第7讲 函数的单调性奇偶性对称性周期性【16个核心题型归纳】【原卷版】2027届高三数学一轮复习

2027届高考数学一轮复习题型全归纳2/45第7讲函数的单调性，奇偶性，对称性，周期性题型总览题型总览总览核心题型归纳（目录）【题型1】求函数的单调区间，判断已知函数的单调性 2【题型2】复合函数的单调性 4【题型3】由函数的单调性比较大小 5【题型4】由函数的单调性求参数范围（复合函数型） 6【题型5】由函数的单调性求参数范围（分段函数型） 8【题型6】判断函数的奇偶性 9【题型7】由函数的奇偶性求参数 11【题型8】由函数的奇偶性求解析式 13【题型9】局部奇函数求值问题 15【题型10】由函数的奇偶性单调性确定函数的图像 16【题型11】由函数的奇偶性单调性解抽象不等式 18【题型12】由函数的对称性单调性比较大小 19【题型13】由函数的对称性参数 20【题型14】由函数的对称性，周期性求值 22【题型15】抽象函数的周期性，对称性，奇偶性综合求值 24【题型16】抽象函数的奇偶性对称性单调性周期性综合 26模块一模块一核心题型·举一反三【题型1】求函数的单调区间，判断已知函数的单调性核心知识 单调性定义：设函数定义域为，区间，若对任意，时，都有，则在上单调递增；若，则单调递减 单调性的核心性质： 1.若同为增/减函数，则单调性与原函数一致 2.若增，减，则为增函数；为减函数 3.增函数的相反数为减函数，减函数的相反数为增函数 4.若恒正/恒负，则与单调性相反 5.复合函数“同增异减”：内外层单调性相同则复合后增，相反则减 常见函数单调性：一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数的单调性规律方法技巧1.定义法判断/证明：取值（）→作差（）→变形（因式分解、配方、通分）→判断符号→下结论2.图像法：根据函数图像的升降趋势判断单调性，上升为增，下降为减3.导数法：在定义域内，若，则单调递增；若，则单调递减（适用于可导函数）4.基本函数性质法：利用常见函数的单调性，结合四则运算性质判断复杂函数单调性【经典例题1】（2026·河南开封·模拟预测）下列函数中是奇函数，且在区间0,+∞A．y=x12 B．y=2x−x【巩固练习1】（25-26高二上·贵州安顺·期中）已知函数fx(1)判断fx(2)判断fx【巩固练习2】（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知函数fx(1)用定义证明函数fx在0,+(2)解不等式f2x【题型2】复合函数的单调性核心知识 复合函数定义：形如的函数，其中为内层函数，为外层函数 核心规律：“同增异减” 若内外层单调性相同，则复合函数为增函数 若内外层单调性相反，则复合函数为减函数 定义域优先：复合函数的定义域需同时满足内层函数和外层函数的定义域要求方法技巧1.分解复合函数：将分解为外层和内层2.求定义域：先确定的取值范围，再确定的值域（即外层函数的定义域）3.分别判断单调性：判断外层函数在的取值范围内的单调性，内层函数在的定义域内的单调性4.应用“同增异减”：结合内外层单调性，确定复合函数的单调区间，注意区间端点的取舍【经典例题1】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）函数y=log13A．−∞,1 B．(−1,1) C．(1,+∞【巩固练习1】（25-26高一上·广东深圳·期中）函数y=x2+x−6A．−∞,−12 B．−12【巩固练习2】（2025·青海·模拟预测）（多选）在下列区间中，函数fx=2A．0,π2 C．π,3π2【题型3】由函数的单调性比较大小核心知识 利用单调性的定义：增函数中，自变量越大，函数值越大；减函数中，自变量越大，函数值越小 核心逻辑：将待比较的函数值转化为同一单调区间内的自变量对应的函数值，再利用单调性判断大小方法技巧1.转化自变量：将待比较的中的转化到函数的同一单调区间内2.利用奇偶性辅助：若函数为奇函数/偶函数，可通过对称性将自变量转化到已知单调区间内3.结合单调性判断：增函数中，自变量大则函数值大；减函数中，自变量大则函数值小4.特殊值法：若为选择题，可代入特殊值验证大小关系【经典例题1】（2026·湖北·三模）已知函数fx=lnex+e−x，若A．c>b>a B．c>a>bC．b>a>c D．b>c>a【巩固练习1】（2026·江西·二模）已知函数f(x)=2x−12x，若a=flogA．c<b<a B．c<a<b C．a<c<b D．a<b<c【巩固练习2】（25-26高一下·江西南昌·月考）已知函数y=fx,x∈−2,2单调递增，记a=flog121A．c<d<b<a B．b<d<a<c C．a<b<d<c D．c<d<a<b【题型4】由函数的单调性求参数范围（复合函数型）核心知识 已知复合函数的单调性，反求解析式中参数的取值范围 本质：结合复合函数“同增异减”规律，分析内外层函数的单调性与参数的关系方法技巧1.分解复合函数：明确内外层函数，写出其单调性与参数的关系2.应用“同增异减”：根据复合函数的单调性，列出内外层单调性需满足的条件3.结合定义域：内层函数的值域需包含在外层函数的定义域内，列出不等式限制参数4.解不等式组：综合所有条件，解出参数的取值范围，注意端点验证【经典例题1】（2026·河南开封·模拟预测）已知函数f(x)=e−x2+ax+2a在(1,2)A．13,1 B．[0,4] C．[0,1] 【巩固练习1】（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知函数fx=log2x2−axA．−∞, 1 B．−∞,【巩固练习2】（25-26高一上·云南昭通·期中）设函数fx=3xx−a在区间−1,1A．−∞,−2 C．0,2 D．2,+【题型5】由函数的单调性求参数范围（分段函数型）核心知识 已知分段函数在定义域内单调，反求参数的取值范围 核心条件： 1.各分段函数在对应区间内满足单调性 2.分段点处的函数值需满足单调性的衔接条件（如左段最大值≤右段最小值，若为增函数）方法技巧1.分段分析单调性：分别分析每一段函数的单调性，列出参数需满足的条件2.衔接点验证：在分段点处，需满足左段函数的单调性与右段函数的单调性衔接，如增函数需满足左段在处的函数值≤右段在处的函数值3.解不等式组：综合各分段的单调性条件和衔接条件，解出参数范围4.易错点：不可忽略分段点处的衔接条件，否则易出现参数范围扩大的错误【经典例题1】（2025·安徽合肥·一模）若fx=ax+1，x<1lnx+2a，x≥1是RA．1,+∞ B．1,+∞ C．2,+∞【巩固练习1】（25-26高一上·山东济宁·期末）已知a>0，且a≠1，若fx=ex−1−1,x≤1loga【巩固练习2】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数fx=2a−1lne−x,x<0,A．12,1 B．12,2 【题型6】判断函数的奇偶性核心知识 奇偶性定义： 偶函数：定义域关于原点对称，且对任意定义域，都有，图像关于轴对称 奇函数：定义域关于原点对称，且对任意定义域，都有，图像关于原点对称 非奇非偶：定义域不关于原点对称，或不满足、 常见奇偶性性质： 1.奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇 2.奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反 3.若奇函数在处有定义，则方法技巧1.定义域优先：先判断定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数非奇非偶2.计算：写出的表达式，与、比较，判断是否相等3.特殊值验证：若，且函数在处有定义，则函数不是奇函数；若，则不是偶函数（仅适用于排除法）4.四则运算判断：利用常见函数的奇偶性，通过四则运算性质判断复杂函数的奇偶性补充：常见组合型的奇函数、偶函数常见奇函数1.单奇型：2.分式组合型：3.对数组合型：4.根式组合型：（需注意定义域）常见偶函数1.单偶型：（常数函数，），2.分式组合型：（注：此为奇函数，此处修正，偶函数为）3.绝对值组合型：（若为奇函数，则为偶函数），4.平方组合型：（若为任意函数，则为偶函数）【经典例题1】（2026·河北·三模）下列函数是偶函数，且在区间π,3π2上单调递增的是（A．y=cosx+π2 B．y=−cosx【巩固练习1】（2026·湖北·三模）已知函数fx=1+22A．是奇函数，且在区间0,+∞单调递增 C．是奇函数，且在区间0,+∞单调递减 【巩固练习2】（2026·云南昆明·二模）已知函数fx=lnA．fx是奇函数，且在0,+B．fx是奇函数，且在0,+C．fx是偶函数，且在0,+D．fx是偶函数，且在0,+【题型7】由函数的奇偶性求参数核心知识 已知函数的奇偶性，反求解析式中参数的取值 核心逻辑：利用奇偶性的定义，对定义域内任意恒成立，列方程求解参数方法技巧1.定义法列方程：写出的表达式，根据（偶函数）或（奇函数），令对应项系数相等，解参数2.特殊值法：利用（奇函数在处有定义时）、（偶函数）、（奇函数）等特殊值列方程，快速求解参数3.恒成立条件：若对任意恒成立，则对应项的系数必须相等，可通过比较系数求解4.易错点：特殊值法求出的参数需代入原函数验证，确保对所有都满足奇偶性【经典例题1】（2026·河北·二模）若函数fx=x2x+1A．43 B．73 C．75【巩固练习1】（2026·陕西榆林·模拟预测）若函数f(x)=log2a−2x+1A．1 B．2 C．−1 D．−2【巩固练习2】（2026·安徽·三模）已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)+sinπx为偶函数，f(x)−log3A．2−12log32 B．1 【题型8】由函数的奇偶性求解析式核心知识 已知函数在某一区间上的解析式和奇偶性，求其在对称区间上的解析式 核心逻辑：利用奇偶性的定义，将对称区间上的自变量转化为已知区间上的自变量，再代入解析式求解方法技巧1.设对称区间内的自变量：设为待求区间内的自变量，则在已知区间内2.代入已知解析式：写出的表达式3.利用奇偶性转化： 偶函数：，直接得到的表达式 奇函数：，整理得到的表达式4.注明定义域：写出函数在对称区间上的解析式时，需注明对应的定义域【经典例题1】（2026·河南许昌·三模）已知函数fx的定义域为R，若函数y=f(x)+2×3x是偶函数，函数y=f(x)−4×3−x是奇函数，则f(x)在A．3 B．23 C．4 【巩固练习1】（2026·甘肃酒泉·二模）已知函数fx是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，fx=ex+x【巩固练习2】（2026·江西萍乡·一模）设fx和gx分别为R上的偶函数和奇函数，若∀x∈R，fx+gxA．1,+∞ B．−∞,1 C．0,+【题型9】局部奇函数求值问题核心知识 函数在定义域的局部区间内满足奇函数的性质（如，即关于点对称），利用对称性求函数值 核心逻辑：利用局部对称性，将待求函数值转化为已知的对称点的函数值方法技巧1.识别局部对称：根据题目条件，确定函数的对称中心2.转化自变量：若函数关于对称，则，即3.代入求值：将待求的转化为的形式，结合已知条件求解4.特殊值验证：利用对称中心的性质，如（若对称中心在函数图像上），快速求解【经典例题1】（2024·黑龙江·三模）已知函数fx=ex+e−xsinx−2在−2,2上的最大值和最小值分别为A．−4 B．0 C．2 D．4【巩固练习1】（24-25高三·全国·一轮复习）已知函数fx=ax7+bx【巩固练习2】已知fx=x+sinx+1，若f【题型10】由函数的奇偶性单调性确定函数的图像核心知识 结合函数的奇偶性（对称性）和单调性，判断函数图像的大致形状 核心逻辑：奇偶性决定图像的对称性，单调性决定图像的升降趋势，结合两者可快速定位图像方法技巧1.利用奇偶性定对称：偶函数图像关于轴对称，奇函数图像关于原点对称，先画出一侧的图像，再对称得到另一侧2.利用单调性定升降：根据函数的单调性，判断图像在各区间内的上升或下降趋势3.特殊点验证：代入特殊点（如）的函数值，排除不符合的选项4.极限趋势判断：分析时函数的趋势，辅助判断图像【经典例题1】（2026·甘肃兰州·模拟预测）函数fx=4xA． B． C． D．【巩固练习1】（2026·天津南开·一模）已知函数fx的部分图象如图所示，则fx的解析式可能为（A．fx=xC．fx=x【巩固练习2】（2026·天津·一模）函数f(x)=ln|x|+3A． B．C． D．【题型11】由函数的奇偶性单调性解抽象不等式核心知识 已知抽象函数的奇偶性和单调性，解形如的不等式 核心逻辑：利用奇偶性将不等式转化为同一单调区间内的函数值比较，再利用单调性脱去“”符号，转化为自变量的不等式方法技巧1.统一单调区间：利用奇偶性将不等式两边的自变量转化到函数的同一单调区间内2.利用单调性脱“”：若函数为增函数，则；若为减函数，则3.结合定义域：解不等式时，需保证自变量在函数的定义域内，列出定义域限制条件4.解不等式组：综合脱“”后的不等式和定义域条件，解出的取值范围【经典例题1】（23-24高一上·山西·期末）已知函数y=fx在R上是奇函数，当x>0时，fx=2A．−1,1B．−1,0C．−D．−【巩固练习1】（25-26高一上·上海·月考）已知y=fx是定义域为R的偶函数，且fx在0,+∞上严格递增函数，若fa−1【巩固练习2】（24-25高二下·浙江温州·期末）已知一函数fx=12x−x2，其定义域为A．−1,−13 B．−52,−1 【题型12】由函数的对称性单调性比较大小核心知识 已知函数的对称性（轴对称/中心对称）和单调性，比较不同自变量对应的函数值大小 核心逻辑：利用对称性将自变量转化到同一单调区间内，再利用单调性比较函数值大小方法技巧1.利用对称性转化自变量： 轴对称：若函数关于对称，则，即 中心对称：若函数关于对称，则，即2.统一到同一单调区间：将待比较的自变量转化到函数的同一单调区间内3.利用单调性比较：根据函数在该区间内的单调性，比较自变量的大小，进而得到函数值的大小关系【经典例题1】（2026·陕西咸阳·一模）已知定义域为R的函数fx满足fx=f2−x，且当x≤1时，fxA．f1<f−1C．f4<f−1【巩固练习1】（25-26高三上·陕西宝鸡·月考）已知函数fx=eA．b>c>a B．b>a>cC．c>b>a D．c>a>b【巩固练习2】（24-25高三上·江苏南通·期末）定义在R上的奇函数fx满足fx=f4−x，且fx在−2,2上单调递增.设a=f74A．a<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．b<c<a【题型13】由函数的对称性参数核心知识 已知函数的对称性（轴对称/中心对称），反求解析式中参数的取值范围 核心逻辑：利用对称性的定义列方程，求解参数方法技巧1.轴对称函数：若函数关于对称，则对任意恒成立，令对应项系数相等，解参数；常见二次函数的对称轴为，可直接利用对称轴公式求参数2.中心对称函数：若函数关于点对称，则对任意恒成立，令对应项系数相等，解参数3.特殊值法：代入对称点的函数值列方程，快速求解参数，再验证恒成立条件【经典例题1】（2026·山东·二模）已知函数fx=ax−1x−1的图象关于点1,2【巩固练习1】（2025·安徽马鞍山·模拟预测）若函数f(x)=lnx+ax+1+x的图象关于(2,2)对称，且a≠1，则实数A．−5 B．−1 C．0 D．5【巩固练习2】（24-25高三上·福建·期中）已知函数fx=x−a3lnx+b【题型14】由函数的对称性，周期性求值核心知识 函数的周期性：若存在非零常数，使得对任意定义域，都有，则为函数的周期，最小的正周期为最小正周期 对称性与周期性的关系： 1.若函数关于和对称，则周期 2.若函数关于和对称，则周期 3.若函数关于和对称，则周期方法技巧1.推导周期：根据对称性的条件，推导出函数的周期2.化简自变量：利用周期性，将待求的中的转化为一个周期内的自变量3.结合对称性求值：利用对称性，将转化后的自变量对应的函数值求出4.常见周期函数：三角函数、周期数列、分段周期函数，利用周期性简化计算【经典例题1】（2026·辽宁沈阳·三模）已知f(x)是定义在R上且周期为2的奇函数，当2<x≤3时，f(x)=x2−4x，则f(−1A．−154 B．−54 C．【巩固练习1】（2026·福建南平·二模）已知fx是定义在R上且周期为4的奇函数，当−2<x<0时，fx=exA．-2 B．−12 C．1【巩固练习2】（2026·山东东营·二模）已知奇函数fx的周期为2，且当x∈1,2时，fx=【题型15】抽象函数的周期性，对称性，奇偶性综合求值核心知识 抽象函数同时具有周期性、对称性、奇偶性，利用三者的综合性质求函数值 核心逻辑：利用奇偶性转化正负自变量，利用对称性转化对称点的函数值，利用周期性化简自变量，三者结合求解方法技巧1.利用奇偶性转化：将负自变量转化为正自变量，如（奇函数）、（偶函数）2.利用对称性转化：将对称点的函数值转化为已知点的函数值，如3.利用周期性化简：将大的自变量转化为一个周期内的自变量，如4.多步转化：结合三者性质，逐步化简自变量，最终转化为已知函数值的点，求出结果【经典例题1】（2026·四川眉山·模拟预测）已知y=fx−2x是定义域为R的偶函数，fx的导函数f′x满足fA．5 B．4 C．3 D．2【巩固练习1】（2026·山西大同·三模）已知fx是定义在R上的奇函数，函数gx=x−1fx的图象关于点1,0对称，且满足i=1A．−4 B．−2 C．2 D．4【巩固练习2】（2026·广东中山·三模）（多选）已知函数fx，gx的定义域为R，且g2−x+fx=1，gxA．f2026−x+fx−2025C．gx是奇函数 D．【题型16】抽象函数的奇偶性对称性单调性周期性综合核心知识 抽象函数同时涉及奇偶性、对称性、单调性、周期性，求解不等式、参数范围、函数值等问题 核心逻辑：综合运用四种性质，将复杂问题转化为简单的函数值比较、自变量范围求解等问题方法技巧1.性质优先级：先利用奇偶性和对称性转化自变量，再利用周期性化简，最后利用单调性脱“”符号2.画示意图：根据函数的对称性、周期性和单调性，画出函数的大致图像，直观分析问题3.定义域优先：所有转化过程中，需保证自变量在函数的定义域内4.特殊值验证：代入特殊值验证转化过程是否正确，避免符号错误或转化失误【经典例题1】（25-26高一上·四川成都·期中）（多选）已知fx是定义在R上的奇函数，图象关于x=1对称，且当x∈0,1时，fA．f2=0 C．fx在区间2,3上单调递减 D．f【巩固练习1】（24-25高一上·广东广州·期中）（多选）定义在0,+∞上的函数fx满足下列条件：（1）fxy=yfx−xfA．f1=0 C．当0<x<1时，fx<0 D．fx【巩固练习2】（2026·湖南衡阳·二模）（多选）已知函数f(x)的定义域为R，f(x)和f(x+1)均为偶函数，且当x∈[0,1]时f(x)=−(x−1)2+2A．f−12=74C．函数f(x)是周期为2的周期函数 D．函数f(x)在(−2,−1)上单调递增课后过关检测课后过关检测一、单选题1．（2026·湖南·一模）设fx是定义在R上且周期为2的奇函数，当0<x<1时，fx=4xA．−1 B．1 C．−7 D．72．（2026·河南郑州·二模）已知函数fx=x−2−x，若函数gx=lnx+13−x与函数A．1 B．2 C．3 D．43．（2026·广东广州·二模）若函数y=f(x)的图象与y=log3x+a的图象关于直线y=x对称，且f(2)=18，则a=A．−9 B．−log32 C．4．（2026·陕西渭南·三模）已知fx是定义在R上的奇函数，fx+1是偶函数，则f2026A．0 B．−2 C．2 D．45．（2026·湖南邵阳·三模）已知fx是定义域为R的奇函数，且当x>0时，fx=ex−1．若A．ln23 B．ln32 C．6．（2026·陕西渭南·三模）函数fx=3x−A．