：中线是顶点→对边中点，中位线是两边中点连线（八年级内容）。2.钝角三角形作高：钝角三角形的高可能在三角形外部，作高时需延长对边。3.重心性质记错：重心分中线比为2:1，不是1:1。4.画高时三角板摆放错误：三角板的一条直角边过顶点，另一条与对边（或延长线）重合。知识点06三角形的全等1.全等图形的概念定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。2.全等三角形的性质-对应边相等-对应角相等3.全等三角形的判定方法判定方法简记条件三边对应相等SSS三条边分别相等两边及其夹角对应相等SAS两边及夹角分别相等两角及其夹边对应相等ASA两角及夹边分别相等两角及其中一角的对边对应相等AAS两角及一对边分别相等注意：AAA（三角对应相等）只能判定相似，不能判定全等；SSA不能判定全等。示例：如图，点C、B、E、F在同一条直线上，，，．求证：．证明：∵，，∴，在△ABC和△DEF中，∵∴．易错点：1.判定方法选择错误：判定条件必须与判定定理严格对应。2.对应顶点混乱：全等三角形的对应顶点应写在对应位置，如△ABC≌△DEF，不能写成△ABC≌△DFE。3.隐含条件忽略：公共边、公共角、对顶角等隐含条件容易遗漏。4.SSA误用：两边及其中一边的对角对应相等不能判定全等。知识点07用尺规作三角形基本作图（北师大版七下内容）：1.已知三边作三角形（SSS）2.已知两边及其夹角作三角形（SAS）3.已知两角及其夹边作三角形（ASA）4.已知两角及其中一角的对边作三角形（AAS）5.已知底边及底边上的高作等腰三角形易错点：1.尺规作图步骤不规范：缺少必要的作图痕迹（如画弧的交点）。2.未保留作图痕迹：作图痕迹是得分点，不能擦掉。3.作三角形时忽略解的情况：有些条件（如两边及其中一边的对角）可能有两解或无解。知识点08利用三角形全等测距离原理：构造两个全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，测量不可直接测量的距离（如池塘宽度、河宽等）。常见方案：测量情境构造全等方法池塘宽度SAS（构造对顶角相等）河宽ASA（构造同位角相等）底部不可达的高度AAS或ASA示例：如图，要测量池塘两端A、B的距离，可以在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA；连接BC并延长到E，使CE=CB；连接DE。测量DE的长度就是AB的距离。请说明理由。解：在△ABC和△DEC中，CA=CD，∠ACB=∠DCE（对顶角相等），CB=CE，∴△ABC≌△DEC（SAS），∴AB=DE。易错点：1.实际问题转化为几何模型困难：找不到图中的全等三角形。2.方案依据描述不规范：需写出全等判定的依据（如SSS、SAS等），不能只说“看起来相等”。3.忽略题目中的隐含条件：如“直接到达”意味着连线无障碍，“同一水平面”意味着角度关系可确定。知识点09三角形全等证明的常用模型模型特征关键思路公共边模型两个三角形共用一条边公共边相等公共角模型两个三角形共用同一个角公共角相等对顶角模型两条直线相交对顶角相等旋转模型图形绕某点旋转对应边相等、对应角相等平行线模型有平行线内错角相等、同位角相等折叠模型沿某直线折叠折叠前后图形全等，对应边相等、对应角相等中点模型有线段中点中线倍长构造全等易错点：1.拿到证明题不知道从何入手：先看已知条件能推出哪些边角关系，再看结论需要什么。2.证明过程跳步：全等证明应按照“准备条件→列全等条件→得出结论”的顺序书写。3.直接写“由图可知”而不加以证明：几何证明必须逻辑严密，不能凭视觉直观。题型一判断三边是否能构成三角形解｜题｜技｜巧只需验证任意两边之和大于第三边，实际操作中取最小两边和与最大边比较即可，注意等于时无法构成，排除三点共线，单位统一后计算，避免遗漏或重复验证。【典例1】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）下列长度的线段能首尾相接构成三角形的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【典例2】（25-26八年级上·广东湛江·期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【变式1】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角形的是（

）A． B．C． D．【变式2】（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）下列每组数分别是三根小棒的长度，用它们能组成三角形的是（

）．A．，， B．，，C．，， D．，，题型二三角形的稳定性解｜题｜技｜巧三角形形状唯一固定，钢筋加斜撑即为此理；判断结构是否稳定看是否含三角形，四边形不稳需加对角线，实际应用如钢架桥、塔吊，利用此性质增强刚性与承重能力。【典例1】（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图，可以看到遮阳伞的结构主体是三角形，这主要是利用了三角形的（

）A．美观性 B．简洁性 C．耐用性 D．稳定性【典例2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，窗户打开后，用窗钩可将其固定，其所运用的几何原理是（

）A．三角形具有稳定性 B．对顶角相等C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短【变式1】（25-26八年级上·江西南昌·期末）南昌“八一大桥”是南昌最具象征意义的大桥，桥头堡的“八一”字样和红军雕塑凸显红色文化，北端有黑猫白猫雕塑（寓意“不管黑猫白猫，捉到老鼠就是好猫”），因为连接东湖区和红谷滩区，也是城市核心通道．如图．“八一大桥”采用斜拉设计的结构，使得桥梁更加稳固，其蕴含的数学道理是（

）A．三角形具有稳定性B．三角形的两边之和大于第三边C．直角三角形两锐角互余D．三角形内角和等于【变式2】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（

）A．太阳能热水器 B．伸缩门C．自行车三脚架 D．三角形支架题型三已知三角形的两边长，求第三边的取值范围解｜题｜技｜巧第三边大于两边之差且小于两边之和；即|a-b|＜c＜a+b，注意等号不能取，当题目隐含整数边时取中间整数，结合实际意义（如边长正数）确定最终范围。【典例1】（25-26八年级上·山东滨州·期末）若三角形中两条边的长分别为3、6，则第三条边长x的取值范围为_______．【典例2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）现有两根长度分别为和的木棒，若第三根木棒能与它们围成等腰三角形，则第三根木棒的长为______．【变式1】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）已知的三边长为，(1)若，求边长的取值范围；(2)化简．【变式2】（25-26八年级上·安徽亳州·期末）已知的三边长分别为，，．(1)若，，满足，试判断的形状；(2)若，，且为整数，求的周长的最大值．题型四判断是否三角形的高线解｜题｜技｜巧高线是从顶点向对边所在直线作垂线段，判断时看是否垂直且连接顶点与对边（或延长线）；锐角三角形高在内部，钝角三角形两条高在外部，注意区分与中线和角平分线。【典例1】（25-26八年级上·北京朝阳·期末）下面四个图中，线段是的高线的是（

）A．B．C．D．【典例2】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中交于点，交的延长线于点，交的延长线于点．下列线段中，边上的高是（

）A． B． C． D．【变式1】（25-26八年级上·浙江台州·期末）作的边上的高，其中直角三角板摆放正确的是（

）A． B． C． D．【变式2】（25-26八年级上·福建厦门·期末）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．以下图形均在正方形网格中，且各点均在格点上，则线段是的边上的高的是（

）A．B． C． D．题型五根据三角形的中线求解解｜题｜技｜巧中线平分对边，也平分面积；常构造全等或利用中点关系，倍长中线法可将分散条件集中，结合三角形三边关系或勾股定理，设未知数列方程求边长或角度。【典例1】（25-26八年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图，是的中线，点P在上，且，若，则的面积为_______．【典例2】（25-26八年级上·河南商丘·期末）如图，是的中线，，分别为，的中点，若的面积为6，则的面积是_____．【变式1】（25-26八年级上·河南安阳·期末）如图1，非遗传承人在制作三角形扎染布料时，用一根细绳从质地均匀的三角形布料上的点O处穿过，并将其悬挂起来，观察发现布料正好保持水平．如图2，取下布料后测得的面积为5，则的面积为_____．【变式2】（25-26八年级上·四川广安·期末）如图，为的中线，为的中线，为的中线，，按此规律，为的中线．（1）若，，则的周长与的周长相差_____．（2）若的面积为64，则的面积为_____．题型六在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积解｜题｜技｜巧中线找对边中点连线，高线作垂直利用格点构造直角三角形；求面积常用割补法、铅垂高法或网格面积公式，通过矩形减去周边三角形面积，避免直接计边长易出错。【典例1】（25-26八年级上·浙江温州·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．(1)在图①中画出的高线．(2)在图②的边上找到一点E，连接，使平分的面积．【典例2】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图是一个的正方形网格，点、、都在正方形网格的格点上．(1)的面积等于___________；(2)过点作线段（点为格点），使得；(3)在上取一点，画线段，使其长度表示点到的距离；(4)作点，使得点到、、、四点的距离之和最小．【变式1】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，在的正方形网格中，已知的顶点都在格点上，请根据下列要求利用网格作图并回答问题：(1)过点作直线的平行线；(2)过点作直线的垂线，垂足为点；(3)点到直线的距离是线段_________的长度；(4)的面积为____________．【变式2】（25-26七年级上·江苏连云港·期末）在如图所示的的方格纸中，每个小正方形的边长为，点A、B、C均为格点（格点是指每个小正方形的顶点）．(1)按下列要求画图：①标出格点，使，并画出直线；②标出格点，使，并画出直线；(2)计算的面积为；(3)若直线交于点，比较大小；线段线段（填“”，“”、“”），理由是．题型七利用三角形的中线、高线、角平分线求解解｜题｜技｜巧中线得中点与等面积，高线得垂直与直角三角形，角平分线得等角与到边等距；综合运用时，常作辅助线构造等腰或全等，设未知数利用勾股定理或等面积法列方程求解。【典例1】（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线．(1)若，，则与的周长差为________；(2)若，，求的大小．【典例2】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O．(1)若是中线，则，则与的周长差为___________，与的面积差为___________；(2)若，是的高，求的度数．【变式1】（25-26八年级上·山东日照·期末）在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点．(1)如图1，观察、测量、猜想、证明，，之间的数量关系，完善空格内容．小明是这样证明的：__________．__________．，__________．(2)如图，当点为中点时，试判断与的数量关系__________．(3)如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明．【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）发现与探究：三角形的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．(1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为：______（填、或）；(2)如图3，若三条中线、、交点为G，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理，．若设，，，猜想x，y，z之间的数量关系为：______；(3)如图3，被三条中线分成六个小三角形，点G为的重心，则______．题型八利用全等三角形的性质求解解｜题｜技｜巧全等对应边等、角等、周长面积等；先证全等再转移条件，将未知边角转化为已知，常结合等腰或平行线，通过等量代换建立关系，设未知数列方程求解，注意判定方法选择。【典例1】（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，，点在线段上，，则的度数为______．【典例2】（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，点在同一条直线上，，，则的长为___________．【变式1】（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，，，，如果点在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，若经过t秒后，与全等，则的值是______．【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，，，且点在线段上．(1)求的长；(2)求证：．题型九判断是否能使两三角形全等解｜题｜技｜巧检查已知条件是否符合SSS、SAS、ASA、AAS，注意边角对应位置，SAS中角必须是夹角，SSA不一定全等，可举反例排除，图形隐含公共边或对顶角。【典例1】（25-26八年级上·河南信阳·期末）根据下列已知条件，能唯一画出的是（）A． B．C． D．【典例2】（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）能判定的条件是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【变式1】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）根据下列已知条件，能确定的形状和大小的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【变式2】（25-26八年级上·江苏·期末）全等三角形的判定是几何证明的基础，下列各组条件中，不能判定的是（

）A． B．C． D．题型十与全等三角形有关的多结论问题解｜题｜技｜巧先证一组全等，再由全等推出边角关系，进而证其他全等；每个结论单独验证，注意顺序，从易到难，利用已得结论，避免循环论证，常需多次全等转换条件。【典例1】（25-26七年级下·全国·期末）如图，中，，是边的中线，平分，，与相交于点．下列结论一定成立的是（

）①与的面积相等；②；③；④A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④【典例2】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，是边上的高，．连接，交的延长线于点E，连接．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【变式1】（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，是的中线，E，F分别是，延长线上的点，连接，，且，有下列说法：①；②和面积相等；③；④；⑤.其中正确的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式2】（25-26八年级上·四川内江·期末）如图1，已知，D为的角平分线上一点，连接；如图2，已知，D、E为的角平分线上两点，连接；如图3，已知，D、E、F为的角平分线上三点，连接；…，依此类推，第n个图形中全等三角形的对数是（）A． B． C． D．题型十一三角形全等的判定与性质综合解｜题｜技｜巧先由边角条件判定全等，再应用性质得对应边角相等，从而转移条件证新关系；多次全等与等量代换是关键，常作辅助线构造全等三角形，注意隐含公共边或对顶角。【典例1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）【问题情境】如图，在四边形中，，，连接，点G在边上，连接并延长，交的延长线于点E，交于点F，连接，已知，．【问题探究】（1）请说明；【问题解决】（2）若，，求的长．【典例2】（25-26八年级上·全国·期末）（1）如图1，，点M，N分别在上，且，连接交于点D，求证：；（2）如图2，在中，于点M，点N在上，且，求证：；（3）如图3，在中，点E在边上，点F在线段上，且，连接．求证：．【变式1】（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，已知，点在直线上，连接．(1)如图1，当点在的延长线上时．①若，求证：；②若，求证：；(2)如图2，点在边上，于点．若，直接写出的长．【变式2】（25-26八年级上·山东聊城·期末）已知中，，过点作直线，点为直线上任意一点．(1)点为线段上的任意一点，点位于点的右边，连接交于点．如图1，若，，试探究与的位置关系，并证明你的结论；(2)若，连接，过点作，并使，连接交射线于点，过点作于点，若，，①如图2，点在点右边，求线段的长度；（用，表示）②若点在点左边，在图3中画出图形并直接写出线段的长度．（用，表示）题型十二全等三角形中的动点综合问题解｜题｜技｜巧设运动时间表示线段长，利用全等对应边相等列方程；注意分类讨论不同对应关系，多种运动方向与速度，排除重合点与超出范围，验证解是否在时间内成立。【典例1】（24-25七年级下·云南临沧·期末）如图，在中，，高、相交于点，，且．(1)请说明的理由；(2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动设点的运动时间为秒，当的面积为时，求的值；(3)在（2）的条件下，点是直线上的一点，且当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求的值．【典例2】（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．

(1)【观察发现】如图①，与的数量关系是；(2)【尝试探究】点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数；(3)【深入思考】如图②，若E为中点，探索与的数量关系．【变式1】（24-25八年级上·山东济宁·期末）四边形中，，，，分别是边，上的动点，且．(1)如图1，当，分别在线段，上时，①填空：若设，则之间的数量关系是______；②猜想之间的数量关系，并证明你的猜想；(2)如图2，当，分别运动到在线段，延长线上时，其它条件不变，（1）中②你的猜想是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数据关系，并证明．【变式2】（24-25七年级下·山东济南·期末）（1）【问题初探】某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型．已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明．（2）【内化迁移】在中，，，点D为射线上一动点（点D不与点B重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，．①如图3，当点D在线段上时，过点E作于F，求的长度；②如图4，连接，交直线于点M，点D在运动过程中，若，请直接写出的长．期末基础通关练（测试时间：10分钟）1．（25-26八年级上·山东烟台·期末）若一个三角形的三条边长分别为2，6，c，则c的长可以是（

）A．3 B．4 C．5 D．92．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，点E，F在上，，，增加下列一个条件：①；②；③；④，其中能判定的条件个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（25-26八年级上·山东日照·期末）一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间（如图所示），这一幕恰巧被数学老师看见了，