MATLAB数学建模与仿真（第2版·微课视频版）课件第9章 MATLAB在线性代数的应用

9.1矩阵的基本函数运算9.2秩与线性相关9.3线性方程的求解9.4特征值与二次型9.5小结

第9章MATLAB在线性代数中的应用

矩阵的基本函数运算秩与线性相关线性方程的求解特征值与二次型9.1矩阵的基本函数运算矩阵的函数运算是矩阵运算中最为实用的部分。它主要包括矩阵的逆运算、矩阵的行列式、特征值、矩阵秩、求正交矩阵运算和向量组的点乘内积等。9.1.1矩阵的逆运算矩阵的逆运算是矩阵运算中很重要的一种运算。它在线性代数及计算方法中都有很多的论述。在MATLAB中，众多的复杂理论只变成了一个简单的命令——inv或A^(-1)。

【例9-1】求下列矩阵的逆。

9.1.1矩阵的逆运算

【例9-1】求下列矩阵的逆。>>a=[12;21];>>inv(a)ans=-0.33330.66670.6667-0.3333

矩阵矩阵的行列式的值可由det函数计算得出。

【例9-3】计算行列式

9.1.2矩阵的行列是运算

【例9-3】计算行列式>>D=[31-12;-513-4;201-1;1-53-3];>>det(D)ans=40.0000

9.1.2矩阵的行列是运算9.1.3矩阵的点乘（内积）点乘：也叫向量的内积、数量积。顾名思义，求下来的结果是一个数。维数相同的两个向量的点乘可由函数dot得出。在MATLAB中关于dot函数中使用：（1）C=dot(A,B)

返回

A

和

B

的标量点积。①如果

A

和

B

是向量，则它们的长度必须相同；②如果

A

和

B

为矩阵或多维数组，则它们必须具有相同大小。（2）C=dot(A,B,dim)

计算

A

和

B

沿维度

dim

的点积。dim

输入是一个正整数标量。9.1.3矩阵的点乘（内积）【例9-6】求向量X=与向量Y=的点乘。>>X=[-102];>>Y=[-2-11];>>Z=dot(X,Y)Z=4还可用另一种算法：>>sum(X.*Y)ans=49.1.4混合积

3个向量abc共面的充分必要条件是(a、b、c)=0。定义：设a，b，c是空间中三个向量，则(a*b)*c称为三个向量a、b、c的混合积，记作[abc]或(a,b,c)或(abc)。

混合积的性质：(1)(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)=-(b,a,c)=-(a,c,b)=-(c,b,a)。(2)(a×b)c=a(b×c)。9.1.4混合积【例9-8】向量a=(1,2,3),b=(2,3,4),c=(5,2,1),求a·(b×c)的混合积。>>a=[123]>>c=[521]a=

c=123

521>>b=[234]>>v=dot(a,cross(b,c))b=v=234-2

矩阵和向量组的秩以及向量组的线性相关性向量组的最大无关组9.2秩与线性相关性矩阵本节介绍如何使用MATLAB软件构作已知矩阵对应的行（列）向量组、求矩阵的秩，对矩阵进行初等行变换，求向量组的的秩与最大线性无关组。9.2.1矩阵和向量组的秩以及向量组的线性相关性

矩阵的秩是矩阵A中最高阶非零子式的阶数，向量组的秩通常由该向量组构成的矩阵来计算。rank(A)：A为矩阵，rank为矩阵求秩函数。在进行科学运算时，常常要用到矩阵的特征参数，如矩阵的行列式、秩、迹、条件数等，在MATLAB可以用命令轻松地进行这些运算。

9.2.1矩阵和向量组的秩以及向量组的线性相关性

【例9-11】已知矩阵M=秩为2，求常数t的值。>>symst>>M=[32-1-3;2-131;70t-1];>>det(M(1:3,1:3))

ans= 35-7*t

求的t为5.9.2.2向量组的最大无关组

矩阵可以通过初等行变换化成行最简形，从而找出列向量组的最大无关组，MATLAB将矩阵化成行最简形的命令是：rref。

格式如下：rref(A)

9.2.2向量组的最大无关组

【例9-13】求矩阵列向量组a=的一个最大无关组。

>>formatrat；

>>a=[1-,-102;-2426-6;2-1023;33334];

>>b=rref(a)

b=101/3016/3012/30-1/90001-1/300000

求线性方程组的唯一解或特解

求线性齐次方程组的通解求非齐次线性方程组的通解9.3线性方程组的求解线性方程组是齐次线性方程组还是非齐次线性方程组？方程组是否有解？都需要先进行判断才能运用正确的方法得到正确的结果。9.3.1向求线性方程组的唯一解或特解

线性方程组有解的充要条件为：R（A）=R（）。（1）判断方程组解的情况。①当R（A）=R（）时有解（R（A）=R（）>=n唯一解，R（A）=R（）〈n,有无穷解〉；②当R（A）+1=R（）时无解。（2）求特解；（3）求通解(无穷解),线性方程组的无穷解=对应齐次方程组的通解+非齐次方程组的一个特解。

9.3.1向求线性方程组的唯一解或特解

MATLAB中的函数qr用来求方程组的解。【例9-18】求方程组的一个特解。>>A=[11-3-1;3-1-34;15-9-8];>>b=[140]';>>[Q,R]=qr(A)9.3.1向求线性方程组的唯一解或特解Q=-0.30150.1421-0.9428-0.9045-0.35530.2357-0.30150.92390.2357R=-3.3166-0.90456.3317-0.904505.1168-7.6752-8.954400-0.0000-0.0000>>X=R\(Q\b)Warning:Rankdeficient,rank=2tol=8.8373e-015.X=00-0.53330.6000

9.3.2求线性齐次方程组的通解【例9-19】求解方程组的通解。

>>A=[1221;21-2-2;1-1-4-3];>>symsk1k2>>x=k1*B(:,1)+k2*B(:,2)9.3.2求线性齐次方程组的通解>>A=[1221;21-2-2;1-1-4-3];>>symsk1k2>>x=k1*B(:,1)+k2*B(:,2)

x=

2*k1+(5*k2)/3-2*k1-(4*k2)/3k1k2

9.3.3求非齐次线性方程组的通解

非齐次线性方程组需要先判断方程组是否有解，若有解，再去求通解。因此步骤为：第一步：判断AX=b是否有解，若有解则进行第二步；第二步：求AX=b的一个特解；第三步：求AX=0的通解；第四步：AX=b的通解是AX=0的通解与AX=b的一个特解。9.3.3求非齐次线性方程组的通解【例9-20】求解方程组的解。

A=[1-23-1;3-15-3;212-2];b=[123]';B=[Ab];n=4;R_A=rank(A);R_B=rank(B);9.3.3求非齐次线性方程组的通解formatratifR_A==R_B&R_A==n%判断有唯一解X=A\belseifR_A==R_B&R_A<n%判断有无穷解X=A\b%求特解C=null(A,'r')%求AX=0的基础解系elseX='equationnosolve'%判断无解End运行后结果显示：X=equitionnosolve

方阵的特征值与特征向量正交矩阵及二次型9.4特征值与二次型本节主要介绍矩阵的特征值和特征向量、正交向量组和正交矩阵、二次型和它的标准形以及正定二次型的判定。9.4.1方阵的特征值与特征向量

A是

矩阵，如果

满足,则称

是矩阵A的特征值，x是矩阵A的特征向量。如果A是实对称矩阵，则特征值为实数，否则特制值为复数。由A的特征值构成的对角矩阵，以及由对应的特征向量构成矩阵V的各列，满足：AV=VD

如果V是非奇异的，则这就是矩阵A的特征值分解。

特征值分解的函数eig调用格式为：(1)D=eig(A);(2)[V,D]=eig(A)；(3)[V,D]=eig(A,'nobalance')：(4)e

=eig(A,B)(5)[V,D]=eig(A,B)9.4.1方阵的特征值与特征向量

【例9-23】求行列式矩阵A=的特征向量矩阵，特征量矩阵。>>A=[123;456;789];>>[x,y]=eig(A)x=-0.2320-0.78580.4082-0.5253-0.0868-0.8165-0.81870.61230.4082y=16.1168000-1.1168000-0.0000其中x为特征向量矩阵，y为特征值矩阵。9.4.2蒸饺矩阵及二次型

(1)向量的长度（范数）命令norm格式norm(X)%求X的范数(2)求矩阵的正交矩阵命令orth格式orth(A)%将矩阵A正交规范化

9.4.2正交矩阵及二次型

【例9-27】将矩阵A=正交化。

>>A=[400;031;013];>>Q=P'*P>>P=orth(A)