四年级奥数 等差数列求和一

亲爱的小朋友们，在数学的世界里，数列就像一串神奇的珍珠，串联起许多有趣的数字。今天我们要学习的是一种非常特殊也非常有用的数列——等差数列，以及如何巧妙地求出它们的和。掌握了这个本领，很多看似复杂的计算问题都会变得简单起来哦！一、什么是等差数列？我们先来认识一下什么是“等差数列”。请看下面这几个数列：1.1，2，3，4，5，6，7，8，9，102.2，4，6，8，10，123.5，10，15，20，25仔细观察一下，这些数列有什么共同的特点呢？对了！它们的每一项都在按照一个固定不变的差依次增加（或者减少）。这个固定不变的差，我们给它起个名字，叫做“公差”。像这样，从第二项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数（也就是公差）的数列，就叫做“等差数列”。比如第一个数列：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10。每相邻两个数的差都是1，所以它是等差数列，公差是1。第二个数列：2，4，6，8，10，12。每相邻两个数的差都是2，公差就是2。二、等差数列求和的奥秘知道了什么是等差数列，接下来我们就来探索如何求出一个等差数列中所有数的和。我们先从一个简单的例子入手：计算1+2+3+...+9+10的和。这个问题，据说著名的数学家高斯小时候很快就算出了答案。他是怎么算的呢？小高斯发现，这串数可以这样配对：1和10配成一对，和是1+10=112和9配成一对，和是2+9=113和8配成一对，和是3+8=114和7配成一对，和是4+7=115和6配成一对，和是5+6=11这样一共配成了多少对呢？10个数，两个数一对，所以是10÷2=5对。每一对的和都是11，那么总和就是11×5=55。三、总结公式高斯的方法真是太巧妙了！我们把这种方法叫做“配对求和法”。从这个方法中，我们可以总结出等差数列求和的一般公式：等差数列的和=(首项+末项)×项数÷2这里面有几个重要的概念：*首项：数列中的第一个数。*末项：数列中的最后一个数。*项数：数列中数的总个数。在上面的例子中，首项是1，末项是10，项数是10。所以，和=(1+10)×10÷2=11×10÷2=55，结果完全一致！四、学以致用——例题讲解掌握了公式，我们就可以解决更多的问题了。例题1：计算3+6+9+12+15+18的和。分析：首先，我们判断这是一个等差数列吗？6-3=3，9-6=3，12-9=3，...每相邻两个数的差都是3，所以是等差数列，公差为3。首项=3，末项=18。项数是多少呢？我们数一数，3，6，9，12，15，18，一共6个数，所以项数=6。解答：和=(首项+末项)×项数÷2=(3+18)×6÷2=21×6÷2=21×3（因为6÷2=3）=63例题2：一个等差数列的首项是5，末项是25，公差是5，这个数列的和是多少？分析：题目告诉了我们首项、末项和公差，但没有直接告诉我们项数。这可怎么办呢？别着急，我们可以先把这个数列写出来，就能知道项数了。首项是5，公差是5，所以数列是：5，10，15，20，25。数一数，项数是5。解答：和=(5+25)×5÷2=30×5÷2=150÷2=75五、小试牛刀——练习题好了，小朋友们，我们已经学习了等差数列求和的基本方法和公式。现在请你试着解决下面的问题，看看自己掌握得怎么样吧！1.计算1+3+5+7+9+11+13的和。2.计算10+20+30+...+80+90的和。（提示：先看看项数是多少）3.一个等差数列，首项是2，末项是20，项数是10，求这个数列的和。温馨提示在解决等差数列求和问题时，关键是要找准首项、末项和项数。有时候项数不会直接给出，需要我们通