湖南省常德市2025-2026学年高二下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）（解析版版）

湖南省常德市2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷数学试题（解析版）题号12345678910答案DCCADCAABDBC题号11答案AD1．D【详解】根据集合子集的计数性质，含有个元素的集合，其所有子集的总个数为，非空真子集是指既不是空集，也不等于原集合，因此需要从总子集数中排除空集、原集合共2个不符合要求的子集，所以该集合的非空真子集个数为．2．C【分析】由对应点坐标写出对应复数，再根据复数的定义得结论．【详解】复数在复平面上对应点的坐标为，则，实部为，虚部为3，模为，，正确的是C．3．C【分析】利用抛物线的定义即可求解.【详解】点在抛物线上，抛物线开口向右，，又点到抛物线焦点的距离为4，，.故选：C.4．A【分析】利用空间向量加减运算与数乘运算的几何表示即可得解.【详解】根据题意，.故选：A5．D【分析】根据题意，要使得爬行的距离最短，则需要向右爬3格，向前爬2格，向上爬1格，利用组合数的计算公式，即可求解.【详解】根据题意，一只蚂蚁从点出发，沿木棍爬行到点，要使得爬行的距离最短，则需要向右爬3格，向前爬2格，向上爬1格，共计6步，则爬行的路径共有：不同的路径.故选：D.6．C【分析】求出，根据回归直线必过样本中心点，代入求解即可.【详解】依题意，，，因为回归直线必过样本中心点，所以，解得.7．A【分析】令，利用导数可判断其单调性，从而可解不等式.【详解】设，则，故为上的增函数，而可化为即，故即，所以不等式的解集为，故选：A.8．A【分析】求导，由导数的几何意义求出切线方程，故，结合对数运算法则得到答案.【详解】由，可得，所以曲线在处的切线方程是，令得，所以.故选：A．9．BD【分析】根据已知条件所给的散点图，先分析得模型二的拟合效果更好，由此即可判断A、B两个选项，再将代入模型二的经验回归方程，即可判断C、D选项.【详解】根据散点图可知模型二的拟合效果更好，拟合效果越好决定系数越大，所以使用回归模型一拟合的决定系数小于使用回归模型二的决定系数，所以A错误，B正确；因为模型二的拟合效果好，预报更准确，根据已知：，，所以，将代入经验回归方程，有，所以C错误，D正确.故选：BD10．BC【分析】由直线过圆心计算判断A；求出最短弦长判断B；整理曲线方程，结合圆系方程判断C；由的垂直平分线确定圆心纵坐标，根据两圆方程求出直线方程，由直线过点D求解判断D.【详解】依题意，直线过定点，圆，即的圆心，半径，对于A，由圆关于直线对称，得直线过圆心，则，A错误；对于B，圆心到直线的距离的最大值为，直线被圆心所截弦长的最小值为，B正确；对于C，，直线，曲线的方程为，因此曲线是过直线与圆的交点的曲线方程，C正确；对于D，线段的垂直平分线，若四点共圆，设此圆的圆心为，圆的方程为，整理得，直线是圆和圆的交线，因此直线的方程为，而点在直线上，则，解得，于是直线的斜率为，即，D错误.故选：BC11．AD【分析】对于A，由面面垂直的性质可得平面，计算相关边长，利用边的关系可证；对于B，由题可知三棱锥是由两个直角三角形组成，且以为公共斜边，则为外接球直径，然后计算外接球体积可判断；对于C，根据等体积法可求；对于D，运用异面直线夹角的定义，设中点为F，则就是异面直线与所成角或其补角，利用余弦定理的推论即可求其余弦值.【详解】因为平面平面，平面平面，，所以平面，又平面，所以,，，，，，，又，，即，故A正确；，三棱锥是由两个直角三角形组成，且以为公共斜边，故三棱锥的外接球半径，体积，故B错误；平面,,，，，又，，点到平面的距离为，，即点到平面的距离为，故C错误；设中点为F，连接，分别为中点，，即就是异面直线与所成角或其补角，在中，，，故D正确；故选：AD.12．-2【分析】根据题意，由极限的性质可得的值，结合导数的定义分析可得答案．【详解】根据题意，由极限的性质可得＝，又由函数f（x）在x＝x0处的导数为-2，即＝-2，故＝-2.故答案为：-2【点睛】本题考查函数导数的定义，涉及极限的性质，属于基础题．13．【分析】先由分层抽样得出白球、红球个数，再把摸球看成排列问题，由排列组合以及古典概型公式求解即可.【详解】按照分层抽样方法，需要抽取6个白球，2个红球，若摸球4次停止，把摸球看成排列问题，总有种，最后一次摸红球，符合题意的有种，所以摸球次数为4的概率为.故答案为：.14．【分析】令，分离参数得，结合图像分析交点个数，得出的取值范围.【详解】由题意得，有且仅有一个根，且，所以在上有且仅有一个根，当，则，令且，则，所以在上单调递增，趋向于0时，趋向于1时，，所以；当，则，令，在上单调递减，且，趋向于时，，所以.综上，故答案为：.

15．(1)(2)【分析】（1）求导，然后根据导数的几何意义结合条件即得；（2）设曲线与曲线的公切点为，然后根据导数的几何意义可得切点，进而即得.【详解】（1），，.在点处的切线方程为：；（2）设曲线与曲线的公切点为，，，令，即，或（舍），，∴所求公切线方程：，即.16．(1)答案见解析(2)有关【分析】（1）由题意，通过加减，结合列联表，可得答案；（2）根据独立性检验的解题步骤，可得答案.【详解】（1）由题意，积极参加班级工作的学生人数为，故列联表如下：学习积极性对待班级工作的态度合计积极参加班级工作不太主动参加班级工作学习积极性高401050学习积极性一般203050合计6040100（2）零假设：学习积极性与对待班级工作态度无关．由（1）中列联表得．由小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学习积极性与对待班级工作的态度有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001．17．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）由余弦定理得，进而得出，由面面垂直的性质得平面，再由面面垂直的判定即可证明；（2）建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量公式求解即可；（3）由点到平面距离的向量公式求解即可．【详解】（1）证明：由，，，则，∴，则，又平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，故平面平面．（2）由，点为中点，得，因为，得，则，所以。则，以点为原点，以平面内垂直于的直线为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，由得，，取，得，，所以为平面的一个法向量，设二面角的大小为，则，因此，则二面角的正弦值为．（3）由（2）知，，平面的法向量，则点C到平面的距离．18．(1)(2)①；②证明见解析【分析】（1）设抛物线的标准方程为，根据点在抛物线上，求得，即可求得抛物线的标准方程；（2）①由，联立方程组得到和，利用弦长公式和点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式，即可求解；②联立方程组，得到，，设在第一象限，利用导数的几何意义，分别求得在和处的切线方程，联立方程组，求得，即可得到答案.【详解】（1）解：由题意，可设抛物线的标准方程为.，因为点在抛物线上，可得，解得，所以抛物线的标准方程为.（2）解：①当时，直线，联立方程组，整理得，方程的判别式，设，，则，，所以，又由到直线的距离，所以的面积；②联立方程组，整理得，设，，则且，，不妨设在第一象限，则在曲线上，则有，则在处的切线方程为，又由，可得在处的切线方程为，同理可得，点在曲线上，则有，则在处的切线方程为，且；所以在处的切线方程为，联立方程组，解得，所以点在定直线上.19．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据折叠图形的性质结合勾股定理逆定理得和，即可证得平面；（2）以点为坐标原点，、为轴和轴建立空间直角坐标系，由∥据题意得，进而得再求出平面的一个法向量的坐标，由直线与平面所成角的条件列式求出即可得点M的位置，从而，，，再利用棱锥的体积公式结合等体积法即可得解.【详解】（1）由题意得，，，所以，即，因为，所以，即，又平面，所以平面；（