题型清单04 三角形（原卷版）

专题04三角形认识三角形（一）三角形的定义由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形。（二）三角形的基本元素3个顶点、3条边、3个内角（三）三角形的分类（1）按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。（2）按边分：等腰三角形、等边三角形。（四）三角形的三边关系意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。（五）三角形的三条重要线段（1）三角形的高定义：从三角形一个顶点向它的对边（或对边延长线）作垂线，顶点和垂足之间的线段。性质：=1\*GB3①任意三角形都有三条高线。=2\*GB3②锐角三角形：三条高交于三角形内部；直角三角形：两条高与直角边重合，三条高交于直角顶点；钝角三角形：两条高在三角形外部，三条高延长线交于外部一点。（2）三角形的中线定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。性质：=1\*GB3①任意三角形有三条中线，交于三角形内部一点（重心）。=2\*GB3②一条中线将三角形分成面积相等的两个小三角形。（3）三角形的角平分线定义：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段。性质：=1\*GB3①任意三角形有三条角平分线，交于三角形内部一点（内心）。=2\*GB3②角平分线上的点到角两边的距离相等。（六）三角形的内角和（1）定理：三角形内角和等于180∘（2）推论=1\*GB3①直角三角形两锐角互余（和为90∘）。=2\*GB3②三角形任意一个外角，等于和它不相邻的两个内角之和。全等三角形（一）全等三角形的定义（1）定义：能够完全重合的两个三角形，称为全等三角形。（2）重合要求：两个三角形的形状、大小必须完全一致，缺一不可。

（3）对应元素：两个三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

（4）书写规范：书写全等符号时，需按照对应顶点的顺序书写。例如△ABC≅△DEF，表示点A与点D、点B与点E、点C（二）全等三角形的性质（1）基本性质：对应边相等、对应角相等。（2）延伸性质=1\*GB3①全等三角形的周长相等=2\*GB3②全等三角形的面积相等=3\*GB3③对应线段相等：全等三角形对应边上的高线、对应边上的中线、对应角的角平分线，长度全部相等。探索三角形全等的条件（一）SSS（边边边）

三边对应相等的两个三角形全等。

适用：已知多条边长，无角度条件的题型。（二）SAS（边角边）

两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。

⚠️注意：必须是两边中间的夹角，非夹角不能判定。（三）ASA（角边角）

两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。（四）AAS（角角边）

两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（五）HL（斜边、直角边）

仅适用于直角三角形：斜边和一条直角边对应相等，两直角三角形全等。三角形的定义与分类【例1】（24-25七年级下·广东揭阳·阶段检测）如图所示，以为一个内角的三角形有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式1-1】（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（）A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形【变式1-2】（24-25七年级下·安徽安庆·阶段检测）用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（

）A． B．C． D．【变式1-3】（25-26七年级下·安徽芜湖·阶段检测）如图，在锐角中，是边上的高，是线段上一点，连接，则图中的直角三角形共有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个构成三角形的条件【例2】（25-26七年级下·福建宁德·期中）下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（

）A．2，3，4 B．2，3，5 C．1，2，4 D．1，1，2【变式2-1】（25-26七年级下·吉林长春·期中）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【变式2-2】（25-26七年级下·广东深圳·期中）若是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该等腰三角形的周长是______．【变式2-3】（25-26七年级下·上海宝山·阶段检测）已知四条线段的长度分别是、、、，任意选择其中三条线段，能构成的三角形有______个．画三角形的高【例3】（25-26七年级下·辽宁朝阳·期中）如图，在的网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点称作格点，的顶点都在格点上，按要求作图：(1)请画出的高；(2)直接写出的面积是_____．【变式3-1】（25-26七年级下·上海闵行·期中）如图，点是的边上的一点，按下列语句画图．(1)过点画边的垂线，交于点；(2)过点画的高；(3)线段______的长度是点到直线的距离．【变式3-2】（25-26七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：(1)画边上的高；（不要求写画法，只需写出结论即可）(2)过点画直线的垂线，垂足为；（不要求写画法，只需写出结论即可）(3)点到直线的距离是线段_________的长度．【变式3-3】（25-26八年级上·浙江温州·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．(1)在图①中画出的高线．(2)在图②的边上找到一点E，连接，使平分的面积．三角形的三条重要线段【例4】（25-26七年级下·云南昭通·期中）如图，在中，，于点，，，．则点到的距离为（

）．A．3 B．4 C．5 D．【变式4-1】（25-26七年级下·四川成都·期中）已知是的高，，，则的度数为（

）A． B． C．或 D．或【变式4-2】（25-26七年级下·上海杨浦·期中）下列说法中正确的是（

）A．钝角三角形有两条高在三角形内部B．三角形三条高至多有两条不在三角形内部C．三角形三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部D．钝角三角形三个内角的平分线的交点一定不在三角形内部【变式4-3】（25-26七年级下·江西南昌·阶段检测）如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（）A．是的角平分线 B．为边上的高C．是边上的中线 D．为的高线三角形的内角和【例5】．（25-26七年级下·福建宁德·期中）在中，，，则的度数为（

）A． B． C． D．【变式5-1】（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，是的角平分线，于点D，若，，则的度数是（

）A． B． C． D．【变式5-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，平分，若，则的度数为__________．【变式5-3】（25-26七年级下·上海·阶段检测）如图，在中，，是等边三角形，则___________度．全等三角形的概念与性质【例6】（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，已知，，则的长为（

）A．5 B．4 C．3 D．2【变式6-1】（25-26七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，点是边上一点，点是线段上一点，且；其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，下列结论中正确的是（

）①；②；③；④．A．①②③ B．①② C．①③④ D．③④【变式6-2】（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图，已知，和，和是对应顶点．如果，，，那么_____．【变式6-3】（25-26七年级下·江西抚州·期中）如图，且，，，则______．全等三角形的判定：SSS【例7】（25-26八年级上·吉林白山·期末）如图，点C、B、E、F在同一条直线上，，，．求证：．【变式7-1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，点，在线段上，若，，，那么与全等吗？为什么？【变式7-2】（24-25七年级下·江西南昌·阶段检测）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，，，则与全等吗？为什么？【变式7-3】（24-25八年级上·重庆荣昌·期末）如图，在△和△中，，，，四点在同一直线上，，，．(1)求证：；(2)若，，求的度数．全等三角形的判定：SAS【例8】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图所示，A、D、B、E四点在同一条直线上，若，，，求证：．【变式8-1】（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）如图，已知A，D，C，E在同一直线上，和相交于点O，，，．说明：与是否全等？并说明理由．【变式8-2】（25-26七年级下·湖南株洲·期中）如图，已知点是的边上一点，且，在上方作，满足，，连接．(1)求证：．(2)当，求的长．【变式8-3】（25-26八年级上·四川广元·期末）如图，，，．(1)求证：；(2)若，求的长．全等三角形的判定：ASA与AAS【例9】（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图，，，，点D在边上．(1)求证：；(2)若，求的度数．【变式9-1】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，且，．(1)求证：；(2)若，，求的度数．【变式9-2】（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，D是边上的点，平分交于点E，交于点F，已知．(1)试说明：；(2)若，求的度数．【变式9-3】（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，与相交于点，，，求证：．易错点一等腰三角形的相关计算中忽略构成三角形的条件等腰三角形边长、角度计算常分情况讨论，算出结果后必须验证任意两边之和大于第三边，不符合条件的情况要舍去，避免出现无效解。易错点二确定第三边的取值范围依据三角形三边关系：两边之差<第三边<两边之和；计算时注意取不等号，不能取等号，同时结合题目限制条件进一步缩小范围。等腰三角形的相关计算【例10】（25-26七年级下·江西抚州·期中）等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的第三边长是（

）A． B． C． D．或【变式10-1】（25-26七年级下·宁夏银川·期中）已知m，n是等腰三角形的两边，且，则等腰三角形的周长为（

）A．13 B．13或20 C．20 D．13或19【变式10-2】（25-26七年级下·四川成都·期中）已知为的三条边，若为等腰三角形，且满足，则的周长为___________．【变式10-3】（25-26七年级下·广东深圳·期中）已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是___________．确定第三边的取值范围【例11】（25-26七年级下·吉林长春·期中）若三角形的两条边的长度分别是和，则第三条边的长度不可能是（

）A． B． C． D．【变式11-1】（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）两根木棒的长分别为和，要选择第三根木棒，将他们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为奇数，则满足条件的三角形的个数为（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【变式11-2】（25-26七年级下·重庆·期中）已知三角形两边长分别为2和5，且周长为偶数，则第三边的长为_________．【变式11-3】（25-26七年级下·福建漳州·期中）已知a，b，c是三角形的三边，其中，，则c的取值范围是______．全等三角形判定的综合应用【例12】（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，在中，点在的延长线上，于点，，平分(1)求证：；(2)若是的中点，，，求的面积．【变式12-1】（25-26七年级下·贵州贵阳·期中）已知：如图，，，．(1)请说明：．(2)与相等吗？请说明理由．【变式12-2】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在等腰直角三角形中，，，点为直线上一动点，连接，在直线的右上方作，且．(1)如图1，当点在线段上时，过点作于点，求证：△BCD≌△EFB；(2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交于点，求证：；(3)当点在直线上时，连接交直线于点，若，请直接写出的值．

【变式12-3】（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）如图1，在中，，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E．(1)求证：；(2)如图2，延长至F，连接，过点C作，且，连接交直线l于点H，若，，则的长为________．技巧1倍长中线模型构造方法：延长三角形中线至一倍长度，连接端点，构造全等三角形（SAS）。核心作用：转移线段、角，将分散线段集中到同一三角形中，证明线段相等、不等或求值。技巧2一线三等角模型特征：同一条直线上出现三个相等的角，常搭配一组边相等。结论：可证两组三角形全等，多用于角度推导、线段等量证明。常见类型：普通锐角型、直角型（三垂直）、钝角型。技巧3手拉手模型特征：两个共顶点的等腰三角形/等边三角形，形似“拉手”。核心结论：拉手线段相等、对应夹角相等，利用SAS证三角形全等。用途：证明线段相等、角度相等、线段垂直。技巧4半角模型特征：大角内部包含一个等于其一半的小角，多出现于正方形、等腰三角形中。构造思路：旋转图形，将分散边角拼接，转化为全等三角形。常用结论：线段和差关系、角度定值。倍长中线模型【例13】（25-26七年级下·吉林长春·期中）【提出问题】数学课上老师提出如下问题：如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长为整数，求边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连结，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题．【思考发现】(1)如图①，的理由是；A．SSS

B．SAS

C．AAS

D．ASA(2)根据小明的方法思考，可得的长可能为；（写出一个即可）【类比迁移】(3)如图②，是的中线，交于点，交于点，．求证：．以下是部分证明过程：证明：如图③，延长至点，使，连结．⋯⋯请完成上述证明过程．【学以致用】(4)如图④，在和中，，，，连结、，取的中点，连结．若，则．【变式13-1】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，D，E分别为，边上的点，连接，交于点F，．(1)如图1，求证：；(2)如图2，以为边作，AF=FH=AH，，连接，G为中点，连接，求证：；(3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接，M，N分别为，上的点，连接，交于点O，若，，BH=6.6，PM=5.4，直接写出的长．【变式13-2】（25-26七年级下·陕西西安·期中）（1）阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图1，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是，另外他还得到了和的位置关系是；（2）问题解决：如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：；（3）问题拓展：如图3，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，求和的数量关系．

【变式13-3】（24-25七年级下·广东深圳·期末）在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法．【特例分析】例如：在中，，，点是边上的中点，怎样求的取值范围呢？我们可以延长到点，使，然后连接（如图①），这样，在和中，由于，，，接下来，在中通过的长可求出的取值范围．（1）在图①中，中线的取值范围是______．【拓展探究】（2）应用上述方法，解决下面问题：如图②，在中，点是边上的中点，点是边上的一点，作交边于点，连接，若，，请直接写出的取值范围．【推广应用】（3）如图③，在四边形中，，，点是中点，点在上，且满足，，连接、，请判断与的位置关系，并证明你的结论．一线三等角模型【例14】（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：(1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到≌______，推理依据是______．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；(2)如图2，，，，连接，且于点与直线交于点G．求证：点G是的中点；(3)如图3，已知四边形和，，，，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由．

【变式14-1】（25-26七年级下·河南郑州·月考）综合与实践在直线上依次取互不重合的三个点、、，在直线上方有，且满足(1)如图1，当时，猜想线段、、之间满足的数量关系，并进行证明；(2)如图2，当时，问题(1)中的结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，请进行证明；(3)如图3，在△中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，△的面积是，请求出△与△的面积之和．

【变式14-2】（25-26七年级下·吉林松原·期中）（1）【初步探究】刘老师让同学们独立完成下题：如图①，已知是等腰直角三角形，，，，垂足分别为D、E，若，，求的长；（2）【拓展探究】待同学们完成这道题后，刘老师又出示了一道题：在原题其他条件不变的前提下，将所在直线变换到的外部（如图②），请你猜想、、三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明；（3）【探究应用】如图③，是等腰三角形，是钝角，，，D、A、E三点都在直线m上，且，直线m与的延长线交于点F，若，，，则与的面积之比为________．【变式14-3】（25-26七年级下·江苏宿迁·阶段检测）在中，，，直线经过点，且于，于．(1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：①；②；(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，直接写出、、的关系为：______；(3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．手拉手模型【例15】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）在中，，，点是线段上的一动点（不与点，重合）连接，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，点是的中点，连接．(1)【问题发现】如图（1），当点是的中点时，线段与的数量关系是______．与的位置关系是_____．(2)【猜想论证】当点在边上且不是的中点时，试猜想与的数量关系和位置关系．小汇通过深入思考，从几何变换角度出发构建辅助线，类比问题（1）中所用知识，仍可得到（1）中的结论，请根据小汇的思路就图（2）中的情况完成解答过程．(3)【拓展应用】连接，若时，，其他条件不变，直接写出的面积．【变式15-1】（25-26七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）综合探究与应用(1)如图1，在和中，，，，点B在上，连接．则与的关系为_____________．【类比应用】(2)如图2，在中，，，将线段绕点A按逆时针方向旋转一个角度（）得到线段，连接，过点A作的垂线，分别交与射线于点D，F，连接．①线段绕点A旋转的过程中，的度数是否发生变化？若不变，请求出的度数；若变化，请说明理由；②直接写出、、这条线段的数量关系为________________；③若，，请直接写出的面积．【变式15-2】（25-26七年级下·山东淄博·期中）如图，在与中，，点D在上，连接．(1)吗？请说明理由；(2)若，点F在线段上，且，求的长．

【变式15-3】（25-26七年级下·广东佛