2025-2026学年福建省龙岩高级中学等校高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年福建省龙岩高级中学等校高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知向量与共线，则实数k=（）A.0 B.1 C.-1或3 D.-3或12.曲线y=x3-2x+3在点（-1，）处的切线的倾斜角为（）A.- B. C. D.3.已知O是坐标原点，空间向量，，，若线段AB的中点为D，则=（）A.9 B.8 C.3 D.4.若函数f（x）=x2-x,则函数f（x）从x=1到x=3的平均变化率为（）A.6 B.3 C.2 D.15.已知空间三点A（1，1，1），B（-1，0，4），C（2，-2，3），则向量与的夹角为（）A.60° B.30° C.120° D.300°6.函数的大致图象为（）A. B.

C. D.7.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)+lnx，则f′(2)＝（）A. B.1 C.-1 D.8.若函数f（x）=（2-m）x-lnx-m有两个零点，则实数m的取值范围是（）A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（-∞，3）二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.在空间直角坐标系中，已知A（2，1，1），B（1，3，2），C（3，2，2），则（）A.点A关于xOz平面对称的点是A′（2，-1，1）

B.点B关于x轴对称的点是B′（1，-3，2）

C.

D.10.下列命题是真命题的有（）A.平面α经过三点A（1，0，-1），B（0，1，0），C（-1，2，0），是平面α的法向量，则u=0，t=1

B.直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直

C.直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α

D.A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面11.已知函数f（x）=x3+6ax2-2（a∈R），则（）A.当a=1时，f（x）的单调递减区间为[-4，0]

B.存在a＜0，使得f（x）有三个零点

C.当a＞0时，f（x）的极小值点为（0，-2）

D.当a=0时，曲线y=f（x-1）的对称中心为（1，-2）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知空间向量=（2，-1，1），=（1，1，2），则=

.13.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是______．14.已知函数在定义域内单调递增，则a的取值范围是

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在长方体ABCD-A1B1C1D1中，，E为B1C与BC1的交点.

（1）用向量表示；

（2）求异面直线AE与A1C所成角的余弦值.16.(本小题15分)

已知函数f（x）=2lnx-ax2+b在x=1处取得极值1.

（1）求a、b的值；

（2）求f（x）在[e-1，e]上的最大值和最小值.17.(本小题15分)

已知函数f（x）=（x-1）2-alnx.

（1）若a=4，求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围.18.(本小题17分)

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，PA=1，AB=，BC=1，AD=2，M是PD的中点.

（1）求证：CM∥平面PAB；

（2）求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值；

（3）在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19.(本小题17分)

已知函数f（x）=sinx-在点（0，f（0））处的切线l与直线n：x+y=0平行.

（1）求切线l的方程；

（2）判断f（x）在（0，）上零点的个数，并说明理由.

1.【答案】D

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】ACD

10.【答案】BD

11.【答案】AD

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】[9，+∞）

15.【答案】

16.【答案】a=1，b=2

最大值为1，最小值为4-e2

17.【答案】单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞）

18.【答案】证明见解析；

；

存在，．

19.【答案】解：（1），

所以切线的斜率k=f′（0）=-a,

由题意，可得k×1=-a×1=-1，解得a=1．

所以，所以，

所以切线l的方程为y-1=-1（x-0），即x+y-1=0．

（2）由（1）知a=1，所以，

由，可得ex⋅sinx-x+1=0，

令g（x）=ex⋅sinx-x+1，则g'（x）=（sinx+cosx）ex-1，

当时，sinx+cosx≥1，ex＞1，

所以g′（x）＞0，所以g（x）在上单调递增，

又因为g（0）=1＞0，所以g（x）在上无零点．

当时，令h（x）=（sinx+cosx）ex-1，则h′（x）=2cosx