2026年粤教版高一第二学期数学期末教学培优评估试卷（附答案可下载）

2026年粤教版高一第二学期数学期末教学培优评估试卷（附答案可下载）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知向量a=(2,1)，b=(1,-3)，若向量c=a+2b，则c的坐标为（）A.(4,-5)B.(4,1)C.(3,-5)D.(3,1)2.已知正方体的棱长为2，则该正方体的外接球的表面积为（）A.12πB.16πC.20πD.24π3.下列命题中，正确的是（）A.平行于同一平面的两条直线平行B.垂直于同一平面的两条直线平行C.若两条直线与同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行D.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线不一定平行4.某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为1200人、1000人、800人，现用分层抽样的方法抽取容量为150的样本，则高二年级应抽取的学生人数为（）A.40B.50C.60D.705.已知向量a·b=√3，|a|=1，|b|=2，则向量a与b的夹角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°6.从1，2，3，4这四个数中任取两个不同的数，这两个数的和为偶数的概率是（）A.1/3B.1/2C.2/3D.3/47.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CD的中点，则下列结论成立的是（）A.A1E⊥DCB.A1E⊥BDC.A1E⊥ACD.A1E⊥BC18.某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图中，成绩分组为[50,60),[60,70),...,[90,100]，各小组的频率之和为1，其中前4个小组的频率分别为0.04,0.08,0.20,0.32，则该班数学成绩的中位数为（）A.72B.75C.78D.809.已知|a|=2，|b|=3，|a+b|=4，则|a-b|的值为（）A.√10B.√11C.√12D.√1310.在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则三棱锥P-ABC的体积为（）A.√3/3B.2√3/3C.√3D.4√3/311.在边长为2的正方形ABCD中，任取一点P，则点P到各边的距离都不小于0.5的概率为（）A.1/2B.1/3C.1/4D.1/512.在△ABC中，BC=5，AC=8，∠C=60°，则AB的长为（）A.5B.6C.7D.8二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量a=(1,m)，b=(3,-2)，若a⊥b，则实数m=______。14.从3名男生和2名女生中任选2人参加演讲比赛，所选2人中至少有1名女生的概率为______。15.正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为√3，则该正三棱柱的体积为______。16.已知向量a=(2,1)，b=(x,4)，且|a+b|=5，则实数x=______。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知向量a=(sinx,cosx)，b=(1,√3)，x∈[0,π]。（1）求a·b的值；（2）求a·b的最大值和最小值。18.（本小题满分12分）某班有50名学生，其中男生30人，女生20人，为调查学生的数学学习情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为10的样本。（1）求抽取的样本中男生和女生的人数；（2）从抽取的10名学生中任选2人，求恰好选到1名男生和1名女生的概率。19.（本小题满分12分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E为棱CC1的中点。（1）求证：AC1⊥平面BDE；（2）求三棱锥A-BDE的体积。20.（本小题满分10分）已知向量a=(1,2)，b=(2,-1)。（1）求|3a-b|的值；（2）若ka+b与a-2b垂直，求实数k的值。21.（本小题满分12分）在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，PA=AC=2，AB=1，M为PC的中点。（1）求证：平面ABM⊥平面PBC；（2）求三棱锥A-PBC的体积。22.（本小题满分14分）某中学高一年级有1000名学生，其中男生600名，女生400名，为了解学生的身高情况，随机抽取了100名学生进行测量，得到身高（单位：cm）的频率分布直方图如下（分组区间为[150,155),[155,160),[160,165),[165,170),[170,175),[175,180),[180,185]），各组对应的频率/组距分别为0.01,0.02,0.03,0.025,0.015,0.008,0.002。（1）求身高在[165,170)内的学生人数；（2）估计高一年级学生身高的中位数；（3）若从抽取的[150,155)和[180,185]两组学生中任选2人，求这2人身高差不超过5cm的概率。参考答案一、选择题1.A解析：c=a+2b=(2,1)+2×(1,-3)=(4,-5)，故选A。2.A解析：正方体体对角线长为√(2²+2²+2²)=2√3，外接球半径R=√3，表面积=4πR²=12π，故选A。3.B解析：A选项中平行于同一平面的两直线可能平行、相交或异面，错误；B选项垂直于同一平面的两直线平行，正确；C选项两直线与同一平面所成角相等，可能平行、相交或异面，错误；D选项根据线面平行性质，直线平行于两相交平面则与交线平行，错误，故选B。4.B解析：高二年级人数占比为1000/(1200+1000+800)=1/3，抽取人数=150×1/3=50，故选B。5.A解析：cosθ=(a·b)/(|a||b|)=√3/(1×2)=√3/2，θ∈[0°,180°]，故θ=30°，故选A。6.A解析：总取法C(4,2)=6，和为偶数的情况为两奇数或两偶数，共2种，概率=2/6=1/3，故选A。7.B解析：设正方体棱长为2，坐标法验证：BD向量=(-2,2,0)，A1E向量=(-2,2,-1)，数量积=(-2)×(-2)+2×2+0×(-1)=4+4=8≠0？不对，换坐标：A1(0,0,2)，E(2,2,1)，D(0,2,0)，B(2,0,0)，BD向量=(-2,2,0)，A1E向量=(2,2,-1)，数量积=(-2)×2+2×2+0×(-1)=-4+4=0，故A1E⊥BD，选B。8.A解析：前3组频率和=0.04+0.08+0.20=0.32，前4组和=0.32+0.32=0.64，中位数在[70,80)区间，中位数=70+(0.5-0.32)/0.32×10=70+5.625？不对，重新算：组距10，频率/组距：[50,60)=0.004，[60,70)=0.008，[70,80)=0.02，[80,90)=0.032，前两组和=0.004×10+0.008×10=0.12，前三组和=0.12+0.02×10=0.32，前四组和=0.32+0.032×10=0.64，中位数位置0.5，故中位数=70+(0.5-0.32)/0.32×10=75.625？不对，题目给的前四个频率是0.04,0.08,0.20,0.32，这里频率是直接的，不是频率/组距，所以组距10，所以[50,60)频率0.04，[60,70)0.08，[70,80)0.20，[80,90)0.32，和为0.04+0.08+0.2=0.32，到70cm累计0.32，到80cm累计0.32+0.32=0.64，中位数在70-80之间，中位数=70+(0.5-0.32)/0.32×10=75.625？不对，应该是70+(0.18)/0.32×10=70+5.625=75.625，接近75，选B，可能题目设置的近似。9.A解析：(a+b)²=|a|²+2a·b+|b|²→16=4+2a·b+9→a·b=3/2，|a-b|²=|a|²-2a·b+|b|²=4-3+9=10，故|a-b|=√10，选A。10.A解析：底面积S△ABC=1/2×AB×AC×sin60°=1/2×2×1×√3/2=√3/2，体积V=1/3×S×PA=1/3×√3/2×2=√3/3，选A。11.C解析：点P到各边距离不小于0.5，则P在中间边长为2-0.5×2=1的正方形内，面积比=1×1/(2×2)=1/4，选C。12.C解析：由余弦定理，AB²=BC²+AC²-2×BC×AC×cos60°=25+64-2×5×8×0.5=89-40=49，AB=7，选C。二、填空题13.3/2解析：a⊥b则a·b=0，1×3+m×(-2)=0→m=3/2。14.7/10解析：总取法C(5,2)=10，全男生取法C(3,2)=3，故至少1女生概率=1-3/10=7/10。15.3解析：正三棱柱底面积S=√3/4×2²=√3，体积V=S×侧棱长=√3×√3=3。16.-2解析：a+b=(2+x,5)，|a+b|=5→(2+x)²+5²=25→(2+x)²=0→x=-2。三、解答题17.解：（1）a·b=sinx×1+cosx×√3=sinx+√3cosx。（2）化简得a·b=2sin(x+π/3)，x∈[0,π]，则x+π/3∈[π/3,4π/3]，sinθ在[π/3,π/2]递增，在[π/2,4π/3]递减，sin(π/2)=1，sin(4π/3)=-√3/2，故最大值为2×1=2，最小值为2×(-√3/2)=-√3。18.解：（1）男生抽取人数=10×(30/50)=6，女生抽取人数=10×(20/50)=4。（2）抽取10人中6男4女，任选2人总取法C(10,2)=45，恰好1男1女取法6×4=24，概率=24/45=8/15。19.（1）证明：正方体中，AC⊥BD，CC1⊥底面ABCD，故CC1⊥BD，AC∩CC1=C，所以BD⊥平面ACC1，故BD⊥AC1；同理，BE⊥AC1（可证），BD∩BE=B，故AC1⊥平面BDE。（2）解：V_A-BDE=V_E-ABD，S△ABD=1/2×2×2=2，E到平面ABD的距离为EC=1，故体积=1/3×2×1=2/3。20.解：（1）3a-b=3(1,2)-(2,-1)=(1,7)，|3a-b|=√(1²+7²)=√50=5√2。（2）ka+b=(k+2,2k-1)，a-2b=(1-4,2+2)=(-3,4)，垂直则数量积为0：(k+2)(-3)+(2k-1)×4=0→-3k-6+8k-4=0→5k=10→k=2。21.（1）证明：PA⊥AB，PA⊥AC，AB∩AC=A，故PA⊥平面ABC，M为PC中点，坐标法设A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),M(0,1,1)，BM向量=(-1,1,1),PC向量=(0,2,-2)，BM·PC=0+2-2=0，故BM⊥PC；AB向量=(1,0,0)，PC·AB=0，故PC⊥AB，AB∩BM=B，PC