2026年安徽合肥六校高二下学期期中考数学试题含答案

第1页/共4页2026年春季学期期中考试高二年级数学试卷1.某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：cm）与时间t（单位：s）之间的关系为y=10sin，则当时间t=4s时，弹簧振子的瞬时速度大小为cm/s.A.4πB.5πC.6πD.8π2.某小区有3个不同的快递驿站（驿站A、B、C现在有5件快递需要分发到这3个驿站，每件快递只能分发到其中一个驿站，那么不同的分发方法有多少种?()A.15B.125C.243D.813.函数y=f(x)的导函数y=f’(x)图象如左图所示，则该函数y=f(x)图象可能是()A.C.B.D.A.A0第2页/共4页A.a02109D.f(13)的个位数是97.定义在R上的函数f(x)的导函数为f,(x)，若对任意实数x，有f(x)>f,(x)，且f(x)+2026为奇函数，则不等式f(x)+2026ex<0的解集是()A.8.若关于x的不等式lnx—ax2—ax≥0有且只有一个整数解，则实数a的取值范围是()A.B.C.D.要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分9.下列求导正确的是()10.下列说法正确的是()A.用0~5这6个数字，可以组成60个没有重复数字的三位数B.将2个a,3个b,1个c排成一排，则共有60种排法C.将6个参加数学竞赛的名额分给甲、乙、丙三个班，每班至少一个名额，则共有10种方法D.从4名男生和3名女生中选出3人参加数学竞赛，如果3人中必须既要有男生又有女生，则共有CCC种选法11.已知f(x)是定义在R上的可导函数，其中f,(x)为其导数，g(x)=f,(x)，若f(x)满足第3页/共4页f(x+2)=f(x)+2，f(2x+1)关于点(0,1)对称，下列结论中正确的是()A.f(1)=0B.f(2025)=2025C.x=1为g(x)的一条对称轴D.g(x+1)=g(x-1)12.如图，有两堆同样的盒子，一堆3个，一堆7个，现需要将这些盒子搬走，每次只能从其中一堆搬走最上面的一个盒子，共有种不同的搬法用数字作答）13.在微积分中“以直代曲”是最基本、最朴素的思想方法，中国古代科学家刘徽创立的“割圆术”，用圆的外切正n边形和内接正n边形“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，事实上就是用“以直代曲”的思想方法进行近似计算的，它是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的方法，在切点附近可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”．若函数f(x)=ex，则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为，用此结论“近似计算”202的值为（结果用分数表示）.14.若函数有且仅有两个零点，则实数a的取值范围为______.15.已知函数f(x)=2x3-ax2+4,x=1是函数f(x)的一个极值点.（1）求函数f(x)的单调区间；（2）当x∈[-1,2]时，求函数f(x)的最小值.16.在的展开式中，______．给出下列条件：①所有奇数项的二项式系数和为32；②各项系数之和为729；③第3项的二项式系数为15．试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题：（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中系数最大的项；求展开式中x2的系数.第4页/共4页注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17.已知函数f(x)=lnx-ax+1.（1）求f(x)的极值；（2）当a=-1时，证明：f(x)≤xex.18.已知函数f(x)=aln2x-xlnx+x.（1）若a=0，求f(x)的零点；（2）若a>0，讨论f(x)的单调性；)，证明：f(ea)<1.19.拐点，又称反曲点，指改变曲线向上或向下的点（即曲线的凹凸分界点设f’(x)是函数y=f(x)的(x)=0有实数解x=x0，并且在点(x0,f(x0))左右两侧二阶导数符号相反，则称(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”．经研究发现所有的三次函数≠0)都有“拐点”，且该“拐点”也是函数y=f(x)的图象的对称中心．已知三次函数f(x)=x3-3x2+4.（1）过点P(0,5)作曲线y=f(x)的切线，求切线方程：（2）若对于任意实数x，都有f(x2-2x+4)+f(x2+λx)>4恒成立，求实数λ的取值范围；高二年级数学答案【答案】B2.【答案】C【解析】【详解】解：根据题意，每个快递有3个不同的快递驿站，则不同的分发方法有35=243种.【答案】B【解析】【分析】根据f,(x)的图像，先判断f,(x)>0和f,(x)<0，进而得到f(x)的单调区间，逐一验证即可求解.当2<x<1或x>1时，f,(x)>0，所以f(x)的单调增区间为(2,1),(1,+∞)，故选：B.4.【答案】C【解析】【分析】利用排列、组合数公式，逐一化简验证各选项等式两边是否相等，判断正误.对于选项B，由C⋅m!=，故B正确;对于选项D，因为nC第2页/共15页【答案】C【解析】【分析】根据题意，构造函数=lnx+利用导数求得函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，结合4>3>e，得到f(4)>f(3)>f(e)，即可求解.则f>0，所以f在上单调递增，故选：C.【答案】C【解析】【分析】赋值法求系数和判断A、B；由f(13)=2910=(20+9)10，结合展开式通项得个位数由910=81510并应用二项式定理求对应项系数判断C.1021010，359rC0(x2)010，展开式通项为Mk+1=第3页/共15页显然个位数由910=815决定，即个位数是1，D错误；7.【答案】C【解析】【分析】构造辅助函数利用导数判断其单调性，再利用f(x)+2026为奇函数求出g(0)的值，从而将原不等式转化为关于g(x)的不等式进行求解.设g因为f(x)>f,(x)，所以g,(x)<0，所以g(x)为定义在R上的减函数，因为f(x)+2026为奇函数，故选：C.【答案】A【解析】【分析】由题意得只有1个整数解，利用导数分析函数的单调性，令g(x)=a(x+1)，则g(x)的图象是一条过定点(一1,0)的直线，画出函数图象，结合图象分析即可求解.(0,e)时，f,(x)>0，f(x)在(0,e)上单调递增，第4页/共15页(e,+∞)时，f9(x)<0，f(x)在(e,+∞)上单调递减，当x→0时，f(x)→-∞,当x→+∞时，f(x)→0，且f(1)=0，令g(x)=a(x+1)，则g(x)的图象是一条过定点P(-1,0)的直线，则a>0，如图，当g(x)的图象经过时，ln2ln3ln2直线PA,PB,PC的斜率分别为不等式只有1个整数解，由图可知.故选：A.要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分【答案】AD【解析】【分析】利用基本初等函数的导数公式以及导数的四则运算逐项分析即可.x3)x3.3x)2.3x+x3.3xln3，故C错误；对于，故D正确.第5页/共15页【答案】BC【解析】【详解】选项A：用0~5这6个数字，可以组成没有重复数字的三位数为：选项B：将2个a,3个b,1个c排成一排，总排列数为=60种，故B正确；选项C：6个相同元素排成一排，产生5个空隙，插入两个隔板分成3份，对应组合数为：【答案】BCD【解析】【分析】根据f(2x+1)关于点(0,1)对称，可得f(2x+1)+f(-2x+1)=2，将x=0代入即可判断A；根据f(x+2)=f(x)+2，利用累加法可判断B；通过f(2x+1)+f(-2x+1)=2证明ff为2，即可判断D.【详解】因为f(2x+1)关于点(0,1)对称，因为f(x+2)-f(x)=2，f(1)=1，所以f(3)-f(1)=2，f(5)-f(3)=2，L，f(2025)-f(2023)=2，累加可得f(2025)-f(1)=1012×2，所以f(2025)=2025，故B正确；第6页/共15页两端求导得f,(x+1)-f,(-x+1)=0，即f,(x+1)=f,(-x+1)，.所以f,(x)图象关于直线x=1对称，即x=1为g(x)的一条对称轴，故C正确；由f(x+2)=f(x)+2得f,(x+2)=f,(x)，所以函数g(x)的周期为2，故g【答案】120【解析】【分析】根据题意10次搬盒子任选其中3次搬第一堆的3个盒子，应用组合数求不同的搬法数.【详解】由题设，共需搬10次，选择其中3次搬走第一堆的3个盒子，故有C0=120，故答案为：120【解析】【详解】函数f(x)=ex，求导得f'(x)=ex，在x=0处，斜率为k=f'(0)=1，:曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为：y=x+1；【解析】【分析】分离参数后，利用导数研究函数的单调性，作出大致图象，数形结合求解.【详解】f(x)有且仅有两个零点，故a=有两个解，第7页/共15页设则直线y=a与函数g(x)的图象有两个交点.由e2x,x≥-1，显然函数g(x)在(-∞,-1)上单调递增，令e2x>0得x2x所以在上单调递增，在上单调递减，作出函数g(x)的图象如图所示，其中则实数a的取值范围为故答案为【答案】（1）函数f(x)的增区间为(1,+∞)和(-∞,0)，减区间为(0,1)（2）-1【解析】【分析】（1）根据极值的定义，结合导数的正负性与函数单调性的关系进行求解即可；（2）根据（1）的结论，结合函数最值性质进行求解即可.【小问1详解】第8页/共15页因为x=1是函数f(x)的一个极值点，)上单调递增；当f,(x)<0时，解得0<x<1，所以f(x)在(0,1)上单调递减，因此x=1是函数f(x)的一个极值点，【小问2详解】332所以当x∈[1,2]时，函数f(x)的最小值为f(1)=1.（2）240x2（3）400.【解析】=32，则n=6，写出展开式的通项公式，求出常数项；n=729，则n=6，写出展开式的通项公式，求出常数项；（2）由（1）知n=6，根据展开式的通项公式求出每一项，比较后得到结论；第9页/共15页（3）在（2）基础上，得到6含x2的项和常数项，乘以1+x2中相应的项，得到答案.【小问1详解】此时的展开式的通项公式为Tr+1=C(2x)6-rx-r=C26-rx6-2r，(1,nn(1,此时的展开式的通项公式为Tr+1=C(2x)6-rx-r=C26-rx6-2r，此时的通项公式为Tr+1=C(2x)6-rx-r【小问2详解】T22Cx-2=60x-2，T6=2Cx-4=12x-4，故展开式中系数最大的项为第3项，T3=24Cx2=240x2.【小问3详解】因为n=6，所以问题为求展开式中x2的系数，先求展开式中含x2的项乘以1，该项为240x2，第10页/共15页再求展开式中常数项乘以x2，该项为160x2，6展开式中含x2的项为240x2+160x2=400x2，【答案】（1）当a>0时，函数极大值为（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求定义域，求导，分a≤0和a>0两种情况，求出函数单调性，得到极值情况；（2）令gx=fx)−xex，求出导函数得到函数单调性，故g(x)>g(x0)=0，证明出结论；【小问1详解】由题意得f(x)=lnx-ax+1的定义域为(0,+∞)，当a≤0时，f,(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增，无极值；即f(x)在(|(0,),|上单调递增，在上单调递减，故为函数的极大值点，函数极大值为=-lna，无极小值；综上，当a>0时，函数极大值为=-lna，无极小值；当a≤0时，无极值；【小问2详解】证明：当a=-1时，f(x)=lnx+x+1，设g(x)=xex-lnx-x-1,x>0，′1g(x)=(x+1)ex−x−1′1令ℎx=x+1ex−−1，则hIx=x+2ex+>0,x>0，即h(x)在(0,+∞)上单调递增，整理得x0+1ex0=，因为x0+1>0，所以x0ex0=1，(0,x0)时，h(x<0,gx)在(0,x0)上单调递减，,+∞)时，h(x>0,gx)在(x0,+∞)上单调递增，（2）答案见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据零点的定义直接求解可得；（2）利用导数的正负判断函数的单调性；（3）要证的不等式转化为a3-1+(1-a)ea<0，再构造函数用导数证明可得.【小问1详解】得lnx=1或x=0（舍所以x=e.所以f(x)的零点为x=e；【小问2详解】第12页/共15页所以函数在(0,2a),(1,+∞)上单调递减，在[2a,1]上单调递增.f,(x)<0；当x>1时，1x所以函数在(0,+∞)是单调递减.f,(x)<0；所以函数在(0,1),(2a,+∞)上单调递减，在[1,2a]上单调递增.当时，函数在(0,+∞)是单调递减.；当时，函数在(0,1),(2a,+∞)上单调递减，在[1,2a]上单调递增.【小问3详解】因此只需证g(a)<0即可.aa0.第13页/共15页<0，当a0所以g(a)在(0,a0)上单调递减，在(a0,1)上单调递增，，f(ea)<1成立.（2）-2<λ<6且λ≠1【解析】【分析】（1）设切点(x0,x-3x+4)，利用导数的几何意义和两点斜率公式列方程可求x0，再利用点斜式求切线方程；f(x2-2x+4)+f(x2+λx)>4成立，可得λ∈(-2,1)(1,+∞)，求函数y=f(x)的对称中心，利用对称性化简可得f(x2-2x+4)>f(2-x2-λx)，结合图象进一步化简，由此可求结论，导数研究函数h(x)的单调性，结合函数性质求其零点，由此可得结论.【小问1详解】所以-6x0，当x0=1时，切点为(1,2)，切线斜率为-3，故切线方程为3x+y-5=0，第14页/共15页=-时，切点为切线斜率为，切线方程为15x-4y+20=0，【小问2详解】由（1）f,(x)=