2．9　函数的零点与方程的解 专题讲义 学生版及解析 -2027届高三数学一轮复习

2．9函数的零点与方程的解课标要求考情分析1．结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系．2．理解函数零点存在定理，并能简单应用．3．了解二分法求方程的近似解．◎考点考法：高考命题常以基本初等函数及其图象为载体，考查函数零点是否存在、存在的区间及个数，利用零点的存在情况求参数是高考热点，常以选择题或填空题的形式出现．◎核心素养：数学抽象、逻辑推理、直观想象．1．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．2．若y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不断，且有f(a)f(b)＜0，则函数y＝f(x)一定有零点．3．周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点．1．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()2．函数f(x)＝lnx－eq\f(2,x)的零点所在区间是()A．(0，1) B．(1，2)C．(2，e) D．(e，3)3．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x－2，x≤0，,－1＋lnx，x>0))的零点个数为()A．3 B．2C．7 D．04．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：x123456y124.433－7424.5－36.7－123.6则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有________个．5．若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0，1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是________．考点一函数零点所在区间的判定基础考点自练自悟1．函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为()A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)2．(多选)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点()A．(－2，－1) B．(－1，0)C．(0，1) D．(1，2)3．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1).当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________．函数零点所在区间的判断方法及适用情形(1)定理法：利用函数零点存在定理进行判断．适用于容易判断区间端点值所对应函数值的正负的情形．(2)图象法：画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．适用于容易画出函数图象的情形．考点二函数零点个数的判定重难考点师生共研(1)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1，x≤0，,x－2＋lnx，x>0))的零点个数为()A．5 B．4C．3 D．2(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x－2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，设函数g(x)＝f(x)－log7|x|，则函数g(x)的零点个数为()A．6 B．8C．12 D．14函数零点个数的判断方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，有几个解就有几个零点．(2)零点存在定理：首先确定函数f(x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)＜0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数．(3)利用图象交点个数：作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数．1．函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点个数为()A．0 B．1C．2 D．32．函数f(x)＝eq\r(36－x2)·cosx的零点个数为________．考点三函数零点的应用多维探究发散思维角度1根据零点的个数求参数已知λ∈R，函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4，x≥λ，,x2－4x＋3，x<λ.))当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________，若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．角度2根据函数的零点范围求参数已知函数f(x)＝log2(x＋1)－eq\f(1,x)＋m在区间(1，3]上有零点，则实数m的取值范围为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，0))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,3)))∪(0，＋∞)C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,3)))∪(0，＋∞)D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，0))利用函数零点求参数(范围)的方法1．函数f(x)＝2x＋eq\f(1,4)x－5的零点x0∈(a－1，a)，a∈N*，则a＝()A．1 B．2C．3 D．42．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x，x≤0，,ln\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－x))，0<x<1，))若曲线y＝f(x)与直线y＝ax恰有2个公共点，则实数a的取值范围是________．A级基础过关1．对于函数f(x)，若f(－1)f(3)＜0，则()A．方程f(x)＝0一定有实数解B．方程f(x)＝0一定无实数解C．方程f(x)＝0一定有两实根D．方程f(x)＝0可能无实数解2．设函数f(x)＝2x＋eq\f(x,3)的零点为x0，则x0所在的区间是()A．(－4，－2) B．(－2，－1)C．(1，2) D．(2，4)3．已知函数f(x)＝ln|x－2|＋x2与g(x)＝4x，则两函数图象所有交点的横坐标之和为()A．0 B．2C．3 D．44．已知e是自然对数的底数，关于x的方程e|x-2|＝x有两个不同的解x1，x2(x1＜x2)，则()A．x1＜1，x2＞3 B．x1＞1，x2＜3C．x1＞1，x2＞3 D．x1＜1，x2＜35．(多选)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2(x－1)，x>2，,2x－3，x≤2，))则以下结论正确的是()A．f(x)为R上的增函数B．f(x)有唯一零点x0，且1＜x0＜2C．若f(m)＝5，则m＝33D．f(x)的值域为R6．已知a＞0，若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋a，x≤a，,lnx＋2，x＞a))有两个不同的零点，则a的取值范围为________．7．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c是奇函数，且有三个不同的零点，写出一个符合条件的函数：f(x)＝________．8．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的两个零点为2，3.若函数g(x)＝f(x)＋mx的两个零点分别在区间(1，2)，(2，4)内，则实数m的取值范围为________．B级能力提升9．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)，则f(x)在[－3，3]上的零点个数至少为()A．6 B．7C．12 D．1310．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x)－t，x≥0，,2(x＋1)－t，x＜0，))若f(x)有两个零点x1，x2(x1＞x2)，则x1－x2的最小值是()A．1 B．2C．eq\f(3,4) D．eq\f(15,16)11．已知x>0，函数f(x)＝2x＋x－5，g(x)＝x2＋x－4，h(x)＝log2x＋x－3的零点分别为a，b，c，则()A．a<b<c B．a<c<bC．b<a<c D．b<c<a12．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，f(－x)＝f(x＋2)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x3－x2＋x，则方程4f(x)－x＋2＝0所有的根之和为()A．6 B．12C．14 D．1013．(多选)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且在区间[0，2]上是增函数，则下列说法正确的是()A．函数f(x)的一个周期为4B．直线x＝－4是函数f(x)图象的一条对称轴C．函数f(x)在[－6，－5)上单调递增，在[－5，－1)上单调递减D．函数f(x)在[0，100]内有25个零点14．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≥1，,x2＋x－1，x＜1，))那么f(f(4))＝________，若存在实数a，使得f(a)＝f(f(a))，则a的个数是________．C级拓广探索15．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|log3x|，0＜x＜3，,sin\f(π,6)x，3≤x≤15，))若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则x1x2＝________，(x3－3)·(x4－3)的取值范围是________．16．已知M＝{α|f(α)＝0}，N＝{β|g(β)＝0}，若存在α∈M，β∈N，使得|α－β|<n，则称函数f(x)与g(x)互为“n度零点函数”．若f(x)＝32-x－1与g(x)＝x2－aex互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为________．

2．9函数的零点与方程的解课标要求考情分析1．结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系．2．理解函数零点存在定理，并能简单应用．3．了解二分法求方程的近似解．◎考点考法：高考命题常以基本初等函数及其图象为载体，考查函数零点是否存在、存在的区间及个数，利用零点的存在情况求参数是高考热点，常以选择题或填空题的形式出现．◎核心素养：数学抽象、逻辑推理、直观想象．1．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．2．若y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不断，且有f(a)f(b)＜0，则函数y＝f(x)一定有零点．3．周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点．1．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()解析根据二分法的概念可知选项A不能用二分法求零点．答案A2．函数f(x)＝lnx－eq\f(2,x)的零点所在区间是()A．(0，1) B．(1，2)C．(2，e) D．(e，3)解析因为函数f(x)＝lnx－eq\f(2,x)的图象在定义域(0，＋∞)内是一条连续不断的曲线，且f(2)＝ln2－1＜0，f(e)＝lne－eq\f(2,e)＝1－eq\f(2,e)＞0，所以必存在x0∈(2，e)，使得f(x0)＝0.所以函数f(x)＝lnx－eq\f(2,x)的零点所在的区间是(2，e)，故选C.答案C3．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x－2，x≤0，,－1＋lnx，x>0))的零点个数为()A．3 B．2C．7 D．0解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,x2＋x－2＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,－1＋lnx＝0，))解得x＝－2或x＝e，故f(x)有两个零点．答案B4．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：x123456y124.433－7424.5－36.7－123.6则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有________个．解析依题意，f(2)＞0，f(3)＜0，f(4)＞0，f(5)＜0，根据零点存在定理可知，f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个．答案35．若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0，1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是________．解析当a＝0时，函数的零点是x＝－1，不符合题意．当a≠0时，若Δ＞0，f(0)·f(1)＜0，则a＞1.若Δ＝0，即a＝－eq\f(1,8)，函数的零点是x＝－2，不符合题意，故实数a的取值范围为(1，＋∞).答案(1，＋∞)考点一函数零点所在区间的判定基础考点自练自悟1．函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为()A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)解析方法一函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，图象是一条连续曲线．由题意知f(1)＝－1＜0，f(2)＝log32＞0，根据函数零点存在定理可知，函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内．方法二函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log3x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两函数图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2).故选B.答案B2．(多选)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点()A．(－2，－1) B．(－1，0)C．(0，1) D．(1，2)解析f(－2)＝eq\f(1,e2)＞0，f(－1)＝eq\f(1,e)－1＜0，f(0)＝－1＜0，f(1)＝e－3＜0，f(2)＝e2－4＞0，因为f(－2)·f(－1)＜0，f(1)·f(2)＜0，所以f(x)在(－2，－1)和(1，2)内必存在零点．答案AD3．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1).当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________．解析对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y＜1，当x＝3时，可得y＞1，如图，在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的图象，判断两个函数图象的交点的横坐标在(2，3)内，所以函数f(x)的零点x0∈(2，3)，即n＝2.答案2函数零点所在区间的判断方法及适用情形(1)定理法：利用函数零点存在定理进行判断．适用于容易判断区间端点值所对应函数值的正负的情形．(2)图象法：画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．适用于容易画出函数图象的情形．考点二函数零点个数的判定重难考点师生共研(1)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1，x≤0，,x－2＋lnx，x>0))的零点个数为()A．5 B．4C．3 D．2(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x－2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，设函数g(x)＝f(x)－log7|x|，则函数g(x)的零点个数为()A．6 B．8C．12 D．14[解析](1)当x≤0时，x2－1＝0，解得x＝－1；当x>0时，f(x)＝x－2＋lnx在(0，＋∞)上单调递增，并且f(1)＝1－2＋ln1＝－1<0，f(2)＝2－2＋ln2＝ln2>0，即f(1)f(2)<0，所以函数f(x)在区间(1，2)内必有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.(2)依题意可知，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x－2)＝f(x)，所以f(x)＝f(－x)＝f(－x－2)＝f(x＋2)，即函数f(x)是以2为周期的偶函数，令g(x)＝f(x)－log7|x|＝0，即f(x)＝log7|x|，在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f(x)和y＝log7|x|的图象，如图所示．由图象可知，两函数图象共有12个交点，即函数g(x)共有12个零点．[答案](1)D(2)C函数零点个数的判断方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，有几个解就有几个零点．(2)零点存在定理：首先确定函数f(x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)＜0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数．(3)利用图象交点个数：作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数．1．函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点个数为()A．0 B．1C．2 D．3解析函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点，即3x|log2x|－1＝0的解，即|log2x|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)的解，即y＝|log2x|与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)图象的交点，如图所示，从函数图象可知，y＝|log2x|与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)有2个交点，即函数f(x)的零点个数为2.答案C2．函数f(x)＝eq\r(36－x2)·cosx的零点个数为________．解析令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，所以f(x)的定义域为[－6，6].令f(x)＝0得36－x2＝0或cosx＝0，由36－x2＝0得x＝±6；由cosx＝0得x＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，又x∈[－6，6]，所以x的取值为－eq\f(3π,2)，－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)，eq\f(3π,2).故f(x)共有6个零点．答案6考点三函数零点的应用多维探究发散思维角度1根据零点的个数求参数已知λ∈R，函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4，x≥λ，,x2－4x＋3，x<λ.))当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________，若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．[解析]①当λ＝2时，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4，x≥2，,x2－4x＋3，x<2，))由f(x)<0得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥2，,x－4<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<2，,x2－4x＋3<0，))解得2≤x<4或1<x<2.所以不等式的解集为(1，4).②函数y＝x－4与y＝x2－4x＋3的图象如图所示．结合图象可知，当λ≤1时，函数f(x)有1个零点；当1<λ≤3时，函数f(x)有2个零点；当3<λ≤4时函数f(x)有3个零点；当λ>4时函数f(x)有2个零点．所以当f(x)有2个零点时，λ的取值范围是(1，3]∪(4，＋∞).[答案](1，4)(1，3]∪(4，＋∞)角度2根据函数的零点范围求参数已知函数f(x)＝log2(x＋1)－eq\f(1,x)＋m在区间(1，3]上有零点，则实数m的取值范围为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，0))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,3)))∪(0，＋∞)C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,3)))∪(0，＋∞)D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，0))[解析]由于函数y＝log2(x＋1)，y＝m－eq\f(1,x)在区间(1，3]上均单调递增，所以函数f(x)在(1，3]上单调递增，由于函数f(x)＝log2(x＋1)－eq\f(1,x)＋m在区间(1，3]上有零点，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f(1)<0，,f(3)≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,m＋\f(5,3)≥0，))解得－eq\f(5,3)≤m＜0.因此实数m的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，0)).故选D.[答案]D利用函数零点求参数(范围)的方法1．函数f(x)＝2x＋eq\f(1,4)x－5的零点x0∈(a－1，a)，a∈N*，则a＝()A．1 B．2C．3 D．4解析函数f(x)＝2x＋eq\f(1,4)x－5是连续增函数，f(2)＝4＋eq\f(1,2)－5＝－eq\f(1,2)＜0，f(3)＝8＋eq\f(3,4)－5＝eq\f(15,4)＞0，所以函数f(x)＝2x＋eq\f(1,4)x－5的零点在(2，3)内，所以a＝3.故选C.答案C2．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x，x≤0，,ln\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－x))，0<x<1，))若曲线y＝f(x)与直线y＝ax恰有2个公共点，则实数a的取值范围是________．解析当x≤0时，f(x)＝x2＋2x，其在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，且f′(x)＝2x＋2，则f′(0)＝2；当0<x<1时，f(x)＝ln(1－x)，f′(x)＝－eq\f(1,1－x)<0，其在(0，1)上单调递减，且f′(0)＝－1.作出f(x)的图象，如图，易知实数a的取值范围是[－1，2).答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，2))A级基础过关1．对于函数f(x)，若f(－1)f(3)＜0，则()A．方程f(x)＝0一定有实数解B．方程f(x)＝0一定无实数解C．方程f(x)＝0一定有两实根D．方程f(x)＝0可能无实数解解析因为函数f(x)的图象在(－1，3)上未必连续，所以尽管f(－1)f(3)＜0，但方程f(x)＝0在(－1，3)上可能无实数解．答案D2．设函数f(x)＝2x＋eq\f(x,3)的零点为x0，则x0所在的区间是()A．(－4，－2) B．(－2，－1)C．(1，2) D．(2，4)解析易知f(x)在R上单调递增且f(x)的图象是连续不断的曲线，f(－2)＝eq\f(1,4)－eq\f(2,3)<0，f(－1)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)>0，所以x0∈(－2，－1).答案B3．已知函数f(x)＝ln|x－2|＋x2与g(x)＝4x，则两函数图象所有交点的横坐标之和为()A．0 B．2C．3 D．4解析原问题可以转化为求方程ln|x－2|＝4x－x2的所有根之和，易知y＝ln|x－2|和y＝4x－x2的图象均关于直线x＝2对称，且两个函数的图象有2个交点，故两个交点的横坐标之和为4.答案D4．已知e是自然对数的底数，关于x的方程e|x-2|＝x有两个不同的解x1，x2(x1＜x2)，则()A．x1＜1，x2＞3 B．x1＞1，x2＜3C．x1＞1，x2＞3 D．x1＜1，x2＜3解析令f(x)＝e|x-2|－x，则函数f(x)的图象在R上连续．∵f(1)＝e－1＞0，f(2)＝1－2＝－1＜0，f(3)＝e－3＜0，f(4)＝e2－4＞0，∴f(1)f(2)＜0，f(3)f(4)＜0，∴函数f(x)在区间(1，2)，(3，4)上各有一个零点，即1＜x1＜2，3＜x2＜4，故选C.答案C5．(多选)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2(x－1)，x>2，,2x－3，x≤2，))则以下结论正确的是()A．f(x)为R上的增函数B．f(x)有唯一零点x0，且1＜x0＜2C．若f(m)＝5，则m＝33D．f(x)的值域为R解析作出函数f(x)的图象如图所示．由图可知A错误；对于B，由图象可知，f(x)有唯一零点x0，f(x)在(－∞，2]上单调递增，且f(1)＜0，f(2)＞0，B正确；对于C，当x≤2时，2x－3≤1，故log2(m－1)＝5，解得m＝33，C正确；对于D，f(x)的值域为(0，＋∞)∪(－3，1]，即(－3，＋∞)，D错误．故选BC.答案BC6．已知a＞0，若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋a，x≤a，,lnx＋2，x＞a))有两个不同的零点，则a的取值范围为________．解析令x＋a＝0，x＝－a＜a，则x＝－a是函数f(x)的一个零点；令lnx＋2＝0，解得x＝eq\f(1,e2)，要使得f(x)有两个不同的零点，则a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e2))).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e2)))7．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c是奇函数，且有三个不同的零点，写出一个符合条件的函数：f(x)＝________．解析f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c为奇函数，故a＝c＝0，f(x)＝x3＋bx＝x(x2＋b)有三个不同零点，∴b＜0，∴f(x)＝x3－x满足题意．答案x3－x(答案不唯一)8．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的两个零点为2，3.若函数g(x)＝f(x)＋mx的两个零点分别在区间(1，2)，(2，4)内，则实数m的取值范围为________．解析∵2，3为方程x2＋bx＋c＝0的两根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－b＝2＋3，,c＝2×3.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－5，,c＝6.))∴f(x)＝x2－5x＋6.∴g(x)＝x2＋(m－5)x＋6，依题意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g(1)＞0，,g(2)＜0，,g(4)＞0，))解得－eq\f(1,2)＜m＜0，故实数m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))B级能力提升9．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)，则f(x)在[－3，3]上的零点个数至少为()A．6 B．7C．12 D．13解析因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，又由f(x＋1)＝f(x)得f(x)的周期为1，所以f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝f(3)＝0.又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，因此feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝0，故f(x)在[－3，3]上至少有13个零点，故选D.答案D10．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x)－t，x≥0，,2(x＋1)－t，x＜0，))若f(x)有两个零点x1，x2(x1＞x2)，则x1－x2的最小值是()A．1 B．2C．eq\f(3,4) D．eq\f(15,16)解析根据题意可得eq\r(x1)－t＝0，解得x1＝t2(t≥0)，2(x2＋1)－t＝0，解得x2＝eq\f(1,2)t－1(t＜2)，则x1－x2＝t2－eq\f(1,2)t＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(15,16)(0≤t＜2)，当t＝eq\f(1,4)时，x1－x2取得最小值eq\f(15,16).答案D11．已知x>0，函数f(x)＝2x＋x－5，g(x)＝x2＋x－4，h(x)＝log2x＋x－3的零点分别为a，b，c，则()A．a<b<c B．a<c<bC．b<a<c D．b<c<a解析因为f(x)＝2x＋x－5单调递增，且f(1.6)＝21.6－3.4＝eq\r(5,(21.6)5)－eq\r(5,(3.4)5)＝eq\r(5,256)－eq\r(5,454.35424)<0，f(2)＝4＋2－5＝1>0，由函数零点存在定理可知，f(x)有唯一零点a，且1.6<a<2；因为g(x)＝x2＋x－4在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝－2<0，g(1.6)＝1.62－2.4＝2.56－2.4>0，由函数零点存在定理可知，g(x)有唯一零点b，且1<b<1.6；因为h(x)＝log2x＋x－3在(0，＋∞)上单调递增，且h(2)＝1＋2－3＝0，则h(x)有唯一零点c＝2，所以b<a<c.故选C.答案C12．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，f(－x)＝f(x＋2)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x3－x2＋x，则方程4f(x)－x＋2＝0所有的根之和为()A．6 B．12C．14 D．10解析因为f(－x)＋f(x)＝0，x∈R，所以f(x)为奇函数．又因为f(－x)＝f(x＋2)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称．所以f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以f(x)的一个周期为4.又因为x∈[0，1]时，f′(x)＝3x2－2x＋1＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(2,3)>0，所以f(x)在[0，1]上单调递增，且f(0)＝0，f(1)＝1.由题意可得下图，可得直线y＝eq\f(1,4)(x－2)与y＝f(x)的交点的横坐标为方程4f(x)－x＋2＝0的根，可得在(－2，2)与(2，6)上均有两个交点，且关于(2，0)对称，加上(2，0)点，共5个交点，所以这5个交点的横坐标之和为2×2×2＋2＝10.故选D.答案D13．(多选)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且在区间[0，2]上是增函数，则下列说法正确的是()A．函数f(x)的一个周期为4B．直线x＝－4是函数f(x)图象的一条对称轴C．函数f(x)在[－6，－5)上单调递增，在[－5，－1)上单调递减D．函数f(x)在[0，100]内有25个零点解析令x＝－2，得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，即f(－2)＝0.由于函数f(x)为偶函数，故f(2)＝f(－2)＝0，所以f(x＋4)＝f(x)，函数f(x)是以4为周期的函数，故A正确；因为f(－4＋x)＝f(4－x)＝f(4－8－x)＝f(－4－x)，所以直线x＝－4是函数图象的一条对称轴，故B正确；结合函数在区间[0，2]上是增函数，画出函数f(x)的