简单的无偏性题目及答案

简单的无偏性题目及答案考试时间：120分钟 总分：100分 年级/班级：高一（1）班

简单的无偏性题目及答案

一、选择题

1.设X是总体X的一个样本，若E(X)=μ，则称X是总体X的______估计量。

A.无偏估计

B.有效估计

C.一致估计

D.相合估计

2.若X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，总体X的均值E(X)存在，则样本均值X̄=1/n∑Xi的期望E(X̄)等于______。

A.X1

B.X2

C.X̄

D.E(X)

3.设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，总体X的方差Var(X)存在，则样本方差S^2=1/(n-1)∑(Xi-X̄)^2的期望E(S^2)等于______。

A.Var(X)

B.2Var(X)

C.Var(X)/n

D.Var(X)/(n-1)

4.设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，总体X的均值E(X)存在，则样本中位数Mdn是总体X的______估计量。

A.无偏估计

B.有效估计

C.一致估计

D.相合估计

5.设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，总体X的均值E(X)存在，则样本众数Mo是总体X的______估计量。

A.无偏估计

B.有效估计

C.一致估计

D.相合估计

6.若X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，总体X的均值E(X)存在，则样本极差R=Xmax-Xmin的期望E(R)等于______。

A.Xmax

B.Xmin

C.E(X)

D.0

7.设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，总体X的均值E(X)存在，则样本平均差AD=1/n∑|Xi-X̄|的期望E(AD)等于______。

A.X̄

B.E(X)

C.0

D.Var(X)

8.设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，总体X的均值E(X)存在，则样本方差S^2的方差Var(S^2)等于______。

A.Var(X)

B.2Var(X)

C.Var(X)/n

D.Var(X)/(n-1)

9.设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，总体X的均值E(X)存在，则样本标准差S的方差Var(S)等于______。

A.S^2

B.2S^2

C.S^2/n

D.S^2/(n-1)

10.设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，总体X的均值E(X)存在，则样本变异系数CV=S/X̄的期望E(CV)等于______。

A.1

B.0

C.S/X̄

D.Var(X)/X̄

二、填空题

1.设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，总体X的均值E(X)存在，则样本均值X̄的无偏性是指E(X̄)=______。

2.设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，总体X的方差Var(X)存在，则样本方差S^2的无偏性是指E(S^2)=______。

3.设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，总体X的均值E(X)存在，则样本中位数Mdn的无偏性是指E(Mdn)=______。

4.设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，总体X的均值E(X)存在，则样本众数Mo的无偏性是指E(Mo)=______。

5.设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，总体X的均值E(X)存在，则样本极差R的无偏性是指E(R)=______。

6.设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，总体X的均值E(X)存在，则样本平均差AD的无偏性是指E(AD)=______。

7.设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，总体X的均值E(X)存在，则样本变异系数CV的无偏性是指E(CV)=______。

8.设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，总体X的均值E(X)存在，则样本方差S^2的一致性是指当n→∞时，S^2______。

9.设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，总体X的均值E(X)存在，则样本均值X̄的一致性是指当n→∞时，X̄______。

10.设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，总体X的均值E(X)存在，则样本中位数Mdn的一致性是指当n→∞时，Mdn______。

三、多选题

1.设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，总体X的均值E(X)存在，则下列哪些统计量是总体均值E(X)的无偏估计量？

A.样本均值X̄

B.样本中位数Mdn

C.样本众数Mo

D.样本极差R

2.设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，总体X的方差Var(X)存在，则下列哪些统计量是总体方差Var(X)的无偏估计量？

A.样本方差S^2

B.样本平均差AD^2

C.样本极差R^2

D.样本变异系数CV^2

3.设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，总体X的均值E(X)存在，则下列哪些统计量是总体均值E(X)的一致估计量？

A.样本均值X̄

B.样本中位数Mdn

C.样本众数Mo

D.样本极差R

4.设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，总体X的方差Var(X)存在，则下列哪些统计量是总体方差Var(X)的一致估计量？

A.样本方差S^2

B.样本平均差AD^2

C.样本极差R^2

D.样本变异系数CV^2

5.设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，总体X的均值E(X)存在，则下列哪些统计量是总体均值E(X)的有效估计量？

A.样本均值X̄

B.样本中位数Mdn

C.样本众数Mo

D.样本极差R

四、判断题

1.设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，总体X的均值E(X)存在，则样本均值X̄是总体均值E(X)的无偏估计量。

2.设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，总体X的方差Var(X)存在，则样本方差S^2是总体方差Var(X)的无偏估计量。

3.设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，总体X的均值E(X)存在，则样本中位数Mdn是总体均值E(X)的无偏估计量。

4.设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，总体X的均值E(X)存在，则样本众数Mo是总体均值E(X)的无偏估计量。

5.设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，总体X的均值E(X)存在，则样本极差R是总体均值E(X)的无偏估计量。

6.设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，总体X的均值E(X)存在，则样本平均差AD是总体均值E(X)的无偏估计量。

7.设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，总体X的均值E(X)存在，则样本变异系数CV是总体均值E(X)的无偏估计量。

8.设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，总体X的均值E(X)存在，则样本均值X̄是总体均值E(X)的一致估计量。

9.设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，总体X的方差Var(X)存在，则样本方差S^2是总体方差Var(X)的一致估计量。

10.设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，总体X的均值E(X)存在，则样本中位数Mdn是总体均值E(X)的一致估计量。

五、问答题

1.请解释什么是无偏估计量，并举例说明。

2.请比较样本均值X̄和样本中位数Mdn作为总体均值E(X)的估计量的优缺点。

3.请说明样本方差S^2作为总体方差Var(X)的估计量的无偏性和一致性。

试卷答案

一、选择题

1.A.无偏估计

解析：无偏估计量是指估计量的期望值等于被估计参数的估计量。样本均值X̄的期望E(X̄)=μ，符合无偏估计的定义。

2.D.E(X)

解析：根据大数定律，样本均值X̄的期望E(X̄)等于总体均值E(X)。

3.A.Var(X)

解析：样本方差S^2的期望E(S^2)=Var(X)，这是样本方差作为总体方差无偏估计量的性质。

4.A.无偏估计

解析：样本中位数Mdn作为总体均值E(X)的估计量，虽然在某些情况下可能不是无偏的，但在大样本情况下，Mdn可以作为E(X)的一个近似无偏估计量。

5.D.相合估计

解析：样本众数Mo作为总体均值E(X)的估计量，通常不是无偏的，也不是有效的，但它是一个相合估计量，即随着样本量n的增大，Mo收敛于E(X)。

6.D.0

解析：样本极差R=Xmax-Xmin的期望E(R)并不等于总体均值E(X)，而是受到样本最大值和最小值的影响，其期望值通常不等于0。

7.B.E(X)

解析：样本平均差AD=1/n∑|Xi-X̄|的期望E(AD)并不等于总体均值E(X)，而是受到样本各值与样本均值差的绝对值的影响。

8.A.Var(X)

解析：样本方差S^2的方差Var(S^2)并不等于总体方差Var(X)，而是受到样本量n和总体方差Var(X)的影响。

9.A.S^2

解析：样本标准差S的方差Var(S)并不等于样本方差S^2，而是受到样本量n和总体方差Var(X)的影响。

10.B.0

解析：样本变异系数CV=S/X̄的期望E(CV)并不等于1，也不等于S/X̄，而是受到样本标准差S和样本均值X̄的影响，其期望值通常不等于0。

二、填空题

1.E(X)

解析：样本均值X̄的无偏性是指E(X̄)=E(X)，即样本均值的期望值等于总体均值。

2.Var(X)

解析：样本方差S^2的无偏性是指E(S^2)=Var(X)，即样本方差的期望值等于总体方差。

3.E(X)

解析：样本中位数Mdn的无偏性是指E(Mdn)=E(X)，即样本中位数的期望值等于总体均值。

4.E(X)

解析：样本众数Mo的无偏性是指E(Mo)=E(X)，即样本众数的期望值等于总体均值。

5.0

解析：样本极差R的无偏性是指E(R)=0，但实际上样本极差的期望值并不等于0，而是受到样本最大值和最小值的影响。

6.0

解析：样本平均差AD的无偏性是指E(AD)=0，但实际上样本平均差的期望值并不等于0，而是受到样本各值与样本均值差的绝对值的影响。

7.0

解析：样本变异系数CV的无偏性是指E(CV)=0，但实际上样本变异系数的期望值并不等于0，而是受到样本标准差和样本均值的影响。

8.→Var(X)

解析：样本方差S^2的一致性是指当n→∞时，S^2→Var(X)，即随着样本量的增大，样本方差收敛于总体方差。

9.→E(X)

解析：样本均值X̄的一致性是指当n→∞时，X̄→E(X)，即随着样本量的增大，样本均值收敛于总体均值。

10.→E(X)

解析：样本中位数Mdn的一致性是指当n→∞时，Mdn→E(X)，即随着样本量的增大，样本中位数收敛于总体均值。

三、多选题

1.A.样本均值X̄

解析：样本均值X̄是总体均值E(X)的无偏估计量，因为E(X̄)=E(X)。

2.A.样本方差S^2

解析：样本方差S^2是总体方差Var(X)的无偏估计量，因为E(S^2)=Var(X)。

3.A.样本均值X̄

解析：样本均值X̄是总体均值E(X)的一致估计量，因为随着样本量的增大，X̄收敛于E(X)。

4.A.样本方差S^2

解析：样本方差S^2是总体方差Var(X)的一致估计量，因为随着样本量的增大，S^2收敛于Var(X)。

5.A.样本均值X̄

解析：样本均值X̄是总体均值E(X)的有效估计量，因为X̄具有最小的方差。

四、判断题

1.正确

解析：样本均值X̄的期望E(X̄)=μ，符合无偏估计的定义。

2.正确

解析：样本方差S^2的期望E(S^2)=Var(X)，符合无偏估计的定义。

3.错误

解析：样本中位数Mdn作为总体均值E(X)的估计量，虽然在某些情况下可能不是无偏的，但在大样本情况下，Mdn可以作为E(X)的一个近似无偏估计量。

4.错误

解析：样本众数Mo作为总体均值E(X)的估计量，通常不是无偏的，也不是有效的，但它是一个相合估计量，即随着样本量n的增大，Mo收敛于E(X)。

5.错误

解析：样本极差R=Xmax-Xmin的期望E(R)并不等于总体均值E(X)，而是受到样本最大值和最小值的影响。

6.错误

解析：样本平均差AD=1/n∑|Xi-X̄|的期望E(AD)并不等于总体均值E(X)，而是受到样本各值与样本均值差的绝对值的影响。

7.错误

解析：样本变异系数CV=S/X̄的期望E(CV)并不等于1，也不等于S/X̄，而是受到样本标准差S和样本均值X̄的影响，其期望值通常不等于0。

8.正确

解析：样本均值X̄是总体均值E(X)的一致估计量，因为随着样本量的增大，X̄收敛于E(X)。

9.正确

解析：样本方差S^2是总体方差Var(X)的一致估计量，因为随着样本量的增大，S^2收敛于Var(X)。

10.正确

解析：样本中位数Mdn是总体均值E(X)的一致估计量，因为随着样本量的增大，Mdn收敛于E(X)。

五、问答题

1.请解释什么是无偏估计量，并举例说明。

解析：无偏估计量是指估计量的期望值等于被估计参数的估计量。例如，样本均值X̄是总体均值μ的无偏估计