第1课时矩形及其性质课件2026-2027学年北师大版九年级数学上册

1.3矩形的性质与判定第1课时

矩形及其性质1.理解矩形的概念，会用矩形的性质解决简单问题.（重点）2.掌握直角三角形斜边上的中线的性质.（难点）观察下面图形,发现长方形在生活中无处不在.思考

长方形具有哪些特殊的性质？你还能举出其他的例子吗？用矩形纸片折一折,想一想:矩形也是特殊的平行四边形,矩形具有哪些特殊的性质？解:矩形具有的特殊性质:①矩形的四个角都是直角;②矩形的对角线相等.如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相交于点O.求证：（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°；（2）AC=DB.证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠CDA，∠BCD=∠DAB（矩形的对角相等），AB∥DC（矩形的对边平行）∴∠ABC+∠BCD=180°.又∵∠ABC=90°,∴∠BCD=90°.∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°.(2)∵四边形ABCD是矩形,ABCDO∴AB=DC(矩形的对边相等).在△ABC和△DCB中,∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB,∴△ABC≌△DCB.∴AC=DB.矩形的性质：几何语言描述：在矩形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AC=DB.矩形的四个角都是直角.矩形的对角线相等.例1

如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O，∠AOD=120°,AB=2.5,求这个矩形对角线的长.解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAB=90°(矩形的四个角都是直角),AC=BD(矩形的对角线相等),

∴OA=OD.∵∠AOD=120°,∴BD=2AB=2×2.5=5.

如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=4,求矩形对角线的长.

(1)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E,那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段?它与AC有什么大小关系?(2)由此你能得到的结论是

.

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明(2)问中得到的结论.(写出已知、求证,并进行证明)已知:如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BE为AC边上的中线.

证明:如图,过点A作AD∥BC,交BE的延长线于点D,连接CD.ABCED∵AD∥BC,∴∠EAD=∠ECB.∵E为AC的中点,∴AE=CE.又∵∠AED=∠CEB,∴△AED≌△CEB(ASA).∴BE=DE,AD=CB.又∵AD∥BC,∴四边形ABCD为平行四边形.又∵∠ABC=90°,∴▱ABCD为矩形.∴AC=BD.

ABCED☀归纳

直角三角形斜边上的中线的性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的

.

一半例2

如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的中线.(1)若∠ACD=25°,则∠B的度数是

;

(2)若CD=BC=2,则AC=

;

(3)若AC=8,BC=6,则△ACD的面积为

.

65°

12已知:如图,∠ABC=∠ADC=90°,M,N分别是AC,BD的中点.求证:MN⊥BD.证明:连接BM,DM.∵∠ABC=∠ADC=90°,M是AC的中点,

又∵N是BD的中点,∴MN⊥BD.☀方法总结

若已知直角三角形斜边的中点,常连接中点与直角顶点,构成直角三角形斜边上的中线,借助中线的性质解题.2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（）

A．AB∥DCB．AC=BD

C．AC⊥BDD．OA=OBABCDOC1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A.对角线相等B.对边相等

C.对角相等D.对角线互相平分A3.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_________.4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=54°,D是AB的中点,则∠BCD=

°.

365.如图，在矩形ABCD