题型清单03 概率初步（解析版）

专题03概率初步感受可能性（一）事件的分类（1）必然事件：一定发生（2）不可能事件：一定不发生（3）随机事件：可能发生，也可能不发生（二）判断事件发生可能性的大小随机事件发生的可能性有大有小，可根据条件对比、判断高低。频率的稳定性（一）求某件事的频率频率=频数÷试验总次数。（二）由频率估计概率试验次数越多，频率越稳定，可用稳定频率近似当作概率。等可能事件的概率（一）列举法求概率列出所有等可能结果，套用公式P(A（二）已知概率求数量根据概率公式列算式，反向求解对应个体数量。事件的分类【例1】（25-26七年级下·四川成都·期中）下列事件是必然事件的是（

）A．买一张彩票，中奖B．掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后，正面向上C．从四大名著中随机抽取一本书，抽到的是《三国演义》D．将花生油滴入水中，油会浮在水面上【答案】D【详解】解：A选项，买一张彩票中奖，可能发生也可能不发生，是随机事件，不符合要求．B选项，掷一枚质地均匀的硬币，正面向上可能发生也可能不发生，是随机事件，不符合要求．C选项，从四大名著中随机抽取一本书，抽到《三国演义》可能发生也可能不发生，是随机事件，不符合要求．D选项，花生油密度小于水的密度，∴将花生油滴入水中，油一定会浮在水面上，是必然事件，符合要求．【变式1-1】（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）下列说法正确的是（

）A．两个负数相乘，积是正数是不可能事件B．太阳从东方升起是随机事件C．射击运动员射击一次，命中十环是必然事件D．掷一次骰子，向上一面的点数是2是随机事件【答案】D【分析】必然事件指一定会发生的事件，不可能事件指一定不会发生的事件，随机事件指可能发生也可能不发生的事件，据此判断即可．【详解】解：∵两个负数相乘，积一定是正数，因此该事件是必然事件，A错误；∵太阳一定从东方升起，因此该事件是必然事件，B错误；∵射击运动员射击一次，可能命中十环也可能不命中十环，因此该事件是随机事件，C错误；∵掷一次骰子，向上一面的点数可能是2，也可能是其它数字，因此该事件是随机事件，D正确．【变式1-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）下列说法正确的是（

）A．“篮球队员投篮时未进球”是必然事件B．“某班有22名男生和20名女生，从中选择一名同学参加座谈会，选到女生”是随机事件C．“在装满红色小球的箱子里摸出蓝色小球”是随机事件D．“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上”是不可能事件【答案】B【分析】根据必然事件、随机事件和不可能事件的定义逐一分析即可．【详解】解：对选项A：“篮球队员投篮时未进球”可能发生也可能不发生，属于随机事件，∴A错误；对选项B：班级中既有男生也有女生，任选一名同学，可能选到男生也可能选到女生，因此“选到女生”是随机事件，∴B正确；对选项C：装满红色小球的箱子里不可能摸出蓝色小球，属于不可能事件，∴C错误；对选项D：抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上可能发生也可能不发生，属于随机事件，∴D错误．【变式1-3】（25-26七年级下·陕西西安·期中）下列事件是必然事件的是（

）A．打开电视机，正在播放动画片B．在一个装有个红球的口袋中摸出个球，正好是红球C．某彩票中奖率是，买张中奖了D．两个奇数相乘结果为偶数【答案】B【分析】先明确必然事件的定义，再逐一判断选项，选出符合定义的结果，必然事件是一定条件下必然会发生的事件．【详解】解：A、打开电视机不一定正在播放动画片，可能播放其他节目，属于随机事件，不符合要求；B、∵口袋中只有个红球，没有其他颜色的球，∴摸出任意个球一定是红球，该事件一定会发生，属于必然事件，符合要求；C、中奖率为，买张彩票可能中奖也可能不中奖，属于随机事件，不符合要求；D、两个奇数相乘的结果一定是奇数，不可能是偶数，属于不可能事件，不符合要求．判断事件发生可能性的大小【例2】（25-26七年级下·河北张家口·期中）天气预报显示，明天某地的降水概率如图所示，则下列说法正确的是（

）A．明天一定会下雨 B．明天下雨的可能性比较大C．明天一定不会下雨 D．明天下雨的可能性比较小【答案】B【详解】解：由图可知，明天某地的降水概率为，接近，但不等于，明天下雨的可能性比较大，但不是必然事件．【变式2-1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）下列短语所反映的事件中，发生可能性最小的是（

）A．夕阳西下 B．旭日东升 C．守株待兔 D．水中捞月【答案】D【详解】解：A、夕阳西下是必然事件，发生可能性为1；B、旭日东升是必然事件，发生可能性为1；C、守株待兔是随机事件，发生可能性大于0且小于1；D、水中捞月是不可能事件，发生可能性为0；则发生可能性最小的是水中捞月．【变式2-2】（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列语句所描述的事件，可能性最小的是（

）A．旭日东升 B．小暑热得透，大暑凉飕飕C．水中捞月 D．种瓜得瓜，种豆得豆【答案】C【分析】先判断每个选项对应事件的类型，得到各事件发生的概率大小，再比较即可得到可能性最小的事件．【详解】A选项“旭日东升”是必然事件，发生的概率为；B选项“小暑热得透，大暑凉飕飕”是随机事件，发生的概率小于；C选项“水中捞月”是不可能事件，发生的概率为；D选项“种瓜得瓜，种豆得豆”受种子不发芽、植株死亡等因素影响，属于随机事件，发生的概率小于，因此C选项描述的事件发生的可能性最小．故选：C．【变式2-3】（25-26七年级下·江西九江·期中）将个红球、个黄球、个绿球放入一个不透明袋子里，这些球除颜色外都相同，从中一次性摸出个球，则“摸到绿球”这个事件（

）A．确定发生 B．不可能发生 C．必然发生 D．可能发生【答案】D【分析】先计算非绿球的总数量，结合摸球数量判断“摸到绿球”的事件类型，即可得到结果．【详解】解：∵红球有个，黄球有个，∴非绿球的总数为个，∵需要一次性摸出个球，，∴存在两种情况：摸出的个球全是非绿球，或摸出的个球包含绿球，∴“摸到绿球”既不是不可能事件，也不是必然事件，是可能发生的事件．求某件事的频率【例3】（2026·贵州遵义·模拟预测）如图1，在面积为的正三角形内部有一块不规则石块（阴影部分）．为测算石块的面积，小红利用计算机进行模拟实验：在三角形区域内随机投放点，记录点落在石块上的频率，绘制的频率折线图如图2，根据图中信息，估计石块的面积约是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，点落在不规则石块上的频率稳定在0.35，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则石块的面积与正三角形的面积的比为0.35，即可求得不规则石块的面积．【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，点落在不规则石块上的频率稳定在0.35，∴点落在不规则石块上的概率为0.35，∴估计石块的面积约是，故选：C．【变式3-1】（25-26七年级下·江苏盐城·期中）小明做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出的折线统计图如图所示，符合这一结果的试验最有可能是（

）A．从，，这个数中随机抽到数字的频率B．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率C．抛一枚硬币，出现正面朝上的频率D．掷一枚质地均匀的骰子，出现点朝上的频率【答案】D【分析】根据大量重复实验下的频率即为概率，可依次对各选项进行判断．【详解】解：选项A：从，，这个数中随机抽到数字的频率约为，不符合题意；选项B：一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率约为，不符合题意；选项C：抛一枚硬币，出现正面朝上的频率约为，不符合题意；选项D：掷一枚质地均匀的骰子，出现点朝上的频率约为，符合题意．【变式3-2】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）假期将至，学校向全校师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水；不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“河”字出现的频率为________．【答案】【分析】本题主要考查了频数与频率的运用，解题时注意：频率＝频数÷数据总数，即用“河”字出现的次数除以总的字的个数求解．【详解】解：“不去河沟游玩，防落水；不去河沟游泳，防溺水”，共有18个字，其中“河”字出现的次数为2次，∴“河”字出现的频率为．【变式3-3】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）今天的日期是：20260423，在这串数字中，0出现的频率是________．【答案】【详解】解：这串数字中，共有个数字，其中数字出现了次，则出现的频率为．由频率估计概率【例4】（25-26七年级下·山西太原·期中）某农科院在相同的条件下做小麦种子发芽实验，得到如下统计表：种子粒数10020030050080010002000种子发芽的粒数861782734527169051804种子发芽的频率0.8600.8900.9100.9040.8950.9050.902根据表格中的数据，估计这批种子发芽的概率为（

）A．0.86 B．0.89 C．0.90 D．0.91【答案】C【分析】当试验次数足够大时，频率会稳定在概率附近，观察表格中频率随试验次数增大的稳定值，即可得到概率的估计值．【详解】解：∵大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数可作为事件发生概率的估计值，观察表格数据可知，随着种子粒数逐渐增大，种子发芽的频率逐渐稳定在附近，∴估计这批种子发芽的概率为．【变式4-1】（25-26七年级下·山东烟台·期中）欢欢将自己的微信付款码打印在面积为的正方形纸上，如图所示，为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的面积约为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用频率估计概率，然后计算得出结论即可．【详解】解：，即黑色部分的面积约为．【变式4-2】（25-26七年级下·贵州贵阳·期中）某足球运动员在同一条件下进行射门，结果如下表所示：射门次数n2050100200500800踢进球门频数m133558104260400踢进球门频率0.650.70.580.520.520.5则该运动员射门一次，射进门的概率为__________．（保留一位小数）【答案】0.5【分析】在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某一常数附近，该常数可作为事件发生概率的估计值，结合题目要求保留一位小数即可求解．【详解】解：观察表格可知，随着射门次数不断增大，踢进球门的频率逐渐稳定在附近，按要求保留一位小数，因此估计该运动员射门一次，射进门的概率为．【变式4-3】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）某地铁站为优化安检效率，测试了某款新型安检设备的违禁品识别情况．工作人员模拟携带违禁品通过安检口，记录每次设备能否精准识别，试验数据如表：试验总次数200500800100015002000精准识别次数17043269287113051740精准识别频率0.8500.8640.8650.8710.8700.870根据以上数据，估计该设备精准识别违禁品的概率为______．（精确到0.01）【答案】0.87【分析】根据概率的统计定义，当试验次数足够大时，频率稳定值可作为概率的估计值，由表可知，试验次数达到次及以上时，频率稳定在附近，从而求解．【详解】解：观察表格数据可知，随着试验次数不断增大，精准识别的频率逐渐稳定在0.87附近，因此估计该设备精准识别违禁品的概率为0.87．列举法求概率【例5】（25-26七年级下·江西吉安·期中）诺诺和妈妈计划在5月7日～13日去云南旅游，如图是她在某天气上查看到的这七天天气预报，求下列事件的概率：(1)随机选择一天去参观博物馆，恰好天气预报是雨；(2)随机选择连续的两天去大理自驾游，恰好天气预报都是晴．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据概率公式求解；（2）先列举所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．【详解】（1）解：共有7天，其中天气预报是雨的只有1天，∴随机选择一天去参观博物馆，恰好天气预报是雨的概率是；（2）解：选择连续的两天的情况数有周四和周五，周五和周六，周六和周日，周日和周一，周一和周二，周二和周三，共6种情况，其中恰好天气预报都是晴的有2种，∴概率为．【变式5-1】（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）一个不透明袋子里装有6个小球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，每个小球除数字外都相同，小军随机从中摸一个球．(1)摸到每个小球概率是________；(2)计算摸到标有数字是偶数的小球的概率；【答案】(1)(2)【分析】先确定所有等可能的结果总数，再分别找出对应事件的结果数量，用对应结果数除以总结果数即可得到所求概率．【详解】（1）解：每个小球对应1种可能的结果，∴摸到每个小球的概率为．（2）解：标有数字为偶数的小球是数字2，4，6，共3种符合条件的结果，∴摸到标有数字是偶数的小球的概率是．【变式5-2】（24-25七年级下·江西九江·期中）某景区4月7日～13日一周的天气预报如下．小丽打算选择这期间的一天或两天去该景区旅游，求下列事件的概率：(1)随机选择一天，恰好天气预报是雨；(2)随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴．【答案】(1)(2)【分析】此题考查了列举法求概率的知识．熟练掌握列举法求概率是解答本题的关键．（1）随机选择一天，共有7种结果，天气预报是雨的有1天，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先利用列举法可得：随机选择连续的两天等可能的结果有：（4月7日晴，4月8日晴）、（4月8日晴，4月9日雨）、（4月9日雨，4月10日阴）、（4月10日阴，4月11日晴）、（4月11日晴，4月12日晴）、（4月12日晴，4月13日阴），天气预报都是晴的有2天，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．【详解】（1）随机选择一天，天气预报可能出现的结果有7种，即4月7日晴、4月8日晴、4月9日雨、4月10日阴、4月11日晴、4月12日晴、4月13日阴，并且这些结果出现的可能性相等．恰好天气预报是雨（记为事件）的结果有1种，即4月9日雨，所以．（2）随机选择连续的两天，天气预报可能出现的结果有6种，即（4月7日晴，4月8日晴）、（4月8日晴，4月9日雨）、（4月9日雨，4月10日阴）、（4月10日阴，4月11日晴）、（4月11日晴，4月12日晴）、（4月12日晴，4月13日阴），并且这些结果出现的可能性相等．连续两天恰好天气预报都是晴（记为事件）的结果有2种，即（4月7日晴，4月8日晴）、（4月11日晴，4月12日晴），所以．【变式5-3】（25-26七年级下·广东佛山·月考）如图，一个转盘平均分成6等份，分别标有1、2、3、4、5、6六个数字．随机转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（指向分界线时重新转动）．

(1)随机转动转盘，求转出的数字小于3的概率；(2)现有两张分别写有2和3的卡片．随机转动转盘转出的数字与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度，求这三条线段能构成三角形的概率是多少？【答案】(1)(2)【分析】（1）转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，小于3的结果有2种，由概率公式可得；（2）转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能够成三角形的结果有2种，由概率公式可得．【详解】（1）解：∵转盘中共有6个数字，小于3的数字有1和2，∴转出的数字小于3的概率为；（2）转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，分别为：123，223，323，423，523，623，其中能组成三角形的是223，323，423，共3种，∴这三条线段能构成三角形的概率是．已知概率求数量【例6】（25-26七年级下·福建宁德·期中）一个不透明的布袋里装有3个红球，2个黑球，若干个白球，这些球除颜色外其余都相同．从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是，袋中白球共有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】D【分析】根据红球个数和摸出红球的概率求出布袋中球的总个数，再减去红球和黑球的个数，即可得到白球个数．【详解】解：由题意得，布袋中球的总个数为．又∵布袋中有3个红球，2个黑球∴白球的个数为．【变式6-1】（25-26七年级下·江西九江·期中）在一个不透明的盒子中装有个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据盒子中装有个白球，随机摸出一个白球的概率为，可以求出盒子中小球的总数为个，用总数减去白球的个数，即可求出黄球的个数．【详解】解：盒子中装有个白球，随机摸出一个白球的概率为，盒子中小球的总数为个，盒子中黄球的个数为个．【变式6-2】（25-26七年级下·陕西西安·期中）一个袋中有20个球，分别为红球、蓝球（除颜色外完全相同）．经反复试验，小明摸出红球的概率为，请估算袋中蓝球的数量为______个．【答案】14【分析】先根据概率的性质求出摸出蓝球的概率，再根据概率公式变形计算得到袋中蓝球的数量．【详解】解：摸出篮球的概率为：，袋中蓝球的数量为：（个）．【变式6-3】（25-26七年级下·四川成都·期中）一个盒中装着大小、外形一模一样的x颗白色弹珠和10颗黑色弹珠，已知从盒中随机取出一颗弹珠，取得白色弹珠的概率是，现保持盒中原来的白色和黑色弹珠数量不变，再往盒中放进10颗同样的白色弹珠，接下来从盒中随机取出一颗弹珠，则取得白色弹珠的概率是_______．【答案】【分析】根据概率公式列出关于原有白色弹珠数量x的方程，求解得到x的值，再利用概率公式计算放入新弹珠后取得白色弹珠的概率．【详解】解：根据题意得，解得，再往盒中放进10颗同样的白色弹珠，从盒中随机取出一颗弹珠，取得白色弹珠的概率为．易错点1关于频率与概率关系说法的正误频率是试验结果，随试验变化；概率是固定常数，试验次数越多，频率越接近概率。易错点2判断实验所得结果是否是等可能性的需保证每种结果出现机会均等，不等时不能直接套用等可能概率公式。关于频率与概率关系说法的正误【例7】（25-26七年级下·山西太原·期中）以下说法正确的是（

）A．在做用频率估计概率的试验时，只要试验的次数足够多，一定可以得到概率的精确值B．在做抛瓶盖的试验时，每名同学尽量用相同规格的瓶盖进行试验，然后再汇总全班同学的数据进行估计概率C．在用频率估计概率时，因为随机事件是否发生是不确定的，每次得到的频率一般是不同的，所以随机事件发生的概率也是不确定的D．在做抛瓶盖的试验时，如果上一次试验盖口向上，那么进行下一次试验时盖口向上的可能性会减小【答案】B【分析】根据频率与概率的关系，逐一判断各选项正误即可．【详解】解：∵用频率估计概率得到的是概率的近似值，即使试验次数足够多，也无法得到概率的精确值，∴A错误．∵用相同规格瓶盖可以保证试验条件一致，汇总全班数据增大了试验次数，能提高估计的准确性，符合频率估计概率的试验要求，∴B正确．∵随机事件发生的概率是固定的确定值，频率是每次试验得到的不确定数值，频率的不确定性不影响概率的确定性，∴C错误．∵每次抛瓶盖试验都是独立事件，上一次试验的结果不会影响下一次结果发生的可能性大小，∴D错误．【变式7-1】（25-26七年级下·浙江湖州·月考）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（

）A．试验次数越多，越大B．试验次数越多，越大C．与都可能发生变化D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定【答案】D【分析】概率P是固定值，频率f随试验次数增加在P附近波动并趋于稳定.本题考查频率与概率的关系，熟练掌握二者的关系是解题的关键.【详解】解：∵概率P是常数，不随试验次数改变；频率f随试验次数增加而逐渐稳定于P附近.∴选项D正确.故选：D.【变式7-2】（24-25七年级下·广东惠州·月考）在一个不透明的袋子里装有若干个红球和黄球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再重新摸球．下列说法正确的是（

）A．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越大B．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越小C．重复多次摸球后，摸到黄球的频数逐渐稳定D．重复多次摸球后，摸到黄球的频率逐渐稳定【答案】D【分析】本题考查频率与频数的概念以及频率的稳定性．频数是事件发生的次数，频率是频数与总次数的比值.随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定在概率附近．【详解】解：A、摸到黄球的频数增大时，总摸球次数也会增加，频率是频数与总次数的比值，因此频率不一定增大，该说法错误，不符合题意；B、同理，频数增大时总次数也增加，频率不一定减小，该说法错误，不符合题意；C、频数是摸到黄球的次数，会随试验次数增加而增加，不会稳定，该说法错误，不符合题意；D、重复多次摸球后，摸到黄球的频率会逐渐稳定在概率附近，该说法正确，符合题意．故选：D．【变式7-3】（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．下面的推断合理的是（）A．当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是B．当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率一定是C．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是D．若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定仍是【答案】C【分析】本题主要考查了用频率估计概率，计算频率，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，频率等于频数除以总数，每次试验频率的值都有可能发生变化，据此可得答案．【详解】解：A、当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的频率是：，但“钉尖向上”的概率不一定是，原说法错误，不符合题意；B、当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率不一定是，原说法错误，不符合题意；C、随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是，原说法正确，符合题意；D、若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是，但不一定是，原说法错误，不符合题意．故选：C．判断实验所得结果是否是等可能性的【例8】（25-26七年级下·山西太原·月考）下列随机试验中，结果具有“等可能性”的是（

）A．掷一枚质地均匀的骰子 B．篮球运动员定点投篮C．掷一个矿泉水瓶盖 D．从装有若干小球的透明袋子摸球【答案】A【详解】解：A，掷一枚质地均匀的骰子，任一点数的概率都是六分之一，故该选项正确；B，篮球运动员定点投篮，投中与否的概率并不相等，故该选项错误；C，掷一个矿泉水瓶盖，因瓶盖质地不均匀，正反面出现的概率并不相等，故该选项错误；D，从装有若干小球的透明袋子摸球，摸到某一颜色小球的概率不一定相等，故该选项错误；故选A．【变式8-1】（25-26七年级下·四川南充·月考）在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，如果没有硬币，则下列不能作为替代物进行试验的是（

）A．一枚均匀的正方体骰子 B．两张不同的扑克C．两张不同的卡片 D．一枚图钉【答案】D【分析】替代物需要满足和原抛硬币试验一致，即能产生两种概率相等的结果，据此判断各选项即可．【详解】原抛硬币试验中，有正面向上、反面向上两种等可能结果，每种结果发生的概率为，替代物需满足两种结果发生概率相等．选项A，均匀正方体骰子，点数为奇数、偶数的结果各3种，概率均为，可分别对应硬币正反，能用作替代物；选项B，两张不同扑克，任意抽取一张，抽到每张的概率均为，可对应硬币正反，能用作替代物；选项C，两张不同卡片，任意抽取一张，抽到每张的概率均为，可对应硬币正反，能用作替代物；选项D，抛掷图钉时，钉尖朝上与钉帽朝上的概率不相等，不满足两种结果等可能的要求，因此不能作为替代物．【变式8-2】（25-26七年级下·河南许昌·月考）抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性（

）A．正面朝上的可能性大 B．反面朝上的可能性大C．相等 D．无法确定【答案】C【分析】本题考查等可能事件的概率概念，根据质地均匀硬币的性质即可判断结果．【详解】∵抛掷质地均匀的硬币，仅存在正面朝上和反面朝上两种结果，且两种结果出现的概率相同，∴正面朝上和反面朝上的可能性相等；故选：C．技巧1几何概率用对应区域长度、面积、角度的比值求概率，找准目标区域与总区域。技巧2游戏公平性问题分别算出各方获胜概率，概率相等则游戏公平，不等则不公平，可调整规则使其公平。技巧3概率在比赛中的应用列举所有对局情况，结合概率公式计算胜负概率，分析局势。技巧4概率在转盘抽奖中的应用依据扇形面积占比判定概率，分区面积越大，对应中奖可能性越高。几何概率【例9】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止后，指针落在区域的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】用区域扇形的圆心角度数除以周角度数即可得．【详解】解：区域的圆心角为，指针落在区域的概率是．【变式9-1】（2026·湖南岳阳·二模）湖南境内主要河流有湘江、资水、沅江和澧水，这四条河流构成了湖南水系的骨架，并最终都汇入洞庭湖．如右图所示，图中阴影部分表示常德市，有两条河流经过该市汇入洞庭湖．现有一艘游轮从洞庭湖出发，随机进入一条河流，则游轮经过常德市的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先确定总共有4条河流，其中经过常德市的河流有2条；再根据概率公式，用经过常德市的河流数除以河流总数，即可得到所求概率．【详解】解：由题意可知，共有湘江、资水、沅江、澧水4条河流，其中经过常德市的河流有2条．根据概率公式，P（游轮经过常德市）故选：A．【变式9-2】（25-26七年级下·山东烟台·期中）为增强班级凝聚力，王老师组织开展了一次主题班会．班会上，他设计了一个如图的飞镖靶盘，靶盘由两个同心圆构成，小圆半径为，大圆半径为，每个扇形的圆心角为度．如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的，那么小明同学任意投掷飞镖1次（击中边界或没有击中靶盘，则重投1次），投中“免一次作业”的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：由题意得，大圆面积为π×免一次作业对应区域的面积为60×π∴投中“免一次作业”的概率是200π【变式9-3】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如今，二维码广泛应用于日常生活．如图，小深自制的二维码面积为20，通过大量随机撒点试验，测得点落在二维码白色部分的频率稳定在0.35．估计该二维码白色部分的面积为（

）A．13 B．7 C．0.65 D．0.35【答案】B【详解】解：∵小深自制的二维码面积为20，点落在二维码白色部分的频率稳定在0.35∴点落在二维码白色部分的概率为0.35∴估计该二维码白色部分的面积为．游戏公平性问题【例10】（25-26七年级下·福建宁德·期中）在一个不透明的袋中有8个除颜色外其他都相同的小球，其中4个红球，3个黄球，1个白球．(1)小红从中任意摸出一个小球，摸到白球的概率是多少？(2)小红和小丽一起做游戏，规则如下：小红从中任意摸出一个小球，摸到红球则小红胜，摸到黄球则小丽胜．该游戏对双方公平吗？为什么？【答案】(1)(2)不公平，理由见解析【分析】（1）利用概率公式求解；（2）求出各自的概率，然后进行比较．【详解】（1）解：总共有8种等可能的结果，摸到白球的结果有1种．（摸到白球）；（2）解：该游戏对双方不公平．理由如下：总共有8种等可能的结果，摸到红球可能出现的结果有4种，摸到黄球可能的结果有3种，（小红胜）（摸到红球），（小丽胜）（摸到黄球）．，该游戏对双方不公平．【变式10-1】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）年月日是第32个世界读书日，为了营造多读书、读好书的氛围，某校举办了校园读书节，要在小明和小华中选取一人作为读书节主持人．将正面印有，，，，，，，的八张卡片（卡片除正面数字不同外，其他均相同）洗匀后，背面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张．若抽到卡片上的数字是的倍数，则小明去；若抽到卡片上的数字大于，则小华去．(1)任意抽取一张卡片，抽到卡片上的数字是的倍数的概率是；(2)通过计算说明这个游戏规则对双方是否公平？若不公平，请你改变一张卡片上的数字，使该规则对双方公平．【答案】(1)(2)不公平，将卡片上的数字改为，该游戏规则对双方公平（答案不唯一）【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）分别根据概率公式求解两人去的概率，然后比较两个概率的大小即可判断游戏的公平性，修改卡片上的数字使得两人去的概率相等即可．【详解】（1）解：任意抽取一张卡片，抽到卡片上的数字是的倍数有，，共种结果，任意抽取一张卡片，抽到卡片上的数字是的倍数的概率是；（2）解：不公平，理由：任意抽取一张卡片，抽到卡片上的数字是的倍数有，，，，共种结果；抽到卡片上的数字大于的有，，，共种结果；小明去的概率为，小华去的概率为，，这个游戏规则对双方不公平；将卡片上的数字改为，则任意抽取一张卡片，抽到卡片上的数字是的倍数有，，，共种结果；抽到卡片上的数字大于的有，，，共种结果；小明去的概率和小华去的概率均为，故该游戏规则对双方公平（答案不唯一）．【变式10-2】（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同．小红做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据：摸球的次数10020030050080010003000摸到白球的次数711293345376702010摸到白球的频率0.6450.690.6680.6710.6700.670(1)填空：___________，___________，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为___________．（精确到0.01）(2)某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合（1）中概率估计值结果的试验最有可能的是___________．A．掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数分别为），落地时面朝上的点数小于5；B．某东西向的路口信号灯按绿灯30秒、黄灯5秒、红灯25秒的规律循环，不考虑其他因素，一辆汽车随机行驶到该路口时，遇到红灯或黄灯；C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”．(3)若盒子中一共有100个球，小红和小亮用这个盒子来玩游戏，①根据试验结果，盒子中最有可能有___________个白球：②由①的结果，约定游戏规则：拿出17个白球，搅匀后再从盒子里随机摸出一只球，摸到白球小红胜，摸到黑球则小亮胜，这个游戏公平吗？请说明理由．【答案】(1)；；(2)A(3)①67；②不公平，理由见解析【分析】（1）根据频率频数总数可得、的值，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值；（2）求出、、三个选项中事件发生的概率即可得到答案；（3）①利用总数乘以频率即可解答；②分别计算小红胜和小亮胜的概率，再对比即可．【详解】（1）解：；；由表格可知，随着试验次数的增加，摸到白球频率逐步稳定在附近，故从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为；（2）解：掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数分别为），落地时面朝上的点数小于5的概率为；某东西向的路口信号灯按绿灯30秒、黄灯5秒、红灯25秒的规律循环，不考虑其他因素，一辆汽车随机行驶到该路口时，遇到红灯或黄灯的概率为．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为；故符合（1）中概率估计值结果的试验最有可能的是A；（3）解：①根据试验结果，盒子中最有可能有个白球；②不公平，理由如下：拿出个白球后，盒子里一共有黑球个，盒子里一共有白球个，则小红胜的概率为，则小亮胜的概率为，，∴不公平．【变式10-3】（25-26七年级下·广东深圳·期中）现有一个不透明的盒子里放置6张材质完全相同的卡片，卡片上分别标有数字1、2、3、4、5、6．(1)小深设计了一款游戏，规则如下：，从盒中随机抽取1张卡片，卡片上的数字即为．计算，若结果大于2，则甲获胜；若结果小于或等于2，则乙获胜．求甲获胜的概率．(2)你认为小深设计的这个游戏是否公平？请阐述理由．(3)目前该游戏仅支持两人同时玩，请帮小深将其改成可供三个人同时玩的公平游戏．【答案】(1)(2)不公平，理由见解析；(3)见解析【分析】（1）根据求出的6个取值对应的值，再根据甲获胜的情况求出概率即可；（2）由甲获胜的概率小于乙获胜的概率分析即可；（3）三个人同时玩的公平游戏，即三个人获胜的概率相等，据此设计游戏即可．【详解】（1）解：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，当时，，其中，即6种结果中，只有1种结果甲获胜，甲获胜的概率为．（2）解：不公平，理由：由（1）可知，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，甲获胜的概率明显小于乙获胜的概率，所以游戏不公平；（3）解：规则如下：，从盒中随机抽取1张卡片，卡片上的数字即为．若结果为1或2，则甲获胜；若结果为3或4，则乙获胜；若结果为5或6，则丙获胜．概率在转盘抽奖中的应用【例11】（25-26七年级下·四川成都·期中）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并将转盘等分成20个扇形，分别涂上不同的颜色（如图），并规定：顾客每购买100元商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券．已知甲顾客购物消费170元．(1)甲顾客获得购物券的概率是多少？(2)若要让获得20元购物券的概率变为，还需要将几个无色扇形涂成绿色？请说明理由．【答案】(1)；(2)还需要将个无色扇形涂成绿色．【分析】（1）根据概率公式计算即可得出结果；

（2）设还需要将个无色扇形涂成绿色，根据目标概率建立方程，求解即可．【详解】（1）解：∵转盘被等分成20个扇形，获奖区域一共有7个，∴甲顾客得到元购物券的概率是；（2）解：设还需要将个无色扇形涂成绿色，由题意可得，解得：，∴还需要将个无色扇形涂成绿色．【变式11-1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，为喜迎五一劳动节，大润发超市特别推出感恩回馈活动．活动期间，顾客累计购物满200元，即可获得一次免费转动幸运转盘的机会，指针指向对应奖项区域，即可赢取相应好礼，多买多转，惊喜不停．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得50元、