2025-2026学年辽宁省沈阳市大东区八年级下册期中数学试题 含答案

/2025-2026学年辽宁省沈阳市大东区八年级下学期期中数学试卷一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分。1．（3分）下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．温州博物馆 B．西藏博物馆 C．广东博物馆 D．湖北博物馆2．（3分）若a＞b，则下列不等式不一定成立的是（）A．a+5＞b+5 B．3a＞3b C．1﹣5a＜1﹣5b D．3．（3分）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 B．x2﹣x﹣2＝x（x﹣1）﹣2 C．x2y＝x•x•y D．a2﹣3a＝a（a﹣3）4．（3分）到△ABC三个顶点距离相等的点是△ABC的（）A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条垂直平分线的交点5．（3分）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A．﹣x2+9y2 B．x2+9y2 C．x2﹣2y2+1 D．﹣x2﹣9y26．（3分）不等式组﹣3＜x≤1的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．7．（3分）下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．a＝3，b＝3，c＝4 B．a：b：c＝2：3：4 C．∠B＝50°，∠C＝80° D．∠A：∠B：∠C＝1：1：28．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置．若∠CAB′=25°，则∠CAC'的度数为（）

A．25° B．40° C．65° D．70°9．（3分）如图，直线y=kx+b（k≠0）经过点（-1，3），则不等式kx+b≥3的解集为（）

A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≥3 D．x≥﹣110．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）

①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC＝1：3．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11．（3分）如图，将△ABC沿BC方向平移2cm之后得到△DEF，若EC=5cm,则EF=cm．12．（3分）如图是一个长和宽分别为a、b的长方形，它的周长为14、面积为10，则a2b+ab2的值为．13．（3分）在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，△BCD为等边三角形，且AD=2，则四边形ABCD的周长为．14．（3分）已知不等式的解集是x＜2，则a的取值范围是．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP=1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ=90°时，AQ的长为．三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16．（11分）（1）因式分解：①x2y﹣2xy2+y3；②9（m+n）2﹣4（m﹣n）2；（2）解不等式组：．17．（8分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．求证：（1）AE＝AC；（2）直线AD是线段CE的垂直平分线．18．（8分）已知：如图一次函数y1=-x-2与y2=x-4的图象相交于点A．

（1）求点A的坐标；

（2）若一次函数y1=-x-2与y2=x-4的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积．

（3）结合图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围．

19．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．

（1）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1请画出△A1B1C1；（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，旋转中心的坐标为．20．（8分）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解2+4x﹣5＝x2+4x+（）2﹣（）2﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+5）（x﹣1）．∵（x+2）2≥0，∴当（x+2）2＝0时，原式有最小值，最小值为﹣9．根据以上材料，解答下列问题：（1）利用配方法分解因式：x2+2x﹣8；（2）求多项式x2+4x﹣2020的最小值；（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长．21．（10分）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进8个甲型头盔和6个乙型头盔需要630元，购进6个甲型头盔和8个乙型头盔需要700元．

（1）购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？

（2）若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，则最多可购进乙型头盔多少个？

（3）在（2）的条件下，若该商场分别以58元/个、98元/个的价格销售完甲，乙两种型号的头盔200个，能否实现利润不少于6190元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．

22．（10分）如图，在△ABC中，CO⊥AB于点O，BA=BC=3，AO=1．

（1）求CO的长；

（2）若点D是射线OB上的一个动点，过点D作DE⊥AC于点E．

①当点D在线段OB上时，若AO=AE，求OD的长；

②设直线DE交射线CB于点F，连接OF，若S△OBF：S△OCF＝1：4，求OD的长．23．（12分）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等．

【问题初探】

（1）如图1，在四边形ABCD中，AD=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，求出图中线段EF，AE，FC之间的数量关系．

①如图1，从条件出发：将△ADE绕着点D逆时针旋转90°到△CDM位置，根据“旋转的性质”分析CM与AE之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论．

【类比分析】

（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，∠EAF=45°，且BC=7，DC=13，CF=5，求BE的长．

【学以致用】

（3）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC与∠ADC互补，点E、F分别在射线CB、DC上，且∠EAF=∠BAD．当BC=4，DC=7，CF=1时，求出△CEF的周长．2025-2026学年辽宁省沈阳市大东区八年级（下）期中数学试卷答案与试题解析一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分。1．【正确答案】A解：A．既是中心对称图形，故此选项符合题意；B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：A．2．【正确答案】D解：∵a＞b，∴a+5＞b+5，∴选项A不符合题意；∵a＞b，∴3a＞3b，∴选项B不符合题意；∵a＞b，∴﹣5a＜﹣8b，∴1﹣5a＜7﹣5b，∴选项C不符合题意；∵a＞b，∴c＞0时，＞；c＝8时，、；c＜0时，＜，∴选项D符合题意．故选：D．3．【正确答案】D解：A．原式是整式的乘法，故本选项不符合题意；B．原式右边不是整式积的形式，故本选项不符合题意；C．原式不符合因式分解的定义；D．原式符合因式分解的定义，故本选项符合题意；故选：D．4．【正确答案】D解：△ABC的三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点．故选：D．5．【正确答案】A解：A．﹣x2+9y5是x与3y的平方的差，能用平方差公式分解因式，符合题意；B．x2+5y2两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，不符合题意；C．x2﹣3y2+1是三项，不能用平方差公式分解因式，不符合题意；D．﹣x5﹣9y2两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，不符合题意；故选：A．6．【正确答案】C解：不等式组﹣3＜x≤1的解集在数轴上表示为：，故选：C．7．【正确答案】B解：A、∵a＝3，c＝4，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形；B、∵a：b：c＝7：3：4∴a≠b≠c，∴△ABC不是等腰三角形；C、∵∠B＝50°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝50°，∴∠A＝∠B，∴AC＝BC，∴△ABC是等腰三角形；D、∵∠A：∠B：∠C＝8：1：2，∵∠A＝∠B，∴AC＝BC，∴△ABC是等腰三角形．故选：B．8．【正确答案】B解：∠BAB′＝∠BAC﹣∠CAB′＝65°﹣25°＝40°，根据旋转的性质可知∠CAC′＝∠BAB′＝40°．故选：B．9．【正确答案】D解：观察图象知：当x≥﹣1时，kx+b≥3，故选：D．10．【正确答案】D解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确；②如图，∵在△ABC中，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°．又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1＝∠2＝∠CAB＝30°，∴∠3＝90°﹣∠5＝60°，即∠ADC＝60°．故②正确；③∵∠1＝∠B＝30°，∴AD＝BD，∴点D在AB的中垂线上．故③正确；④∵如图，在直角△ACD中，∴CD＝AD，∴BC＝CD+BD＝AD+AD＝，S△DAC＝AC•CD＝．∴S△ABC＝AC•BC＝AD＝，∴S△DAC：S△ABC＝AC•AD：．故④正确．综上所述，正确的结论是：①②③④．故选：D．二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11．【正确答案】7．解：∵△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，∴CF＝BE＝2cm，∴EF＝EC+CF＝4+2＝7（cm）．故6．12．【正确答案】70．解：由题意可得：ab＝10，a+b＝7，则a2b+ab7＝ab（a+b）＝10×7＝70．故70．13．【正确答案】见试题解答内容解：∵△BCD为等边三角形，∴∠DBC＝60°，DB＝BC＝CD，∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＝30°，∵在Rt△ABC中，∠ABD＝30°∴DB＝4，∴CD＝BC＝4，在Rt△ABC中，由勾股定理＝＝7，∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+DA＝2+4+4+7＝2，故2+10．14．【正确答案】a≥2．解：由不等式组的解集是x＜2，因此a的取值范围是a≥5．故a≥2．15．【正确答案】或．解：如图：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝AC＝4，∵点D为AB的中点，∴CD＝AD＝AB＝2，∵∠ADQ＝90°，∴点C、D、Q在同一条直线上，由旋转得：CQ＝CP＝CQ′＝1，分两种情况：当点Q在CD上，在Rt△ADQ中，DQ＝CD﹣CQ＝3，∴AQ＝＝＝，当点Q在DC的延长线上，在Rt△ADQ′中，DQ′＝CD+CQ′＝3，∴AQ′＝＝＝，综上所述：当∠ADQ＝90°时，AQ的长为或，故或．三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16．【正确答案】（1）①y（x﹣y）2；②（5m+n）（m+5n）；（2）0≤x＜2．解：（1）①原式＝y（x2﹣2xy+y8）＝y（x﹣y）2；②原式＝[3（m+n）2]﹣[2（m﹣n）2]＝（4m+3n）2﹣（2m﹣2n）2＝（3m+3n+2m﹣7n）（3m+3n﹣4m+2n）＝（5m+n）（m+3n）；（2）解不等式3+x≤2x﹣7+7得：x≥0，解不等式8x﹣1＜3x+7得：x＜2，故不等式组的解集为：0≤x＜5．17．【正确答案】（1）证明见解答过程；（2）证明见解答过程．证明：（1）∵∠ACB＝90°，∴DC⊥AC，又∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE＝DC，在Rt△AED和Rt△ACD中，，∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），∴AE＝AC；（2）∵AE＝AC，∴点A在线段CE的垂直平分线上，∵DE＝DC，∴点D在线段CE的垂直平分线上，∴AD是线段CE的垂直平分线．18．【正确答案】见试题解答内容解：（1）解方程组，得，所以点A坐标为（1，﹣3）；（2）当y1＝0时，﹣x﹣2＝0，则B点坐标为（﹣2；当y7＝0时，x﹣4＝4，则C点坐标为（4；∴BC＝4﹣（﹣6）＝6，∴△ABC的面积＝×6×3＝8；（3）根据图象可知，y1≥y2时x的取值范围是x≤4．19．【正确答案】（1）△A1B1C1见解答过程；（2）△A2B2C2见解答过程；（3）（﹣3，0）．解：（1）如图，△A1B1C5即为所求；（2）如图，△A2B2C5即为所求；（3）旋转中心Q的坐标为（﹣3，0），故（﹣8，0）．20．【正确答案】（1）（x+4）（x﹣2）；（2）多项式x2+4x﹣2020的最小值为﹣2024．（3）△ABC的周长＝3+4+5＝12．解：（1）原式＝x2+2x+7﹣9＝（x+1）3﹣32＝（x+4+3）（x+1﹣8）＝（x+4）（x﹣2）；（2）x2+4x﹣2020＝x2+6x+22﹣22﹣2020＝（x+2）4﹣2024，∵（x+2）2≥8，∴（x+2）2﹣2024≥﹣2024，∴多项式x5+4x﹣2020的最小值为﹣2024．（3）∵a2+b3+c2+50＝6a+7b+10c，∴a2+b2+c5+50﹣6a﹣8b﹣10c＝6，∴a2﹣6a+3+b2﹣8a+16+c2﹣10c+25＝0，∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣8）2＝0，∴a﹣7＝0，b﹣4＝2，∴a＝3，b＝4，∴△ABC的周长＝8+4+5＝12．21．【正确答案】（1）购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元；（2）最多可购进乙型头盔120个；（3）能，①采购甲型头盔82个，采购乙型头盔118个；②采购甲型头盔81个，采购乙型头盔119个；③采购甲型头盔80个，采购乙型头盔120个．解：（1）设购进1个甲型头盔需要x元，购进1个乙型头盔需要y元．根据题意，得，解得，；答：购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元；（2）设购进乙型头盔m个，则购进甲型头盔（200﹣m）个，根据题意，得：65m+30（200﹣m）≤10200，解得：m≤120，∴m的最大值为120；答：最多可购进乙型头盔120个；（3）能，根据题意，得：（58﹣30）（200﹣m）+（98﹣65）m≥6190；解得：m≥118；∴118≤m≤120；∵m为整数，∴m可取118，119或120，81或80；因此能实现利润不少于6190元的目标，该商场有三种采购方案：①采购甲型头盔82个，采购乙型头盔118个；②采购甲型头盔81个，采购乙型头盔119个；③采购甲型头盔80个，采购乙型头盔120个．22．【正确答案】（1）；（2）﹣1；（3）1或2.6．解：（1）∵BA＝BC＝3，AO＝1．∴OB＝3．∵CO⊥AB，∴∠COB＝∠AOC＝90°．∴CO＝＝＝．（2）∵∠AOC＝90°，AO＝1，∴AC＝＝．∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°．在△AED和△AOC中，∴△AED≌△AOC（AAS）．∴AD＝AC＝．∴OD＝AD﹣AO＝﹣4．②Ⅰ、点D在线段OB上时．∵S△OBF：S△OCF＝1：4，OM为它们共同的高，∴BF：CF＝5：4．∵BC＝3，∴BF＝3．∵BA＝BC，∴∠A＝∠BCA．∵DE⊥AC，∴∠AED＝∠CEF＝90°．∴∠ADE＝∠CFD．∵∠BDF＝∠ADE，∴∠CFD＝∠BDF．∴BD＝BF＝1，∴OD＝OB﹣BD＝2﹣6＝1．Ⅱ、点D在线段OB的延长线上时．∵S△OBF：S△OCF＝1：8，OM为它们共同的高，∴BF：CF＝1：4．∵BC＝3，∴BF＝3×＝0.6．∵BA＝BC，∴∠A＝∠BCA．∵DE⊥AC，∴∠AED＝∠CEF＝90°．∴∠D＝∠CFE．∵∠BFD＝∠CFE，∴∠BFD＝∠D．∴BD＝BF＝5.6，∴OD＝OB+BD