湖南省娄底市2025-2026学年高一下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）（解析版）

湖南省娄底市2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷数学试题（解析版）题号12345678910答案CCBADCDCACACD题号11答案BCD1．C【分析】根据方差的性质计算可得.【详解】因为一组数据的方差为，所以数据的方差为.故选：C2．C【分析】根据分层抽样的方法可求抽取男生、女生的人数，即可求解.【详解】由题可知，选出的男生有人，则选出的女生有11人，所以男生比女生少选3人．故选：C.3．B【分析】由向量的加减法和数乘运算法则直接求解即可.【详解】，其中，故．故选：B．4．A【分析】利用频率和为1求参数，再估计身高低于170cm的人数.【详解】由图可得，得，所以估计这100名学生中身高低于170cm的人数为．故选：A5．D【分析】由正弦定理可得AD=6，由余弦定理得CD=6，由正弦定理得，即可求.【详解】如图，由题意，在中，∠DAB=60°，AB=6，，则为正三角形，则AD=6，在△ACD中，因为，∠CAD=30°，由余弦定理得，所以CD=6，故，此时灯塔C位于渔船的北偏东30°方向.故选：D.6．C【分析】根据复数的性质和判别式求解即可.【详解】因为关于x的实系数方程的两虚根为a，b，所以，即.因为，，所以，而，所以，两边平方得，解得.故选：C.7．D【分析】利用向量的线性运算与三点共线定理构建出关于x,y的关系式，结合基本不等式求出目标乘积的最值即可.【详解】因为，所以，所以，显然，又三点共线，所以，由基本不等式得，所以，当且仅当，即时，等号成立．所以的最大值为．8．C【分析】“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”,对下雨的次数进行分类讨论，求出各种情况下，两天都不淋雨的概率，再结合对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”，连续上两天班，上班、下班的次数共有次．（1）次均不下雨，概率为；（2）有次下雨但不淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为；（3）有2次下雨但不淋雨，共种情况：①同一天上下班均下雨；②两天上班时下雨，下班时不下雨；③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨，概率为；（4）有次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨，概率为；（5）次均下雨，概率为：；两天都不淋雨的概率为，所以至少有一天淋雨的概率为：，故选：C．9．AC【分析】对于A，由平均数和方差性质求出两组数据综合即可求解判断；对于B，由方差性质即可直接计算求解判断；对于C，由新数据的平均数和方差公式计算即可判断；对于D，由百分位数定义即可判断；【详解】数据的平均数为8，数据，对于A，由题，，，所以数据的平均数为，故A正确；对于B，由题乙组数据的方差为，故B错误；对于C，由题可得数据的平均数为8，所以数据的方差为，故C正确；对于D，因为，所以甲组数据的第25百分位数是第二大数据设为x，则乙组数据的第25百分位数是，甲组数据的第25百分位数小于乙组数据的第25百分位数的2倍，故D错误.故选：AC10．ACD【分析】由线面垂直的性质定理可判断A，由三棱锥的体积公式计算可判断B，由直棱锥的外接球半径计算方法可判断C，作出过，C，E三点确定截面，进而求得截面的周长判断D.【详解】对于A，∵，，，平面，平面，∴平面，又平面，∴，故A正确；对于B：三棱锥的体积，故B错误；对于C，设三棱锥的外接球的半径为R，的外接圆半径为r，，在中，由余弦定理得，，所以，则有，三棱锥的外接球的表面积为，故C正确.对于D，如图，过，C，E三点确定的平面与正方体相交形成的截面为等腰梯形（其中F为的中点，故等腰梯形的周长为，故D正确.故选：ACD.11．BCD【分析】利用正弦定理进行判断A选项与D选项，B选项利用余弦定理判断，C选项利用内切圆半径与三角形面积公式进行判断.【详解】设边分别为，则a=2.对于A选项：设外接圆半径为R，由正弦定理，所以外接圆的面积为，当，时，外接圆面积最小为；又因为时，，由面积为2，得到，bc=4；而与上式矛盾，故A错误.对于B选项：,则；由余弦定理a2=b得到，两边同除以，得到，令，则，，当且仅当时，时，最大且为，故B正确；对于C选项：由内切圆半径r的公式：，而，故r最大时，最小；当b=c时，最小，此时，所以，故C正确；对于D选项：由和，得到，则.，由正弦定理，得，即，，两边除以，得到,所以;由B为锐角，所以，，故D正确.故答案为：BCD.12．8【分析】应用基本不等式求积的最大值即可.【详解】因为x>0，，且，所以，故，当且仅当等号成立，所以的最大值为8.故答案为：813．【分析】先判断函数的单调性，根据奇偶性化简题目所给不等式，利用函数的单调性求得x的取值范围．【详解】当x1≠x2时，不妨设，根据已知条件得f(所以在上是减函数，又因为函数f(x)是定义在上的奇函数，所以，故等价于，所以，解得x>−1．故答案为：．14．/【分析】易得，以点为原点，建立平面直角坐标系，再利用平面向量数量积的坐标表示计算即可.【详解】由，，∠BAC=60°，所以，所以AB2+B如图，以点为原点，建立平面直角坐标系，则，设，则，故，，所以，当时，取得最小值154，所以的最小值为154.故答案为：15415．(1)(2).【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得，再根据平面向量基本定理即可得出结果；（2）设，取基底向量表示，再利用向量数量积即可计算作答.【详解】（1）∵，∵是边的中点，点是上靠近的四等分点，∴，在矩形中，，，∴，即，，则.（2）设，则，，，又，∴，解得，∴的长为.

16．(1)证明：取PB中点M，连接MF、AM，M、F分别为PB、PC的中点，，，点在上，，，且，四边形AEFM为平行四边形，，平面PAB，AM⊂平面PAB，平面PAB.(2)证明：，，，∵PA⊥平面，，，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，AM⊂平面PAB，，∵PA=AB，M为PB的中点，，，平面PBC，PB⊂平面PBC，平面PBC，，平面PBC.(3)证明：∵PA⊥平面，，，，，，，，，，，在同一个球面上，且，∴E为球心，球心在平面ABCD上.【分析】（1）取PB中点M，连接MF、AM，根据几何性质，可得四边形AEFM为平行四边形，进而可得，根据线面平行的判定定理，即可得证；（2）根据线面垂直的性质、判定定理，可证，结合等腰三角形性质，可证AM⊥平面PBC，即可得证；（3）根据题干条件，可分别计算PE、BE、CE、DE的长度，结合条件，即可得证.【详解】（1）略；（2）略；（3）略.17．(1)(2)(3)【分析】（1）分解向量得，，然后由向量的数量积即可求解；（2）分解向量得，由三点共线可设，根据三点共线求得的值即可进一步求解；（3）分解向量得，，结合，可得，从而所求可转换为关于λ的函数.【详解】（1）由题意，，所以；（2），若λ=12，则，因为三点共线，所以可设，由于三点共线，所以设，所以，解得，，所以；（3），则，,因为三点共线，所以可设，因为，所以，所以，即，所以，令，所以，由对勾函数性质可知，在上单调递增，故所求为.18．(1)89(2)．【分析】（1）根据对立事件的内涵进行求解即可.（2）分别求出在两轮比赛中，小张、小胡答对题目个数为的概率，然后概率之积求得结果.【详解】（1）记“小张在两轮比赛中至少答对1题”为事件，所以，即小张在两轮比赛中至少答对1题的概率为89．（2）记“小张在两轮比赛中答对题”为事件，“小胡在两轮比赛中答对题”为事件，“在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等”为事件，所以，，，，所以，即在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等的概率为．19．(1)不是；(2)；(3)证明见解析.【分析】（1）直接代入计算和即可；（2）法一：转化为在实数使得，分析得，再计算得，最后根据的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线y=t与该函数有两个交点，将用表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案；（3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出时解析式，再分析出，最后对的范围进行分类讨论即可.【详解】（1）（1），，则不是中的元素.（2）法一：因为，则存在实数使得，且，当x<0时，，其在上严格单调递增，当时，，其在上也严格单调递增，则，则，令，解得x=−2，则，则.法二：作出该函数图象，则由题意知直线y=t与该函数有两个交点，由图知0≤t<2，假设交点分别为，，联立方程组得（3）对任意，因为其是偶函数，则，而，所以，所以，因为，则，所以，所以，所以当时，，，则，，则，而，，则，则，所以当时，，而f(x)为偶函数，画出函数图象如下：其中，但其对应的值均未