第08讲基本不等式及其应用（知识清单+7典例精讲+5方法技巧+分层训练）（解析版）

第08讲基本不等式及其应用（知识清单+7典例精讲+5方法技巧+分层训练）近3年考查情况题型分值a+b≥2ab求最值、不等式变式、三元不等式单选题、多选题5分/6分1的代换+a+b≥2ab、凑配定值、几何最值+单选题、填空题5分ab≤(a+b2单选、填空5分a2+b解答题（小问）、解答题4-10分【知识点01】基本不等式：ab≤a(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立.(3)其中a＋b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a【例1】判断下列说法是否正确，并说明理由。（1）若a,b∈ℝ，则ab≤a+b2；（2）若a>0,b>0，则解析：（1）错误，忽略“一正”前提，若a=−1,b=−2，ab=2，a+b2（2）正确，满足“一正”，且当a=b=2时，2+22=2，【知识点02】利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2P.(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值14S2注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.【例2】已知x>0，y>0，且2x+y=1，求1x解析：利用1的代换，将1替换为2x+y，得：1由基本不等式，yx+2xy≥2yx⋅2xy=2故1x+1【知识点03】基本不等式的应用求代数式最值、比较大小、证明不等式、解决几何及实际问题（周长、面积、利润最值等），常与函数、导数结合考查。易错提醒：忽略“一正、二定、三相等”任一条件，会导致最值求解错误；分式型最值需先凑配定值，再套用公式。【例3】已知x>0，y>0，且2x+y=1，求1x解析：利用1的代换，将1替换为2x+y，得：1由基本不等式，yx+2xy≥2yx⋅2xy=2故1x+1【题型一】由基本不等式比较大小【例1】（2025·云南·一模）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用对数函数的性质比较,根据基本不等式比较.【详解】因为，所以，所以，即，即，又因为，所以，即，综上，，故选:A.【变式1】（2025·广东·一模）已知，设命题，命题，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】结合基本不等式即可证明充分性成立，用特值检验即可说明必要性不成立.【详解】取,满足,但，必要性不成立，由基本不等式得,由题可知,则,解得,充分性成立，则是的充分不必要条件，故选：A【变式2】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆柱的底面半径为，圆台的上、下底面半径分别为，若圆柱和圆台的高和体积都相等，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆台和圆柱的体积公式，得出，做差可判断，再结合基本不等式，可得.即可得到答案.【详解】不妨设圆柱和圆台的高为，由体积公式可知，即；.圆台中，故，即，，选项A错误，选项B正确.由基本不等式，结合，得，平方后得到，选项CD错误.故选：B【变式3】（多选）（2025·四川泸州·模拟预测）若，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据基本不等式及不等式的性质依次判断各项的正误.【详解】用替代中的，得到，当且仅当时取等号，故A正确；取，则，故B错误；，当且仅当时取等号，故C正确；因为，所以，即，当且仅当时取等号，故D正确.故选：ACD【题型二】由基本不等式证明不等关系【例1】（2025·四川眉山·模拟预测）已知，，则“”是“”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分，必要条件的定义进行判断即可.【详解】当时，满足，此时；由，且，，得，当且仅当时等号成立.故“”是“”的必要不充分条件.故选：A.【变式1】（2024·河南·模拟预测）若，则使成立的一个充分不必要条件为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用特殊值法代入可知A、B、D均错误，再利用基本不等式计算可得C正确.【详解】对于A，易知当时满足，但此时不成立，可知A错误；对于B，当，可知成立，但不成立，可知B错误；对于C，由可得，即可得，即充分性成立；当时，满足，但此时不成立，即必要性不成立，可得C正确；对于D，当时，易知成立，此时不成立，可得D错误.故选：C【变式2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知非零向量满足，若，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据向量数量积的运算可得，即可根据不等式得，进而可判断必要性，举反例即可求解不充分性.【详解】,由于，所以，故能得到，但不一定能得到，比如，满足，但无法得到，故“”是“”的必要不充分条件，故选：B【变式3】（2024·青海·一模）已知正数满足．求证：(1)；(2)．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据，结合基本不等式，即可得证；（2）由，结合基本不等式，即可得证.【详解】（1）证明：因为正数满足，由，当且仅当时，等号成立，可得，即，所以，当且仅当时，等号成立.（2）证明：由，当且仅当，即，等号成立.所以.【题型三】基本不等式求积的最大值【例3】（2026·四川绵阳·三模）已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】由题可知，若，则，当且仅当“”时取“”，则；若取，满足，但，故“”是“”必要不充分条件.【变式1】（2025·山西吕梁·模拟预测）若且，则的最大值为（）A．1 B．2 C．4 D．16【答案】B【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】由基本不等式可得：，所以，当且仅当时等号成立；所以的最大值为；故选：B【变式2】（2026·广东湛江·二模）已知正数，满足，则的最大值为______.【答案】12【详解】由，得，所以，当且仅当，时等号成立.【变式3】（2026·福建龙岩·三模）在中，内角的对边分别为，且．(1)求；(2)若边上的中线的长为2，求面积的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理以及特殊角的三角函数值求解即可.（2）根据向量的模以及基本不等式得，再根据三角形面积公式求最值.【详解】（1）因为，所以，因为所以，所以，，因为，．（2）因为是边上的中线，所以，两边平方：，由（1）得，代入已知条件得：，整理得a2所以ab≤1所以，当且仅当时，取到等号，所以面积的最大值为．【题型四】基本不等式求积的最小值【例4】（2026·浙江宁波·二模）已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据基本不等式，结合充分、必要条件的定义，分析即可得答案.【详解】若，则，充分性成立；若，取，满足条件，则，不满足，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.【变式1】（2026·河南开封·模拟预测）若，则的最小值为（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【分析】先代数变形得，再利用基本不等式即可求解.【详解】由题意得：，，当，即时，等号成立.【变式2】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知，则的最小值为__________．【答案】9【分析】对进行变形，然后利用基本不等式求解其最小值.【详解】因为，则，.所以.当且仅当时，即等号成立.因此，的最小值为9.【变式3】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为_____.【答案】3【分析】设，将待求式化为关于的函数式，再利用基本不等式求解即得.【详解】设，因，则，且，因，当且仅当时取等，即时，也即时，取得最小值4，此时的最小值为3.【题型五】基本不等式“1"的妙用求最值【例5】（2026·陕西商洛·模拟预测）已知函数，正数满足，则的最小值为（

）A．2 B．5 C．8 D．9【答案】D【详解】因为函数的定义域为，，所以是奇函数；又，所以，又，所以在上单调递增，所以，即；又均为正数，所以，当且仅当时，即，时等号成立，故的最小值为9，故D正确.【变式1】（多选）（2026·辽宁朝阳·三模）已知正实数满足，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】由对数的运算可判断A，由基本不等式结合乘1法可判断BCD.【详解】由题意可知，所以，A项正确；，当且仅当时取等，B项正确；所以，当且仅当时取等，C项正确；，当且仅当时取等，D项错误．【变式2】（2026·福建南平·二模）若，，且，则的最小值为________.【答案】5【分析】根据题意得，对整理，再利用基本不等式求解.【详解】由得，所以，因为，，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为5.【变式3】（2025·海南·模拟预测）在中，角所对应的边分别为且满足．(1)求的大小；(2)角的平分线与边相交于点，且，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理以及两角和差的正弦公式化简即可；（2）根据得出，再结合基本不等式即可求解.【详解】（1）由得，由正弦定理得，因为，所以，即，即，因为，所以，若，则矛盾，故，所以，而，所以．（2）因角的平分线为，则，因，且，则，∴，∴，则，当且仅当，即时取等号．所以的最小值为．【题型六】条件等式求最值【例6】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知且，则的最小值是（

）A．3 B．9 C．5 D．25【答案】D【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以，解得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为25．【变式1】（多选）（2026·河北沧州·模拟预测）已知正实数满足，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】对于A，即可判断；对于B，利用即可判断；对于C，对式子两边同时平方可得，根据的范围即可判断；对于D，由可得，根据二次函数的性质即可判断.【详解】选项A，由，可得，即，故A正确；选项B，利用基本不等式可知，整理可得，当且仅当，即，时，等号成立，故B错误；选项C，整理式子，可得，两边同时平方得，即，因为，所以，当且仅当，时，等号成立，故C正确；选项D，由，可得，得，则，函数是开口向上的二次函数，对称轴为，所以，故D正确.【变式2】（2026·贵州贵阳·二模）若，且，则ab的最小值是______．【答案】4【详解】因，则，整理得，解得，即，当且仅当时取等，故当时，ab取得最小值为4.【变式3】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知正数a，b，c满足．(1)若，证明：；(2)求的最小值．【答案】(1)证明见详解(2)【分析】（1）由题意可得，结合不等式分析证明；（2）由等式可得，进而求最值.【详解】（1）因为正数a，b，c满足，若，则，可得，当且仅当，即时，等号成立，所以.（2）因为，即．同理可得，，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.【题型七】基本(均值)不等式的应用【例7】（2026·广东江门·二模）已知，，且，则的最小值为（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【分析】方法一：条件等式可化为，再结合关系利用基本不等式求结论；方法二：由条件等式可得，消元变形可得，再利用基本不等式求其最小值即可.【详解】（方法一）由，可得，因为，，所以，，则，当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为13．（方法二）由，可得，因为，所以，则，当且仅当16b−1=b−1，即故的最小值为13．【变式1】（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】设根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长.【详解】设则，所以，所以，因为，即且，解得，所以.故当且仅当，即时，等号成立，所以当时，该休闲场所的总造价最小，最小值为元.故选：B【变式2】（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数，满足，则的最大值为______.【答案】8【分析】将已知等式变形为，利用基本不等式建立与的关系，从而求得的最大值.【详解】因为，为正数，所以，根据基本不等式可得，(当且仅当16，即时等号成立)；则，即16，因为16，所以，可得.即的最大值为8.故答案为：8【变式3】（2024·广东中山·模拟预测）某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）.(1)要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围；(2)设备占地面积为多少时，的值最小？【答案】(1)(2)设备占地面积为时，y的值最小【分析】（1）由题意得，解不等式即可得解.（2）将变形为，再利用基本不等式即可求解.【详解】（1）由题意得，令即，整理得即，所以解得，所以设备占地面积的取值范围为.（2），当且仅当即时等号成立，所以设备占地面积为时，的值最小.【解题大招01】凑配定值法当代数式无明显定值时，通过“加项、减项”凑配出和定或积定，满足基本不等式“二定”要求，优先凑配与变量相关的定值项，规避符号错误。易错提醒：凑配时需保证凑配项与原变量符号一致，避免出现负数项导致公式失效。【例1】已知x>1，求y=x+4x−1的最小值。解析：由x>1，得x−1>0（满足“一正”），凑配定值：y=x+此时(x−1)与4x−1(x−1)+当且仅当x−1=4x−1，即故y的最小值为4+1=5。【解题大招02】“1的代换”法已知mx+ny=1（m,n>0，x,y>0），求ax+by（【例2】已知x>0,y>0，且3x+2y=6，求1x+1解析：先将已知条件变形为“1”的形式：3x+2y6=1，即进行1的代换：1由基本不等式，y3x当且仅当y3x=x2y，结合3x+2y=6，解得故1x+1【解题大招03】分类讨论法（适配含负变量、参数型最值）当变量含负数、参数时，先分类转化为“正数”，再套用基本不等式；参数型需按参数影响“一正、二定、三相等”的条件分类求解，避免漏解。【例3】求y=x+1x（x≠0）的最值。解析：分两类讨论，保证“一正”前提：①当x>0时，由基本不等式，y=x+1x≥2②当x<0时，令t=−x>0，则y=−t+1由基本不等式，t+1t≥2，故−(t+1t综上：y的最大值为-2，最小值为2。【解题大招04】结合几何意义法（适配几何背景最值）将代数式转化为几何量（周长、面积、距离等），利用基本不等式求几何量的最值，核心是找到几何量对应的“和定”或“积定”关系。【例4】已知矩形的周长为16，求该矩形面积的最大值。解析：设矩形的长为a，宽为b（a>0,b>0），由周长为16，得2(a+b)=16，即a+b=8（和定）。矩形面积S=ab，由基本不等式“和定积最大”：ab≤当且仅当a=b=4（即矩形为正方形）时，等号成立。故矩形面积的最大值为16。【解题大招05】不等式链应用法（适配大小比较、范围求解）利用均值不等式链21a+1b【例5】已知a>0,b>0，且a+b=2，比较ab、21a+1b解析：①大小比较：由不等式链，21a+1b②求a2+ba由ab≤1，得ab≤1，故2−ab≥1，即2−ab当且仅当a=b=1时，等号成立，故a2【基础过关】（共8题）一、单选题1．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知平面向量满足，，则的取值范围为（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量的模，通过将模进行平方得到等式，然后化简求出的余弦值，进而根据向量夹角的范围和基本不等式的性质求出的取值范围.【详解】因为，所以，即，因为，所以，所以，因为，所以．故选：B.2．（2026·安徽滁州·二模）已知，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．【答案】C【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可.【详解】因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4.3．（2026·甘肃酒泉·二模）已知，且满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接由条件和基本不等式可得最小值.【详解】因为，所以，且，所以，当且仅当且时等号成立，由得（舍去），代入，解得，所以当时，的最小值为.二、多选题4．（2025·广东·模拟预测）已知，则下列命题一定为真命题的有（

）A．B．若，则C．D．若，则【答案】ACD【分析】利用对数函数的性质可判定A，利用反例可判定B，利用不等式的性质可判定出，根据基本不等式可判定D.【详解】对于A，因为函数单调递增，又，所以，故A正确；对于B，当时，，故B错误；对于C，由不等式的传递性可知，故C正确；对于D，由得，又，所以，即.又，即，则，即，又，故，故D正确.故选：ACD.三、填空题5．（2025·四川·模拟预测）已知，则的最小值为___________．【答案】1【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值即可.【详解】由，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为1.故答案为：16．（2026·内蒙古赤峰·一模）正数m，n满足，则的最小值为________．【答案】2【详解】因，则，当且仅当时取等号.则即，解得，（舍去）当且仅当时等号成立，故的最小值为2.四、解答题7．（2026·陕西商洛·一模）在中，内角的对边分别是，且．(1)求；(2)若，求的面积的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理得，通过同角三角函数的基本关系求得的值；（2）利用基本不等式可得，从而求出的面积的最大值.【详解】（1）由，得，所以由余弦定理，得，因为中，，所以，，所以.（2）由和，得，因为，当且仅当时取等号，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的面积，即的面积的最大值为.8．（2024·内蒙古锡林郭勒盟·模拟预测）已知函数．(1)当时，求的最大值；(2)求使成立的的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由可知，化简利用基本不等式可求得结果；（2）由题意可得，根据分式不等式的解法求解即可.【详解】（1），当时，，因为，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为（2）因为，若，所以，得或解得或，即的取值范围是．【拔高选练】（共6题）一、单选题1．（2026·广西崇左·一模）若，则的（

）A．最小值为4 B．最小值为6C．最大值为4 D．最大值为6【答案】B【详解】由，得，则，当且仅当，即时取等号成立，所以的最小值为6，无最大值.2．（2026·江苏·模拟预测）在中，角所对的边分别为，若，，则当角取得最大值时，的周长为（

）A．6 B． C． D．【答案】B【分析】根据余弦定理，将角化边，可得，再由余弦定理结合不等式，可求得角的最大值为，再根据已知条件和余弦定理，可分别求得三角形的三边长，进而得到三角形的周长.【详解】由题意，，根据余弦定理，可得，化简得，即，所以，根据基本不等式，可得，所以，当且仅当，即时，等号成立，又，由余弦函数的性质，可知单调递减，所以，所以角的最大值为，且，又由余弦定理得，，所以，又，所以，所以，所以的周长为，所以B正确.二、多选题3．（2026·贵州毕节·三模）已知正实数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】结合已知条件，利用基本不等式对各选项逐一变形验证即可.【详解】选项A.由基本不等式，则，平方得，当且仅当时等号成立，A正确.选项B.对平方得，由A知，因此，因为，开方得，当且仅当时等号成立，B正确.选项C.，由，所以，即，C错误.选项D.，因此，所以，D错误.三、填空题4．（2026·安徽·模拟预测）已知，，且，则的最小值为________．【答案】【详解】由题意得，，所以，当且仅当，，即时，等号成立．5．（2026·陕西渭南·模拟预测）已知为正实数，且直线与曲线相切，则的最大值为__________.【答案】/0.5【分析】利用函数导数与函数在某点处的切线方程，以及基本不等式求解即可.【详解】由直线与曲线相切，设切点为，由，且切线的斜率为，所以，代入曲线方程中得：，所以切点为，代入直线方程中得：，因为，所以.当时取等号，所以的最大值为.则的最大值为.四、解答题6．（2025·山东泰安·模拟预测）已知的角对边分别为，.(1)求角的大小.(2)设点是的中点，若，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理边化角，进而可得，可求；（2）延长到，满足，连接，在中，由余弦定理化简整理得到，结合基本不等式，求得，再由三角形的性质，即可求得的取值范围.【详解】（1），，由正弦定理可得：，，,即，，．（2）如图，延长到，满足，连接，则为平行四边形，且，在中，由余弦定理得，即，可得，即，由基本不等式得：，即，即，可得，（当且仅当取等号号），又由，即，故的取值范围是.【错题复盘】（共5题）一、单选题1．（2026·浙江·二模）已知，则的最小值为（

）A． B． C．5 D．9【答案】B【分析】利用常数代换，结合基本不等式求解可得.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.二、多选题2．（2026·河北雄安·模拟预测）下列说法正确的是（

）A．B．若，则“”是“”的充要条件C．的最小值为3D．若，则【答案】AC【分析】利用存在量词命题的定义