第6讲 函数的概念及其表示【16个核心题型归纳】【原卷版】2027届高考数学一轮复习题型全归纳

2027届高考数学一轮复习题型全归纳2/45第6讲函数的概念及其表示题型总览题型总览总览核心题型归纳（目录）模块一模块一核心题型·举一反三【题型1】函数的概念核心知识 定义：设A、B为非空数集若对A中任意一个数x按某种对应关系f在B中都有唯一确定的数y与之对应则称f:A→B为从A到B的函数记作 三要素：定义域对应关系值域三者相同即为同一函数 对应关系要求：定义域内每个x只能对应唯一的y（多对一允许一对多不允许）方法技巧1概念判断：看“任意x→唯一y”用垂直于x轴的直线检验图像若与图像有两个及以上交点则不是函数2三要素验证：定义域和对应关系相同值域必然相同只需验证前两者即可判断同一函数3集合语言辨析：区分函数与映射函数是数集到数集的特殊映射【经典例题1】（2026·山东东营·一模）在平面直角坐标系中，直线x=a,a∈R与函数y=fx的图象的交点个数为（A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定【经典例题2】（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知集合A=−1, 0, 1A．fx=x+1 B．fx=x2【巩固练习1】（25-26高一上·江西赣州·期末）根据函数定义判断：下列对应关系是集合A=−1,0,1,2到集合B=0,1,2,3,4的函数的是（A．y=log2xC．y=x2 【巩固练习2】（25-26高一上·广西玉林·期末）（多选）已知集合A=−2,0,1，集合B=−1,0,1,2,4，下列表达式能建立从集合A到集合B的函数关系的是（A．y=−2x B．y=|x| C．y=2x 【巩固练习3】（24-25高一上·贵州遵义·月考）下列图形可作为函数图象的是（

）A． B． C． D．【题型2】求具体函数的定义域核心知识 定义域：使函数有意义的自变量x的取值集合 常见限制条件： 分式分母不为0 偶次根式被开方数非负 对数真数大于0底数大于0且不等于1 零次幂底数不为0 实际问题中自变量需符合实际意义方法技巧1列不等式组：根据函数式中的所有限制条件列出对应的不等式（组）2解不等式组：取所有不等式解集的交集即为函数的定义域3易错点规避： 对数函数同时满足真数>0底数>0且≠1 多个限制条件时不可遗漏任意一个条件 分式和根式同时存在时需同时考虑分母不为0和被开方数非负【经典例题1】（25-26高一上·河北唐山·期中）函数fx=2x−【经典例题2】（25-26高二下·北京·期中）设函数fx=1【巩固练习1】（25-26高一下·江西南昌·期中）函数f(x)=lg(2sin【巩固练习2】（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）函数fx=1−xA．−∞,1 B．1,+∞ C．0,1【巩固练习3】（25-26高二下·湖南长沙·期中）函数fx=−A．[−2,2] B．(0,2] C．−2,1∪1,2 【题型3】求抽象函数的定义域核心知识 抽象函数：未给出具体解析式的函数如、、等 核心原则：同一对应关系下括号内的整体取值范围相同方法技巧1已知的定义域为求的定义域：令解x的范围2已知的定义域为求的定义域：先求时的取值范围即为的定义域3多层复合函数：从内到外或从外到内逐层利用“括号内整体范围相同”的原则求解【经典例题1】（25-26高一下·云南昆明·期中）若函数y=fx定义域为−1,5，则函数y=fx−1A．2,4 B．(2,4] C．(2,6] D．2,6【经典例题2】（2026·安徽合肥·模拟预测）若函数fx的定义域是12, 2【巩固练习1】（23-24高一上·江西吉安·阶段检测）已知函数f(x+1)的定义域为(0,2)，则函数f(x)+fx2−1A．(1,2) B．(1,3) C．【巩固练习2】（25-26高一下·贵州遵义·开学考试）已知函数fx−1的定义域为−2,4，则函数gx=【巩固练习3】（25-26高一下·江西九江·开学考试）已知函数y=fx的定义域为−7,5，则函数y=f3x+2的定义域是（A．−7,5 B．−3,1 C．0,5 D．−1,3【题型4】由定义域求参数范围核心知识 已知函数的定义域（如R、区间等）反求解析式中参数的取值范围 本质：根据定义域的限制条件转化为含参数的不等式恒成立问题方法技巧1定义域为R：即限制条件对应的不等式对所有x∈R恒成立 例：定义域为R⇔对所有x∈R恒成立2定义域为某区间：即限制条件对应的不等式的解集为该区间结合二次函数图像分析参数范围3分类讨论：二次项系数含参数时先讨论参数为0的情况再讨论不为0的情况4端点验证：注意区间端点是否可取避免漏写或多写等号【经典例题1】（24-25高一上·广东梅州·开学考试）已知函数fx=mx2+mx+1的定义域是A．0,4 B．0,4 C．[4,+∞) D．0,4【经典例题2】（25-26高一下·河北衡水·开学考试）若幂函数fx=2m2−mx【巩固练习1】（25-26高一上·江苏徐州·期末）已知fx(1)若fx定义域为R，求实数k(2)若fx定义域为−6,2，求实数k【巩固练习2】（25-26高一上·辽宁·期末）已知函数fx=lnx2+ax+2aA．−∞,−4C．−∞,4【巩固练习3】（25-26高一上·贵州遵义·月考）若函数fx=1ax2−2ax+2【题型5】同一函数的判断核心知识 同一函数的判定标准：三要素（定义域、对应关系、值域）完全相同 关键：定义域和对应关系相同值域必然相同因此只需验证前两者方法技巧1先看定义域：若定义域不同直接判定不是同一函数2再看对应关系：将解析式化简后（需注意定义域不变）若对应关系相同则为同一函数3易错点：化简解析式时若改变了定义域则不能直接判断需保持定义域不变再比较对应关系 例：和化简后对应关系相同但定义域不同不是同一函数【经典例题1】（25-26高一上·河北唐山·期中）下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数（

）A．y=(x)2 B．y=x2【经典例题2】（24-25高一上·广西河池·期中）（多选）下列函数中，表示同一个函数的有（

）A．y=|x|,u=v2 C．y=x+1,y=t+1【巩固练习1】（25-26高一下·河南·月考）（多选）已知函数fx=ex，gxA．fhx与gx是同一函数 B．hC．若hx0=0，则fx0>2gx【巩固练习2】（25-26高一下·河南信阳·开学考试）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．fx=eC．fx=sin【巩固练习3】（25-26高一上·云南迪庆·期末）下列各组函数表示同一函数的是（

）A．fB．fC．fD．f【题型6】函数的求值核心知识 已知函数解析式或抽象函数关系求函数值、复合函数值或已知函数值求自变量 核心：代入对应关系计算复合函数需从内到外逐层计算方法技巧1直接代入法：已知解析式直接将自变量代入计算2复合函数求值：从内到外先算内层函数值再代入外层函数 例：已知求先算再算3分段函数求值：先判断自变量所在的区间再代入对应解析式计算4已知函数值求自变量：解方程注意检验解是否在定义域内【经典例题1】（25-26高一上·河北唐山·期中）函数f2x=x2+2x−1，则A．14 B．−1 C．0 D．13【经典例题2】（24-25高一上·广西河池·期中）已知函数fx=x+1,x≤−2x2A．2 B．5 C．3 D．1【巩固练习1】（25-26高一下·浙江·期中）已知函数fx=sinx+eA．0 B．1 C．2 D．4【巩固练习2】（25-26高二下·浙江·期中）若fx+y=fx+fy+2xy−1，A．50 B．55 C．99 D．101【巩固练习3】（2026·甘肃武威·模拟预测）已知函数f(x)=3x3x+1，若f(a)=A．110 B．25 C．310【题型7】待定系数法求解析式核心知识 适用场景：已知函数的类型（如一次函数、二次函数、反比例函数等）设出函数的一般形式再根据条件列方程求解参数 常见形式： 一次函数： 二次函数：一般式顶点式交点式方法技巧1设一般式：根据函数类型设出含参数的解析式2列方程：将已知条件（如函数值、过定点等）代入解析式得到关于参数的方程（组）3解方程：求出参数的值代回一般式得到函数解析式4注意：二次函数优先用顶点式或交点式减少计算量【经典例题1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))=4x+8，则f(x)=______．【经典例题2】（2026高三·全国·专题练习）已知fx是一次函数，ffx=9x−4，且f0A．fx=−3x+2 C．gx=x【巩固练习1】（25-26高一上·全国·期末）已知gx是二次函数，且g2=−3，g−2=−7，g【巩固练习2】（25-26高三·全国·一轮复习）若一次函数fx满足ffx【巩固练习3】（25-26高一上·重庆·期中）已知二次函数f(x)满足：f(0)=0，f(x+1)−f(x)=2x−3．(1)求二次函数f(x)的解析式；(2)求不等式f(x)≥18−x的解集．【题型8】配凑法求解析式核心知识 适用场景：已知的解析式且的形式简单（如一次式、平方式）可通过配凑将表示为的整体形式进而得到的解析式 核心：整体代换思想将看作一个整体把右侧式子用这个整体表示方法技巧1观察的形式将的解析式配凑成含的表达式 例：已知配凑得则即2换元验证：配凑后可通过换元法验证结果是否正确3易错点：配凑时需保证定义域不变即的定义域是的值域【经典例题1】（2027高三·全国·专题练习）若函数fx−1x=1x2A．1x2 B．1x2x≠1 【经典例题2】（2024高一上·全国·专题练习）已知fx−1x【巩固练习1】（2025高一上·江苏·专题练习）已知函数fx2−1=x【巩固练习2】（24-25高一上·贵州遵义·月考）已知函数fx+1(1)求fx(2)判断fx在0(3)求函数fx【巩固练习3】（25-26高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）若函数fx−3=1x，则A．15 B．13 C．16【题型9】换元法求解析式核心知识 适用场景：已知的解析式设解出代入解析式得到进而得到的解析式 核心：通过换元将复合函数转化为简单函数需注意换元后新变量的取值范围方法技巧1设元：令并求出的取值范围（即的值域）2反解：由解出关于的表达式3代入：将代入的解析式得到的表达式4还原：将换为并注明定义域（即的取值范围）5易错点：换元后必须注明新变量的取值范围避免定义域错误【经典例题1】（25-26高一上·陕西榆林·月考）已知函数fx−2=x−4x+5，则【经典例题2】（26-27高一上·湖北襄阳·阶段检测）已知函数f1−x=1−x2A．1x−12−1C．4x−12−1【巩固练习1】（25-26高一上·浙江杭州·期中）若f11+x=x2A．0 B．1 C．2 D．3【巩固练习2】（25-26高一上·陕西西安·期末）若函数fx−6=x2+6A．x2−12x+42 B．x2+12x+42 C．【巩固练习3】（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知函数fx+1=2x+x−3A．8 B．5 C．3 D．0【题型10】方程组法求解析式核心知识 适用场景：已知关于和、和等的关系式通过构造方程组消元求出的解析式 核心：利用变量替换构造另一个方程联立消元求解方法技巧1构造方程组：将关系式中的替换为或得到另一个方程 例：已知将替换为得2联立消元：将两个方程看作关于和（或）的方程组消去（或）解出3注意：替换变量时需保证替换后的表达式有意义（如时才能替换为）【经典例题1】（2027高三·全国·专题练习）已知函数fx对任意的x都有fx−2f−x=2x【经典例题2】（25-26高一上·广东佛山·月考）已知函数fx满足fx−2f1−x【巩固练习1】（25-26高一上·河南·期末）已知函数fx满足fx+3f1【巩固练习2】（2025高一上·江苏·专题练习）已知2fx−f−x【巩固练习3】（25-26高三上·福建福州·阶段检测）已知fx满足2fx+f1x=3x.若y=fxA．2,+∞ B．22,+∞ 【题型11】分离常数法求值域核心知识 适用场景：形如的分式函数或可化为类似形式的函数 核心：将分子配凑成分母的倍数形式分离出常数和分式部分利用分式的取值范围求值域方法技巧1配凑分离：将分子表示为分母的倍数加常数如2分析分式部分：因此得到值域3易错点：注意分母不为0分式部分不能为0因此值域需排除常数项的值【经典例题1】（25-26高一上·福建泉州·期中）求下列函数的值域(1)y=x2(2)y=x+3x+1【经典例题2】（25-26高一上·福建莆田·期中）函数y=2−3xx−1的值域为【巩固练习1】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）函数fx=5−2x【巩固练习2】（25-26高一上·陕西渭南·月考）函数f(x)=2x−33x+1的值域为【巩固练习3】（25-26高一上·浙江嘉兴·月考）函数f(x)=3−xx−2(x>3)【题型12】换元法求值域（根号型）核心知识 适用场景：形如的函数通过换元将根号去掉转化为二次函数求值域 核心：设解出代入原函数转化为关于的二次函数结合的条件求值域方法技巧1设元：令注明的取值范围（）2转化：解出代入原函数得到关于的二次函数3求值域：利用二次函数的图像或配方法结合的条件求值域4易错点：换元后必须注明的取值范围否则易忽略定义域限制导致值域错误【经典例题1】（25-26高三上·湖北省直辖县级单位·期中）函数fx=x+1−x+1的最大值是【经典例题2】（22-23高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）函数y=2x−x−1的值域是______【巩固练习1】（25-26高一上·江苏无锡·月考）函数f(x)=x+1−4x的值域为_________【巩固练习2】（25-26高一上·江苏南京·期中）已知f(x)=x−2x−1，则f(x)的值域为__________【巩固练习3】（2025高一·全国·专题练习）函数y=2x+41+x的值域为______【题型13】对勾函数型求值域（一次/二次或二次/一次）核心知识 对勾函数定义：形如的函数定义域为图像为对勾形状 性质：在上单调递减在上单调递增；在上单调递增在上单调递减；值域为 适用场景：形如或的函数可通过换元转化为对勾函数形式方法技巧1分离换元：将分式函数分离常数再换元转化为对勾函数形式 例：令则代入得为对勾函数2利用单调性：根据对勾函数的单调性结合定义域求值域3易错点：注意对勾函数的定义域限制避免直接套用最值公式而忽略定义域导致错误【经典例题1】（25-26高一下·上海·阶段检测）函数y=xx2【经典例题2】（25-26高一上·上海徐汇·期末）函数y=x2+3【巩固练习1】（2025高一上·江苏·专题练习）函数y=x−1x2【巩固练习2】（25-26高一上·天津·阶段检测）函数fx=【巩固练习3】（25-26高一上·北京·期中）函数fx=4【题型14】复杂型换元法求值域（换某个函数）核心知识 适用场景：形如的复合函数其中的取值范围可求通过换元将复合函数转化为简单函数求值域 核心：设先求的取值范围再求在的取值范围内的值域方法技巧1设元：令并求出的取值范围（即的值域）2转化：将原函数转化为3求值域：根据的类型（如一次、二次、对勾函数等）结合的取值范围求值域4常见换元：三角函数换元（如）、指数函数换元（如）等需注明换元后变量的取值范围【经典例题1】（25-26高一上·湖北·期中）已知函数fx=x+kx(1)写出fx在0,+(2)若k=1，求函数hx(3)若k>0，对任意的x1∈0,2，存在x2∈【经典例题2】（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）若对任意的a∈13,2，总存在b∈−1,−13，使得【题型15】由函数的值域求参数核心知识 已知函数的值域（如R、区间、特定集合等）反求解析式中参数的取值范围 本质：根据函数值域的限制条件转化为含参数的不等式恒成立或最值问题方法技巧1二次函数值域问题： 值域为：开口向上且最小值为即 值域为：开口向下且最大值为即 值域为R：开口向上且（保证函数值能取到所有大于等于最小值的数）2分式/根式函数值域问题：分离常数或换元后结合函数的性质列方程求解参数3易错点：注意函数的定义域限制避免忽略定义域导致参数范围错误【经典例题1】（24-25高二下·黑龙江·期末）已知函数f(x)=ax2+bx+ca≠0的定义域与值域都为0,m【经典例题2】（23-24高一上·云南曲靖·月考）若函数fx=ax2+x+1的值域为A．0,14 C．0,14 【巩固练习1】（23-24高三上·河北沧州·月考）已知函数fx=lnax2+2x+1，若fA．0,1 B．0,1 C．1,+∞ D．【巩固练习2】（2025高一上·江苏·专题练习）（多选）（多选）已知函数y=ax+bx2+1的值域为A．−1 B．1 C．7 D．−7【巩固练习3】（25-26高一上·重庆·期中）若函数的f(x)=3x−a+2值域为[2,+∞【题型16】分段函数的值域核心知识 分段函数：在定义域的不同区间上有不同的解析式值域为各分段函数值域的并集 核心：分别求各分段函数在对应区间上的值域再取并集方法技巧1分段求解：对每一段函数分别根据其解析式和定义域求值域2取并集：将各分段的值域合并得到整个分段函数的值域3易错点：注意各分段的定义域端点避免重复或遗漏；分段函数的值域是各段值域的并集不是交集4特殊情况：分段函数中某一段为常数函数时该段的值域为常数本身【经典例题1】（2026·安徽滁州·一模）已知函数f(x)=−log2(1−x),a≤x<0,−x2+2x,0≤x≤3【经典例题2】（25-26高三上·河北唐山·期中）已知函数f(x)=lnxx,x>0ax2A．−∞,−e4 B．(−∞,0)【巩固练习1】（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数f(x)=x−aex,x<1lnA．(−∞,e] B．[0,e]【巩固练习2】（25-26高三上·贵州贵阳·开学考试）已知函数fx=x+1x−1+a，A．−1，0 C．0，1 【巩固练习3】（2025·四川成都·模拟预测）若函数fx=x3−3x+2,x≥a−ax+1,x<a的值域为A．0,1 B．−1,0 C．0,1 D．−1,0课后过关检测课后过关检测一、单选题1．（25-26高一下·云南·开学考试）已知函数fx=3x,x<0,A．−9 B．−1 C．1 D．92．（江西南昌市八一中学等校2026届高三临门一练数学试题）已知函数fx=lgx−1，fx定义域为AA．A∩B=R B．A∪B=BC．A∈B D．03．（2026·北京丰台·二模）下列函数中，定义域和值域相同的是（

）A．fx=xC．fx=tan4．（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知函数fx对任意实数x,y满足yfx−xfy=xyy2A．22 B．42 C．825．（25-26高二下·北京·期中）已知函数fx=x−1A．有最大值也有最小值 B．有最大值无最小值C．无最大值有最小值 D．无最大值也无最小值二、多选题6．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）定义max{a,b}=a,a≥bb,a<b，若函数f(x)=A．f(−5)=−10B．若直线y=t与y=f(x)的图象有2个交点，则t=1C．f(x)在区间(−∞D．f(x)在区间m,n上的值域为0,1，则n−m的最大值为52，最小值为7．（25-26高三·全国·一轮复习）下列命题中正确的有（

）A．若一次函数f(x)满足f(f(x))=4x+3，则函数f(x)的解析式为f(x)=2x+1B．若f3x=xC．若fx−1x=D．若函数f(x)满足关系式f(x)+2f