第一章 §1.4 基本不等式（原卷版及解析）

第第页第一章集合、常用逻辑用语、不等式§1.4基本不等式【高考考向预测】近三年高考基本不等式考查频率高，多以选择、填空题形式出现，常单独命题或结合函数、数列、几何等知识考查最值与范围问题，重点考查公式运用、式子配凑及等号成立条件；预测2027年依旧为高频考点，命题趋向题型灵活化，侧重多题型融合、双变量最值及实际应用考查，愈发注重解题思路变通与易错点辨析，整体立足核心考点，难度适中稳中略有创新。【双基自测●明考向】1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式ab≤a+b22与ab≤a+b2(2)y=x+1x的最小值是2.((3)y=x(2-x)的最大值是1.()(4)若x>0，y>0且x+y=xy，则xy的最小值为4.()2.(2025·延庆模拟)已知x<0，则y=1+2x+2x的最大值为，当且仅当x=时取得最大值.3.(多选)下列命题正确的是()A.若x<0，则x+1x≤B.若x>0，则x-1x≤C.若x∈R且x≠0，则x+1D.x2+1x24.已知x>0，y>0，2x+y=xy，则2x+y的最小值为.

【核心梳理●明考点】1.基本不等式：ab≤a(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a=b时，等号成立.(3)其中a+b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a2.利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2P.(2)已知x，y都是正数，如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值14S2注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.1.灵活应用两个基本不等式的变形公式(1)ab+ba≥2(a，b同号，当且仅当a=(2)21a+1b≤ab≤a+b2≤a22.谨防两个易误点(1)在运用基本不等式时，要特别注意等号成立的条件，尤其是题目中多次使用基本不等式，等号成立的条件必须相同，否则会造成错误.(2)尽量对式子进行化简、变形，再利用一次基本不等式求最值.【题型突破●明方向】题型一基本不等式的理解及常见变形例1(1)(多选)下列说法不正确的是()A.若a，b∈R，且ab>0，则a+b≥2abB.x+4xC.x2+2+D.存在a，使得a+1a(2)若0<a<b，则下列不等式一定成立的是()A.b>a+b2>a>ab B.b>ab>C.b>a+b2>ab>a D.b>a>【跟踪训练】1(1)已知p：a>b>0，q：a2+b22>aA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(多选)已知a，b∈R，则下列不等式成立的是()A.4ab≤(a+b)2 B.a+bC.2aba+b≤a+题型二利用基本不等式求最值命题点1直接法例2(1)(苏教版必修第一册P61习题3.2T2改编)设x>0，y>0，且xy=4，则1x+1y的最小值为(2)(人教B版必修第一册P78例4改编)已知x∈(-1，3)，则y=(1+x)(3-x)的最大值为，此时x=.

命题点2配凑法例3(1)(2025·吉林模拟)已知x>3，则y=2x−3+2A.6 B.8 C.10 D.12(2)(2026·渭南模拟)已知0<x<1，则x(4-3x)的最大值为.

命题点3常数代换法例4(1)(2025·宣城模拟)已知正实数a，b满足2a+b=4，则2a+2+A.94+2 C.92 D.34(2)(2025·上海)设a，b>0，a+1b=1，则b+1a的最小值为命题点4消元法例5已知实数x，y满足3xy+y2=1，y>0，则2x+y的最小值是()A.23 B.223 C.22命题点5构造不等式法例6(多选)(2022·新高考全国Ⅱ卷)若x，y满足x2+y2-xy=1，则()A.x+y≤1 B.x+y≥-2C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1命题点6齐次化法例7(2026·新余模拟)已知x，y为正实数，且x+y=2，则x+6A.12 B.3+22 C.252 D.【跟踪训练】2(1)(多选)下列说法正确的是()A.y=2-3x-4x(x>0)的最大值是2-4B.函数y=x2+3xC.已知x+y=1，x>0，y>0，则12x+xD.若正数m，n，满足m+n=2，则m+n的最大值为2(2)已知x>0，y>0，且2x+y=1，则x2+x+3【限时训练】（30分钟）一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.(苏教版必修第一册P61练习T1)若m>0，n>0，mn=81，则m+n的最小值是()A.4 B.43 C.9 D.182.若x>0，则函数y=x2A.6 B.7 C.10 D.113.(2025·德阳模拟)若x>1，则函数y=2x+8xA.8 B.9 C.10 D.114.(2026·绍兴模拟)已知a>0，b>0，且a+4b=4ab，则a+b的最小值是()A.2 B.2+1 C.94 D.5.(2025·连云港模拟)设a>0，b>-1，且a+b=1，则1a+1A.1 B.2 C.4 D.86.设正实数x，y，z满足x2-xy+y2-z=0，则xyzA.4 B.2 C.3 D.1二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.下列说法正确的是()A.函数y=2x+2x(xB.函数y=x2C.函数y=x+16x+2(D.若x+y=4，则x2+y2的最小值是88.(2025·苏州模拟)已知a>0，b>0，满足a+2b=4，则下列说法正确的是()A.ab≤2 B.1a+2bC.a2+b2≥165 D.3a+9b≥三、填空题(每小题5分，共10分)9.函数f(x)=x+3x−1的最小值为10.已知a>-1，b<2，1a+1+12−b=13，则a-四、解答题(共28分)11.(13分)已知正实数x，y满足x+y+xy=8，求：(1)x+y的最小值；(4分)(2)xy的最大值；(4分)(3)x-y的取值范围.(5分)12.(15分)已知下列求最小值的方法：求x3-3x，x∈[0，+∞)的最小值.解：利用平均值不等式，对任意非负实数a，b，c，有a+b+c≥33abc(当且仅当a=b=c时等号成立)，得到x3+1+1≥3x，于是x3-3x=x3+1+1-3x-2≥3x-3x-2=-2，当且仅当x=1时等号成立，所以x3-3x，x∈[0，+∞(1)求x4-4x，x∈[0，+∞)的最小值；(提示：对任意非负实数a，b，c，d，有a+b+c+d≥44abcd，当且仅当a=b=c(2)求13x3-x，x∈[0，+∞(3)已知a>0，求x3-ax，x∈[0，+∞)的最小值.(5分)[每小题5分，共10分]13.(2026·重庆模拟)已知x，y均为正实数，若x+y=1，则4x−y+514.若x1，x2，…，x2026均为正实数，则x1+x2x1+x3x1x2+x4x

第一章集合、常用逻辑用语、不等式§1.4基本不等式【高考考向预测】近三年高考基本不等式考查频率高，多以选择、填空题形式出现，常单独命题或结合函数、数列、几何等知识考查最值与范围问题，重点考查公式运用、式子配凑及等号成立条件；预测2027年依旧为高频考点，命题趋向题型灵活化，侧重多题型融合、双变量最值及实际应用考查，愈发注重解题思路变通与易错点辨析，整体立足核心考点，难度适中稳中略有创新。【双基自测●明考向】1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式ab≤a+b22与ab≤a+b2(2)y=x+1x的最小值是2.((3)y=x(2-x)的最大值是1.()(4)若x>0，y>0且x+y=xy，则xy的最小值为4.()【答案】（1）×（2）×（3）√（4）√2.(2025·延庆模拟)已知x<0，则y=1+2x+2x的最大值为，当且仅当x=时取得最大值.【答案】-3-1【解析】y=1+2x+2x=1-2(−x)+1(−当且仅当(-x)2=1，即x=-1时等号成立，故y=1+2x+2x的最大值为-3，此时x3.(多选)下列命题正确的是()A.若x<0，则x+1x≤B.若x>0，则x-1x≤C.若x∈R且x≠0，则x+1D.x2+1x2【答案】ACD【解析】当x<0时有-x>0，则x+1x=-−x+1−当且仅当-x=1−x，即x=-1时等号成立，当x>0时，y=x-1x单调递增，其值域为R，B若x∈R且x≠0，则x+1x=|x|+1x≥当且仅当|x|=1x，即x=-1或x=1时等号成立，Cx2+1x2+1=x2+1+1x2+1当且仅当x2+1=1x2+1，即x=0时等号成立，4.已知x>0，y>0，2x+y=xy，则2x+y的最小值为.

【答案】8【解析】方法一由x>0，y>0，2x+y=xy，可得y=2xx−1>0，则则2x+y=2x+2xx=2(=2(x-1)+2x≥22(x−1)当且仅当2(x-1)=2x−1，即x所以2x+y的最小值为8.方法二由x>0，y>0，2x+y=xy，得2y+1x所以2x+y=(2x+y)2y+1x=4xy+y当且仅当4xy=yx，2x+y即x=2，y=4时，等号成立，所以2x+y的最小值为8.【核心梳理●明考点】1.基本不等式：ab≤a(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a=b时，等号成立.(3)其中a+b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a2.利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2P.(2)已知x，y都是正数，如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值14S2注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.1.灵活应用两个基本不等式的变形公式(1)ab+ba≥2(a，b同号，当且仅当a=(2)21a+1b≤ab≤a+b2≤a22.谨防两个易误点(1)在运用基本不等式时，要特别注意等号成立的条件，尤其是题目中多次使用基本不等式，等号成立的条件必须相同，否则会造成错误.(2)尽量对式子进行化简、变形，再利用一次基本不等式求最值.【题型突破●明方向】题型一基本不等式的理解及常见变形例1(1)(多选)下列说法不正确的是()A.若a，b∈R，且ab>0，则a+b≥2abB.x+4xC.x2+2+D.存在a，使得a+1a【答案】ABC【解析】选项A，若a，b均为负数，不等式不成立，故A错误；对于B，当x>0时，x+4x≥2x·4x=4(当且仅当x=2时取等号)，当x<0时，x+4-2(−x)·4−x=-4对于C，y=x2+2+1x2+2≥2，等号成立的条件是x2+2=1对于D，存在a=-1，使得a+1a<2成立，故D正确(2)若0<a<b，则下列不等式一定成立的是()A.b>a+b2>a>ab B.b>ab>C.b>a+b2>ab>a D.b>a>【答案】C【解析】∵0<a<b，∴2b>a+b，∴b>a+b2∵b>a>0，∴ab>a2，∴ab>a.故b>a+b2>ab【思维升华】基本不等式的常见变形(1)ab≤a+b2(2)21a+1b≤ab≤a+b2≤a【跟踪训练】1(1)已知p：a>b>0，q：a2+b22>aA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵a>b>0，则a2+b2>2ab，∴2(a2+b2)>a2+b2+2ab，∴2(a2+b2)>(a+b)2，∴a2+b22>a+b当a<0，b<0时，q也成立，如a=-1，b=-3时，a2+b2∴由q推不出p，∴p是q成立的充分不必要条件.(2)(多选)已知a，b∈R，则下列不等式成立的是()A.4ab≤(a+b)2 B.a+bC.2aba+b≤a+【答案】ABD【解析】A选项，4ab-(a+b)2=-(a-b)2≤0，即4ab≤(a+b)2，故A选项正确；B选项，当a+b>0时，a+b2>0，则a+b22-a2+b222=a2+b2C选项，当a+b>0时，2ab-(a+b)22=−(a−b)22当a+b<0时，2ab-(a+b)22=−(a−b)22≤0D选项，由重要不等式可知，a，b∈R，ab≤a2+b2题型二利用基本不等式求最值命题点1直接法例2(1)(苏教版必修第一册P61习题3.2T2改编)设x>0，y>0，且xy=4，则1x+1y的最小值为【答案】1【解析】∵x>0，y>0，且xy=4，∴1x+1y≥21x·当且仅当xy=4,1x=1y∴1x+1y(2)(人教B版必修第一册P78例4改编)已知x∈(-1，3)，则y=(1+x)(3-x)的最大值为，此时x=.

【答案】41【解析】当x∈(-1，3)时，1+x>0，3-x>0.由基本不等式可得(1+x)(3−x)从而(1+x)(3-x)≤4，即y≤4.当且仅当1+x=3-x，即x=1时，等号成立.从而当x=1时，y取得最大值4.命题点2配凑法例3(1)(2025·吉林模拟)已知x>3，则y=2x−3+2A.6 B.8 C.10 D.12【答案】C【解析】由x-3>0，则y=2x−3+2(x-3)+6≥22当且仅当2x−3=2(x-3)，即x=4(2)(2026·渭南模拟)已知0<x<1，则x(4-3x)的最大值为.

【答案】4【解析】当0<x<1时，0<3x<3，4-3x>0，故x(4-3x)=13×3x(4-3x)≤133当且仅当3x=4-3x，即x=23故x(4-3x)的最大值为43命题点3常数代换法例4(1)(2025·宣城模拟)已知正实数a，b满足2a+b=4，则2a+2+A.94+2 C.92 D.34【答案】D【解析】设x=a+2，y=b，则a=x-2，b=y，故2x+y=8，其中x>2，y>0，2a+2+2b=182x+2y由4xy+2yx当且仅当4xy=2yx，且2x即x=4(2-2)，y=8(2-1)时等号成立，此时满足x>2，y>0，故2a+2+2b的最小值为18×(6+42)=(2)(2025·上海)设a，b>0，a+1b=1，则b+1a的最小值为【答案】4【解析】易知b+1a=b+1aa+1b=ab当且仅当ab=1，即a=12，b=2时取等号，此时b+1a命题点4消元法例5已知实数x，y满足3xy+y2=1，y>0，则2x+y的最小值是()A.23 B.223 C.22【答案】B【解析】因为实数x，y满足3xy+y2=1，y>0，所以x=1−y则2x+y=2−2y23y+y=23y+y当且仅当23y=y3，即y所以2x+y的最小值是22命题点5构造不等式法例6(多选)(2022·新高考全国Ⅱ卷)若x，y满足x2+y2-xy=1，则()A.x+y≤1 B.x+y≥-2C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1【答案】BC【解析】因为ab≤a+b22≤a2+b由x2+y2-xy=1可变形为(x+y)2-1=3xy≤3x+解得-2≤x+y≤2，当且仅当x=y=-1时，x+y=-2，当且仅当x=y=1时，x+y=2，所以A错误，B正确；由x2+y2-xy=1可变形为(x2+y2)-1=xy≤x2解得x2+y2≤2，当且仅当x=y=±1时取等号，所以C正确；方法一因为x2+y2-xy=1可变形为x−y22+3设x-y2=cosθ，32y=sin所以x=cosθ+33sinθ，y=233sin因此x2+y2=cos2θ+53sin2θ+233sinθ=1+33sin2θ-13cos2θ=43+23sin2θ−π6方法二因为x2+y2≥-2xy，所以-xy≤x2所以1=x2+y2-xy≤x2+y2+x2+y22=32(则x2+y2≥23，当且仅当x=-y=±33时等号成立，所以D方法三当x=33，y=-33时满足x2+y2-xy但是x2+y2≥1不成立，所以D错误.命题点6齐次化法例7(2026·新余模拟)已知x，y为正实数，且x+y=2，则x+6A.12 B.3+22 C.252 D.【答案】C【解析】由x+y=2，则x+6y=(=4x2+9y2+13xy∵x，y为正实数，∴2xy>0，9∴2xy+9y2x+132≥2当且仅当2xy=9y2x，即x=65故x+6y+6【思维升华】利用基本不等式求最值时需注意(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.(3)条件最值的求解通常有六种方法：一是直接法；二是配凑法；三是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；四是消元法；五是构造不等式法；六是齐次化法.【跟踪训练】2(1)(多选)下列说法正确的是()A.y=2-3x-4x(x>0)的最大值是2-4B.函数y=x2+3xC.已知x+y=1，x>0，y>0，则12x+xD.若正数m，n，满足m+n=2，则m+n的最大值为2【答案】ACD【解析】当x>0时，y=2-3x-4x=2-3x+4x≤2-23x·4x=2-43，当且仅当3x=4x，即x=233时，等号成立，所以y=2-3x因为x>-1，则x+1>0，所以y=x2+3x+3x+1=(x+1)2+x即x=0时，等号成立，故B错误；因为x+y=1，x>0，y>0，所以12x+xy+1=x+y2x+xx+2y=1当且仅当x+2y4x=xx+2y，即x=2由(m+n)2=m+n+2mn=2+2mn≤2+(m+n)=4，当且仅当m=n=1时等号成立，则m+n的最大值为2，故D正确.(2)已知x>0，y>0，且2x+y=1，则x2+x+3【答案】7【解析】∵x>0，y>0，2x+y=1，∴x2+=3x2+xy+3≥23xy当且仅当3xy=3yx，且2x即x=y=13∴x2+【限时训练】（30分钟）一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.(苏教版必修第一册P61练习T1)若m>0，n>0，mn=81，则m+n的最小值是()A.4 B.43 C.9 D.18【答案】D【解析】因为m>0，n>0，mn=81，由基本不等式得m+n≥2mn=18，当且仅当m=n=9时，等号成立，所以m+n的最小值是18.2.若x>0，则函数y=x2A.6 B.7 C.10 D.11【答案】D【解析】∵x>0，∴y=x2+x+25x≥2x·25x当且仅当x=25x，即x=5∴函数y=x2+3.(2025·德阳模拟)若x>1，则函数y=2x+8xA.8 B.9 C.10 D.11【答案】C【解析】若x>1，则x-1>0，所以y=2(x-1)+8x−1+2≥22(当且仅当2(x-1)=8x−1，即x=34.(2026·绍兴模拟)已知a>0，b>0，且a+4b=4ab，则a+b的最小值是()A.2 B.2+1 C.94 D.【答案】C【解析】∵a>0，b>0，a+4b=4ab，∴1a+14∴a+b=(a+b)1a+14b=1+14+ba+a当且仅当ba=a4b，即a=32，b5.(2025·连云港模拟)设a>0，b>-1，且a+b=1，则1a+1A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】因为a>0，b>-1，则b+1>0，因为a+b=1，则a+(b+1)=2，所以1a+1b+1=12[a+(=1≥122+2当且仅当b+1a=因此1a+1b6.设正实数x，y，z满足x2-xy+y2-z=0，则xyzA.4 B.2 C.3 D.1【答案】D【解析】因为正实数x，y，z满足x2-xy+y2-z=0，则z=x2+y2-xy，所以xyz=xyx2+y2当且仅当xy=yx(x>0，y>0)，即x=y时，等号成立，故xy二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.下列说法正确的是()A.函数y=2x+2x(xB.函数y=x2C.函数y=x+16x+2(D.若x+y=4，则x2+y2的最小值是8【答案】ACD【解析】A选项，对于函数y=2x+2x(x<02x+2x=-(−2x)+2−当且仅当-2x=2−x，即x=-1时等号成立，所以B选项，y=x2+10x2+9=x2+9当x2+9=1xC选项，对于函数y=x+16x+2(x>-2)，xx+16x+2=x+2+16x+2-2≥当且仅当x+2=16x+2，即x=2时等号成立，所以D选项，由基本不等式得x2+y所以x2+y2≥2·x+y22=2×当且仅当x=y=2时等号成立，所以D选项正确.8.(2025·苏州模拟)已知a>0，b>0，满足a+2b=4，则下列说法正确的是()A.ab≤2 B.1a+2bC.a2+b2≥165 D.3a+9b≥【答案】ACD【解析】ab=12·a·2b≤12a+2b22=2，当且仅当1a+2b=14(a+2b)1a+2b当且仅当a=b=43时取等号，故Ba2+b2=(4-2b)2+b2=5b2-16b+16=5b−852+当b=85，a=45时取等号，故3a+9b=3a+32b≥23a·32当且仅当a=2b=2时取等号，故D正确.三、填空题(每小题5分，共10分)9.函数f(x)=x+3x−1的最小值为【答案】4【解析】函数f(x)=x+3x−1的定义域为(1，+∞)，f(x)=(x−1)+4x−1=x−1+4x−1≥2x−1·4x−1=4，当且仅当10.已知a>-1，b<2，1a+1+12−b=13，则a-【答案】9【解析】设a+1=x>0，2-b=y>0，则1x+1y=13，a-b=x=3(x+y)1x+1y-3=32+y当且仅当y即x=y=6，即a=5，b=-4时等号成立.四、解答题(共28分)11.(13分)已知正实数x，y满足x+y+xy=8，求：(1)x+y的最小值；(4分)(2)xy的最大值；(4分)(3)x-y的取值范围.(5分)【解析】由题意，正实数x，y满足x+y+xy=8，(1)由x+y=8-xy≥8-x+可得(x+y)2+4(x+y)-32≥0，解得x+y≥4，当且仅当x=y=2时，等号成立，故x+y的最小值为4.(2)方法一因为x+y+xy=8，x>0，y>0，所以8-xy=x+y≥2xy，所以(xy)2+2xy-8≤0，所以(xy+4)(xy-2)≤0，所以xy≤2，即xy≤4，当且仅当x=y=2时，等号成立，所以xy的最大值为4.方法二由x+y≥4，可得xy=8-(x+y)≤4，当且仅当x=y=2时，等号成立，所以xy的最大值为4.(3)由x+y+xy=8，可得y=8−x由x>0,y=8−x且x-y=x-8−xx+1=x令t=x+1，则t∈(1，9)，构造函数f(t)=t-9t，t∈(1，9)，由于函数f(t)在(1，9所以f(t)的值域为(-8，8)，故x-y的取值范围为(-8，8).12.(15分)已知下列求最小值的方法：求x3-3x，x∈