专题04 因式分解（必刷38题8种题型专项训练）（解析版）

专题04因式分解（必刷38题8种题型专项训练）题型一判断是否是因式分解题型二公因式（高频）题型三提公因式法分解因式题型四平方差公式分解因式（重点）题型五完全平方公式分解因式（难点）题型六综合运用公式法分解因式（高频）题型七因式分解在有理数简算中的应用（易错）题型八因式分解的应用（难点）题型一判断是否是因式分解1．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）下列等式从左到右的变形是因式分解的有（

）①；②；③A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【知识点】判断是否是因式分解【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解．【详解】①右边不是乘积形式，不属于因式分解；②左边不是多项式，不属于因式分解；③从左边到右边的变形属于因式分解；∴从左到右的变形是因式分解的有③，只有一个，故选：B．2．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（

）①；②；③；④．A．① B．①③ C．②④ D．①②③④【答案】A【知识点】判断是否是因式分解【分析】本题主要考查了因式分解的定义．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据定义即可进行判断．【详解】解：①，把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形是因式分解，符合题意；②，原变形是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；③，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意；④，原变形是整式乘法，多项式乘多项式，不是因式分解，不符合题意，综上所述，属于因式分解的有：①，故选：A．3．（22-23七年级下·河北保定·期末）如下表，各式从左到右的变形中，是因式分解的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【知识点】判断是否是因式分解【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．【详解】是因式分解，是整式的乘法，不是因式分解，没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故是因式分解的只有一个，故选：A．【点睛】本题考查了因式分解的意义，注意因式分解后左边和右边是相等的，不能凭空想象右边的式子．题型二公因式4．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）整式和的公因式为.【答案】【知识点】公因式【分析】本题考查确定公因式，先对进行因式分解，再根据确定公因式的方法：“①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式；③定指数，即各项相同字母因式的指数的最低次幂”，求解即可．【详解】解：∵，∴和的公因式为，故答案为：．5．（22-23七年级下·河北秦皇岛·期末）与的公因式是．【答案】/【知识点】公因式【分析】根据公因式的定义求解即可．【详解】与的公因式是．故答案为：．【点睛】本题考查了公因式，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式．公因式的确定方法：公因式是各项系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次数幂的积．6．（21-22七年级下·河北邢台·期末）对于多项式．（1）它的公因式是；（2）因式分解结果是．【答案】【知识点】公因式、提公因式法分解因式【分析】（1）根据公因式的概念解答即可；（2）利用提公因式法分解因式即可．【详解】解：（1）它的公因式是b；故答案为：b；（2）原式＝b（a2+a﹣1）．故答案为：b（a2+a﹣1）．【点睛】此题考查的是公因式和提公因式法分解因式，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键．7．（21-22七年级下·全国·单元测试）如果一个多项式的各项有公因式，则这个公因式一定是()A．数字 B．单项式 C．多项式 D．整式【答案】D【知识点】公因式【分析】几个单项式的和是多项式，但是项中的字母既可以是单个的数字，也可以是字母或多项式，所以其公因式既可以是单个的数字，也可以是字母或多项式．【详解】解：多项式的项中的字母既可以是单个的数字，也可以是字母或多项式，但都是整式．所以公因式一定是整式．故选：D．【点睛】本题考查了多项式的公因式的定义，掌握公因式的定义是解题的关键．题型三提公因式法分解因式8．（22-23七年级下·河北张家口·期中）若，则代数式A的值为（

）A．a B．n C． D．【答案】A【知识点】提公因式法分解因式【分析】提出公因式，可得，即可求解．【详解】解：∵，，∴代数式A的值为a．故选：A【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．9．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）把因式分解，结果为．【答案】【知识点】提公因式法分解因式【分析】本题考查因式分解，直接利用提公因式法分解因式即可．【详解】，故答案为：．10．（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：．（1）上述分解因数的方法是，其应用了次；（2）若分解，则需应用上述方法次，结果是．【答案】提公因式法22017/【知识点】提公因式法分解因式【分析】（1）将视为一个整体，观察分解因式的过程即可得到答案；（2）观察（1）得出规律，即可得到答案．【详解】解：（1）根据题意可得：上述分解因数的方法是提取公因式法，共应用了2次，故答案为：提取公因式法，2；（2）由（1）可得：当多项式的最高次项为时，需要提取公因式2次，结果为，当多项式的最高次项为时，需要提取公因式次，结果为，分解，则需应用上述方法2017次，结果是，故答案为：2017，．【点睛】本题主要考查了提公因式法分解因式，熟练掌握提公因式法分解因式的方法，总结相关规律，是解题的关键．题型四平方差公式分解因式11．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）下面是甲、乙两位同学因式分解的结果，下列判断正确的是（

）甲同学：原式乙同学：原式A．只有甲的结果正确 B．只有乙的结果正确C．甲、乙的结果都正确 D．甲、乙的结果都不正确【答案】C【知识点】平方差公式分解因式【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解，进行判断即可．【详解】解：；；故甲、乙的结果都正确；故选C．12．（23-24八年级上·河北唐山·期末）对于下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（

）①

②

③

④A．①② B．①④ C．③④ D．②③【答案】D【知识点】平方差公式分解因式【分析】本题考查了多项式的因式分解，根据平方差公式的形式：逐项判断即得答案．【详解】解：①不能用平方差公式进行因式分解，②，能用平方差公式进行因式分解，③，能用平方差公式进行因式分解，④不能用平方差公式进行因式分解，故选：D．13．（21-22七年级下·全国·单元测试）已知，，则的值为.【答案】【知识点】平方差公式分解因式【分析】原式利用平方差公式分解后，将与的值代入计算即可求出值．【详解】解：原式，当，时，原式．故答案为：．【点睛】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差是解本题的关键．14．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）对于任何整数，多项式都能被整除（整数或者含a的整式）．【答案】3或或【知识点】因式分解的应用、平方差公式分解因式【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．利用平方差公式进行因式分解，即可得到答案．【详解】，则对于任何整数a，多项式都能被3或或整除．故答案为：3或或．15．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知识点】提公因式法分解因式、平方差公式分解因式【分析】（1）直接提公因式即可；（2）利用平方差公式进行计算即可．【详解】（1）解：原式；（2）原式．【点睛】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提．16．（22-23七年级下·江苏镇江·期中）因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式【分析】（1）直接提公因式即可；（2）直接运用平方差公式进行因式分解即可；（3）先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解即可；（4）先运用平方差公式进行因式分解，再运用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】（1）；（2）；（3）；（4）．【点睛】本题考查了因式分解，能够熟练运用提公因式法，平方差公式和完全平方公式是解题的关键．题型五完全平方公式分解因式17．（21-22七年级下·河北唐山·期末）在多项式添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式分解因式，则下列表述正确的是（）嘉琪：添加，陌陌：添加，嘟嘟：添加，A．嘉琪和陌陌的做法正确 B．嘉琪和嘟嘟的做法正确C．陌陌和嘟嘟的做法正确 D．三位同学的做法都不正确【答案】A【知识点】完全平方公式分解因式【分析】利用完全平方公式分解即可．【详解】解：添加，，故嘉琪的表述是正确的；添加，，故陌陌的表述是正确的；嘟嘟的表述不是完全平方公式，故是错误的．故选：A．【点睛】本题考查因式分解—公式法．熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．18．（21-22七年级下·河北唐山·期末）下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】完全平方公式分解因式【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．【详解】A.不能用完全平方公式分解因式，故A错误；B.不能用完全平方公式分解因式，故B错误；C.不能用完全平方公式分解因式，故C错误；D.能用完全平方公式分解因式，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．19．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）因式分解：．【答案】【知识点】完全平方公式分解因式【分析】利用完全平方公式因式分解即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．20．（2025七年级下·全国·专题练习）某同学对多项式进行因式分解的过程如下：设，原式．(1)该同学因式分解的结果是否正确？若不正确，请直接写出因式分解的最后结果；(2)请仿照以上方法对多项式进行因式分解．【答案】(1)不正确，最后结果应为(2)【知识点】完全平方公式分解因式【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是要注意完全平方公式的应用和换元法的应用．（1）根据完全平方公式可知可继续分解，从而可得答案；（2）设，整理后再根据完全平方公式把原式进行分解即可．【详解】（1）解：不正确，正确解答如下：设，原式；（2）解：设，则．21．（22-23七年级下·河北秦皇岛·期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．解：设，原式（第一步），（第二步），（第三步），（第四步），(1)该同学第二步到第三步运用______进行因式分解；(2)该同学是否完成了将该多项式因式分解？若没有完成，请直接写出因式分解的最后结果．(3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．【答案】(1)完全平方公式(2)否；(3)【知识点】完全平方公式分解因式【分析】（1）根据因式分解的方法解答即可；（2）用完全平方公式继续分解；（3）根据题目所提供的方法分解即可．【详解】（1）该同学第二步到第三步运用完全平方公式进行因式分解．故答案为：完全平方公式（2）没有完成因式分解，；（3）设，则原式．【点睛】本题考查了换元法因式分解，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．22．（22-23七年级下·河北唐山·期末）（1）请观察下列各式，能用完全平方公式因式分解的是______（填序号），并把你选出的多项式分解因式．①

②

③

④（2）根据对完全平方公式特征的理解；请给添上一个单项式，使得到的多项式能用完全平方公式分解因式．这个单项式可以为______（写出所有情况）．【答案】（1）①④；（2），【知识点】完全平方公式分解因式【分析】（1）根据完全平方公式处理；（2）添项，配成完全平方式处理．【详解】解：（1）①④（2）

，

；故可添单项为：，．【点睛】本题考查公式法因式分解，掌握公式的特征是解题的关键，注意添项时情况的多样性．题型六综合运用公式法分解因式23．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）（1）解方程组：，（2）分解因式：【答案】（1）；（2）【知识点】综合运用公式法分解因式、加减消元法【分析】（1）方程组整理后，利用加减消元法解方程组即可得到答案；（2）先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式继续分解即可．【详解】解：（1）方程组整理得，②①得，，∴，把代入①得，，∴，∴原方程组的解集是；（2）．【点睛】本题考查了因式分解与解二元一次方程组，能够准确运用乘法公式是解决此题关键．24．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知识点】综合运用公式法分解因式【分析】本题主要考查因式分解，掌握乘法公式的运用是解题的关键．（1）运用完全平方公式，平方差公式因式分解即可；（2）运用平方差，完全平方公式因式分解即可．【详解】（1）解：．（2）解：．25．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）在对多项式因式分解的过程中，没有用到的方法有（

）A．提公因式 B．平方差公式 C．完全平方公式 D．提公因式【答案】C【知识点】综合提公因式和公式法分解因式【分析】将整式因式分解后进行判断即可．【详解】解：原式，它先提公因式2，然后利用平方差公式因式分解，那么没有用到完全平方公式，故选：C．【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．26．（22-23七年级下·河北沧州·期末）下列因式分解正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式【分析】运用提公因式、公式法因式分解，注意分解到不能分解．【详解】A.，原分解不完整，本选项不符合题意；B.，原分解错误，本选项不符合题意；C.，原分解错误，本选项不符合题意；D.，分解正确，本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查因式分解，注意分解的步骤，分解彻底是解题的关键．27．（23-24七年级下·河北承德·期末）因式分解：．【答案】【知识点】综合提公因式和公式法分解因式【分析】本题主要考查了分解因式，先提公因式，然后用平方差公式分解因式即可．【详解】解：．故答案为：．28．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）多项式与多项式的公因式是．【答案】/【知识点】公因式、综合提公因式和公式法分解因式【分析】本题主要考查公因式的确定，分别将多项式与多项式进行因式分解，再寻找他们的公因式．【详解】解：，，多项式与多项式的公因式是，故答案为：．29．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）分解因式：(1)(2)【答案】(1)(2)【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式【分析】本题考查提公因式法及公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．（1）利用提公因式法因式分解即可；（2）提公因式后利用平方差公式因式分解即可．【详解】（1）解：；（2）解：．30．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）因式分解：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式【分析】本题主要考查了多项式的因式分解：（1）利用提公因式法解答，即可求解；（2）先提出提公因式法，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解．【详解】（1）解：原式（2）解：原式题型七因式分解在有理数简算中的应用31．（2025七年级下·全国·专题练习）简便计算：．【答案】25【知识点】因式分解在有理数简算中的应用【分析】本题考查了因式分解在有理数简算中的运用，掌握因式分解的方法是解题的关键．根据题意，将改写成，运用完全平方和公式计算即可．【详解】解：，故答案为：25．32．（22-23七年级下·河北秦皇岛·期末）分解因式：．分解因式：．计算：的结果是．【答案】404600【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、因式分解在有理数简算中的应用【分析】观察式子形式，采取合适的因式分解方法即可．【详解】解：；；；故答案为：；；404600．【点睛】本题考查了因式分解的相关方法：提公因式法、公式法等，掌握相关方法是解题关键．33．（22-23七年级下·河北承德·期末）（1）用简便方法计算：（2）若是整数，一定能被整除吗？说明理由．【答案】（1）；（2）能，理由见解析【知识点】因式分解在有理数简算中的应用、因式分解的应用【分析】（1）提公因数，进而即可求解；（2）提公因式，分为偶数、奇数，两种情况讨论，即可求解．【详解】（1）原式（2）能∵若为偶数，则必为奇数若为奇数，则必为偶数在中，，必有一个是偶数∴一定能被2整除【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．题型八因式分解的应用34．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）若可以分解为，则的值为（

）A． B．1 C． D．0【答案】D【知识点】因式分解的应用【分析】本题考