部编数学九年级上册专题23.1旋转基础解析版含答案

专题23.1旋转目录HYPERLINK\l"br1"求旋转角HYPERLINK\l"br1"......................................................................................................................................................1HYPERLINK\l"br3"求长度HYPERLINK\l"br3"HYPERLINK\l"br3"..........................................................................................................................................................3HYPERLINK\l"br5"求相关角度HYPERLINK\l"br5"HYPERLINK\l"br5".................................................................................................................................................5HYPERLINK\l"br7"综合运用HYPERLINK\l"br7"......................................................................................................................................................7HYPERLINK\l"br11"求最值HYPERLINK\l"br11"........................................................................................................................................................11HYPERLINK\l"br13"旋转的变化过程HYPERLINK\l"br13"......................................................................................................................................13HYPERLINK\l"br14"确定旋转中心HYPERLINK\l"br14"HYPERLINK\l"br14"..........................................................................................................................................14HYPERLINK\l"br17"判断中心对称图形HYPERLINK\l"br17"HYPERLINK\l"br17".................................................................................................................................17HYPERLINK\l"br19"中心对称与坐标HYPERLINK\l"br19"......................................................................................................................................19HYPERLINK\l"br20"作图题HYPERLINK\l"br20"........................................................................................................................................................20HYPERLINK\l"br21"网格中的作图题HYPERLINK\l"br21"......................................................................................................................................21HYPERLINK\l"br24"综合运用HYPERLINK\l"br24"....................................................................................................................................................24求旋转角在平面内，将一个图形绕一个点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。【例1AOB绕着点OCOD（点C落在△AOBAOB＝30°，∠BOC＝10°，则旋转角度是（ꢀꢀ）A．20°B．30°C．40°D．50°【解答】解：∵将△AOB绕着点O顺时针旋转，∴∠AOC是旋转角，∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝30°+10°＝40°，∴旋转角度为40°，故选：C．【变式训练1】如图，将△ABD绕顶点B顺时针旋转40°得到△CBE，且点C刚好落在线段AD上，若∠CBD＝32°，则∠E的度数是（ꢀꢀ）A．32°B．34°C．36°D．38°【解答】解：∵将△ABD绕点B顺时针旋转40°得到△CBE，∴CB＝AB，∠ABC＝40°，∠D＝∠E，12∴∠A＝∠ACB=（180°﹣40°）＝70°，∵∠CBD＝32°，∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝40°+32°＝72°，∴∠D＝∠E＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝180°﹣70°﹣72°＝38°．故选：D．【变式训练2】如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转，得△COD，若∠AOB＝45°，∠AOD＝110°，则旋转角度数是（ꢀꢀ）A．45°B．55°C．65°D．110°【解答】解：将△AOB绕着点O顺时针旋转，得△COD，∠AOB＝45°，∠AOD＝110°，∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝110°﹣45°＝65°，∴旋转角度数是65°，故选：C．【变式训练3】如图，已知△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，∠BAD＝25°，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，那么旋转了（ꢀꢀ）A．65°B．60°C．55°D．50°【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵△ABD经旋转后到达△ACE的位置，∴∠BAC等于旋转角，即旋转角等于60°．故选：B．求长度对应点到旋转中心的距离相等，对应点到旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前后的两个图形全等。【例2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝5，AB＝12，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB'C'，连接CC'，则CC'的长为（ꢀꢀ）A．13B．132C．213D．26【解答】解：∵∠B＝90°，BC＝5，AB＝12，∴AC=퐴퐵2+퐵퐶2=122+52=13，由旋转得：AC＝AC'，∠CAC'＝90°，∴CC'=퐴퐶+퐶′퐴2=132+132=132．故选：B．【变式训练1】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC'，若点C′在AB上，则AA′的长为（ꢀꢀ）A．13B．4C．25D．5【解答】解：如图，连接AA'，∵将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC'，∴∠A'C'B＝∠C＝90°，A'C'＝AC＝4，AB＝A'B，根据勾股定理得：AB=퐵퐶2+퐴퐶2=5，∴A'B＝AB＝5，∴AC'＝AB﹣BC'＝2，在Rt△AA'C'中，由勾股定理得：AA'=퐴퐶′2+퐴′퐶′2=25，故选：C．32【变式训练2】如图，在△AOB中，AO=1，BO=AB=．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A'OB'，连接AA'，BB'，则BB'﹣AA'＝（ꢀꢀ）323222A．1B．C．D．232【解答】解：由旋转性质可知，OB＝OB'=，∠AOA'＝90°，则△BOB'为等腰直角三角形，3232∴BB'=2OB=2×=2，由旋转性质可知，OA＝OA'＝1，∠AOA'＝90°，则△AOA'为等腰直角三角形，∴AA'=푂퐴2+푂퐴′2=2．3222∴BB'﹣AA'=2−2=．故选：B．【变式训练3】如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若AB＝3cm，则BE等于（ꢀꢀ）A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴AB＝AE＝3cm，∠BAE＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AB＝AE＝BE＝3cm，故选：B．求相关角度【例3】如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小是（ꢀꢀ）A．45°B．50°C．60°D．100°【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，∴AB＝AD，∠BAD＝80°，12∴∠B＝∠ADB=（180°﹣∠BAD）＝50°，故选：B．【变式训练1】如图，将△ABC绕顶点C顺时针旋转35°得到△DEC，点A、B的对应点分别是点D和点E．设边ED，AC相交于点F．若∠A＝30°，则∠EFC的度数为（ꢀꢀ）A．60°B．65°C．72.5°D．115°【解答】解：∵将△ABC绕顶点C顺时针旋转35°得到△DEC，∴∠A＝∠D＝30°，∠ACD＝35°，∴∠EFC＝∠D+∠ACD＝65°，故选：B．【变式训练2】如图，将△ABC绕着点A逆时针旋转65°，得到△AED，若∠E＝35°，AD∥BC，则∠EAC的度数为（ꢀꢀ）A．35°B．25°C．15°D．5°【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转65°得△ADE，∴∠BAE＝∠CAD＝65°，∠E＝∠B＝35°，∴∠AOB＝180°﹣65°﹣35°＝80°，∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠AOB＝80°，∴∠EAC＝80°﹣65°＝15°．故选：C．【变式训练3】如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△AB'C'，若点B'在线段BC的延长线上，则∠BB'C'的度数为（ꢀꢀ）A．60°B．70°C．80°D．100°【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，∴∠BAB'＝100°，AB＝AB'，∠B＝∠AB'C'，∴∠B＝∠AB'B＝40°＝∠AB'C'，∴∠BB'C'＝80°，故选：C．综合运用【例4O是等边△ABCOA＝30B＝4OC＝5BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，下列结论：①△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO′＝6+33；⑤S△AOC+﹣S△AOB＝6+3．其中结论正确的是（ꢀꢀ）A．①②③⑤B．①②③④C．①②③④⑤D．①②③【解答】解：连接OO′，过点O作OD⊥BO′，垂足为D，由旋转得：∠OBO′＝60°，BO＝BO′，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°，∴∠OBO′﹣∠ABO＝∠ABC﹣∠ABO，∴∠O′BA＝∠COB，∴ΔO′BA≌△OBC（SAS∴△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故①正确；由旋转得：∠OBO′＝60°，BO＝BO′，∴△BOO′是等边三角形，∴OO′＝OB＝4，∴点O与O′的距离为4；故②正确；∵△BOO′是等边三角形，∴∠BOO′＝60°，∵ΔO′BA≌△OBC，∴AO′＝OC＝5，∴AO2+OO′2＝′2，∴△AOO′是直角三角形，∴∠AOO′＝90°，AO∴∠AOB＝∠BOO′+∠AOO′＝150°，故③正确；32在Rt△BOD中，OD＝BOsin60°＝4×=23，∴S四边形AOBO′＝S△BOO′+S△AOO′121=BO′•OD+AO•OO′21212=×4×2+×3×43＝43+6，故④不正确；将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至点的位置，连接OE，过点A作AF⊥OE，垂足为F，如图：∴AO＝AE，∠OAE＝60°，OB＝EC＝4，∴△AOE是等边三角形，∴OE＝AO＝3，∵OC＝5，∴OE2+EC2＝OC2，∴△OEC是直角三角形，32332在Rt△AOF中，AF＝AOsin60°＝3×=，∴S△AOC+S△AOB＝S△AOC+S△ACE＝S△AOE+S△OCE1212=OE•AF+OE•EC1212332=×3×+×3×4934＝6+，故⑤不正确；所以，上列结论，正确的结论是①②③，故选：D．【变式训练1】如图，点D为等边三角形ABC内的一点，DA＝10，DB＝8，DC＝6，将线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD'①点D与点D'的距离为10；②△ACD'绕点A顺时针旋转60°会和△ABD重合；③CD⊥CD'；④S四边形ADCD′＝24+253，其中正确的有（ꢀꢀ）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①连接DD′，如图，∵线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD′，∴AD＝AD′，∠DAD′＝60°，∴△ADD′为等边三角形，∴DD′＝10，所以①正确；②∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴把△ABD逆时针旋转60°后，AB与AC重合，AD与AD′重合，∴△ACD'绕点A顺时针旋转60°会和△ABD重合，所以②正确；③由②可知；D′C＝DB＝8，∵DC＝6，在△DD′C中，∵62+82＝102，∴DC2+D′C2＝DD′2，∴△DD′C为直角三角形，∴∠DCD′＝90°，即CD⊥CD′，所以③正确；1234④S四边形ADCD＝S△ADD′+S△D′DC=×102+×6×8＝24+253，所以④正确．故选：D．求最值【例5】如图，在三角形ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB＝2，AC＝4，以BC为边在BC的下方作等边三角形PBC，则AP的最大值是ꢀ6ꢀ．【解答】解：以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，∴∠A′BA＝60°，A′B＝AB，AP＝A′C，∴△A′BA是等边三角形，∴A′A＝AB＝BA′＝2，在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，则当点A′、A、C三点共线时，A′C＝AA′+AC＝6，即AP的最大值为6，故答案为：【变式训练1】如图，△ABC是等边三角形，且AB＝4，点D在边BC上，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接DE，BE．则△BED的周长最小值是ꢀ4+23ꢀ．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵∠DAE＝60°，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠BAD＝∠DAE﹣∠BAD，∴∠BAE＝∠CAD，又∵AD＝AE，∴△ABE≌△ACD（SAS∴CD＝BE，∴△BED的周长＝BE+BD+ED＝CD+BD+ED＝BC+DE，∵将线段AD绕点A顺时针旋转60°，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AD，当AD⊥BC时，DE最小，即△BED的周长有最小值，∵AD⊥BC，BC＝4，∴BD＝CD＝2，∴AD=퐴퐵2−퐵퐷2=23，∴△BED的周长最小值是BC+DE＝4+23，故答案为：4+23．旋转的变化过程【例6】有一个正n边形旋转90°后与自身重合，则n为（ꢀꢀ）A．6B．9C．12D．15【解答】解：A．正六边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意；B．正九边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意；C．正十二边形旋转90°后能与自身重合，符合题意；D．正十五边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意；故选：C．【变式训练1】如图，五角星的五个顶点等分圆周，把这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少为（ꢀꢀ）A．60°B．72°C．75°D．90°【解答】解：因为五角星的五个顶点等分圆周，所以360°÷5＝72°，所以这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少为72°．故选：B．【变式训练2】下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，逆时针旋转∠α，要使这个∠α最小时，旋转后的图形也能与原图形完全重合，则这个图形是（ꢀꢀ）A．B．C．D．360°5【解答】解：A、最小旋转角度==72°；360°3B、最小旋转角度=C、最小旋转角度=D、最小旋转角度==120°；360°4=90°；360°2=180°；综上可得：旋转一定角度后，能与原图形完全重合，且旋转角度最小的是A．故选：A．【变式训练3】一个正三角形绕其中心至少旋转ꢀ120ꢀ度，才能与自身重合．【解答】解：连接OA，OB，∵正三角形的每个角的度数都是60°，∴∠AOB＝2×60°＝120°，∴一个正三角形绕其中心至少旋转120度，才能与自身重合，故答案为：确定旋转中心旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点【例7】如图，在正方形网格中，点A的坐标为（0，5B的坐标为（4，3AB绕着某点旋转一个角度与线段CD重合（C、DA的对应点是点C，则它的旋转中心的坐标是（ꢀꢀ）A1，2）B2，1）C3，1）D5，4）【解答】解：平面直角坐标系如图所示，作AC、BD的垂直平分线交于点E，旋转中心为点E，E（2，1故选：B．【变式训练1】如图，在正方形网格中，△EFG绕某一点旋转某一角度得到△RPQ．则旋转中心可能是（ꢀꢀ）A．点AB．点BC．点CD．点D【解答】解：如图，∵△EFG绕某一点旋转某一角度得到△RPQ，∴连接ER、FP、GQ，作FP的垂直平分线，作ER的垂直平分线，作GQ的垂直平分线，∴三条线段的垂直平分线正好都过C，即旋转中心是C．故选：C．【变式训练2】如图，若正方形ABCD绕图中某点逆时针旋转90°得到正方形EFGH，则旋转中心应是（ꢀꢀ）A．H点B．N点C．C点D．M点【解答】解：∵正方形ABCD绕图中某点逆时针旋转90°得到正方形EFGH，∴连接对应点A和点E，点G和点C，分别作线段GC和线段AE的中垂线，交点M即为旋转中心．故选：D．【变式训练3】如图，在6×6的正方形网格中，△ABC绕某点旋转一定的角度，得到△ABC，则旋转中心是点（ꢀꢀ）A．OB．PC．QD．M【解答】解：如图，连接BB′，AA′可得其垂直平分线相交于点P，故旋转中心是P点．故选：B．判断中心对称图形如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。【例8】下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ꢀꢀ）A．C．B．D．【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项符合题意；B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；D．不是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：A．【变式训练1】民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ꢀꢀ）A．C．B．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项正确；C．既不是轴对称，是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．【变式训练2】下列图形中，是中心对称图形也是轴对称图形的是（ꢀꢀ）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项符合题意；D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D选项不符合题意．故选：C．【变式训练3】下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ꢀꢀ）A．B．C．D．【解答】解：下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是A，因为B是轴对称图形不是中心对称图形，C不是轴对称图形是中心对称图形，D是轴对称图形不是中心对称图形，故选：A．中心对称与坐标点P（x，y)关于原点对称点的坐标是（－x，－y)【例9】若P（x，3）与点Q（4，y）关于原点对称，则xy的值是（ꢀꢀ）A．12B．﹣12C．64D．﹣64【解答】解：∵P（x，3）与点Q（4，y）关于原点对称，∴x＝﹣4，y＝﹣3，∴xy＝故选：A．【变式训练1】已知点P（m﹣3，m﹣1）关于原点的对称点P′在第四象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ꢀꢀ）A．B．D．C．【解答】解：∵点P（m﹣3，m﹣1）关于原点的对称点P′在第四象限，∴点P在第二象限，m−3＜0∴，푚−1＞0解得：1＜m＜3，故选D．【变式训练2】已知点A（a+b，4）与点B（﹣2，a﹣b）关于原点对称，则a与b的值分别为（ꢀꢀ）A．﹣3；1B．﹣1；3C．1；﹣3D．3；﹣1【解答】解：∵点A（a+b，4）与点B（﹣2，a﹣b）关于原点对称，a+b=2∴푎−푏=−4a=−1푏=3解得．故选：B．【变式训练3】已知点M（a，b）在第二象限内，且|a|＝1，|b|＝2，则该点关于原点对称点的坐标是（ꢀꢀ）A2，1）B1，2）C2，﹣1）D1，﹣2）【解答】解：∵M（a，b）在第二象限内，∴a＜0，b＞0，又∵|a|＝1，|b|＝2，∴a＝﹣1，b＝2，∴点M（﹣1，2∴点M关于原点的对称点的坐标是（1，﹣2故选：D．作图题【例10】在4×4的方格中，选择6个小方格涂上阴影，请仔细观察图1中的六个图案的对称性，按要求回答．（1）请在六个图案中，选出三个具有相同对称性的图案．选出的三个图案是ꢀ①③⑤它们都是ꢀ轴对称ꢀ图形（填写“中心对称”或“轴对称（2）请在图2中，将1个小方格涂上阴影，使整个4×4的方格也具有（1）中所选图案相同的对称性．1）①③⑤三个图案是轴对称图形，故答案为：①③⑤；轴对称；（2）如图所示，【变式训练1】如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．（1）在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；（2）在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；（3）在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．1）甲图：平行四边形，（2）乙图：等腰梯形，（3）丙图：正方形．网格中的作图题【例11】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣2P是x轴上的一个动点．（1）A，A分别是点A关于原点的对称点和关于y轴对称的点，直接写出点A，A的1212坐标，并在图中描出点A1，A（2）求使△APO为等腰三角形的点P的坐标．1）A（﹣2，2A（﹣2，﹣211（2）设P点坐标为（t，0OA=22+22=22，当OP＝OA时，P点坐标为（﹣22，0）或（22，0当AP＝AO时，P点坐标为（4，0当PO＝PA时，P点坐标为（2，0综上所述，P点坐标为（﹣22，0）或（22，0）或（4，0）或（2，0【变式训练1】如图，在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，﹣2B（4，﹣1C（3，﹣31（1ABC与△ABC关于原点OA的坐标为12；1111（2OABC逆时针旋转90°ABCA的2222坐标为ꢀ（2，1）ꢀ；（3）求出（2）中线段AC扫过的面积．1）∵△ABC与△ABC关于原点O成中心对称，A（1，﹣2111∴点A1的坐标为（﹣1，21，2（2）如图，△ABC即为所求，222点A2的坐标为（2，12，1（3）∵OA=22+12=5，OC=32+32=32，∴线段AC扫过的面积＝扇形OCC的面积﹣扇形OAA的面积2290휋×(32)290휋×(5)2===−3603609휋5휋−2413휋4．综合运用【例12】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AO⊥BC于点O，在△ABC的外部以AB为边作等边△ABD，点E是线段AO上一动点（点E不与点ABE绕点B顺时针方向旋转60°得到线段BF．（1）若BF＝23，求证：C，E，F三点共线；（2）连结DF，若△BDF的面积为3，求BF的长．1）证明：如图，连接CE，EF，∵AB＝AC＝5，BC＝6，AO⊥BC，∴CO＝BO＝3，AO是BC的中垂线，∴BE＝CE，∵将线段BE绕点B顺时针方向旋转60°得到线段BF，∴BE＝BF＝23，∠FEB＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴BE＝BF＝EF，∠F＝∠FEB＝∠EBF＝60°，∴BE＝CE＝23，3퐶푂퐶퐸32∴sin∠CEO===，23∴∠CEO＝60°，∵CE＝BE，EO⊥BC，∴∠CEO＝∠BEO＝60°，∴∠CEB＝120°，∴∠CEB+∠FEB＝180°，∴点C，点E，点F三点共线；（2）解：如图，当点E在线段AO上时，∵△ABD是等边三角形，∴AB＝BD，∠ABD＝∠EBF＝60°，∴∠ABE＝∠DBF，又∵BE＝BF，∴△ABE≌△DBF（SAS∴S△ABE＝S△DBF＝3，1∴×AE×BO＝3，2∴AE＝2，∴OE＝AO﹣AE＝2，∴BE=퐸푂2+퐵푂2=4+9=13，∴BF＝BE=13；【变式训练1】如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度α（45°＜α≤90°）得到△ADE，点B、C的对应点分别是D、E．连结BD、CE交于点F，连结AD、CE交于点G．（1）用含α的代数式表示∠AGC的度数；（2）当AE∥BD时，求CF的长．1）∵将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度α（45°＜α≤90°）得到△ADE，∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE＝45°，∠CAE＝α＝∠BAD，∵AB＝AC，∴AC＝AE＝AB＝AD，180°−훼∴∠AEC＝∠ACE=，2180°−훼훼2∴∠AGC＝∠DAE+∠AEC＝45°+=135°−；2（2）∵AB＝AD，∠BAD＝α，180°−훼∴∠ABD=，2∵AE∥BD，∴∠ABD+∠BAE＝180°，180°−훼∴+α+45°＝180°，2∴α＝90°，∴∠BAD＝∠CAE＝90°，∴CE=2AC=2，∠AEC＝45°，∵∠BAE＝135°，∴∠BAE+∠AEC＝180°，∴AB∥CE，∴四边形ABFE是平行四边形，∴AB＝EF＝1，∴CF＝CE﹣EF=2−【变式训练2】如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，将线段AE绕点E顺时针旋转90°A落在点FEF交CD于点MF作FG⊥BCBC的延长线于点G．（1）求证：BE＝FG；（2）如果AB⋅DM＝EC⋅AE，联结AM、DE，求证：AM垂直平分DE．1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠ECD＝90°，∴∠BAE+∠BEA＝90°，又∵FG⊥BC，∴∠BGF＝∠B＝90°，∵线段AE绕点E顺时针旋转90°，即：∠AEF＝90°，∴∠GEF+∠BEA＝90°，∴∠BAE＝∠GEF，在△ABE与△EGF中，∠B=∠BGF∠퐵퐴퐸=∠퐺퐸퐹퐴퐸=퐹퐸∴△ABE≌△EGF（AAS∴BE＝FG；（2）如图，连接AM，DE，∵∠B＝∠ECD，∠BAE＝∠GEF，∴△ABE∽△ECM，퐴퐵퐴퐸퐸퐶퐸푀∴=，∵AB⋅DM＝EC⋅AE，퐴퐵퐴퐸∴∴=，퐸퐶퐷푀퐴퐸퐴퐸=，퐸푀퐷푀∴EM＝DM，在Rt△AEM与Rt△ADM中，EM=DM，퐴푀=퐴푀∴Rt△AEM≌Rt△ADM（HL∴AD＝AE．∴点A在线段DE的垂直平分线上，∵EM＝DM，∴点M在线段DE的垂直平分线上，∴AM垂直平分DE．【变式训练3】如图，矩形ABCD绕B点旋转，使C点落到AD上的E处，AB＝AE，连接AF，AG．（1）求证：AF＝AG；（2）求∠GAF的度数．1）证明：∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵矩形ABCD绕B点旋转，∴∠GBE＝∠FEB＝90°，BG＝EF，∴∠ABG＝∠AEF，∴△ABG≌△AEF（SAS∴AG＝AF；（2）解：∵AB＝AE，∠BAE＝90°，∴∠ABE＝∠AEF＝45°，∴∠ABG＝∠AEF＝45°，∵矩形ABCD绕B点旋转，∴AB＝BG，AE＝EF，12∴∠BAG＝∠EAF=(180°−45°)=67.5°，∴∠GAF＝360°﹣∠BAE﹣∠BAG﹣∠EAF＝360°﹣90°﹣67.5°﹣67.5°＝135°．一．选择题（共8小题）1．小军同学在网格纸上将某些图形进行平移操作，他发现平移前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形．如图所示，现在他将正方形ABCD从当前位置开始进行一次平移操平移方向有(ꢀꢀ)A．3个B．4个C．5个D．6个【解答】解：将正方形ABCD向上平移，向下平移，向右平移，向右上方，向右下方平移，平移前后的两个正方形组成轴对称图形，故选：C．2．观察下列图案，其中旋转角最大的是(ꢀꢀ)A．B．C．D．【解答】解：A、旋转角是120°；B、旋转角是90°；C、旋转角是72°；D、旋转角是60°．故选：A．3．下列各图中，既可经过平移，又可经过旋转，由图形①得到图形②的是(ꢀꢀ)A．B．C．D．【解答】解：A、B、C这三个图都只能由旋转得到，不能由平移得到，只有D既可经过平移，又可经过旋转得到，故选：D．4中，=ACB=75°绕点CDDECA的对应点D在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为(ꢀꢀ)A．逆时针，30°B．逆时针，105°C．顺时针，30°D．顺时针，105°【解答】解：Q将绕点C旋转，得到DDEC，点A的对应点D在的延长线上，\ÐACD=180°-ACB=180°-75°=105°，\旋转方向为顺时针，旋转角为105°，故选：D．5．如图所示的正六边形花环绕中必至少旋转度能与自身重合，则为(ꢀꢀ)A．30B．60C．120D．180360°【解答】解：该图形围绕自己的旋转中心，至少针旋转=60°后，能与其自身重合．6故选：B．6．如图，的顶点坐标、B、O(0,0)，若绕点O按逆时针方向旋转90°，再向右平移2个单位，得到△¢BO¢，则点A的对应点A的坐标是(ꢀꢀ)¢A．(B．(C．D．¢¢¢¢【解答】解：如图，△ABO即为所求．点A的对应点A的坐标是(．故选：A．7．如图，点O为矩形ABCD的两对角线交点，动点E从点A出发沿边向点B运动，同时动点F从点C出发以相同的速度沿CD边向点D运动，作直线，下列说法错误的是(ꢀꢀ)A．直线平分矩形ABCD的周长B．直线必平分矩形ABCD的面积C．直线必过点OD．直线不能将矩形ABCD分成两个正方形【解答】解：连接交于M，由题意得：=CF，Q四边形ABCD是矩形，\=CD，AB//CD，AD=BC，\=，=，ÐDFE=ÐBEF，即直线平分矩形ABCD的周长，故A正确；\D@BME()，故B正确；\=，DM=BM，\M与O重合，即直线必过点O，故C正确；当=2，垂直时，直线将矩形ABCD分成两个正方形，所以原说法错误，故D错误；故选：D．8．最近北京2022年冬