数学建模-基于北太天元与AI的竞赛应用 课件 第1章 数学建模导论

1.1数学建模简介1.2数学模型的形式化表达1.3数学模型的多维度分类1.4数学建模方法论1.4.1建模的方法与步骤1.4.2建模的关键技巧1.4.3常见误区警示1.5AI在建模过程中的应用1.6数学建模竞赛指南1.6.1全国大学生数学建模竞赛1.6.2数学建模竞赛论文的撰写

1.1数学建模简介

在科技飞速发展、世界日新月异的当下，数学已深度融入社会各个领域。它不仅覆盖自然科学，更渗透至经济、军事、管理以及社会活动等层面。当今社会对数学人才的需求也不再仅仅局限于从事数学理论研究，而是更强调善于运用数学思维方法解决实际问题。因此，数学建模早已突破学术范畴，成为驱动时代进步的核心力量——它既是解决问题的工具，更是开启未来的钥匙。从科技创新前沿到产业变革浪潮，从社会治理的精细脉络到全球挑战的攻坚战场，数学建模正以无可替代的姿态重塑人类社会发展图景。1.1数学建模简介1.前沿科技领域2.工业与能源领域3.公共服务领域4.多元应用领域5.应对全球性挑战数学建模早已融入时代发展的血脉，成为解决复杂问题、创造美好未来的核心力量。学习数学建模，不仅是掌握一套解决实际问题的科学方法，更是在培养能够从容应对未来复杂挑战的核心竞争力。1.2数学模型的形式化表达

1.原型和模型

原型和模型是一对对偶体。原型指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。在科技领域通常使用系统、过程等词汇，如机械系统、电力系统、生态系统、生命系统、社会经济系统。模型则指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。

按照模型替代原型的方式来分类，模型可以分为物质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直观模型、物理模型等，后者包括思维模型、符号模型、数学模型等。1.2数学模型的形式化表达

2.数学模型

对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构。也就是说，数学模型是通过抽象、简化的过程，使用数学语言对实际现象的一个近似刻画，以便于人们更深刻地认识所研究的对象。

事实上，欧几里得几何、微积分、柯西积分公式、万有引力定律、能量转换定律、广义相对论等等都是非常好的数学模型。1.2数学模型的形式化表达

3.数学建模

数学建模是指针对现实世界中的特定问题或现象，通过抽象、简化和假设，运用数学语言（如方程、函数、逻辑关系、统计方法等）构建一个数学结构（即数学模型），并利用计算机等工具进行分析、求解和验证，最终对实际问题进行解释、预测或优化的过程。

1.3数学模型的多维度分类

3.数学建模

数学模型可以按照不同的方式分类，常用的有以下几种：按变量类型分类（如表1.1所示）、按确定性分类表（如表1.2所示）、按时间维度分类（如表1.3所示）、按数学工具分类（如表1.4所示）以及按应用领域分类（如表1.5所示）。

表1.1数学模型按变量类型分类表类型描述示例连续模型变量取值连续（实数域）微分方程离散模型变量取值离散（整数或有限集合）图论中的最短路径问题混合模型同时含连续和离散变量供应链优化中的库存控制模型

表1.2数学模型按确定性分类表类型描述示例确定性模型输入与输出关系唯一线性规划随机模型包含概率或随机变量蒙特卡洛模拟、马尔科夫链突变性模型系统或过程在长时间稳定后突然发生显著变化生物学突变模型模糊性模型不依赖明确的概率分布，而是处理“部分属于”“部分不属于”的中间状态自动驾驶的模糊决策表1.3数学模型按时间维度分类表类型描述示例静态模型不依赖时间变量供需平衡模型动态模型变量随时间演化传染病模型1.4数学模型按数学工具分类表类型描述示例初等模型依赖代数、几何、三角、初等微积分等基础知识详见第三章数学规划模型在给定约束条件下，通过优化目标函数来寻找最佳决策详见第四章微分方程模型描述连续动态系统详见第五章概率统计模型描述和分析随机现象，并通过数据推断总体特征详见第六章评价类模型通过建立量化指标体系，结合数学方法对多个对象（如方案、产品、政策等）进行综合评价、排序或分类等投资项目评估、学生成绩综合评价、信用评级预测类模型基于历史数据或已知规律，通过数学方法对未来趋势、数值或事件进行估计股票价格、气温变化预测表1.5数学模型按应用领域分类表类型描述示例人口模型分析人口数量随时间变化的规律，并预测未来人口发展趋势阻滞增长模型交通模型通过数学抽象解决现实中的流动性问题流量-密度-速度模型环境模型通过数学和计算机方法模拟自然环境系统（如大气、水体、土壤、生态系统等）中物质流动、能量传递和相互作用大气扩散模型、碳循环模型生态模型定量描述生态系统各组分（生物种群、环境因子等）相互作用关系食饵-捕食者模型城镇规划模型通过数学建模和空间分析技术，模拟城市发展动态、评估规划方案交通-用地互动模型水资源模型通过数学方法模拟水循环过程（降水、径流、蒸发等）和人类取用水活动的量化工具，评估水资源供需平衡、预测水质变化、优化配置方案水质模型再生资源利用模型用于优化资源循环路径、评估环境效益和预测市场供需物质流分析模型污染模型污染物在环境介质（大气、水体、土壤等）中的排放、迁移、转化和归趋过程大气扩散模型1.4数学建模方法论

1.4.1建模的方法与步骤1.数学建模基本方法（1）

机理分析法（白箱模型）：从对象的内在规律（物理、化学、生物、经济等定律）出发，通过分析因果关系或守恒定律，用演绎法建立数学模型。适用物理学、工程学、经典经济学等领域的问题，如行星运动轨迹、电路设计、人口增长模型等。优点：模型具有明确的物理或实际意义，解释性强，预测外推性能好。缺点：需要对系统有深刻的专业认知，对于复杂系统或机理不明确的系统难以应用。1.4数学建模方法论

1.4.1建模的方法与步骤1.数学建模基本方法（2）

测试分析法（黑箱模型）：对系统输入输出数据进行观测和分析，运用归纳法，通过数据拟合、机器学习等方法，寻找一个拟合效果最好的模型，而不深究系统内部机理。适用社会科学、生物信息学、金融市场预测、图像识别等领域。优点：无须深入了解系统内部细节，完全由数据驱动，适用于复杂且机理不明的系统。缺点：模型解释性可能较差，预测数据范围外的情形风险高，过度依赖数据质量。1.4数学建模方法论

1.4.1建模的方法与步骤1.数学建模基本方法

在实际应用中，很多模型是“灰箱模型”，即结合了机理分析方法确定模型大致结构和测试分析方法，利用数据确定模型参数。1.4数学建模方法论

1.4.1建模的方法与步骤2.数学建模步骤

步骤1：模型准备

当准备用数学建模的方法解决实际问题的时候，首先对问题剖析，抓住问题本质和主要因素，确定问题的关键词；其次，查阅资料和文献，结合AI了解问题的实际背景、查阅相关数据及相关研究进展，获得关键资料，并初步确定该问题的类型。总结归纳为：深入了解问题背景，明确题目目的要求，收集必要数据、信息。

1.4数学建模方法论

1.4.1建模的方法与步骤2.数学建模步骤

步骤2：问题分析

需要清晰地描述需要解决的实际问题，界定问题的边界和限制条件，列出模型需要回答的具体问题或实现的预测功能。在明确目的和要求的基础上，进行深入分析实际问题的环节。

问题分析包括明确问题、分析条件、分析数据等。对问题进行充分的前期分析以前，不应过早进入细节。应尽量打开自己的思路；不要轻易沿一条思路深入，不要轻易做出结论；尽量多一些想法，多一些猜测，思考、思考、再思考。

1.4数学建模方法论

1.4.1建模的方法与步骤2.数学建模步骤

步骤3：模型假设

现实世界的问题往往十分复杂，所涉及的方面较广、影响因素较多，为了让问题变得可解，需要在充分消化相关信息的基础上，将实际问题理想化、简单化，也就是需要进行模型假设。需要根据问题分析列出假设：物理假设（如忽略摩擦力、假设均匀分布等）；数学假设（如线性关系、正态分布等）；数据假设（如数据完整性、测量误差范围等）。同时需评估假设的合理性：分析假设对问题的影响程度；确保假设不会过度偏离实际情况。

1.4数学建模方法论

1.4.1建模的方法与步骤2.数学建模步骤

步骤4：模型建立

通过清晰的问题分析和合理假设，结合相关的数学基本原理、物理规律等，将实际问题转化为数学模型。结合相关学科的专门知识，根据所提供的要求和信息，建立一个关于问题中主要变量与主要因素间的数学规律模型，可以用数学方程式、图形、表格、数据和算法程序等形式表达。同时，建模过程中应多创新，不要一味模仿，可以将多个知识点进行穿插和结合，还可以在算法基础上进行改进和优化。1.4数学建模方法论

1.4.1建模的方法与步骤2.数学建模步骤

步骤4：模型建立

建立数学模型是所有步骤的关键点，是学会用数学语言完整、有效、清晰地描述问题，要正确理解问题，合理简化模型，选择恰当方法。成功的建模来自对问题的理解和对方法的理解。

1.4数学建模方法论

1.4.1建模的方法与步骤2.数学建模步骤

步骤5：模型求解

根据不同类型的模型选择不同的求解方法：解析法（适用于简单模型，如代数方程）；数值法（适用于复杂模型，如微分方程、数学规划问题）；模拟法（适用于随机或动态系统，如蒙特卡洛模拟）等。在模型求解过程中，最广泛的复杂模型的求解需要借助计算机软件和算法。如北太天元、Matlab、Python、R语言、Lingo等。对计算方法与应用软件掌握的程度，以及编程能力的高低，将决定求解结果的优化程度及精度。

1.4数学建模方法论

1.4.1建模的方法与步骤2.数学建模步骤

步骤6：模型检验

对所求的结果与问题的实际情况和意义进行对比分析，通常可以通过误差分析、灵敏度分析和稳定性分析等方法，来检验模型的准确性和可靠性。其中，误差分析侧重于使用历史数据验证模型的预测能力，并通过计算均方误差、平均绝对误差或相关系数等指标量化拟合优度。敏感性分析则关注模型的主要参数，通过调整特定参数的取值，观察其对输出结果的影响程度，从而识别出影响模型的关键变量，即那些微小变化会导致结果显著波动的参数。1.4数学建模方法论

1.4.1建模的方法与步骤2.数学建模步骤

步骤6：模型检验

稳定性分析用于考察模型在面对数据微小扰动或假设条件变化时，输出结果是否保持相对稳定，从而评估模型的稳健性和泛化能力。一个稳定性高的模型，在输入略有变化时，其输出不应出现剧烈波动。

如果模型预测的数据与实际数据偏差较大，就需要重新审视假设是否合理，模型结构是否需要调整。1.4数学建模方法论

1.4.1建模的方法与步骤2.数学建模步骤

步骤7：模型应用

将模型结果应用于实际问题。将模型求解所得的数学结论，转化为具有实际意义的解释、预测或决策建议，并交付给相应领域专家或决策者使用。这一阶段需明确说明模型的适用边界、潜在优势与局限性，并为后续的实际部署、效果验证以及模型迭代优化提供方向。1.4数学建模方法论

1.4.2建模的关键技巧

1.跨学科思维：打破知识边界2.数据驱动：让数据说话3.团队协作：凝聚集体智慧1.4数学建模方法论

1.4.3常见误区警示

1.过度追求复杂模型：简单往往更有效2.忽视模型假设的合理性：根基不稳大厦倾3.重结果轻过程：过程比结果更重要

4.公式复杂化：简洁表达更易理解5.形式套用：模型思想重于形式1.5AI在建模过程中的应用

AI在数学建模中的核心价值是辅助人工提升效率，尤其在建模准备阶段可显著降低基础工作负担。但需注意：竞赛要求核心建模与分析必须由参赛队独立完成，AI仅作为辅助工具，且使用需公开透明标注。1.5AI在建模过程中的应用

1.建模准备阶段（1）自然语言处理：使用AI可以快速解析赛题文本，提取关键信息，可结合人工理解生成结构化问题。（2）数据预处理：使用北太天元的AI插件等自动完成缺失值填补、异常检测、标准化等基础清洗，但需在支撑材料中注明具体AI工具及操作步骤。（3）文献检索：通过AI工具快速获取相关领域文献，生成引用格式，也需人工核实内容并标注AI使用。1.5AI在建模过程中的应用

2.其他环节的有限辅助（1）模型构建：AI可推荐候选模型，但最终的模型选择与问题假设都需人工独立完成。（2）求解与检验：仅限基础代码生成，核心算法需自主实现。注意：所有AI生成内容需在正文标注，参考文献中列明工具名称、版本、使用日期。模型假设、核心算法设计、结果分析必须体现人工主导，AI仅处理机械性工作。1.6数学建模竞赛指南

1.6.1全国大学生数学建模竞赛

1.起源与发展

全国大学生数学建模竞赛创办于1992年，由教育部高等教育司和中国工业与应用数学学会共同主办。它是我国最早列入教育部“全国高校学科竞赛排行榜”的竞赛之一，也是全球规模最大的数学建模赛事。

自创办以来，参赛规模迅速扩大，年均增长25%以上。2024年，吸引了国内外1788所院校的65761支队伍参赛。赛题通常来源于管理科学和工程技术等领域，经过适当简化，具有较强的实践性和应用性。近年来，部分赛题还来源于大学教师的科研课题。1.6数学建模竞赛指南

1.6.1全国大学生数学建模竞赛

2.形式与要求

每队由3名学生组成，参赛学生需在3天时间内选择一个赛题，完成从模型假设、建立、求解到论文撰写的全过程。参赛学生可以自由查阅资料、使用计算机和互联网，但不得与包括指导教师在内的队外任何人讨论赛题。论文需包含模型的假设、建立和求解，结果的分析和检验，模型的应用等内容。1.6数学建模竞赛指南

1.6.1全国大学生数学建模竞赛

2.形式与要求

全国大学生数学建模竞赛面向全国所有专业的大学生开放，包括本科和高职高专学生，不限专业背景。参赛者来自数学、工程、计算机科学、经济管理等多个学科领域。专科生、高职高专组可自愿选择参加本科组，但需在报名时确定组别且不可更改。1999年竞赛设立本科组与专科组，早期本科组仅有A、B两道赛题。2019年首次在本科组增设C题，此后本科组固定为A、B、C三题，参赛队伍任选其一。1.6数学建模竞赛指南

1.6.1全国大学生数学建模竞赛

3.意义与价值

全国大学生数学建模竞赛不仅是一项学术竞赛，更是一个培养创新能力和实践能力的重要平台，为我国数学教育和应用数学的发展做出了重要贡献。该赛事不仅是一次学术挑战，更是对学生综合能力的一次全面提升，被誉为“一次参赛，终身受益”的重要活动。1.6数学建模竞赛指南

1.6.2数学建模竞赛论文的撰写

全国大学生数学建模竞赛章程规定，对论文的评价应以“假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰性”为主要标准。所以，在论文中应努力反映出这些特点。

简单介绍参赛论文的主要组成部分及各部分内容的撰写方法。论文不要目录，尽量控制在20页以内。正文和附录中任何地方都不能有显示参赛者身份和所在学校及赛区的信息。1.6数学建模竞赛指南

1.6.2数学建模竞赛论文的撰写

1.摘要页

摘要页含标题、摘要、关键词，不能超过一页。论文从此页开始编写页码，页码位于页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。

标题是一篇论文给出的涉及论文范围及水平的第一个重要信息。要求简短精练、高度概括、准确得体、恰如其分。既要准确表达论文内容，恰当反映所研究的范围和深度，又要尽可能概括、精练。1.6数学建模竞赛指南

1.6.2数学建模竞赛论文的撰写

1.摘要页

摘要是论文内容不加注释和评论的简短陈述，其作用是使读者不阅读论文全文即能获得必要的信息。在数学建模论文中，摘要是非常重要的一部分。数学建模论文的摘要应包含以下内容：所研究的实际问题、建立的模型、求解模型的方法、获得的基本结果以及对模型的检验或推广。论文摘要需要用概括、简练的语言反映这些内容，尤其要突出论文的优点，如巧妙的建模方法、快速有效的算法、合理的推广等。通常要求不举例证，不出现图、表和数学公式，不自我评价。摘要叙述要精练，逻辑要清晰，避免无意义的冗余叙述，尽量不要超过一页。1.6数学建模竞赛指南

1.6.2数学建模竞赛论文的撰写

2.问题重述（提出）

数学建模比赛要求解决给定的问题，所以论文中应叙述给定问题。撰写这部分内容时，不要照抄原题，应把握住问题的实质，再用较精练的语言叙述问题。1.6数学建模竞赛指南

1.6.2数学建模竞赛论文的撰写

3.问题分析

需要抓住题目中的关键词和主要目的及要求，分析要中肯、确切。依据原理要明确，描述要简明扼要，可列出关键步骤，切记不要冗长、烦琐。

问题分析是模型建立的前奏，就是写怎么明确问题，怎么思考想到该问题的解决方案的模型，叙述解决该问题的大体思路，中间需要叙述每步思路主要产生的来源、依据和合理性等。利用“常识”和“逻辑推理”去一步一步分解问题、梳理出解决各个主要问题的思路，为接下来的模型建立奠定基础和基本方向。1.6数学建模竞赛指南

1.6.2数学建模竞赛论文的撰写

4.问题假设（1）去掉无关或关系不大的因素，使问题得到简化，切记主要因素必须保留；（2）对问题相关的方面做限定，便于解决问题；（3）假设必须要合理、适度，带来的误差在实际问题可允许的误差范围之内；（4）假设是在解决问题的过程中，根据需要做出的，而不是凭空做假设。1.6数学建模竞赛指南

1.6.2数学建模竞赛论文的撰写

5.符号说明

对模型和论文中用到的主要变量符号加以说明，某些变量符号也可以在论文中使用时加以说明，以简要的文字表述各字母变量的意义，注意符号表示必须与论文中一致。建议采用表格的形式展示，可以体现变量符号的单位。1.6数学建模竞赛指南

1.6.2数学建模竞赛论文的撰写

6.模型的建立

在问题分析的基础上，先简要叙述选用某模型解决该问题的原因，明确解题的思想和思路，包括逻辑性、合理性、可行性的完整叙述。然后对该模型的基本原理和基本思想做简要介绍，再借助数学表达式、构建方案、构造图、算法流程图等进行模型构建。

构建模型的过程就是具体地解决问题的过程，用清晰的逻辑将思路全部展现出来。要结合实际问题，对模型进行改进和完善，使其能有效、实用地解决问题。注意以下几点：1.6数学建模竞赛指南

1.6.2数学建模竞赛论文的撰写

6.模型的建立（1）模型要有一定的创新性，不是从书本或者论文中直接抄来的；（2）必须有模型检验与灵敏度分析等过程；（3）模型必须有详细的求解过程及结果；（4）不能用已有的固定算法代替模型；（5）不能用流程图或者类似方式代替模型；（6）不能用计算机程序代替模型。。1.6数学建模竞赛指南

1.6.2数学建模竞赛论文的撰写

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